浙教版七年级数学常见题型专练：有理数除法（7种题型）（解析版）

第08讲有理数除法（7种题型）

3【知识梳理】

一、有理数的除法

1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数.

要点诠释：

⑴“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是-'，-2和-,是互相依存的；

22

（2）0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数；

（3）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；

（4）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.

2.有理数除法法则：

法则一：除以一个不等于o的数，等于乘这个数的倒数，即。十万=4・工3/0）.

b

法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

要点诠释：

（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些.

（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数.

（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值.

二、有理数的乘除混合运算

由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出

结果.

三、有理数的加减乘除混合运算

有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里

面的.

'T【考点剖析】

题型一：直接判定商的符号和绝对值进行除法运算

例1.计算：⑴（-15）+（—3）；（2）12+（一；）；（3）（-0.75）4-（0.25）.

解析：采用有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答.

解：(1)(—15)4-(—3)=+(154-3)=5；

⑵124-(―5=—(12+；)=—48；

(3)(-0.75)4-(0.25)=-(0.754-0.25)=-3.

方法总结：注意先确定运算的符号.根据“同号得正，异号得负”的法则进行计算.本题属于基础题，考查

对有理数的除法运算法则掌握的程度.

题型二：倒数的概念

例2.—3的倒数是()

'11C

A.--B.—C.—3D.3

33

【答案】A

【解析】

互为倒数的两个数乘积为1,(-3)x(-g)=l.故选A.

23

【变式】-(--)的相反数与--的倒数的积为_________.

54

Q

【答案

【解析】

22

解：-(-彳)的相反数是-彳，

34

--的倒数是-一，

43

93948

-(-二)的相反数与-一的倒数的积是--x(-一)=二，

545315

Q

故答案为：—.

题型三：分数的化简

例3.化简下列分数：

16

.,/、-21—7X3/、-3-(-0.3)X20/、28

2-O3

斛析：(1)『==^=3；(2)工.—=20；⑷』

284X74

=49=7X7=7,

14

解：(1)3；(2)(3)20；(4)-

方法总结：化简分数时要注意分子、分母的符号，同号结果为正，异号结果为负.

【变式1］已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出回+回+皿的值吗？

abc

【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值，再代入求值.

【答案与解析】

解：分四种情况:

(1)当a、b、c三个数都为正数时，回+回+回=0+2+£=1+1+1=3；

abcabc

(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，

\a\\b\\c\-abc....

'~L+-~~L+—=—+-+-=-14-1+1=1；

abcabc

(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，

\a\\b\\c\a-b-c....

'-―L+—=—+—+—=1-1-1=-1；

abcabc

(4)当a、b、c三个数都为负数时，+皿■=，■+/+，=(-1)+(-1)+(-1)=-3

abcabc

综上，回+回+1£1的值为：3,-3,1,-1

abc

【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.

nnhGChe

【变式2】已知a,b,c为非零的实数，则L+E+L+T71的可能值的个数为()

\a\\ab\\ac\\bc\

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】解：①。、b、c三个数都是正数时，a>0,afa>0,ac>0,bc>0,原式=1+1+1+1=4；

②。、b、c中有两个正数时，设为o>0,b>0,c<0,贝!Jab>0,ac<0,bc<0,原式=1+1-1-1=0

设为o>0,b<Q,c>0,则abVO,ac>Q,bc<Q,原式=1-1+1-1=0；

设为。VO,b>0,c>0,贝!JobVO,ac<0,bc>0,原式二-1-1-1+1=-2；

③o、b、c有一个正数时，设为。>0,b<0,c<0,则ab<0,ac<0,bc>Of原式=1-1-1+1=0；

设为oVO,b>0,c<0,则abVO,ac>0,bc<0,原式=-1-1+1-1=-2；

设为oVO,b<0,c>0,贝!Job>0,ac<0,bc<0,原式二-1+1-1-1=-2；

④o、b、c三个数都是负数时，即o<0,b<0,c<0,则ob>0,ac>0,bc>0,原式=-1+1+1+1=2.

