中考数学一轮复习强化训练：一次方程（组）及其应用（知识串讲+9大考点）解析版

专题01一次方程（组）及其应用

普」考点类型

考点1:方程的解

考点6：解二元一次方程组

考点2：等式的性质

考点7：一次方程组的实际应用

模块二方程与不等式

01讲一次方程（组）

考点8：方程组的应用一错解

考点9：方程组的应用——含参

口^」知识一遍过

（-）等式的性质

（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a=b,则a±c=b±c.

（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0）,所得结果仍是等式.即若a=b,则ac^bc,

@=」（cr0）.

cc

（3）性质3：（对称性）若apb,则b=a.

（4）性质4：（传递性）若亨b,kc,则ape.

（二）方程的概念

（1）方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解，方程的解也

叫它的根：求方程解的过程叫做解方程。

（2）一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为

b

ax+b=0（a^0）.其解为x=——.

a

（3）二元一次方程（组）：

①二元一次方程：含有两个未知数,并且未知数的项的次数都是L这样的整式方程叫做二元一次方程.一

般形式：ax+by=c（a#0,屏0）.

②二元一次方程组：具有相同未知数的两仝二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

③二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程

的一个解，一个二元一次方程有无数多个解.

④二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.

（三）解一元一次方程

（1）一般步骤：①去分母:②去括号:③移项:④合并同类项:⑤系数化为L

（2）理论根据和注意点

①去分母一根据等式性质2-注意点：勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号；

②去括号一根据去括号法则（分配律）一注意点：一是勿漏乘括号内每一项；二是括号前是“一”，括号内

各项都要变号；

③移项一根据移项法则（等式性质1）一注意点：一是移项要变号，二是勿漏项；

④合并同类项一根据合并同类项法则一注意点：系数相加，字母及它的指数不变

（四）解二元一次方程组

解二元一次方程组的基本思想是道无，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加

减消元法.

（五）一次方程（组）的应用

步骤：设（未知数）一列（方程）一解（方程）一答（作答）

关键点：确认等量关系；常见的等量关系：

①行程问题基本等量关系：

路程=时间X速度；时间=路程+速度；速度=路程+时间。

顺行：顺行速度=自身速度+风速（水速）；逆行速度=自身速度一风速（水速）

②工程问题：

工作总量=工作时间X工作效率。

③配套问题：

实际生产比=配套比。

④商品销售问题：

利润=售价一成本；售价=标价xo.1折扣；利润率=利润+进价X100%

总利润=单利润X数量

现单利润=原单利润+涨价部分（一降价部分）

现数量=原数量一专态警变化基数（原数量降价部分

"x1_________x变化基数）

涨价基础降价基础

⑤数字问题：一个十位数可表示为：10X十位上的数字十个位上的数字；一个百位数可表示为：100义百位

上的数字+10X十位上的数字+个位上的数字。以此类推。

⑥平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数X（1+增长率）=总数,

原数X（1—下降率）=总数。

考点一遍过

考点1:方程的解

典例1:(2223上•红河•期末)小刚同学在做作业时，不小心将方程3Q-3)-■=x+l中的一个常数涂黑

T,在询问老师后，老师告诉她方程的解是》=7,请问这个被涂黑的常数■是()

A.6B.5C.4D.1

【答案】C

【分析】将x=7代入3(x-3)-■=x+1求解即可.

【详解】解：将x=7代入3(x—3)—・=x+1得：3x(7—3)—■=7+1,

12-■=8,

解得：・=4,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解.

【变式1](22-23上・泰安,期末)若关于x的一元一次方程+5=3%-7的解为x=-3,则关于y的一元

一次方程募(y+2)+5=3(y+2)—7的解为()

A.y=-3B.y=-4C.y=-5D.y=-6

【答案】c

【分析】设y+2=x,将x替换y+2代入方程上(y+2)+5=3(y+2)-7,即可得出y+2=—3,进而

求出结果即可.

【详解】解:设y+2=x,

则短(y+2)+5=3(y+2)—7,变形为康久+5=3久-7,

y+2=x=-3,

解得：y=—5,

故选：C.

【点睛】本题考查了一元一次方程的解,熟知方程得解是能使方程左右两边相等的未知数的值，设y+2=x,

将x替换y+2代入方程是解答本题的关键.

