浙教版八年级数学上册专项训练：一次函数应用题

专题5.1一次函数应用题专项讲练

一次函数应用题在北师大版八年级上册中属于必考题。常分为行程类问题、图象类方案选择问题、最

优方案问题，该文对这几类问题进行方法总结与经典题型进行分类。

题型1.行程类问题

1）纵坐标表示行驶路程

1.一般该类型x代表时间，y代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义；

2.直线中代卜行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点；4.两人间的距离=＞上-y下.

2）纵坐标表示两者之间的距离

1.一般该类型X代表时间，y代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义；

2.①当两人同向行驶时，网=速度差；②当两人相向行驶时，网=速度和；

3.x轴上的点为两人的相遇点；4.两人间的距离=y.

例1.（2022.安徽八年级期中）如图，A,8两地相距240km,甲骑摩托车由A地驶往B地，出发1小时后，

乙驾驶汽车由8地驶往A地，乙达到A地停留1小时后，按原路原速返回8地，恰好与甲同时到达8地,

乙行驶过程中两人均匀速行驶，甲乙两人离各自出发点的路程y（km）与乙所用时间x（h）的关系如图，

结合图象回答，当两人之间相距120km时，x=.

变式1.（2022・广西横县•八年级期末）图中表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中路程〉（千米）随时

间x（分）变化的图象，从图中可知比赛开始分钟后两人第一次相遇.

015334348彳（分）

变式2.（2022•湖南绥宁•八年级期末）甲、乙两车从A地驶向8地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙

车早行驶2h,并且甲车途中休息了0.5h,如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间尤（h）的函数图象，

有以下结论：©m=l；②cz=40；③甲车从A地到B地共用了6.5小时；④当两车相距50km时，乙车用时

变式3.（2022•包河区期中）某天中午，小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文

具店购买文具（购买文具时间忽略不计），然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校.小

明、小亮两人离文具店的路程yi、y2（单位：米）与出发时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示.

（1）学校和文具店之间的路程是一米，小亮的速度是小明速度的一倍；

（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；

（3）小明与小亮迎面相遇以后，再经过多长时间两人相距20米？

例2.（2022.安徽淮北.八年级月考）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m,先

到终点的人原地休息.已知甲先出发2s.在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）与乙出发的时间才

（s）之间的关系如图所示，给出以下结论：①。=8；②b=92；③c=123.其中正确结论的个数是（）

y/m

b.......................»

8

100ct/s

A.0个B.1个C.2个D.3个

变式1.（2022•南关区一模）已知A,B两地之间有一条长240千米的公路.甲车从A地出发匀速开往B地，

甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地.两

车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：

（1）甲车的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时，m=.（2）求乙车返回过程中，y与x

之间的函数关系式.（3）当甲、乙两车相距160千米时，直接写出甲车的行驶时间.

M程）

变式2.（2022•安徽二模）小华与小明分别从甲，乙两地同时出发，沿一条笔直的人行步道相向而行，两人

分别到达乙，甲两地后立即原路返回，当两人第二次相遇时停止运动.两人步行过程中速度保持不变，且

小华的速度大于小明的速度；两人之间的距离y（单位：米）与所用时间x（单位：分钟）之间函数关系的

部分图象如图所示，请结合图象完成下列问题：（1）求两名同学的速度分别是多少？（2）请直接写出线段

AB所在直线的函数关系式；（3）请在图中补全图象，并在图上标出补充图象的端点坐标.（不必写计算过

1220x

题型2.图象类方案选择问题

例1.（2022•深圳期中）某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种

无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分）与费用y（元）之间的函数关系如图所示.

（1）有月租的收费方式是—（填“①”或“②”），月租费是一元.

（2）分别写出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式：①—；②—.

（3）当通讯时间是多少分钟时，两种收费方式的费用一样？

（4）如果某用户一个月通讯时间是350分钟，请说明应该选择哪种收费方式更经济实惠.

。|100200300400500*（分钟）

变式1.（2022•驻马店二模）2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染

治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级红星塑料有限公司经过市场研究购进一批A

型可降解聚乳酸吸管和一批B型可降解纸吸管生产设备.已知购买5台A型设备和3台B型设备共需130

万元，购买1台A型设备的费用恰好可购买2台B型设备.

（1）求两种设备的价格.（2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）

的关系（如yi所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如y2所示）.

