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文档简介

第08讲有理数除法(7种题型)

3【知识梳理】

一、有理数的除法

1.倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数.

要点诠释:

⑴“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是-',-2和-,是互相依存的;

22

(2)0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数;

(3)倒数的结果必须化成最简形式,使分母中不含小数和分数;

(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数).

2.有理数除法法则:

法则一:除以一个不等于o的数,等于乘这个数的倒数,即。十万=4・工3/0).

b

法则二:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.

要点诠释:

(1)一般在不能整除的情况下应用法则一,在能整除时应用法则二方便些.

(2)因为0没有倒数,所以0不能当除数.

(3)法则二与有理数乘法法则相似,两数相除时先确定商的符号,再确定商的绝对值.

二、有理数的乘除混合运算

由于乘除是同一级运算,应按从左往右的顺序计算,一般先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后算出

结果.

三、有理数的加减乘除混合运算

有理数的加减乘除混合运算,如无括号,则按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,则先算括号里

面的.

'T【考点剖析】

题型一:直接判定商的符号和绝对值进行除法运算

例1.计算:⑴(-15)+(—3);(2)12+(一;);(3)(-0.75)4-(0.25).

解析:采用有理数的除法:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除解答.

解:(1)(—15)4-(—3)=+(154-3)=5;

⑵124-(―5=—(12+;)=—48;

(3)(-0.75)4-(0.25)=-(0.754-0.25)=-3.

方法总结:注意先确定运算的符号.根据“同号得正,异号得负”的法则进行计算.本题属于基础题,考查

对有理数的除法运算法则掌握的程度.

题型二:倒数的概念

例2.—3的倒数是()

'11C

A.--B.—C.—3D.3

33

【答案】A

【解析】

互为倒数的两个数乘积为1,(-3)x(-g)=l.故选A.

23

【变式】-(--)的相反数与--的倒数的积为_________.

54

Q

【答案

【解析】

22

解:-(-彳)的相反数是-彳,

34

--的倒数是-一,

43

93948

-(-二)的相反数与-一的倒数的积是--x(-一)=二,

545315

Q

故答案为:—.

题型三:分数的化简

例3.化简下列分数:

16

.,/、-21—7X3/、-3-(-0.3)X20/、28

2-O3

斛析:(1)『==^=3;(2)工.—=20;⑷』

284X74

=49=7X7=7,

14

解:(1)3;(2)(3)20;(4)-

方法总结:化简分数时要注意分子、分母的符号,同号结果为正,异号结果为负.

【变式1]已知a、b、c为不等于零的有理数,你能求出回+回+皿的值吗?

abc

【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值,再代入求值.

【答案与解析】

解:分四种情况:

(1)当a、b、c三个数都为正数时,回+回+回=0+2+£=1+1+1=3;

abcabc

(2)当a、b、c三个数中有两个为正数,一个为负数时,不妨设a为负数,b、c为正数,

\a\\b\\c\-abc....

'~L+-~~L+—=—+-+-=-14-1+1=1;

abcabc

(3)当a、b、c三个数中有一个为正数,两个为负数时,不妨设a为正数,b、c为负数,

\a\\b\\c\a-b-c....

'-―L+—=—+—+—=1-1-1=-1;

abcabc

(4)当a、b、c三个数都为负数时,+皿■=,■+/+,=(-1)+(-1)+(-1)=-3

abcabc

综上,回+回+1£1的值为:3,-3,1,-1

abc

【总结升华】在含有绝对值的式子中,当不知道绝对值里面的数的正负时,需分类讨论.

nnhGChe

【变式2】已知a,b,c为非零的实数,则L+E+L+T71的可能值的个数为()

\a\\ab\\ac\\bc\

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】解:①。、b、c三个数都是正数时,a>0,afa>0,ac>0,bc>0,原式=1+1+1+1=4;

②。、b、c中有两个正数时,设为o>0,b>0,c<0,贝!Jab>0,ac<0,bc<0,原式=1+1-1-1=0

设为o>0,b<Q,c>0,则abVO,ac>Q,bc<Q,原式=1-1+1-1=0;

设为。VO,b>0,c>0,贝!JobVO,ac<0,bc>0,原式二-1-1-1+1=-2;

③o、b、c有一个正数时,设为。>0,b<0,c<0,则ab<0,ac<0,bc>Of原式=1-1-1+1=0;

设为oVO,b>0,c<0,则abVO,ac>0,bc<0,原式=-1-1+1-1=-2;

设为oVO,b<0,c>0,贝!Job>0,ac<0,bc<0,原式二-1+1-1-1=-2;

④o、b、c三个数都是负数时,即o<0,b<0,c<0,则ob>0,ac>0,bc>0,原式=-1+1+1+1=2.