【变式2](2223上•盐城•期末)整式机久-几的值随尤取值的变化而变化，下表是当无取不同值时对应的整

式的值:

X-5-4-3-2-11

mx—n9630-3-9

则关于x的方程一mx+n=9的解为（）

A.x=-5B.x=-4C.x=-2D.x=1

【答案】D

【分析】根据等式的性质把-小比+几=9变形为mx-n=-9；再根据表格中的数据求解即可.

【详解】解：关于x的方程一m尤+n=9变形为mx—n=-9,

由表格中的数据可知，当一mx+n=9时，x-1；

故选：D.

【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解.

【变式3］（2223・浙江•模拟预测）一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15

人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）

A.6种B.5种C.4种D.3种

【答案】C

【分析】设一人间x间，二人间y间，三人间（7-%-y）间，根据旅行团共15人列出方程，解方程即可.

【详解】解：设一人间x间，二人间y间，三人间（7-x-y）间.根据题意得：x+2y+3（7-x-y）=15,

整理得：2x+y=6,

当y=0时，x=3,7-3-0=7-3-0=4；

当y=2时，x=2,7—x—y=7—2—2=3；

当y=4时，x=1,7—%—y=7—1—4=2；

当y=6时，x—0,7—X—y—7—0—6—1.

回有4种租房方案：①租一人间3间，二人间0间，三人间4间；②租一人间2间，二人间2间，三人间

3间；③租一人间1间，二人间4间，三人间2间；④租一人间0间，二人间6间，三人间1间.

故选：C.

【点睛】本题是二元一次方程的应用，此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，然后根

据x,y是整数求解，注意分类讨论思想的应用.

【变式41（22-23下•石家庄•阶段练习）若E:和"2都是方程ax+by=2的解，贝b+b的值为（）

（y=1（.y=oJ

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【分析】把[二j和代入以+如=2,建立方程组，再解方程组即可.

【详解】解：[二:和｛都是方程ax+by=2的解，

f2a+b=2①

"(-2a=2②，

解②得：a=—1,

把a=-1代入①得：b=4,

.(a=-1

t6=4

・•・a+b=—1+4=3,

故选：C.

【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，二元一次方程组的解法，掌握''利用方程的解建立新的二元一次

方程〃是解本题的关键.

【变式5](22-23下•嘉兴•阶段练习)下列某个方程与x-y=3组成方程组的解为｛：二，则这个方程是

()

A.-x+2y—3B.2(x—y)—6yC.3x—4y=10D.2x—2y—6

【答案】C

【分析】直接把"=2,y=-1代入各方程进行检验即可.

【详解】A、把x=2,y=—1代入：左边=|x+2y=|x2+2x(―1)=—1力3,故此项不符合题意；

B、把光—2,y——1代入：左边=2x[2—(―1)]=2x3=6小6x(―1)=—6,故此项不符合题意；

C、把x=2,y=一1代入：左边=3x2-4x(-1)=10,故此项符合题意；

D、把久=2,y=—1代入：左边=2X2—2X(―1)=6H6X(-1)=—6,故此项不符合题意；

故选：C.

【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成

立的未知数的值.

考点2：等式的性质

典例2：(2324上•长沙•期中)若a=b,in是任意有理数，则下列等式不一定成立的是()

A.a+m—b+mB.a—m=b—m

am=bm

C.D.—m=—m

【答案】D

【分析】根据等式的性质即可求出答案.

【详解】A、利用等式性质1,两边都加小，得到a+m=b+m,原变形一定成立，故此选项不符合题意;

B、利用等式性质1,两边都减去小，得到a-6=b-原变形一定成立，故此选项不符合题意；

C、利用等式性质2,两边都乘小，得到=原变形一定成立，故此选项不符合题意；

D、成立的条件是小力0,原变形不一定成立，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】此题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质，等式的性质1：等式两边加（或减）同一个

数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍

相等.

【变式1］（2324上•哈尔滨•阶段练习）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（）

A.如果a+5=5—b,那么a=bB.若巴=^,则a=b

cc

C.若2%=2a—b,则％=a—bD.若％2=6%,则％=6

【答案】B

【分析】应用等式的性质即可.

【详解】A.如果a+5=5-力，那么。=-b,选项错误；

B.若3=2,则。=匕，选项正确；

CC

C.若2x=2a—b,则％=£1—jb,选项错误；

D,若/=6x,则当x=0,或x=6,选项错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了等式的性质，关键是正确应用等式的性质转化并解决问题.