①yi的解析式为—；y2的解析式为—.②当销售量（x）满足条件—时，该公司盈利（即收入大

于成本）.（3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中A型设备每天生产

量为1.2吨，B型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出.为保证公司每天都达到盈利状态，

结合市场开发部门提供的信息，求出A型设备至少需要购进多少台？

变式2.（2022•梁园区二模）某校八年级（2）班50位同学准备在五一当天利用班费集体去本地某游乐园游

玩，经了解，该游乐园票价为200元/人，但对学生门票价格实行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，

10人以下（包括10人）不打折.10人以上超过10人的部分打b折，班委会进行了统计，设学生为x人,

门票费用为y元，非节假日门票费用yi（元）及节假日门票费用y2（元）与学生x（人）之间的函数关系

如图所示.（1）a=,b=；（2）直接写出yi、y2与x之间的函数关系式；

（3）后来，由于五一当天部分同学家中有事不能前去游玩，只能安排这些同学在暑假中（非节假日）游玩，

该班的班费不超过5440元，且全部用到了门票上，则五一当天至少有多少同学未能去游玩？

例2.（2022•山东德州初二期中）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、

乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：

甲林场乙林场

购树苗数量销售单价购树苗数量

销售单价

不超过1000棵时4元/棵不超过2000棵时4元/棵

超过1000棵的部分3.8元/棵超过2000棵的部分3.6元/棵

设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元）、y乙（元）.（1）该村需要购买1500棵白杨

树苗，若都在甲林场购买所需费用为元，若都在乙林场购买所需费用为元；（2）分别求出y

用、yz与x之间的函数关系式；（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？

变式1.（2022・湖北江汉•八年级期末）经过武汉人民的不懈努力，新冠疫情已得到有效控制，在武汉市全面

复工复产的过程中，专家建议要定期对办公场所进行消毒杀菌（简称“消杀”），现有A,B,C三个公司针对

中小企业开展消杀业务，价格如下：

公司器材租赁费（单位：元）人工费用（单位：元/平方米）

A00.5

B400.3

C2980

（1）设某办公场所需要消杀的面积为x平方米（0〈烂1000）,公司A,8的收费金额》,以都是x的函数，

则这两个函数的解析式分别是,.

若选择公司A最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为；

若选择公司B最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为；

若选择公司C最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为.

（2）A公司为了开拓市场推出了以下优惠活动：前a平方米按原价收费，超过的部分半价优惠，经过价格

比较：消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，

试根据以上信息，求a的取值范围.

变式2.（2022・河南•八年级期中）国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板

一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价

为2000元.（1）设参加旅游的员工人数为x,甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两

个旅行社收费的表达式；（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？（3）员工人数为多少时，两家旅行

社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结

果）.

题型3最优方案问题

解题步骤：1.将需求最值对象表示成一次函数；

2.利用题中条件求出自变量的取值范围；

3.利用一次函数的增减性求出y的最值，并找出最优方案。

例1.（2022•新城区校级期末）今年是中国共产党成立100周年，全国上下掀起了学习党史的热潮.某书店

为了满足广大读者的阅读需求，准备购进A、B两种党史学习书籍.已知购进A、B两种书各1本需86元，

购进A种书5本、B种书2本需340元.（1）求A、B两种书的进价；（2）书店决定A种书以每本80元出

售，B种书以每本58元出售，为满足市场需求，现书店准备购进A、B两种书共100本，且A种书的数量

不少于B种书数量的3倍，请问书店老板如何进货，可获利最大？并求出最大利润.

变式1.（2022•成都西川中学九年级月考）为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色

袋装食品.其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：

甲乙

进价（元/袋）mm-2

售价（元/袋）2013

已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同.（1）求m的值.（2）

要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共80。袋的总利润（利润=售价一进价）不少于5200元，且不超5230

元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围.（3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种袋装食品进行

优惠促销活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠。（2<a<7）元出售，乙种袋装食品价格不变.那么该超市

要获得最大利润应如何进货？

变式2.（2022•南阳模拟）为了保障羊肉正常供应，某畜牧集团的A,B两个养殖场共出栏肥羊2000只，B

养殖场的肥羊数量是A养殖场的2倍少400只.这批肥羊将运往甲地1300只，乙地700只，运费如下表（单

位：元/只）.

养殖场AB

目的地

甲2518

乙2024

（1）求A,B养殖场各出栏多少只肥羊？（2）设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只（100<x<700）,全部

运往甲、乙两地的总费用为y元，求y与x的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每只

肥羊的运费下降a元（0<aW8且a为整数）时，按（2）中设计的调运方案，总运费不超过30000元，求a

的最小值.

