圆与直线综合-2025年高考数学一轮复习知识清单（解析版）

专题21圆与直线综合

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目录

题型一：点与圆的位置............................................................................1

题型二：圆轨迹方程及阿圆........................................................................4

题型三：两圆位置关系............................................................................6

题型四：两圆公共弦及公切线......................................................................8

题型五：到直线距离定值的圆上点.................................................................11

题型六：圆与直线：弦心距最值范围...............................................................13

题型七：圆与直线：弦心角型范围.................................................................16

题型八：圆与直线：弦三角形面积范围.............................................................18

题型九：折线系数不同型“将军饮马”.............................................................21

题型十：圆切线：切线长范围.....................................................................25

题型十一：圆切线：切点弦方程...................................................................28

题型十二：圆切线：切点三角形、四边形最值.......................................................31

题型十三：圆切线：切点弦求参范围...............................................................37

题型十四：圆切线：角度范围最值.................................................................41

题型十五：圆切线：三角型旋转切线...............................................................43

题型十六：圆过定点............................................................................46

^突围・错;住蝗分

题型一：点与圆的位置

:指I点I迷I津

；圆的标准方程（元—〃）2+。一份2=/,一般方程/+'2+m+舒+/=0,点MQo，州），则有：

（1）点在圆上：（X0—〃）2+（yo一份2=\,xo2+yo2+£＞xo+Eyo+F=O；

（2）点在圆外：（XQ—4）2+（yo—。）2＞d,x^+yo^+Dxo+Eyo+FX）；

22

〕（3）点在圆内：（的一02+（%—力2＜凡xo+yo+£＞xo+Eyo+F＜O.

；容易错误的点：

U:一——定——要——把—圆——配——成——标—准——形——式——，—保——证——右——边—是——正——数——（—半—径——平——方—有——意——义——）—————————————————————————————

1.（24-25•江西•模拟）若点尸（-1,2）在圆。：f+y2+x+y+加=0的外部，则加的取值可能为（）

A.5B.1C.-4D.-7

［答案］c

【彳析】根据点在圆外及方程表示圆求出机的范围得解.

【详解】因为点尸（Ta）在圆Cf+y2+%+y+根=0的外部，

所以（—1）2+22—1+2+加＞0,解得机＞-6,

又方程表示圆，则1+1-4帆＞0,即机＜匕

2

所以-6〈根＜工，结合选项可知，加的取值可以为-4.

2

故选：C

2.（24-25•河北唐山•模拟）已知圆C的方程为％2+,2一2次x+4ey+5疗-3根+3=0,若点（1,一2m）在圆外,

则加的取值范围是（）

A.（^»,l）L（4,+oo）B.（0,+e）

C.（1,4）D.（4,4W）

【答案】D

【分析】化简得到圆的标准方程为（元-m）2+（丁+2根）2=3m-3,根据题意，列出不等式，即可求解.

【详解】由圆C的方程为兀2+/一2烟+4ky+5加2一3机+3=。,

可得圆的标准方程为（工-根）2+（y+2加产=3m-3,所以3机・3>0,解得相>1,

因为点（1,一2祇）在圆外，可得（1-加尸+（-2加+2机尸>3m-3,

整理得加之一5m+4>0,角军得机>4或m<1,

综上可得，实数相的取值范围是（4,内）.

故选：D.

3.（24-25,浙江•模拟）已知点尸（0,2）关于直线％-y+l=0对称的点。在圆C：¥十丁加=。外，则实数

机的取值范围是（）

A.m>—4B.m<lC.-4<m<1D.机<-4或m>1

【答案】C

【分析】设。（。力），利用点关于线对称列方程求得。坐标，代入圆方程得出不等式计算即可.

【详解】设点尸（。,2）关于直线%—y+l=0对称的点。（。力），贝Ib+2，解得，=1/=1.

因为。（1』）在。外，所以1+1+2+w>0,可得加>—4

且+y2+2犬+加=0表示圆可得4+0—4机>0,即得用<1

综上可得-4V机V1.

故选：C.