综上所述:]—r+i~~~r+।r+-r~j"的可能值的个数为4.

\a\\ab\\ac\\bc\

故选A.

\a\b

【变式3】计算□+占的取值.

a\b\

【答案】(1)当a>0、b>0时,M^=-+-=l+l=2;

ab

一nh

(2)当a<0、b<0时,原式=----1---=—1—1=—2;

a-b

_ab

(3)当a>0,bVO时,原式二—I---=1—1=0;

a-b

一ah

(4)当aVO,b>0时,原式=---1——=—1+1=0.

ab

综上,-~~■的值为:2,—2,0

a\b\

题型四:将除法转化为乘法进行计算

例4.计算:

2

(1)(—18)4-(―-);

O

49

(2)164-(—―)4-(―-).

OO

解析:本题可采用有理数的除法:除以一个数就等于乘以这个数的倒数解答.

9QQ

解:(1)(-18)+(--)=(-18)X(--)=18X-=27;

O乙乙

/\/4\/9、/3\/8、3832

⑵164-(―-)4-(―-)=16义(―T)X(―-)=16X-X-=—

jo4y4yo

方法总结:此题考查了有理数的除法运算,有理数的除法运算通常利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化

为乘法运算来求.

【变式1】计算:(-49)+§+

【思路点拨】对于乘除混合运算,首先由负数的个数确定结果的符号,同时应将小数化成分数,带分数化成

假分数,算式化成连乘积的形式,再进行约分.但要注意除法没有分配律.

【答案与解析】

(一49)+2}.3)=(-49)x[-|jx|x[-1j=-[49x|x|x|j

解:=-3

【总结升华】进行乘除混合运算时,往往先将除法转化为乘法,再确定积的符号,最后求出结果.

【变式2】计算:(―3g)X—2g)+(—日)

【答案】原式=(—>1)0><(—32)x(—5二)=—2上5

37621

【变式3](1上2_*+*2)+(_25)

67342

1225

[答案](------1—)+(----)

67342

12242

=(-----1--)x(---)

6735

142242242

=—X(------)——X(------)+—X(------)

657535

_23

一一二

1313

【变式4][1----(—I-----)x24]4-(—5);.

24864

1313

【答案】[1——(-+——-)x24]<-(-5)

24864

—-9-4+18)x

(1-

24

-tI

1

【变式5】—5一x(----)x--?(1—)

232114

I

【答案】

3

12_J_1_2

例5.计算:-+-

303TO65

【答案与解析】

方法1:〔一《〉[3+3T+奸1°一

2__J_J__2\2

方法2:x(-30)=-10

§一m+彳一二厂「13厂店—历+%—5

【总结升华】除法没有分配律,在进行有理数的除法运算时,若除数是和的形式,一般先算括号内的,然后

再进行除法运算,也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决,如果按a+(b+c)=a+b+a+c进行分配就错

了.

【变式1]

105735

…z1rlzk1,1291

10573510510529

【变式2】⑴;(2)—+

4536060453

【解析】第(2)题属于易错题,因为除法没有分配律,只有乘法才有分配律,而一些学生往往因不看清题

目而错误地运用运算规律。

111151220

【答案】解:(1)解法一:(:--------+--

536O6O601x60=——x60=23

6060

111111

z6O

--(--+^X--

解法二:(-------F3\4-534x60--x60+-x60=23

6053

(显然,解法二中运用了乘法分配律后计算方法很简单。)

1111111

(2)错解:—+-

6045360•4-60,560,330

(出错的原因在于:除法没有分配律,从而是不能运用的)

1

正确解法一:

23

正确解法二:

,根据倒数的定义有:---(--------1—)=—

6045323

题型五:根据*a+力的符号,判断a和6的符号

例6.如果a+6<0,弓>0,那么这两个数()

b

A.都是正数B.符号无法确定

C.一正一负D,都是负数

解析:根据“两数相除,同号得正“可知,a、6同号,又;a+6<0,...可以判断a、6均为负数.故

选D.

方法总结:此题考查了有理数乘法和加法法则,将二者综合考查是考试中常见的题型,此题的侧重点在于考

查学生的逻辑推理能力.

题型六:有理数的乘除混合运算

例7.计算:

(1)—2.54-|x(―;(2)(一点+(一帝X(―巾.