例2.（2022•潼南区期末）洪水无情，人有情，依靠政府战灾情.202特大洪水虽然给我区人民造成极大损

失，但全区人民在区政府的领导之下，老百姓相互支持，很快恢复生产，并喜获丰收.2020年下半年，桂林

坝某农户种植基地收获萝卜192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销.该基地用大、小两种货车共

18辆恰好能一次性运完这批萝卜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的

运费如下表：

车型运费

运往甲地/（元/辆）运往乙地/（元/辆）

大货车720800

小货车500650

（1）求这两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的

大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的

萝卜不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费.

变式1.（2022•枣阳市模拟）为推进美丽乡村建设，改善人居环境，创建美丽家园.我市甲、乙两工厂积极

生产了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少100吨，这批建设物资将运往A地420

吨，B地380吨，运费如表：（单位：元/吨）

目的地AB

生产厂

甲2520

乙1524

（1）求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？（2）设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A,

B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案;

（3）由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（0<mW15）,

其余路线运费不变.若到A,B两市的总运费的最小值不小于14020元，求m的取值范围.

变式2.（2022•成都市八年级课时练习）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6

名教师集体外出活动、每辆汽车上至少要有1名教师.

现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.

甲种客车乙种客车

载客量（人/辆）4530

租金（元/辆）400280

（1）共需租多少辆汽车？（2）给出最节省费用的租车方案

分析：（1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下要求：

①要保证210名师生都有车坐；②要使每辆汽车上至少要有1名教师.

根据①可知，汽车总数不能小于;根据②可知，汽车总数不能大于.综合起来可知汽车总数

为.（2）租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当汽车总数。确定后，在满足各项要求的前提

下.尽可能少地租用甲种客车可以节省费用.

设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x的函数，即y=400x+280（，-x）.

将（1）中确定的。的值代入上式，化简这个函数，得>=.

为使240名师生有车坐，x不能小于；为使租车费用不超过2300元，x不能超过.综合起

来可知X的取值为.

在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？试说明理由.

课后专项训练

1.（2022.湖北武汉•八年级期末）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A

地，两车离A地的距离y（单位：km）与所用时间无（单位：min）之间的函数关系如图所示（粗线表示乙

车，细线表示甲车），则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（）

C.11minD.12min

2.（2022•湖北湖北•八年级期末）某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段

时间后，提高了工作效率.该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间f（单位：h）之间的函数

关系如图所示.则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（）

3.（2022•四川.广汉市金轮第一中学九年级期末）和谐号动车刹车后作匀减速运动，速度v（km/min）与刹

车时间r（min）与之间满足关系式v=-,f+5.匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度玉与路程s、时

间f的关系为：s=双动车要准确停站，应在距离站台停止线千米开始刹车.

4.（2022・湖南常德•八年级期末）某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，

每毫升血液中含药量y（微克）随时间X（小时）而变化的情况如图所示.研究表明，当血液中含药量y>5

（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是小时.

AW（微克）

5.（2022.河南许昌•八年级期末）2022年4月7日，许昌市首批新能源出租车上路，新车空间更大，舒适度

更高，受到大众欢迎.新车的收费方式也做了调整，新车的打车费用y（单位：元）与行驶里程无（单位：

千米）的函数关系如图所示.老款出租的收费方式为：不超过2千米收费5元，超过2千米部分收费1.5元

/千米，同时，每次再加收1元的燃料附加费.小明爸爸从家到公司打车上班的行驶里程为22千米，则他上

班乘坐新车的打车费用比老款车多元.

6.（2022・湖北鄂州.八年级期末）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练.在直线跑道上，甲同学从

A处匀速跑向B处，乙同学从2处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动.设甲同

学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中r的值

是.

7.（2022•山东青岛•八年级期末）甲乙两地相距450千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，

如图，折线042表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，线段表示轿

车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，C（1,0）,则在轿车追上货车后至到达乙地前，

当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为小时.

8.（2022・安徽・宣城市七年级期中）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）.

月使用费/元主叫限定时间/分主叫超时费/（元/分）被叫

方式一581500.25免费

方式二883500.19免费

温馨提示：

若选用方式一，

每月固定花费58元，

当主动打出电话月累

计时间不超过150分,

不再额外交费；当超

过150分，超过部分

每分加收0.25元.