4.（24-25•江苏南京•模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C:（x-2m-l）2+（y-m-l）2=4m2（m^0）则

下列说法正确的是（）

A.存在圆。经过原点

B.存在圆C,其所有点均在第一象限

C.存在定直线/,被圆。截得的弦长为定值

D.所有动圆。有两条公切线

【答案】ABD

【分析】对于A选项：将（0,0）代入圆C方程，求得加，即可判断;

2m+1>0

m+1>0

对于B选项：根据圆C所有点均在第一象限得到2m+l>2|m|,即可判断;

m+1>2|m|

机w0

对于C选项：当定直线/的斜率存在，设直线/：y=kx+b,当定直线/的斜率不存在，设直线=由

垂径定理和勾股定理得到弦长L,要使弦长L为定值，则弦长L与加无关，得到关于左和6的方程组，即可

求解；

对于D选项：求出所有动圆C的公切线，即可求解.

【详解】对于A选项：若圆。经过原点，则（0—2机—1）2+（0—机—1）2=4/，

化简得：m2+6m+2=0»解得：m=-3±V7，

所以当相=-3±J7时，圆。经过原点，所以A选项正确；

对于B选项：由题意得圆C的圆心。（2机+1,m+1）,半径厂=2同（m^O）,

1

m>——

2m+1>02

m>-1

m+1>0

1,即一工＜加＜且相。所以当

若圆。上的所有点均在第一象限，贝IJ2m+l>2|m|,解得：,m>——10,

4

m+1>2|m|4

1

——<m<1

m03

mwO

mG时，圆C上的所有点均在第一象限，所以B选项正确;

对于C选项：当定直线/的斜率存在，设存在定直线/：y=kx+b,被圆C截得的弦长为定值,

则圆心。（2加+1,加+1）到直线I的距离d=-----』一——』一L

则弦长-24^-2、而(4疝+强+1产+。-*以+2左(2〃?+1)9-*1)

-vF+1

(4k+3)irT+(-4k23*+6k-4bk+2b-2)m+(-k2+2k-2bk-b2+2b-l)

即L=2

k2+l

%」

3+4左=0刀,口4

要使弦长L为定值，则弦长工与加无关，所以-4k2+6k-4bk+2b-2=0f解付：K

b=L

4

此时弦长L-2产+21+五=0,不存在定直线/：y=kx+b,被圆C截得的弦长为定值,

V%+1

当定直线/的斜率不存在，设直线/：X=t,则圆心。（2〃2+1,7〃+1）到直线/的距离[=|2"+1-/

所以弦长L=2,户—屋=2{4病_（2m+]—）2=J_4（T）〃L（1T）2,要使弦长L为定值，则弦长L与加无

关，BPr=l,此时弦长L=0,综上：不存在定直线/,被圆C截得的弦长为定值，所以C选项错误；

对于D选项：若所有动圆C存在公切线，当切线斜率不存在时，x=l满足题意；

切线斜率存在时，且圆心C到它的距离等于半径，结合C选项的证明可得：d=r,即

+[4k2+4bk-6k-2.b+i)m+^k2+2bk-2k+b2-1b+i)=0,

―[*_3=0~一

若所有动圆C存在公切线，则上式对V/neR恒成立，则，门°…解得：,

4左+4。左一6左一26+2=077

[4

止匕时/一26左一2左+。2-26+1=0,

37

综上：所有动圆C存在公切线，其方程为y=+—或x=l,所以D选项正确,

44

故选:ABD.

【点睛】关键点点睛：求出弦长及公切线的关键点是应用点到直线距离公式.

5.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）点尸（1,-。）关于直线彳-＞=。的对称点在圆0-2）2+0-4）2=13内，则实

数。的取值范围是.

【答案】（-4,0）

【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点。的坐标，结合点。在已知圆的内部，建立关于。的不等

式，解出实数。的取值范围.

m+1n-a八

-----------=0

22m=—a/、

【详解】设。(牡〃)与尸(L-。)关于直线x-y=O对称，则<，解得,,即0(—4,1),

-a-nn=l

-----=—1

1—m

因为0(-。,1)在圆(x-2)2+(y-4)2=13的内部,

所以(-"2>+(1-4)2<13,解得-4<a<0,即实数。的取值范围是㈠⑼.

故答案为：(-4,0).