【变式2］（2324上,全国•专题练习）"回。□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，

如果要使第三架天平也保持平衡，那么"？"处应放。的个数是（）

\OO/\A/、口0/\AA/\?/

।_।।_।।_।

z\z\

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由。+。=回+口，0=n+O,可知国+口=口+口+。，O+O=Q+D+O,O=Q+Q,所以回+团=口+口+。+。

=0+0+0.据此解答即可.

【详解】解：由0+。=回+口，E1=D+O,可知团+口=口+口+。，O+O=c+n+O,。=口+口，所以团+团=口+口+。

+o=o+o+o.

答："？"处应放O的个数是3个.

故选：C.

【点睛】找出各图形之间的数量关系，是解题关键.

【变式3］（2223上•河北•阶段练习）下列方程的变形正确的是（）

A.由-2x=9,得x=—；B.由［x=0,得x=3

C.由7=—2x—5,得2x——5—7D.由1+&久=-3x,得2+久=-6%

【答案】D

【分析】A、方程x系数化为1,求出解，即可作出判断；

B、方程x系数化为1,求出解，即可作出判断；

C、方程移项得到结果，即可作出判断；

D、方程去分母得到结果，即可作出判断.

【详解】解：A、由—2%=9,得：%=-p不符合题意；

B、由1x=0,得：x=0,不符合题意；

C、由7=—2x—5,得2支——5—7,不符合题意；

D、由l+（x=—3无，得2+x=—6%,即x+6x=—2,符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键.

【变式4］（2223下•沧州•期末）嘉淇利用祛码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质

量的物体自I、□,同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中祛码的质量如图所示，

口的质量可能为（）

50g祛码

A.25gB.21gC.20gD.19g

【答案】D

【分析】根据题意可知3个0比2个0加1个20g祛码轻，易得1个0比20g祛码轻，即可获得答案.

【详解】解：根据题意，可知3个□比1个13加1个50g祛码轻，1个13加1个50g祛码比2个0加1个

20g祛码轻，

所以，3个0比2个口加1个20g祛码轻，

即1个0比20g祛码轻，

所以□的质量可能为

故选：D.

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键.

【变式5】(22・23下•长春•阶段练习)下列变形正确的是()

A.由4%—5=3x+2得4%—3%=-2+5

B.由1%—1=—x+3得4久-1=3%+3

C.由3(%—1)=2(%+3)得3%—1=2冗+6

D.由一2久=一3得久=|

【答案】D

【分析】根据等式基本性质和去括号法则逐项判断即可.

【详解】解：A、4x-5=3x+2变形为4x-3x=2+5,故A错误，不符合题意；

B、|x-1=1%+3变形得：4久一6=3乂+3,故B错误，不符合题意；

C、3(%—1)=2(%+3)得：3%—3=2%+6,故C错误，不符合题意；

D、—2%=—3得汽=|,故D正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等式的基本性质和去括号法则，熟练掌握等式的基本性质和去括号法则，是解题

的关键.

考点3：解一元一次方程

典例3：(2324上•广州•期中)解方程

(1)2(%+3)=5久

(2)5%-2=3(%+2)

【答案】(l)x=2；

(2)%=4.

【分析】(1)先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为1即可；

(2)先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为1即可.

【详解】(1)2(%+3)=5%

去括号得，2久+6=5%,

移项得，2x—5x=-6,

合并同类项得，—3x=—6,

系数化为1得，x=2;

(2)5%-2=3(%+2)

去括号得，5久—2=3%+6,

移项得，5%—3%=6+2,

合并同类项得，2x=8,

系数化为1得，x=4.

【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键.

【变式1](2324上•广州•期中)解方程：

(1)%+5=8

(2)3久+4=5-2%

(3)8(2%—1)—(%—1)=-2(2x-1)

【答案】⑴3

【分析】(1)直接移项即可解答；

(2)先移项，再系数化为1即可解答；

(3)先去括号，然后再移项、合并同类项、系数化为1即可解答

【详解】(1)解：x+5=8

x=8—5

x=3.

(2)解：3汽+4=5-2%

3%+2%=5-4

5%=1

x=-1.

5

(3)解：8(2%-1)-(%-1)=-2(2%-1)

16%—8—%+1=-4%+2

16x—x+4x=24-8—1

19%=9

X=­9.

