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文档简介
专题01一次方程(组)及其应用
普」考点类型
考点1:方程的解
考点6:解二元一次方程组
考点2:等式的性质
考点7:一次方程组的实际应用
模块二方程与不等式
01讲一次方程(组)
考点8:方程组的应用一错解
考点9:方程组的应用——含参
口^」知识一遍过
(-)等式的性质
(1)性质1:等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a=b,则a±c=b±c.
(2)性质2:等式两边同乘(或除)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.即若a=b,则ac^bc,
@=」(cr0).
cc
(3)性质3:(对称性)若apb,则b=a.
(4)性质4:(传递性)若亨b,kc,则ape.
(二)方程的概念
(1)方程:含有未知数的等式叫做方程:使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解,方程的解也
叫它的根:求方程解的过程叫做解方程。
(2)一元一次方程:只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程:它的一般形式为
b
ax+b=0(a^0).其解为x=——.
a
(3)二元一次方程(组):
①二元一次方程:含有两个未知数,并且未知数的项的次数都是L这样的整式方程叫做二元一次方程.一
般形式:ax+by=c(a#0,屏0).
②二元一次方程组:具有相同未知数的两仝二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
③二元一次方程的解:适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解,一个二元一次方程有无数多个解.
④二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
(三)解一元一次方程
(1)一般步骤:①去分母:②去括号:③移项:④合并同类项:⑤系数化为L
(2)理论根据和注意点
①去分母一根据等式性质2-注意点:勿漏乘不含分母的项,分子是两项以上的代数式须加上括号;
②去括号一根据去括号法则(分配律)一注意点:一是勿漏乘括号内每一项;二是括号前是“一”,括号内
各项都要变号;
③移项一根据移项法则(等式性质1)一注意点:一是移项要变号,二是勿漏项;
④合并同类项一根据合并同类项法则一注意点:系数相加,字母及它的指数不变
(四)解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想是道无,即化二元一次方程组为一元一次方程,主要方法有代入消元法和加
减消元法.
(五)一次方程(组)的应用
步骤:设(未知数)一列(方程)一解(方程)一答(作答)
关键点:确认等量关系;常见的等量关系:
①行程问题基本等量关系:
路程=时间X速度;时间=路程+速度;速度=路程+时间。
顺行:顺行速度=自身速度+风速(水速);逆行速度=自身速度一风速(水速)
②工程问题:
工作总量=工作时间X工作效率。
③配套问题:
实际生产比=配套比。
④商品销售问题:
利润=售价一成本;售价=标价xo.1折扣;利润率=利润+进价X100%
总利润=单利润X数量
现单利润=原单利润+涨价部分(一降价部分)
现数量=原数量一专态警变化基数(原数量降价部分
"x1_________x变化基数)
涨价基础降价基础
⑤数字问题:一个十位数可表示为:10X十位上的数字十个位上的数字;一个百位数可表示为:100义百位
上的数字+10X十位上的数字+个位上的数字。以此类推。
⑥平均增长率(下降率)问题:计算公式:原数X(1+增长率)=总数,
原数X(1—下降率)=总数。
考点一遍过
考点1:方程的解
典例1:(2223上•红河•期末)小刚同学在做作业时,不小心将方程3Q-3)-■=x+l中的一个常数涂黑
T,在询问老师后,老师告诉她方程的解是》=7,请问这个被涂黑的常数■是()
A.6B.5C.4D.1
【答案】C
【分析】将x=7代入3(x-3)-■=x+1求解即可.
【详解】解:将x=7代入3(x—3)—・=x+1得:3x(7—3)—■=7+1,
12-■=8,
解得:・=4,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了方程的解,解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解.
【变式1](22-23上・泰安,期末)若关于x的一元一次方程+5=3%-7的解为x=-3,则关于y的一元
一次方程募(y+2)+5=3(y+2)—7的解为()
A.y=-3B.y=-4C.y=-5D.y=-6
【答案】c
【分析】设y+2=x,将x替换y+2代入方程上(y+2)+5=3(y+2)-7,即可得出y+2=—3,进而
求出结果即可.
【详解】解:设y+2=x,
则短(y+2)+5=3(y+2)—7,变形为康久+5=3久-7,
y+2=x=-3,
解得:y=—5,
故选:C.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解,熟知方程得解是能使方程左右两边相等的未知数的值,设y+2=x,
将x替换y+2代入方程是解答本题的关键.