设一个月内使用移动电话主叫的时间为/分C为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题:

⑴用含有方的式子填写下表：

r<150150<Z<3501=350Z>350

方式一计费/元58—108—

方拾二计费/元888888—

（2）当f为何值时，两种计费方式的费用相等？

（3）当330<f<360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）.

9.（2022・陕西汉中•八年级期末）学校通过调查发现很多同学非常喜欢羽毛球这项体育活动，决定开展羽毛

球选修课，购进10副某一品牌羽毛球拍，每副球拍配x（x»2）个羽毛球，供应同学们积极参加体育活动•学

校附近有甲、乙两家体育文化用品商场，都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30

元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家商场都有优惠活动：

甲商场：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；乙商场：买一副羽毛球拍送2个羽毛球.

设在甲商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为%（元），在乙商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为%（元）.

请解答下列问题：（1）分别写出X，力与x之间的关系式.（2）若只能在一家超市购买，当x取何值时，在甲

商场购买更划算.（3）若可以同时在两家商场分别购买部分商品，每副球拍配30个羽毛球，则购买费用最少

为多少元？

10.（2022・湖北襄阳•八年级期末）某公司现有一批270吨物资需要运送到A地和B地，公司决定安排大、

小货车共20辆，运送这批物资，每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装

完这批物资，已知这两种货车的运费如下表：

目的地

A地（元/辆）B地（元/辆）

车型

大货车8001000

小货车500600

现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A

地，其余前往8地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元.

（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；

（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值.

11.（2022・福建厦门.八年级期末）厦门市同安区A、B两村生产龙眼，A村生产的龙眼重量为200吨，B村

生产的龙眼重量为300吨.现将这些龙眼运到C、。两个冷藏仓库，已知C仓库可存储240吨，。仓库可存

储260吨；从A村运往C、。两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、。两处的费用分别为每

吨15元和18元设从A村运往C仓库的龙眼重量为x吨，A、8两村运往两仓库的龙眼运输费用的分别为以

元和力元⑴当x为何值时，A村和8村的运输费用相等；（2）考虑到8村的经济承受能力，8村的龙眼运费

不得超过4830元，在这种情况下，请问怎么样调运，才能使两村运费之和最小?求出这个最小值.

12.（2022•江西抚州•八年级期中）为了响应“足球进学校”的号召，某学校准备到体育用品批发市场购买A

型号与B型号两种足球，其中A型号足球的批发价是每个200元，B型号足球的批发价是每个250元，该校

需购买A、8两种型号足球共100个.

（1）若该校购买4B两种型号足球共用了22000元，求购买两种型号足球各多少个？

（2）若该校计划购进A型号足球的数量不多于8型号足球数量的9倍，请问最多能买多少个A型足球？

（3）在（2）的条件下请求出最省钱的购买方案，并说明理由.

13.（2022•河北石家庄•八年级期中）某学校团支部书记暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若团支部

书记买一张全票，则学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都享受六折优惠.”若全票

票价是1200元，设学生人数为x,甲旅行社收费为海、乙旅行社收费y乙.

（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；（2）请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠.

14.（2022・山东济南・中考真题）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗.已知购买20棵甲种

树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元.

（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数

量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由.

15.（2022・河南周口•八年级期末）2022年在北京举行的第24届冬奥会吉祥物“冰墩墩”和第13届冬残奥会

吉祥物“雪容融，，备受广大人民的喜爱，一时撤起了追捧吉祥物的热潮.某商店为了满足广大人民的需要预计

购进两种吉祥物100个.经预算，全部出售后，可获得利润不低于680元，不高于685元.设全部售出后

的总利润为y元，购进“冰墩墩々个.两种吉祥物的成本和售价如表：

类别冰墩墩雪容融

成本（元/个）4840

售价（元/个）5646

（1）求y与尤的函数关系式：

（2）求该商店本次购买两种吉祥物共有几种方案？哪种方案的总利润最大?

16.(2022•新疆克拉玛依•八年级期末)A市和8市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台

和。市8台.已知从A市调运一台机器到C市和。市的运费分别为400元和800元；从8市调运一台机器到

C市和。市的运费分别为300元和500元.

(1)设B市运往C市机器x台，求总运费W(元)关于x的函数关系式.

(2)若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？

(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

17.(2022・吉林白城•八年级期末)抗击新冠疫情期间，一方危急，八方支援：当我省疫情严重时，急需大

量医疗防护物资，现知A城有医疗防护物资20038城有医疗防护物资3003现要把这些医疗物资全部运往

C、。两市.从A城往C、。两市的运费分别为20元/t和25元/t；从2城