题型二：圆轨迹方程及阿圆

指I点I迷I津

已知平面上两点A、B,则所有满足PA/PB=k,且K不等于1的点P的轨迹，是一个圆心

在A、B两个点的所在直线上的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称

作阿氏圆

即PA=KPB,k不等于1,则P点轨迹是一个圆，可直接设点推导

1.(24-25•江苏盐城•模拟)已知圆C:x2+y2+6尤-4y+9=0,A是圆C上一动点，点3(3,0),M^为线段AB的

中点，则动点M的轨迹方程为()

A.x2+(y-l)2=4B.x2+(y-2)2=1

C.x2+(j-l)2=1D.(x-l)2+y2=1

【答案】C

【分析】令"(x，y),由题设得A(2x-3,2y),代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程；

【详解】解：设M(x,y),为线段A3的中点，B(3,0),：.A(2x-3,2y),

而A是圆C上一动点，故(2x-3)2+4/+6(2尤一3)-8、+9=0,整理得：x2+y2-2y=Q,

即Y+⑶-ip=1,故动点M的轨迹方程为x2+(j-l)2=1.故选:C.

2.(24-25•辽宁沈阳•模拟)在VABC中，点8(-2,0),点C(2,0),点A满足寥=0,则VABC面积的最

大值为()

A.4点B.8A/2C.4A/6D.8面

【答案】B

【分析】设A(x,y),根据廛=3,得到方程，求出点A的轨迹为以(6,0)为圆心，4应为半径的圆(除

去与X轴的两个交点)，数形结合得到点A到直线BC的距离最大值为40,求出面积的最大值.

【详解】设A(x,y)，则I=J(x+2[+y2,gq=1-2,

由器=3得J(x+2)1=&J(x—2『+y2，化简得(^-6)2+/=32,

故点A的轨迹为以(6,0)为圆心，4夜为半径的圆(除去与天轴的两个交点)，

故点A到直线BC的距离最大值为4应，故VMC面积的最大值为g忸。-4亚=)x4x4夜=8近.故选：B

3.(24-25・湖南郴州•模拟)已知线段AB的端点8的坐标是(3,4),端点A在圆(x-l)。+(y-2『=4上运动,

则线段48的中点尸的轨迹方程为()

A.(X-2)?+(y-3)~=2B.(x-2/+(y-3y=1

C.(x-3)2+(y-4)2=lD.(x-5)2+(y-5)2=2

【答案】B

【分析】设出动点尸和动点A的坐标，找到动点尸和动点A坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.

【详解】设尸(x,y),A5,％),由中点坐标公式得x=,

所以玉=2x—3,%=2y-4,故A(2x-3,2y-4),因为A在圆(x-lj+(y-2『=4上运动，

所以(2x-3-iy+(2y-4-2)2=4,化简得(x-2『+(y-3『=1,故B正确.故选：B

4.(24-25•黑龙江佳木斯•模拟)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了

众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世

把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中4(-2,0),3(2,0),满足1PH=2|尸耳的点尸的轨迹为C,则

下列结论正确的是()

A.点尸的轨迹是以C(T，o]为圆心，,=|为半径的圆

B.轨迹C上的点到直线3尤-4y+5=0的最小距离为-

2

C.若点(x,y)在轨迹C上，则x+石y的最小值是-2

D.圆Y+(y-a)2=4与轨迹C有公共点，贝ij“的取值范围是一Wiga4地

33

【答案】ACD

【分析】利用两点距离公式计算可判定A,利用直线与圆的位置关系可判定B、C,利用两圆的位置关系可

判定D.

【详解】设PQ,y),由阿=2|PB|n(x+2)2+y2=4[(x_2)2+y2],

整理得卜-噂+好碎，显然点尸的轨迹是以为圆心，r=|为半径的圆，

故A正确；

圆心C*,o]到直线3x-4y+5=0的距离,3义二一0+58；

<3)a=-----------=3>r=—

53

Q1

所以轨迹C上的点到直线3%-4y+5=0的最小距离为d--=3-故B错误；

八八、|10」

设，=x+易知圆心至U直线1=尤+J5y的距离[_|3|u0g一，一026],故C正确；

3

5.（24-25•重庆•模拟）已知点A（O,1）,B（0,-l）,C（0,-2）,动点P满足：IPA|+1尸81=10,且%122,

I尸A|

则点尸的轨迹长度为.

【答案】0

【分析】分别求出两种条件下动点P满足的轨迹方程，再结合图形即可求解.

【详解】因为|咫+|P8|=10>|AB|=2,所以动点尸的轨迹为椭圆，且2“=10,c=l,则。=5,c=l,所以

22

°2=25一」24,所以满足|PA|+|PB|=10的动点尸的轨迹方程为工+工=1.