【变式2](2223上•盐城•期末)整式机久-几的值随尤取值的变化而变化,下表是当无取不同值时对应的整
式的值:
X-5-4-3-2-11
mx—n9630-3-9
则关于x的方程一mx+n=9的解为()
A.x=-5B.x=-4C.x=-2D.x=1
【答案】D
【分析】根据等式的性质把-小比+几=9变形为mx-n=-9;再根据表格中的数据求解即可.
【详解】解:关于x的方程一m尤+n=9变形为mx—n=-9,
由表格中的数据可知,当一mx+n=9时,x-1;
故选:D.
【点睛】本题考查了等式的性质,解题关键是恰当地进行等式变形,根据表格求解.
【变式3](2223・浙江•模拟预测)一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住,某旅行团共15
人准备租用客房共7间,如果每个房间都住满,租房方案有()
A.6种B.5种C.4种D.3种
【答案】C
【分析】设一人间x间,二人间y间,三人间(7-%-y)间,根据旅行团共15人列出方程,解方程即可.
【详解】解:设一人间x间,二人间y间,三人间(7-x-y)间.根据题意得:x+2y+3(7-x-y)=15,
整理得:2x+y=6,
当y=0时,x=3,7-3-0=7-3-0=4;
当y=2时,x=2,7—x—y=7—2—2=3;
当y=4时,x=1,7—%—y=7—1—4=2;
当y=6时,x—0,7—X—y—7—0—6—1.
回有4种租房方案:①租一人间3间,二人间0间,三人间4间;②租一人间2间,二人间2间,三人间
3间;③租一人间1间,二人间4间,三人间2间;④租一人间0间,二人间6间,三人间1间.
故选:C.
【点睛】本题是二元一次方程的应用,此题难度较大,解题的关键是理解题意,根据题意列方程,然后根
据x,y是整数求解,注意分类讨论思想的应用.
【变式41(22-23下•石家庄•阶段练习)若E:和"2都是方程ax+by=2的解,贝b+b的值为()
(y=1(.y=oJ
A.1B.2C.3D.4
【答案】c
【分析】把[二j和代入以+如=2,建立方程组,再解方程组即可.
【详解】解:[二:和{都是方程ax+by=2的解,
f2a+b=2①
"(-2a=2②,
解②得:a=—1,
把a=-1代入①得:b=4,
.(a=-1
t6=4
・•・a+b=—1+4=3,
故选:C.
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解,二元一次方程组的解法,掌握''利用方程的解建立新的二元一次
方程〃是解本题的关键.
【变式5](22-23下•嘉兴•阶段练习)下列某个方程与x-y=3组成方程组的解为{:二,则这个方程是
()
A.-x+2y—3B.2(x—y)—6yC.3x—4y=10D.2x—2y—6
【答案】C
【分析】直接把"=2,y=-1代入各方程进行检验即可.
【详解】A、把x=2,y=—1代入:左边=|x+2y=|x2+2x(―1)=—1力3,故此项不符合题意;
B、把光—2,y——1代入:左边=2x[2—(―1)]=2x3=6小6x(―1)=—6,故此项不符合题意;
C、把x=2,y=一1代入:左边=3x2-4x(-1)=10,故此项符合题意;
D、把久=2,y=—1代入:左边=2X2—2X(―1)=6H6X(-1)=—6,故此项不符合题意;
故选:C.
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解,解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成
立的未知数的值.
考点2:等式的性质
典例2:(2324上•长沙•期中)若a=b,in是任意有理数,则下列等式不一定成立的是()
A.a+m—b+mB.a—m=b—m
am=bm
C.D.—m=—m
【答案】D
【分析】根据等式的性质即可求出答案.
【详解】A、利用等式性质1,两边都加小,得到a+m=b+m,原变形一定成立,故此选项不符合题意;
B、利用等式性质1,两边都减去小,得到a-6=b-原变形一定成立,故此选项不符合题意;
C、利用等式性质2,两边都乘小,得到=原变形一定成立,故此选项不符合题意;
D、成立的条件是小力0,原变形不一定成立,故此选项符合题意;
故选:D.
【点睛】此题考查了等式的性质,解题的关键是掌握等式的性质,等式的性质1:等式两边加(或减)同一个
数(或式子),结果仍相等;等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数(或式子),结果仍
相等.
【变式1](2324上•哈尔滨•阶段练习)下列运用等式性质进行的变形,正确的是()
A.如果a+5=5—b,那么a=bB.若巴=^,则a=b
cc
C.若2%=2a—b,则%=a—bD.若%2=6%,则%=6
【答案】B
【分析】应用等式的性质即可.
【详解】A.如果a+5=5-力,那么。=-b,选项错误;
B.若3=2,则。=匕,选项正确;
CC
C.若2x=2a—b,则%=£1—jb,选项错误;
D,若/=6x,则当x=0,或x=6,选项错误;
故选:B.