解析:(1)把小数化成分数,同时把除法变成乘法,再根据有理数的乘法法则进行计算即可.(2)首先把乘除

混合运算统一成乘法,再确定积的符号,然后把绝对值相乘,进行计算即可.

a”58.1.581

解:(1)原式:一弓又三乂(一彳)=5义工义彳=1;

/\/4、.14..3..4143.

(2)原式=(―亍)X(――)X(―-)=—(-X—X-)=.4.

।o乙/o乙

方法总结:解题的关键是掌握运算方法,先统一成乘法,再计算.

94

【变式1】计算:-81--x--(-16)

49

【答案与解析】在有理数的乘除运算中,应按从左到右的运算顺序进行运算.

9444

—81—x—+(—16)=—81x—x—x1

4999

【总结升华】在有理数的乘除运算中,可先将除法运算转化为乘法运算.乘除运算是同一级运算,再应按从

左到右的顺序进行.

144

【变式2】计算:—10—:—x—j•(-2)

893

14419481941243

【答案】-10—4-—X—4-(-2)=-10—X—X—X——X—X—X—=--------

893843843216

题型七'有理数的加减乘除混合运算

3

例8.8xx(-4)-2

【解析】根据有理数乘法法则和运算顺序即可算出结果。

【答案】原式=24-2=22

【变式】计算

(1)(―-^」)X(-78)

1336

(2)(-7)X(-5)-904-(-15)

(3)(1-&+上)X(-36)

2912

(4)(一驾x(-义)X0X,.

1373

【答案】(1)27(2)31;(3)-19;(4)0

【解析】

试题分析:(1)原式利用乘法分配律计算即可得到结果;

(2)原式先计算乘除运算,再计算加减运算即可得到结果;

(3)原式利用乘法分配律计算即可得到结果;

(4)原式利用0乘以任何数结果为0计算即可得到结果.

解:(1)原式=-12+26+13=27;

(2)原式=25+6=31;

(3)原式=-18+20-21=-19;

(4)原式=0.

考点:有理数的混合运算

【过关检测】

选择题(共6小题)

1.(2022秋•仙居县期末)-3的倒数是()

A.-3B.-AC..D.3

33

【分析】根据倒数的定义即可得到结论.

【解答】解:-3的倒数是-工,

3

故选:B.

【点评】本题考查了倒数,熟练掌握倒数的定义是解题的关键.

2.(2021秋•钱塘区期末)下列各组数中,互为倒数的是()

A.-1旦与-1匹B.-0.25与」C.-0.5与-2D.-1与1

434

【分析】根据倒数的定义判断即可.

【解答】解:4、-13的倒数是-廷,故该选项不符合题意;

47

B、-0.25=-X与-4互为倒数,故该选项不符合题意;

4

C、-0.5的倒数是-2,故该选项符合题意;

。、-1的倒数是-1,故该选项不符合题意;

故选:C.

【点评】本题考查了倒数的定义,掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.

3.(2022秋•义乌市月考)计算9+(-3)X上的结果为()

3

A.-1B.1C.9D.-9

【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案.

【解答】解:原式=-3X2

3

=-1.

故选:A.

【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.

4.(2022秋•邺州区校级期中)下列各对数中,互为倒数的是()

A.1和-1B.-2和-工C.-4和工D.0和0

24

[分析]应用倒数的计算方法进行计算即可得出答案.

【解答】解:A、-1X1=-1,两数不是互为倒数,不符合题意;

B、-2义(卷)=1,两数互为倒数,符合题意;

C、-4X1=-1,两数不是互为倒数,不合题意;

4

。、0没有倒数,不合题意.

故选:B.

【点评】本题主要考查了倒数,熟练掌握倒数的计算方法进行求解是解决本题的关键.

5.(2022秋•瑞安市期中)计算6个(-3)的结果是()

A.3B.-3C.2D.-2

【分析】原式利用除法法则计算即可求出值.

【解答】解:64-(-3)

=-2.

故选:D.

【点评】此题考查了有理数的除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

6.(2022秋•义乌市校级月考)学友书店推出售书优惠方案:①一次性购书不超过100元,不享受优惠;②

一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折;③一次性购书200元一律打八折.如果王明同学一

次性购书付款162元,那么王明所购书的原价一定为()

A.180元B.202.5元

C.180元或202.5元D.180元或200元

【分析】不享受优惠即原价,打九折即原价X0.9,打八折即原价X0.8.