综上所述：］—r+i~~~r+।r+-r~j"的可能值的个数为4.

\a\\ab\\ac\\bc\

故选A.

\a\b

【变式3】计算□+占的取值.

a\b\

【答案】(1)当a>0、b>0时，M^=-+-=l+l=2；

ab

一nh

(2)当a<0、b<0时，原式=----1---=—1—1=—2；

a-b

_ab

(3)当a>0,bVO时，原式二—I---=1—1=0；

a-b

一ah

(4)当aVO,b>0时，原式=---1——=—1+1=0.

ab

综上，-~~■的值为：2,—2,0

a\b\

题型四：将除法转化为乘法进行计算

例4.计算：

2

(1)(—18)4-(―-)；

O

49

(2)164-(—―)4-(―-).

OO

解析：本题可采用有理数的除法：除以一个数就等于乘以这个数的倒数解答.

9QQ

解：(1)(-18)+(--)=(-18)X(--)=18X-=27；

O乙乙

/\/4\/9、/3\/8、3832

⑵164-(―-)4-(―-)=16义(―T)X(―-)=16X-X-=—

jo4y4yo

方法总结：此题考查了有理数的除法运算，有理数的除法运算通常利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化

为乘法运算来求.

【变式1】计算：(-49)+§+

【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成

假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分.但要注意除法没有分配律.

【答案与解析】

(一49)+2}.3)=(-49)x[-|jx|x[-1j=-[49x|x|x|j

解:=-3

【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果.

【变式2】计算：(―3g)X—2g)+(—日)

【答案】原式=(—>1)0><(—32)x(—5二)=—2上5

37621

【变式3](1上2_*+*2)+(_25)

67342

1225

[答案](------1—)+(----)

67342

12242

=(-----1--)x(---)

6735

142242242

=—X(------)——X(------)+—X(------)

657535

_23

一一二

1313

【变式4][1----(—I-----)x24]4-(—5)；.

24864

1313

【答案】[1——(-+——-)x24]<-(-5)

24864

—-9-4+18)x

(1-

24

-tI

1

【变式5】—5一x(----)x--?(1—)

232114

I

【答案】

3

12_J_1_2

例5.计算:-+-

303TO65

【答案与解析】

方法1：〔一《〉［3+3T+奸1°一

2__J_J__2\2

方法2：x(-30)=-10

§一m+彳一二厂「13厂店—历+%—5

【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后

再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a+(b+c)=a+b+a+c进行分配就错

了.

【变式1]

105735

…z1rlzk1,1291

10573510510529

【变式2】⑴；(2)—+

4536060453

【解析】第（2）题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题

目而错误地运用运算规律。

111151220

【答案】解：（1）解法一：（:--------+--

536O6O601x60=——x60=23

6060

111111

z6O

--(--+^X--

解法二：（-------F3\4-534x60--x60+-x60=23

6053

（显然，解法二中运用了乘法分配律后计算方法很简单。）

1111111

(2)错解：—+-

6045360•4-60,560,330

（出错的原因在于：除法没有分配律，从而是不能运用的）

1

正确解法一:

23

正确解法二:

，根据倒数的定义有：---（--------1—）=—

6045323

题型五：根据*a+力的符号，判断a和6的符号

例6.如果a+6<0,弓>0,那么这两个数（）

b

A.都是正数B.符号无法确定

C.一正一负D,都是负数

解析：根据“两数相除，同号得正“可知，a、6同号，又；a+6<0,...可以判断a、6均为负数.故

选D.

方法总结：此题考查了有理数乘法和加法法则，将二者综合考查是考试中常见的题型，此题的侧重点在于考

查学生的逻辑推理能力.

题型六：有理数的乘除混合运算

例7.计算：

（1）—2.54-|x（―；（2）（一点+（一帝X（―巾.