【点睛】本题考查了等式的性质,关键是正确应用等式的性质转化并解决问题.
【变式2](2324上,全国•专题练习)"回。□”分别表示三种不同的物体,如图所示,前两架天平保持了平衡,
如果要使第三架天平也保持平衡,那么"?"处应放。的个数是()
\OO/\A/、口0/\AA/\?/
।_।।_।।_।
z\z\
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】由。+。=回+口,0=n+O,可知国+口=口+口+。,O+O=Q+D+O,O=Q+Q,所以回+团=口+口+。+。
=0+0+0.据此解答即可.
【详解】解:由0+。=回+口,E1=D+O,可知团+口=口+口+。,O+O=c+n+O,。=口+口,所以团+团=口+口+。
+o=o+o+o.
答:"?"处应放O的个数是3个.
故选:C.
【点睛】找出各图形之间的数量关系,是解题关键.
【变式3](2223上•河北•阶段练习)下列方程的变形正确的是()
A.由-2x=9,得x=—;B.由[x=0,得x=3
C.由7=—2x—5,得2x——5—7D.由1+&久=-3x,得2+久=-6%
【答案】D
【分析】A、方程x系数化为1,求出解,即可作出判断;
B、方程x系数化为1,求出解,即可作出判断;
C、方程移项得到结果,即可作出判断;
D、方程去分母得到结果,即可作出判断.
【详解】解:A、由—2%=9,得:%=-p不符合题意;
B、由1x=0,得:x=0,不符合题意;
C、由7=—2x—5,得2支——5—7,不符合题意;
D、由l+(x=—3无,得2+x=—6%,即x+6x=—2,符合题意.
故选:D.
【点睛】此题考查了解一元一次方程,以及等式的性质,熟练掌握等式的性质是解本题的关键.
【变式4](2223下•沧州•期末)嘉淇利用祛码和自制天平做一个物理实验,估测物体质量,有两种不同质
量的物体自I、□,同种物体的质量都相等,下面两个天平中右边都比左边低,天平中祛码的质量如图所示,
口的质量可能为()
50g祛码
A.25gB.21gC.20gD.19g
【答案】D
【分析】根据题意可知3个0比2个0加1个20g祛码轻,易得1个0比20g祛码轻,即可获得答案.
【详解】解:根据题意,可知3个□比1个13加1个50g祛码轻,1个13加1个50g祛码比2个0加1个
20g祛码轻,
所以,3个0比2个口加1个20g祛码轻,
即1个0比20g祛码轻,
所以□的质量可能为
故选:D.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性质是解题关键.
【变式5】(22・23下•长春•阶段练习)下列变形正确的是()
A.由4%—5=3x+2得4%—3%=-2+5
B.由1%—1=—x+3得4久-1=3%+3
C.由3(%—1)=2(%+3)得3%—1=2冗+6
D.由一2久=一3得久=|
【答案】D
【分析】根据等式基本性质和去括号法则逐项判断即可.
【详解】解:A、4x-5=3x+2变形为4x-3x=2+5,故A错误,不符合题意;
B、|x-1=1%+3变形得:4久一6=3乂+3,故B错误,不符合题意;
C、3(%—1)=2(%+3)得:3%—3=2%+6,故C错误,不符合题意;
D、—2%=—3得汽=|,故D正确,符合题意.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质和去括号法则,熟练掌握等式的基本性质和去括号法则,是解题
的关键.
考点3:解一元一次方程
典例3:(2324上•广州•期中)解方程
(1)2(%+3)=5久
(2)5%-2=3(%+2)
【答案】(l)x=2;
(2)%=4.
【分析】(1)先去括号,再移项,然后合并同类项,最后系数化为1即可;
(2)先去括号,再移项,然后合并同类项,最后系数化为1即可.
【详解】(1)2(%+3)=5%
去括号得,2久+6=5%,
移项得,2x—5x=-6,
合并同类项得,—3x=—6,
系数化为1得,x=2;
(2)5%-2=3(%+2)
去括号得,5久—2=3%+6,
移项得,5%—3%=6+2,
合并同类项得,2x=8,
系数化为1得,x=4.
【点睛】此题考查了解一元一次方程,熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键.
【变式1](2324上•广州•期中)解方程:
(1)%+5=8
(2)3久+4=5-2%
(3)8(2%—1)—(%—1)=-2(2x-1)
【答案】⑴3
【分析】(1)直接移项即可解答;
(2)先移项,再系数化为1即可解答;
(3)先去括号,然后再移项、合并同类项、系数化为1即可解答
【详解】(1)解:x+5=8
x=8—5
x=3.