【解答】解:V200X0.9=180,200X0.8=160,160<162<180,

...一次性购书付款162元,可能有两种情况.

162+0.9=180元;162+0.8=202.5元.

故王明所购书的原价一定为180元或202.5元.

故选:C.

【点评】本题考查有理数的运算在实际生活中的应用.注意售书有三种优惠方案.

二.填空题(共7小题)

7.(2022秋•上城区校级期中)整数-5的倒数为.

—5—

【分析】倒数:乘积是1的两数互为倒数.

【解答】解:有理数-5的倒数是-1.

5

故答案为:_A.

5

【点评】本题考查了倒数,熟记倒数的定义是解答本题的关键.

8.(2022秋•杭州期中)在2,5,-3,-5这四个数中任意取两个数相除,所得的商最小为-2.5.

【分析】由实数的大小比较法则,即可求解.

【解答】解:.••在2,5,-3,-5这四个数中任意取两个数相除,所得的商是负数,且商的绝对值最大

时,此时两数商最小,

.•.在2,5,-3,-5这四个数中任意取两个数相除,所得的商最小为-5+2=-2.5,

故答案为:-2.5.

【点评】本题考查实数的大小比较,关键是掌握:两个负数比较大小,绝对值大的数反而小.

9.(2022秋•杭州期中)计算:|-6|=6;-6的倒数是.

6-

【分析】利用倒数和绝对值的性质,分别分析得出答案.

【解答】解:I-6|=6;-6的倒数是-工.

6

故答案为:6,-1.

6

【点评】此题主要考查了倒数、绝对值,正确把握定义是解题关键.

10.(2022秋•长兴县月考)计算:1;(1)=-3.

3

【分析】利用有理数的除法法则运算即可.

【解答】解:原式=1X(-3)

=-3.

故答案为:-3.

【点评】本题主要考查了有理数的除法法则,正确利用有理数的除法法则运算是解题的关键.

11.(2021秋•温州期末)计算:(-9)4-1=-18.

2

【分析】先变除法为乘法后再进行乘法计算.

【解答】解:(-9)4-1

2

=-9X2

=-18.

【点评】此题考查了有理数的除法计算能力,关键是能按照除法运算法则进行准确计算.

12.(2022秋•苍南县期中)在-2,3,-4,12这四个数中,任意两个数相除,所得的商最小是-6

【分析】取异号且商绝对值较大两数相除便可.

【解答】解:根据题意得,

商最小的是:124-(-2)=-6,

故答案为:-6.

【点评】本题有理数除法,有理数大小比较,灵活应用除法法则解题是关键.

13.(2022秋•瑞安市期中)计算:-5+(-6)*16工=13旦.

6—36—

【分析】利用有理数的除法、乘法运算法则计算即可.

【解答】解:算:-5+(-6)X16工

6

=-5X(-A)义旦.

66

_5v97

66

_485

"36"

=13或

36

故答案为:13包.

36

【点评】本题考查了有理数的乘法,除法,解题的关键是掌握有理数的乘法和除法的法则.

三.解答题(共6小题)

14.(2022秋•余杭区校级月考)(1)上+(-§)+(-0.25);

123

(2)-99^-X34.

17

【分析】(1)先确定最后结果的符号,并变除法运算为乘法进行求解;

(2)先确定结果的符号,再运用乘法分配律进行计算.

【解答】解:(1)工+(-S)+(-0.25)

123

=工

(2)-99区义34

17

=-(100-2)X34

17

=-(100X34-2x34)

17

=-(3400-4)

=-3396.

【点评】此题考查了有理数的混合运算能力,关键是能准确确定正确的运算顺序和方法.

15.(2022秋•杭州月考)(1)二.(-0.25);

123

(2)-999X34.

17

【分析】(1)原式利用除法法则变形,约分即可得到结果;

(2)原式变形后,利用乘法分配律计算即可求出值.

【解答】解:(1)原式=」-X3X4

125

(2)原式=(-100+2)X34

17

=-100X34+2x34

17

=-3400+4

=-3396.

【点评】此题考查了有理数的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.(2022秋•越城区期中)阅读下题解答:

计算:(_J_)+(2且/).

分析:利用倒数的意义,先求出原式的倒数,再得原式的值.

解:3-4巨)+(4)=3-4名)X(-24)=-16+18-21=-19.

'348,'24,匕481

所以原式=-°.

19

2

根据阅读材料提供的方法,完成下面的计算:(一打《[之二+2+(4)x(_6)].

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