2425

22

IPCIJx+（y+2）9

设P（x,y）,由丁工石之2,得、I22,整理得％2+y2_4y<0,即公+仆一？）<4,

川J-+「-1）2

所以满足当122的动点P的轨迹在以（0,2）为圆心，以2为半径的圆上及圆的内部，且不过（0,1）点.

I尸A|

如图，动点尸的两种轨迹没有交点，则动点尸的轨迹不存在，因此点尸的轨迹长度为0.

故答案为：0.

题型三：两圆位置关系

指I点I迷I津

两圆的位置关系应考虑圆心距ICC21和两圆的半径之间的关系：

回两圆外离，|C；C2\>rv+r2

团两圆外切，贝UlGGI=z；+u；

团两圆相交，则|彳一马|<202|<4+勺

回两圆内切,则|GC2H

团两圆内含，则|GG|>h-引.

1.（24-25-江苏扬州,模拟）若圆M:（尤-cos。）？+（y-sin02=1（0<0<2兀）与圆N:尤？+y?-2x-4y=0交于

A、B两点,贝han—4VB的最大值为（）

344

A.-B.—C.-D.-

4553

【答案】D

【分析】分析出圆M与圆N的公共弦AB,满足当M的坐标为（1,0）时，|蝴=2,利用余弦定理

3

计算可得cosZAJVBNg，由余弦函数的单调性确定N/WB最大，即为tanN/WB最大，计算即可得出结果.

【详解】Y+y2-2x-4y=0可化为（了-1）2+（、-2）2=5,故圆N的圆心为（1,2）,半径为百，

由题意可知：A3为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1,

所以|用《2且故|AB|V2,当M的坐标为（1,0）时，|明=2,

在；MW中，cosNANB=N**.一.J0-AB-二,又/4A®e[0,兀],y=cosx在无©0,g上单调

2NA-NB105L」12」

3，兀兀、

递减，故Z/WB为锐角，且当COSZAA«=M时，ZAA®最大，又V=tanx在xe[-万,]J上单调递增，

4

所以当ZAA8最大时，tan//WB取得最大值，且最大值为§.故选：D

2.（24-25•全国•模拟）已知圆M是与直线，：x+y-4=0,圆C:/+/-16x-12y+82=0都相切的半径最小

的圆，则圆M的半径和圆心坐标分别是（）

A.V2;（3,l）B,V3;（4,2）C.石;（3,1）D.0;（4,2）

[答案]D

【5析】根据题意做出垂线，得到垂线方程，后依据题意求出新圆的半径，再建立方程组求出圆心即可.

【详解】由题意得圆C的标准方程为（x-8）2+（y-6）2=18,所以半径为3立，

如图，过圆心C（8,6）作直线/的垂线，由题意得垂线斜率为1,

故设其方程为y=x+6,将（8,6）带入其中,

可得6=8+/?,解得。=-2,所以垂线方程为y=x—2,因为求半径最小的圆，所以圆A7的圆心在直线y-x—2

上，而圆心C到直线/的距离为d=母二=5&>30,故圆M的半径为r=m二逑=应，

V1+12

n=m-2

=4

设圆心已知<悔+〃一4|S解得,即圆心M（4,2）,故D正确.故选：D

〃二，

3.（2024・海南•模拟预测）已知点M,N在圆O:*+y2=4上，点尸（6+2cose,2sin。），6eR,则使得.PAW

是面积为3坦的等边三角形的点尸的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由面积公式先得"N长，根据正三角形与圆的对称性判定。、P、E三点共线，再根据两圆的位置

关系判定即可.

【详解】设中点为E,由正三角形面积公式可知¥|MN『=34=|知叫=2若，

由正三角形及圆的对称性可知则O、p、E三点共线，

而卜号1退=3,|0目="b=1,因为尸（6+2cos6,2sin，），所以尸在以A（6,0）为圆心，2为半径的圆

上，由圆的位置关系可知"£1逅=3,当且仅当尸（4,0）时取得，此时E（l,0）,

即满足条件的点p只有一个.故选:

4.（24-25・江苏常州・模拟）已知直线［：~+常=1,圆O］：x2+y2=i,圆Q：(x-a)~+(y-6)~=1,a,6eR.