(2)解:3汽+4=5-2%
3%+2%=5-4
5%=1
x=-1.
5
(3)解:8(2%-1)-(%-1)=-2(2%-1)
16%—8—%+1=-4%+2
16x—x+4x=24-8—1
19%=9
X=9.
19
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程,解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同
类项、系数化为一.
【变式2](2324上•大连•期中)解方程:
21
(2)3%+7=32—2%.
【答案】⑴X=1
(2)%=5
【分析】移项合并,然后系数化为1计算求解即可.本题考查了解一元一次方程.熟练掌握先移项合并,
然后系数化为1,是解方程的关键.
【详解】(1)解:x+l=3x-l,
—2,x=-2,
x=1;
(2)解:3%+7=32-2x,
3%+2%=32—7,
Sx=25,
x=5.
【变式3】(23・24上•泰江•期中)解下列方程
2
(1)%——6+5
(2)4%—3=6%+5
【答案】⑴久=一|
(2)%=-4
【分析】本题主要考查了解一元一次方程,解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤,"先去分母,
再去括号,然后移项合并同类项,最后未知数的系数化为
【详解】(1)解:x-|尤=一6+5,
合并同类项得:|x=T,
未知数系数化为1得:x=-|;
(2)解:4%—3=6%+5,
移项,合并同类项得:-2%=8,
未知数系数化为1得:x=-4.
【变式4】(23・24上•全国・专题练习)解方程:
(1)1-3(%-2)=4
...2x+l5x-ly
(2)---------------=1
',36
x—1Y+2
--=1?
(4)3|%-1|-7=2
【答案】⑴%二1
(2)%=-3
(3)x=6.4
(4)x=4或%=—2
【详解】(1)解:1一3(%—2)=4,
去括号,得1—3x+6=4,
移项,得-3%=4—6-1,
合并同类项,得—3%=—3,
系数化为1,得X=1;
(2)解:—=1,
36
去分母,得2(2%+1)-(5%-1)=6,
去括号,得4%+2—5%+1=6,
移项,得4%—5%—6—1—2,
合并同类项,得—%=3,
系数化为1,得l=-3;
⑶解:言-翟=12,
10X-1010x4-20
原方程可变形为=1.2,
35
去分母,得5(10%—10)-3(10%+20)=18,
去括号,得50比一50-30x-60=18,
移项,得50x—30久=18+50+60,
合并同类项,得20%=128,
系数化为1,得比=6.4;
(4)解:3|x-1|-7=2,
去绝对值,得:3(%-1)-7=2或3(1-%)-7=2,
去括号,得:3X—3—7=2或3-3x—7=2,
移项,得:3%=2+3+7或—3x=2-3+7,
合并同类项,得:3比=12或一3%=6,
系数化为1,得:%=4或%=-2.
【点睛】此题考查了一元一次方程的解法,掌握一元一次方程的解法"去分母、去括号、移项、合并同类项、
系数化为1”是解题的关键.
【变式5](2324上•十堰•期中)解方程:
(l)2x—x+3=1.5—2%
(2)7%+2=5%+8
【答案】⑴%=-0.5;
(2)%=3.
【分析】本题考查解一元一次方程,解题的关键是掌握解方程的步骤:移项,合并同类项,系数化为
【详解】(1)解:2万一%+3=1.5—2%,
移项得:2x-x+2x=1.5-3,
合并同类项得:3乂=一1.5,
系数化为1:x--0.5;
(2)解:7x+2—5x+8,
移项得:7x—5x=8-2,
合并同类项得:2x=6,
系数化为1:x=3.
考点4:一次方程的实际应用
典例4:(2324上,哈尔滨•阶段练习)制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿,lm3木材可制作20个桌面,
或者制作400条桌腿,现有12m3木材,要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌,应用多少立方米木材
来生产桌面?多少立方米木材生产桌腿?
【答案】应安排10立方米木材用来生产桌面,2立方米木材生产桌腿.
【分析】设应安排xm3木材用来生产桌面,则应安排(12-x)m3木材用来生产桌腿."Im3木材可制作20个
桌面,或者制作400条桌腿〃求出桌面数与桌腿数.根据一张桌子要用一个桌面和4条桌腿配套,利用桌面
数X4=桌腿数建立方程求出其解即可.
【详解】解:设用xm3木材制作桌面,则用(12-x)m3木材制作桌腿,
根据题意得4x20%=400(12-x),
整理得:480%=4800,
解得:x=10,
12-x=2.
答:应安排10立方米木材用来生产桌面,2立方米木材生产桌腿.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用与求解,根据题意正确列出方程式是解题关键.