解析：（1）把小数化成分数，同时把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算即可.（2）首先把乘除

混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后把绝对值相乘，进行计算即可.

a”58.1.581

解：（1）原式:一弓又三乂（一彳）=5义工义彳=1；

/\/4、.14..3..4143.

（2）原式=（―亍）X（――）X（―-）=—（-X—X-）=.4.

।o乙/o乙

方法总结：解题的关键是掌握运算方法，先统一成乘法，再计算.

94

【变式1】计算：-81--x--(-16)

49

【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.

9444

—81—x—+(—16)=—81x—x—x1

4999

【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算.乘除运算是同一级运算，再应按从

左到右的顺序进行.

144

【变式2】计算：—10—：—x—j•(-2)

893

14419481941243

【答案】-10—4-—X—4-(-2)=-10—X—X—X——X—X—X—=--------

893843843216

题型七'有理数的加减乘除混合运算

3

例8.8xx(-4)-2

【解析】根据有理数乘法法则和运算顺序即可算出结果。

【答案】原式=24-2=22

【变式】计算

(1)(―-^」)X(-78)

1336

(2)(-7)X(-5)-904-(-15)

(3)(1-&+上)X(-36)

2912

(4)(一驾x(-义)X0X，.

1373

【答案】(1)27(2)31；(3)-19；(4)0

【解析】

试题分析：(1)原式利用乘法分配律计算即可得到结果；

(2)原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果;

(3)原式利用乘法分配律计算即可得到结果；

(4)原式利用0乘以任何数结果为0计算即可得到结果.

解：(1)原式=-12+26+13=27；

(2)原式=25+6=31；

（3）原式=-18+20-21=-19；

（4）原式=0.

考点：有理数的混合运算

【过关检测】

选择题（共6小题）

1.（2022秋•仙居县期末）-3的倒数是（）

A.-3B.-AC..D.3

33

【分析】根据倒数的定义即可得到结论.

【解答】解：-3的倒数是-工，

3

故选：B.

【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键.

2.（2021秋•钱塘区期末）下列各组数中，互为倒数的是（）

A.-1旦与-1匹B.-0.25与」C.-0.5与-2D.-1与1

434

【分析】根据倒数的定义判断即可.

【解答】解：4、-13的倒数是-廷，故该选项不符合题意；

47

B、-0.25=-X与-4互为倒数，故该选项不符合题意；

4

C、-0.5的倒数是-2,故该选项符合题意；

。、-1的倒数是-1,故该选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了倒数的定义，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.

3.（2022秋•义乌市月考）计算9+（-3）X上的结果为（）

3

A.-1B.1C.9D.-9

【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案.

【解答】解：原式=-3X2

3

=-1.

故选：A.

【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

4.（2022秋•邺州区校级期中）下列各对数中，互为倒数的是（）

A.1和-1B.-2和-工C.-4和工D.0和0

24

［分析］应用倒数的计算方法进行计算即可得出答案.

【解答】解：A、-1X1=-1,两数不是互为倒数，不符合题意；

B、-2义（卷）=1,两数互为倒数，符合题意；

C、-4X1=-1,两数不是互为倒数，不合题意；

4

。、0没有倒数，不合题意.

故选：B.

【点评】本题主要考查了倒数，熟练掌握倒数的计算方法进行求解是解决本题的关键.

5.（2022秋•瑞安市期中）计算6个（-3）的结果是（）

A.3B.-3C.2D.-2

【分析】原式利用除法法则计算即可求出值.

【解答】解：64-（-3）

=-2.

故选：D.

【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

6.（2022秋•义乌市校级月考）学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②

一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打八折.如果王明同学一

次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（）

A.180元B.202.5元

C.180元或202.5元D.180元或200元

【分析】不享受优惠即原价，打九折即原价X0.9,打八折即原价X0.8.

【解答】解：V200X0.9=180,200X0.8=160,160<162<180,

...一次性购书付款162元，可能有两种情况.