则下列说法正确的有（）

A.若圆心。2在直线/上，则直线/与圆a相切

B.若圆心。2在圆。।内，则直线/与圆。|相离

C.若直线/与圆。］相切，则圆0］与圆。2相切

D.若直线/与圆。|相交，则圆心。2在圆。的卜

【答案】ABD

【分析】根据两圆标准方程可得两圆圆心以及两圆的半径，根据点与圆、直线与圆的位置关系由点到直线

的距离公式计算对选项逐一进行判断，即可得出结论.

【详解】对于A,易知圆心Q（0,0）,半径4=1,圆心QS，b），半径为2=1；

若圆心。2在直线/上，可得/+〃=1；此时圆心Q（0,0）到直线I的距离为d=甘［=4=1，与半径相等，

即直线/与圆a相切，即A正确;

对于B,若圆心。2在圆。1内可得"+从<1,

此时圆心q（o,o）到直线/的距离为d=>』,即直线/与圆Q相离，即B正确；

1-11

对于c,若直线/与圆。|相切可得巧=J।={=1,即4+〃=i,

yjcr+b1

此时圆。1与圆。2的两圆心距为口勾=”。-0）2+伍-0）2=1，满足卜-4<iQQl<n+r2,此时两圆相交，

即C错误；

1-11

对于D,若直线/与圆。|相交，可得d=/「，<1=4,可得4+〃>1；

则可得圆心Q（a,b）在圆Q：尤2+V=l外，即D正确.故选：ABD

5.（24-25・天津•模拟）在平面直角坐标系尤0y中，若圆G：（x-2『+（y-l）2=l上存在点尸，且点尸关于直线

x+>=0的对称点。在圆C?:（x+2）2+丁=/什>o）上，则厂的取值范围是.

【答案】［遥一1,岔+1］

【分析】求出圆关于直线x+y=0的对称圆G的圆心和半径，则将问题转化为a和C?有交点即可，由圆

和圆的位置关系的相关知识即可求解.

【详解】圆£:（彳一2）2+（丫_1）2=1的圆心为。［（2,1）,半径为1,

它关于直线x+y=0的对称圆C3的圆心为C3（T-2）,半径仍然为1,

22

圆C2：（x+2）2+y2=户（r>0）的圆心为C2（-2,0）,半径为r,|C2C31=^（-1+2）+（-2-0）=75,

由题意得『一1区石4%+1|,解得逐-有+1.故答案为：［6一1,6+1］

题型四：两圆公共弦及公切线

指I点I迷I津

公共弦直线：当两圆相交时，两圆方程a2,V项系数相同）相减便可得公共弦所在直线的方程.

1.（24-25•全国•模拟）已知圆a：（x-iy+_/=4与圆Q:x2+V_4x+2y+3=0交于两点，贝1」|人用=（）

A.72B.2夜C.3近D.472

【答案】B

【分析】两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，利用垂径定理可求得结果.

【详解】两圆方程作差可得直线48的方程为：2x-2y-6=0,即尤-y-3=0；

由圆。।方程可得其圆心Q（1,0）,半径r=2,

h-Q-3|广_______________

.•.&到直线AB的距离d=J—1=6,:.\AB\=2y/r2-d2=242.

故选：B.

2.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知圆G：Y+y2=4,圆C2：/+/—以-4y+4=0,两圆的公共弦所

在直线方程是（）

A.x+y+2=0B.x+y—2=0C.x+y+l=0D.犬+y—1=0

【答案】B

【4析】两圆方程作差即可.

【详解】由圆G：Y+V=4,圆：尤之+y之—4x—4-y+4=0,

两式作差得，4%+4y-4=4,即％+y—2=0,所以两圆的公共弦所在直线方程是％+y-2=0.故选：B.

3.（24-25・湖南•模拟）圆C|：（x+l）2+（y+2）2=l与圆C2：（尤-21+（^-2）?=4的内公切线长为（）

A.3B.5C.726D.4

【答案】D

【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为y轴，求公切线的长即可.