【变式1](2324上•海淀•开学考试)"曹冲称象”是流传很广的故事,如图.按照他的方法:先将象牵到大
船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出,然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,
这时水位恰好到达标记位置,如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记
位置.已知搬运工体重均为130斤,求大象的体重.请将下列解答过程补充完整:
孙权曾致巨像,太祖欲知其斤重,
访之群下,咸莫能出其理,冲日:
“置象大船之上,而刻其水痕所
至,称物以载之,则校可知矣.”
—《三国志》
解:由题意得等量关系:20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个
搬运工的体重,所以
①已知搬运工体重均为130斤,设每块条形石的重量是X斤,则可列方程为:.
②解这个方程得,%=.
③实际上由题也可直接得到:一块条形石的重量=.个搬运工的体重
④最终可求得:大象的体重为斤.
【答案】20x+3X130=20x+久+130;260;2;5590
【分析】根据题意,表示出大象的重量可表示为(20%+3X130)斤,也可表示为(20x+x+130)斤,进而
可列方程求解即可.
【详解】解:由题意得等量关系:20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重
量+1个搬运工的体重,所以
①已知搬运工体重均为130斤,设每块条形石的重量是x斤,则可列方程为:20x+3x130=20x+x+130.
②解这个方程得,%=260.
③实际上由题也可直接得到:一块条形石的重量=2个搬运工的体重;
(4)20X260+3x130=5590,
即最终可求得:大象的体重为5590斤.
故答案为:20x+3X130=20x+x+130;260;2;55
【点睛】本题考查一元一次方程的应用,理解题意,正确列出方程并正确求解是解答的关键.
【变式2](2324上•武汉•期中)红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球,己知该品牌的乒乓球拍
每副定价150元,乒乓球每盒定价15元.元旦期间该品牌决定开展促销活动,活动期间向客户提供两种优
惠方案,即
方案一:买一副乒乓球拍送两盒乒乓球;
方案二:乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款.
该球馆计划购买乒乓球拍10副,乒乓球x盒(%>20,尤为整数).
⑴当x=40时,若该球馆按方案一购买,需付款元;若该球馆按方案二购买,需付款元;
(2)当x为何值时,分别用两种方式购买所需费用一样?
⑶若x=40,能否找到一种更为省钱的购买方案?如果能,请你写出购买方案,并计算出此方案所需费用;
如果不能,请说明理由.
【答案】(1)1800,1890
(2)%=100
⑶先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球,再按方案二购买20盒乒乓球,需付款1770元
【分析】(1)根据两种方案的收费方式列式,计算x=40时的值即可;
(2)根据题意建立方程求解即可;
(3)根据题意得出方案一购买球拍,方案二购买剩余所需乒乓球.
【详解】(1)解:由题意得,方案一需付款:10xl50+15(x-20)=(15x+1200)元,
方案二需付款:10x150X90%+15%X90%=(13.5%+1350)%,
当x=40时,
方案一需付款:15x40+1200=1800(元)
方案二需付款:13.5x40+1350=1890(元),
故答案为:1800,1890;
(2)解:由题意得,15x+1200=13.5x+1350,
解得:%=100,
二当久=100时,分别用两种方式购买所需费用一样;
(3)解:先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球,再按方案二购买20盒乒乓球,需付款10X150+20X
15x90%=1770(元).
【点睛】本题主要考查了列代数式及代数式求值问题,一元一次方程的应用,得到两种优惠方案付费的关
系式是解题的关键.
【变式3](2324上•沈阳,期中)已知数轴上两点力,B对应的数分别为-4,10,点P为数轴上一动点,对应
的数为X.
AB
-----*----1------------*---->
-4010
⑴若点P到点4点B的距离相等,请求出x的值;
(2)数轴上是否存在点P,使点P到点4点B的距离之和为20?若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由;
⑶一小球甲从点4处以1个单位/秒的速度向左运动,2秒后,另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也
向左运动,追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动,设点力的运动的时间为t秒.请直接写出甲,
乙两小球到原点的距离相等时t的值.
r答案]⑴%=3
(2)存在;x=-7或13
(3)6秒或62秒
【分析】(1)根据点P到点4点8的距离相等,则可得X—(―4)=10-x,进而可求解.
(2)依题意得|x+4|+—10|=20,分类讨论:当x<-4时,当—4Wx<10时,当X210时,化简绝
对值即可求解.
(3)分类讨论:当甲,乙两小球到原点的距离第一次相等时和当甲,乙两小球到原点的距离第二次相等时,
利用距离相等为等量关系列出式子即可求解.