162+0.9=180元；162+0.8=202.5元.

故王明所购书的原价一定为180元或202.5元.

故选：C.

【点评】本题考查有理数的运算在实际生活中的应用.注意售书有三种优惠方案.

二.填空题（共7小题）

7.（2022秋•上城区校级期中）整数-5的倒数为.

—5—

【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数.

【解答】解：有理数-5的倒数是-1.

5

故答案为：_A.

5

【点评】本题考查了倒数，熟记倒数的定义是解答本题的关键.

8.（2022秋•杭州期中）在2,5,-3,-5这四个数中任意取两个数相除，所得的商最小为-2.5.

【分析】由实数的大小比较法则，即可求解.

【解答】解：.••在2,5,-3,-5这四个数中任意取两个数相除，所得的商是负数，且商的绝对值最大

时，此时两数商最小，

.•.在2,5,-3,-5这四个数中任意取两个数相除，所得的商最小为-5+2=-2.5,

故答案为：-2.5.

【点评】本题考查实数的大小比较，关键是掌握：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.

9.（2022秋•杭州期中）计算：|-6|=6；-6的倒数是.

6-

【分析】利用倒数和绝对值的性质，分别分析得出答案.

【解答】解：I-6|=6；-6的倒数是-工.

6

故答案为：6,-1.

6

【点评】此题主要考查了倒数、绝对值，正确把握定义是解题关键.

10.（2022秋•长兴县月考）计算：1；（1）=-3.

3

【分析】利用有理数的除法法则运算即可.

【解答】解：原式=1X（-3）

=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题主要考查了有理数的除法法则，正确利用有理数的除法法则运算是解题的关键.

11.（2021秋•温州期末）计算：（-9）4-1=-18.

2

【分析】先变除法为乘法后再进行乘法计算.

【解答】解：(-9)4-1

2

=-9X2

=-18.

【点评】此题考查了有理数的除法计算能力，关键是能按照除法运算法则进行准确计算.

12.(2022秋•苍南县期中)在-2,3,-4,12这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是-6

【分析】取异号且商绝对值较大两数相除便可.

【解答】解：根据题意得，

商最小的是：124-(-2)=-6,

故答案为：-6.

【点评】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键.

13.(2022秋•瑞安市期中)计算：-5+(-6)*16工=13旦.

6—36—

【分析】利用有理数的除法、乘法运算法则计算即可.

【解答】解：算：-5+(-6)X16工

6

=-5X(-A)义旦.

66

_5v97

66

_485

"36"

=13或

36

故答案为：13包.

36

【点评】本题考查了有理数的乘法，除法，解题的关键是掌握有理数的乘法和除法的法则.

三.解答题(共6小题)

14.(2022秋•余杭区校级月考)(1)上+(-§)+(-0.25)；

123

(2)-99^-X34.

17

【分析】(1)先确定最后结果的符号，并变除法运算为乘法进行求解；

(2)先确定结果的符号，再运用乘法分配律进行计算.

【解答】解：(1)工+(-S)+(-0.25)

123

=工

(2)-99区义34

17

=-(100-2)X34

17

=-(100X34-2x34)

17

=-(3400-4)

=-3396.

【点评】此题考查了有理数的混合运算能力，关键是能准确确定正确的运算顺序和方法.

15.(2022秋•杭州月考)(1)二.(-0.25)；

123

(2)-999X34.

17

【分析】(1)原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；

(2)原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值.

【解答】解：(1)原式=」-X3X4

125

(2)原式=(-100+2)X34

17

=-100X34+2x34

17

=-3400+4

=-3396.

【点评】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.(2022秋•越城区期中)阅读下题解答：

计算：(_J_)+(2且/).

分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值.

解：3-4巨)+(4)=3-4名)X(-24)=-16+18-21=-19.

'348，'24，匕481

所以原式=-°.

19

2

根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：（一打《[之二+2+（4）x（_6）].