【详解】如图:由图可知圆G与圆c2的内公切线有一条为y轴,

则公切线的长为|4阴=4,方法二：|C£|=J（2+1）2+（2+2『=5,所以内公切线的长为:

J|CC『-（2+1）2=:25-9=4故选:D

4.（24-25•重庆•开学考试）已知圆G：f+y2=l,C2：（x—3）2+。-3）2=/（厂＞0）,则下列说法正确的是（）

A.当r=l时，圆G与圆C?有2条公切线

B.当厂=2时，＞=1是圆C|与圆g的一条公切线

C.当r=3时，圆C1与圆g相交

D.当r=4时，圆G与圆G的公共弦所在直线的方程为y=-x+g

【答案】BD

【分析】由两圆的标准方程可得它们的圆心和半径，再根据圆心距与半径的关系判断出两圆的位置关系，

即可得出公切线条数，可判断AC错误；利用圆心到直线的距离与半径的关系可得B正确，将两圆方程相减

可得它们的公共弦所在直线的方程为y=+即D正确.

【详解】由G：x2+y2=l可知圆心为c10,0）,半径为1；

由G：（X-3）2+（y—3）2=产&>0）可知圆心为（3,3）,半径为r,两圆圆心距为|C©|=3&;

对于A,当厂=1时，r+l=2<|GG|=3板，圆C1与圆Q相离，有4条公切线，所以A错误；

对于B,当厂=2时;y=l与圆G相切，圆心C?（3,3）到y=l的距离为2,即y=l与圆G也相切,

所以y=i是圆G与圆G的一条公切线，即B正确；

对于C,当r=3时，r+l=4<|C1C2|=35/2,圆C1与圆Q相离，即C错误；

对于D,当r=4时，r-l=3<|C1C2|=3V2<r+l=5,此时两圆相交，

圆Q的一般方程为d+V-6x-6y+2=0,与圆G的方程相减可得2x+2y-l=0,

化简可得圆G与圆G的公共弦所在直线的方程为y=T+g,即D正确.

故选：BD

5.（24-25•山东潍坊•模拟）梵高《星月夜》用夸张的手法描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半

径为1的圆。的一段圆弧E,且弧E所对的圆心角为三.设圆C的圆心C在点。与弧E中点的连线所在直线

上.若存在圆C满足：弧E上存在四点满足过这四点作圆。的切线，这四条切线与圆C也相切，则弧E上的

点与圆C上的点的最短距离的取值范围为.

【答案】（0,君）

冗

【分析】由题意可知圆与圆相离，由弧E所对的圆心角为4桑，分析两圆的外公切线与内公切线及圆心C的

变化位置，通过构造法求出cos如二叵口，分析计算可得弧E上的点与圆。上的点的最短距离.

54

TT27r

【详解】如图，构造等腰三角形A3C,其中顶角NB4C='，则NA3C=NC=g,

A

/\\E过B作，ABC的角平分线8E交AC于E,则/£BC=W，/BEC=NC=g.

0Dc

故VABC与VBEC相似，不妨设=EC=x,则3E=AE=3C=2,AB^AC^2+x,

贝4半=空，即2?=（x+2）x,由x>0,解得了=6-1,则A3=6+1,贝lJcos@=^=）l-=避二1

ABBC5ABV5+14

由题意，弧E上存在四点满足过这四点作圆。的切线，这四条切线与圆C也相切，则圆。与圆C有4条公

切线，即两圆相离，且与圆。相切的切点均在弧E上.如图，

设弧E的中点为Af,弧E所对的圆心角为,

圆。的半径10M=1,在弧E上取两点A,B,贝IJNAOBV当，

分别过点A,8作圆。的切线，由对称性可知两切线交直线于同一点，设为。，

当过点A2的切线刚好是圆。与圆C的外公切线时，劣弧上一定还存在点S,T,使过点S,T的切线为两

圆的内公切线，则圆C的圆心C在线段V。上，且不包括端点，即1<|0。<10力-

过点C,分别向AD,即作垂线，垂足为氏尸，则CR即为圆C的半径，由两圆相离可知，0<|CR|<|CO]-1.

设线段OC交圆C于点N,则弧E上的点与圆C上的点的最短距离即为线段的长度.

,,IOAIIOAIIOAIi

\0D\=―!——!——=——I——!——<-I——L=_=75r+1

在RtAOD中，।।cosZAODZAOB-2兀导、~,

cos---------cos-—__i

254

m\MN\=\OC\-\OM\-\CN\=\OC]-1-\C^,i

而0<|0。一1—|CR|<|OD]—1-046+1-1=6.故Ww|e（o,有）即弧E上的点与圆C上的点的最短距离的

取值范围为（0,⑹.故答案为：（0，司.

【点睛】结论点睛：相离的两个圆（圆心分别为。1和。2,半径分别为R和「）上的两个动点之间的距离L的

最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径和，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径和，即

411n=IQQ|-RT，%=laQl+R+r.