【详解】(1)解:由题意得:
x—(-4)=10—X,
解得:x=3.
(2)存在,理由如下:
由题意得:|x+4|+\x-101=20,
当x<一4时,+4|+-10|=-X—4—%+10=20,
解得:x=-7,
当一4<x<10时,+4|+—10|=x+4—%+10=20,
即:14=20,不符合题意,舍去,
当x>10时,|x+4|+|x—10|=尤+4+尤-10=20,
解得:%=13,
综上所述:%=-7或
(3)当甲,乙两小球到原点的距离第一次相等时,
依题意得:t+4=10—2(t—2),
解得:t=6(秒);
当甲,乙两小球到原点的距离第二次相等时,
甲、乙两小球相遇时,时间为:
2(t-2)-(t+4)=10,
解得:t=18(秒),
此时甲、乙两小球与原点的距离为:18+4=22,
贝U:t+4=2(t-2)-(10+2X22),
解得:t=62秒,
综上所述:甲,乙两小球到原点的距离相等时t的值为:6秒或62秒.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴及化简绝对值,比较复杂,读题是难点,所以解题的关键
是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,利用分类讨论的思想解决
问题.
【变式4](22-23下•浦东新•期末)六年级(1)班、(2)班各有48人,两个班都有一些同学参加课外数学
小组,(1)班参加数学小组的人数恰好是(2)班没有参加数学小组人数的点(2)班参加数学小组的人数恰
好是(1)班没有参加数学小组人数的|,六年级(1)班、(2)班没有参加数学小组的各有多少人?
【答案】六年级(1)、(2)班没有参加的同学有36人、24人
【详解】解:设六年级(1)班没有参加的同学有尤人,则(2)班参加的同学有|x人,
(1)班参加的同学有(48-尤)人,(2)班没有参加的同学有(48-|尤)人,
根据题意可得,
48-%=2(48-§久)
1
48—%=24——X
3
1
48—24=—-%+x
2
-x=24
%=36
22
048=48一±x36=48—24=24,
33
故六年级(1)、(2)班没有参加的同学有36人、24人.
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用;从没有参加的人数开始分别列出各班没有参加和参加的人数
是解题的关键.
【变式5](2324上•哈尔滨•阶段练习)水是生命之源,节约用水是全社会的共同责任.为了加强公民的节
水意识,合理利用水资源,某市采取价格调控的手段达到节水的目的,某市自来水收费的价格表如下(水
费按月结算)
价格表
每月用水量价格
不超过6立方米的部分每立方米3元
超过6立方米不超过10立方米的部分每立方米5元
超过10立方米的部分每立方米8元
小亮家一月份用水自立方米,二月份用的水量比一月份用的节少2立方米.
65
⑴求小亮家一月份应交的水费.
(2)求小亮家二月份应交的水费.
⑶若小亮家三月份交的水费是二月份水费的杯,求小亮家三月份的用水量多少立方米.
【答案】⑴12.5
(2)28
⑶12
【分析】(1)根据表格中的收费方法,列式计算即可;
(2)根据表格中的收费方法,列式计算即可;
(3)设小亮家三月份的用水量是尤立方米,根据题意,求出x的范围,列出方程进行求解即可.
【详解】(1)解:根据题意得:至X3=12.5(元).
6
答:应交水费12.5元;
故答案为:12.
(2)二月份用水量为2=8(立方米),
65
根据题意得:6x3+(8—6)x5=18+10=28(元).
回张鸣家5月份应交水费28元;
(3)三月份交的水费为28=54(元),
14
设小亮家三月份的用水量是尤立方米,
当用水量为10立方米时,应交水费6x3+(10—6)x5=18+20=38(元),
054>38,
0x>10.
根据题意得6X3+(10-6)X5+(%-10)X8=54,
解得x=12.
答:小亮家三月份的用水量是12立方米.
【点睛】本题考查一元一次方程的应用.解题的关键是理清收费方法,正确的列出方程和代数式.
【变式6](2324上•南岸•期中)如图,在数轴上点A表示的数是-4,点B在点A的右侧,且到点A的距离
是18;点C在点A与点B之间,且到点B的距离是到点A距离的2倍.
]___________I_________I____________________________I_______
AOCB
⑴点B表示的数是;点(;表示的数是;
(2)若点P从点A出发,沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动;同时,点Q从点B出发,沿数轴以
每秒3个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t秒,在运动过程中,当t为何值时,点P与点Q重合,
求出t的值和此时点P对应的数;
⑶在(2)的条件下,当点Q到达点A后沿原路按原速返回,点P到达点8后两个点同时停止运动.是否存在
某一时刻3使得P、Q两点间的距离恰好等于线段4B的一半,如果存在,请直接写出t的值;如果不存在,
请说明理由.