题型五：到直线距离定值的圆上点

指I点I迷I津

解决圆上点到直线距离为定值的点的个数，可以以下几个图形来理解和计算.注意，不同的数据，图形会

有出入，思维不变。

1.（24-25•全国•模拟）若圆C：（x-ay+（y-a）2=8上总存在两个点到原点的距离均为后，则实数。的取

值范围是（）

A.(-3,60,3)B.(-3,3)

C.[-1,1]D.(―3,-1]u[1,3)

【答案】A

【分析】将问题转化为圆与圆的位置关系问题，再求解参数即可.

【详解】到原点的距离为拒的点的轨迹为圆：%2+/=2,

因此圆C：（x-a）2+（y-a）2=8上总存在两个点到原点的距离均为血，

转化为圆C|：/+）?=2与圆0（了一0）2+（丫-0）2=8有两个交点，

因为两圆的圆心和半径分别为6（0,0）,[0,C（a,a）,r=2y/2,

所以厂一”<|GC|<6+r,故血（也问<3后，解得-3<a<-l或l<a<3,

故实数a的取值范围是（-3,-1）。。，3）,故A正确.故选：A

2.（22-23高三•安徽滁州•模拟）如果圆（尤-a）2+（y-a）2=l（a＞0）上总存在点到原点的距离为3,则实数。

的取值范围为

A.[V2,2]B.[A/2,2A/2]C.D.[1,2回

【答案】B一一一

【分析】将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案.

【详解】（x-a）2+（y-a）2=l（a＞0）,圆心为（。,。）半径为1圆心到原点的距离为：拒a

如果圆（彳-a）2+（了-a）2=1（。＞0）上总存在点到原点的距离为3即圆心到原点的距离€[2,4]

即2＜缶＜4n忘4a42&故答案选B

【点睛】本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键.

3.（21-22高三•四川成都•模拟）若圆/+y2一以-4.丫-10=0上至少有三个不同的点到直线/：依+勿=。的距

离为20，则直线/的倾斜角的范围是（）

71、兀、

A.r——，——

1212

【答案】A

【分析】根据题意分析可得圆心到直线/的距离小于等于祀,再根据圆心到直线的距离列不等式求解直线/

的斜率，进而求得倾斜角的范围即可.

【详解】将圆方程化为（x-2y+（y-2）2=18,圆心（2,2）泮径3立,设直线/："+外=0的斜率为鼠即直线/过

原点.可得原问题等价于圆心到直线/的距离小于等于血.

所以%也解得2-厉父＜2+口倾斜角取值范围为低，吗.故选：A

J1+左2L1212」

【点睛】主要考查了直线与圆的位置关系的运用，需要根据题意分析圆心到直线的距离的关系,属于中档题.

4.（2023•山西・模拟预测）已知圆C:d+（y—1）2=1,点。为直线/:依+y-203=。上的动点，则下列说法

正确的是（）

A.圆心C到直线/的最大距离为8

B.若直线/平分圆C的周长，则左=-1__

C.若圆C上至少有三个点到直线/的距离为工，则一16一后＜一16+商

21515

D.若左=1,过点。作圆C的两条切线，切点为A,B,当点。坐标为（2,3）时，有最大值

【答案】BD

【分析】由圆C:Y+（y_iy=i,知圆心以0,1）,半径厂=1,由直线过圆心可求左，从而判断B；

/:日+、-2左-3=。恒过定点r（2,3）,可求点C到直线/的最大距离，判断A；由已知圆心到直线的距离dW；,

r1

可求上的范围判断C；利用sinNAQC=^=同,从而可求IQC|最小时。的位置判断D.

【详解】由圆C:1+（y—1『=1,知圆心C（0,l）,半径r=1,

对于A,直线/：丘+y-2左-3=0恒过定点尸（2,3）,.•.点C到直线/的最大距离为|尸（?|=而=2&,故人不正确；

对于B,直线/平分圆C的周长，则直线过圆心C,1-2后-3=0,解得上=一1,故B正确；

对于c,若圆c上至少有三个点到直线/的距离为;，则圆心到直线的距离dV；,

J”片丁号,解得T6-6Tw-16+6T,故c错误；

〃-+121515

r1

对于D,NAQB=2NAQC,要使NAQ3最大，只