【答案】⑴14;2
(2)当t为3.6时,P,Q两点相遇,相遇点所表示的数是3.2
⑶t的值为1.8或5.4或9
【分析】(1)根据两点间的距离公式可求点B表示的数;根据线段的倍分关系可求点C表示的数;
(2)t秒后,点P表示的数为:-4+2t;点Q表示的数为:14-33根据相遇时点P、。表示的数相同得出
-4+21=14-33求出f的值即可;
(3)分Q还未返回前,Q返回途中两种情况讨论即可求解.
【详解】(1)解:点B表示的数是—4+18=14;点C表示的数是—4+18xg=2;
故答案为:14;
(2)解:t秒后,点P表不的数为:一4+2t;点Q表示的数为:14一3t,根据题意得:
-4+2t=14-3t,
解得:t—3.6
相遇点所表示的数为一4+2x3.6=3.2,
答:当t为3.6时,P,Q两点相遇,相遇点所表示的数是3.2;
(3)解:由已知得:P运动9秒到B,Q运动6秒到A,
Q还未返回前:点P表示的数为:-4+2t;点Q表示的数为:14—33
|14-3t-(-4+2t)l=18X0.5,
t=1.8或5.4,
Q返回途中:Q表示的数是一4+3(t-6),
-4+2t-[-4+3(t-6)]=9
解得:t=9,
答:t的值为1.8或5.4或
【点睛】本题考查了数轴、两点间的距离,本题渗透了分类讨论和方程的思想,在解决类似的问题时,要
防止漏解.
【变式7](2324上•沙坪坝•阶段练习)如图,将某些具有一定规律的数按照如下图的方式进行排列,得到
一个数阵,用如图的一个矩形框框住其中的4个数:
⑴若方框内最右上角的数是97,则最左下角的数为;
(2)若方框内最右上角的数用。表示,请用含。的代数式表示这4个数之和;
⑶方框内的4个数之和可能为612吗?若可能,求最右上角的数;若不可能,请说明理由.
【答案】⑴151
(2)4a+108
⑶见解析
【分析】(1)由题意即可得出结论;
(2)方框内最右上角的数为a,则其它三个数分别为a+18,a+36,a+54,利用代数式求和即可;
(3)由题意:方框内4个数的和为612,列出一元一次方程,解方程求出a,再由数阵排列规律即可得出结
论.
【详解】(1)国方框内最右上角的数是97,
则最左下角的数为:97+54=151;
故答案为:151;
(2)团方框内最右上角的数用a表示,
团第二个数为a+18,第三个数为a+36,最左下角的数为a+54,
13这4个数N和为:a+(a+18)+(a+36)+(a+54)=4a+108;
(3)不能,
理由是:4a+108=612,
解得:a=126,
根据数阵排列规律,不存在126这个数,所以方框内的4个数之和不可能为612.
【点睛】本题考查了数学规律题的解法的运用,列一元一次方程解实际问题的运用,一元一次方程的解法
的运用,解答时寻找数据变化的规律是解答的关键.
【变式8](22-23上•漠河•期末)某校初一(1)班组织生活小常识竞赛,共设20道选择题,各题分值相同,
每题必答.下表记录了其中4个参赛者的得分情况.
参赛者答对题数答错题数得分
A200100
B288
C64
D1040
⑴请补全表格.
(2)参赛者E得82分,他答对了几道题?
⑶参赛者尸说他错了10个题,得50分,请你判断可能吗?并说明理由
【答案】⑴18,14,6,10
(2)17
⑶不可能,理由见解析
【分析】(1)先由A同学,。同学的得分可得可得答对一题得5分,答错一题扣1分,再填表即可;
(2)设E答对了y道题,则他答错了(20-y)道题,再由得分为82分建立方程求解即可;
(3)由。同学的情况可作判断.
【详解】(1)解:由A同学可得:100+20=5,可得答对一题得5分,
由。同学可得:10x5—40=10,10+10=1,可得答错一题扣1分,
SB同学答对18题,。同学答错10题,
设C同学答对x题,则答错(20-x)题,
05%—(20—%)=64
解得:x=14,
回C同学答对14题,答错6题.
(2)设E答对了y道题,则他答错了(20-y)道题,
团5y—(20—y)=82,
解得y=17;
(3)由。同学答错了10题,得分是40分,
团参赛者F说他错了10个题,得50分是错误的.
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用,一元一次方程的应用,理解题意,选择合适的方法
解题是关键.
【变式9](2324上•哈尔滨•阶段练习)比优特超市销售甲、乙两种商品,已知甲商品每件进价40元,售价
60兀;乙商品每件售价48兀,利润率为60%.
⑴每件甲商品利润率为;乙商品每件进价为元;
(2)若超市同时购进甲、乙两种商品共52件,总进价为1790元,则购进乙种商品多少件?
⑶在"十一国庆”期间超市所有商品有优惠促销活动,方案如下:
①购买商品不超过300元,不优惠;
②购买商品超过300元,但不超过500元,按照售价九折优惠;
③购买商品超过500元时,按照售价的八折优惠;
按照以上优惠条件,若王阿姨一次性购买甲商品实际付款432元,求王阿姨此次购物购买多少件甲商品?
【答案】⑴50%,30
(2)29件
(3)8件或者9件
【分析】(1)设乙的进价为龙元/件,根据乙的利润率为50%,求出x的值;
(2)设购进甲种商品x件,则购进乙种商品(52-x)件,再由总进价是1790元,列出方程求解即可;
(3)分两种情况讨论,①打折前购物金额超过300元,但不超过500元,②打折前购物金额超过500元,
分别列方程求解即可.
【详解】(1)解:甲商品的利润率为(60-40)+40=50%,
设乙的进价为x元/件,
贝l|48—x=60%x,
解得:x=30.
故乙的进价为30元/件;
故答案为:50%,30;
(2)设购进甲种商品x件,则购进乙种商品(52-%)件,
由题意得,40%+30(52-x)=1790,
解得:*=23,
52一刀=52—23=29
回购进乙种商品29件;
(3)设王阿姨此次购物购买机件甲商品,
①当打折前购物金额超过300元,但不超过500元时,
由题意得0.9x60y=432,
解得:y=8;
②当打折前购物金额超过500元时,
0.8x60y=432,
解得:y=9,
综上可得王阿姨此次购物购买8件或9件甲商品.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解答本题的关键是仔细审题,找到等量关系,利用方程思想求
解.
【变式10](2324上•哈尔滨・阶段练习)修一条公路,甲工程队单独承包要40天完成,乙工程队单独承包
要60天完成.
⑴现在由两个工程队合作承包,几天可以完成?
(2)如果甲、乙两工程队合作12天后,因甲工程队另有任务,剩下的工作由乙工程队完成,则修好这条路共
需要几天?
【答案】(1)24天
(2)42天
【分析】(1)设两队合作需要尤天完成,由工程问题的数量关系建立方程求出其解即可;
(2)设乙队单独做还需要y天完成,根据甲乙完成的工作量之和为1建立方程求出其解即可.
【详解】(])设两队合作需要尤天完成,由题意,得
解得:x-24.
答:两人合做需要24天完成;
(2)设乙单独做还需要y天完成,由题意,得
12x(―+—)+—=1
\4060/60
解得:y=30.
12+30=42(天).
答:修好这条路共需要42天.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是理解题意,抓住关键描述语,找到等量关系列出
方程.
考点5:方程组的概念
典例5:(2223下•周口•阶段练习)下列方程组中,是二元一次方程组的是()
①仁¥②③慝[;<:2
A,①②B.③④C.①②④D.①②③
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义:两个一次方程,共两个未知数,组成的方程组,进行判断即可.
【详解】解:①是二元一次方程组;②是二元一次方程组;③不是整式方程,不是二元一次方程组;④
是二元一次方程组;
故选C.
【点睛】本题考查二元一次方程组的识别,熟记定义,是解题的关键.
【变式1](2223下•济宁•阶段练习)下列方程组中是二元一次方程组的是()
(x+y=1-2y=3r2x+y=0(z=5
A.7„B.i,„C.„;D.hy_
+-7
kxy=2[-+y=3(3x-2=y[23
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义"把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元
一次方程组"进行判断即可得.
【详解】解:A、不是二元一次方程组,选项说法错误,不符合题意;
5汽_2V=3
二,不是二元一次方程组,选项说法错误,不符合题意;
{1=3
c、1:+?二,,是二元一次方程组,选项说法正确,符合题意;
—L,_y
(z=5
D、卜+2=7,不是二元一次方程组,选项说法错误,不符合题意;
12T3
故选:C.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义,解题的关键是掌握二元一次方程组的定义.
【变式2](22-23下,廊坊•期中)若二元一次方程组产一惑=13的解为,则⑤表示的方程可以是
I0$)(y=
()
A.x+y=4B.:—y=4C.xy=3D.y=-3
【答案】D
【分析】将方程组的解代入每个选项分别计算即可判断.
【详解】解:A、将]:二口代入工+丫=4,
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