19

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同

类项、系数化为一.

【变式2](2324上•大连•期中)解方程：

21

(2)3%+7=32—2%.

【答案】⑴X=1

(2)%=5

【分析】移项合并，然后系数化为1计算求解即可.本题考查了解一元一次方程.熟练掌握先移项合并，

然后系数化为1,是解方程的关键.

【详解】(1)解：x+l=3x-l，

—2,x=-2,

x=1；

(2)解：3%+7=32-2x,

3%+2%=32—7,

Sx=25,

x=5.

【变式3】(23・24上•泰江•期中)解下列方程

2

(1)%——6+5

(2)4%—3=6%+5

【答案】⑴久=一|

(2)%=-4

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，"先去分母,

再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数的系数化为

【详解】(1)解：x-|尤=一6+5,

合并同类项得：|x=T，

未知数系数化为1得：x=-|;

(2)解：4%—3=6%+5,

移项，合并同类项得：-2%=8,

未知数系数化为1得：x=-4.

【变式4】(23・24上•全国・专题练习)解方程：

(1)1-3(%-2)=4

...2x+l5x-ly

(2)---------------=1

'，36

x—1Y+2

--=1?

(4)3|%-1|-7=2

【答案】⑴%二1

(2)%=-3

(3)x=6.4

(4)x=4或％=—2

【详解】(1)解:1一3(%—2)=4,

去括号，得1—3x+6=4,

移项，得-3%=4—6-1,

合并同类项，得—3%=—3,

系数化为1,得X=1;

(2)解：—=1,

36

去分母，得2(2%+1)-(5%-1)=6,

去括号，得4%+2—5%+1=6,

移项，得4%—5%—6—1—2,

合并同类项，得—％=3,

系数化为1,得l=-3；

⑶解：言-翟=12,

10X-1010x4-20

原方程可变形为=1.2,

35

去分母，得5(10%—10)-3(10%+20)=18,

去括号，得50比一50-30x-60=18,

移项，得50x—30久=18+50+60,

合并同类项，得20%=128,

系数化为1,得比=6.4；

(4)解:3|x-1|-7=2,

去绝对值，得：3(%-1)-7=2或3(1-％)-7=2,

去括号，得：3X—3—7=2或3-3x—7=2,

移项，得：3%=2+3+7或—3x=2-3+7,

合并同类项，得：3比=12或一3%=6,

系数化为1,得：%=4或%=-2.

【点睛】此题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法"去分母、去括号、移项、合并同类项、

系数化为1”是解题的关键.

【变式5](2324上•十堰•期中)解方程：

(l)2x—x+3=1.5—2%

(2)7%+2=5%+8

【答案】⑴%=-0.5；

(2)%=3.

【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为

【详解】(1)解：2万一%+3=1.5—2%，

移项得：2x-x+2x=1.5-3,

合并同类项得：3乂=一1.5,

系数化为1：x--0.5；

(2)解：7x+2—5x+8,

移项得：7x—5x=8-2,

合并同类项得：2x=6,

系数化为1：x=3.

考点4：一次方程的实际应用

典例4：(2324上,哈尔滨•阶段练习)制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，lm3木材可制作20个桌面,

或者制作400条桌腿，现有12m3木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应用多少立方米木材

来生产桌面？多少立方米木材生产桌腿？

【答案】应安排10立方米木材用来生产桌面，2立方米木材生产桌腿.

【分析】设应安排xm3木材用来生产桌面，则应安排(12-x)m3木材用来生产桌腿."Im3木材可制作20个

桌面，或者制作400条桌腿〃求出桌面数与桌腿数.根据一张桌子要用一个桌面和4条桌腿配套，利用桌面

数X4=桌腿数建立方程求出其解即可.

【详解】解：设用xm3木材制作桌面，则用(12-x)m3木材制作桌腿，

根据题意得4x20%=400(12-x),

整理得:480%=4800,

解得：x=10,

12-x=2.

答：应安排10立方米木材用来生产桌面，2立方米木材生产桌腿.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用与求解，根据题意正确列出方程式是解题关键.

【变式1](2324上•海淀•开学考试)"曹冲称象”是流传很广的故事，如图.按照他的方法：先将象牵到大

船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工,

这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记

位置.已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重.请将下列解答过程补充完整：

孙权曾致巨像,太祖欲知其斤重,

访之群下，咸莫能出其理,冲日：

“置象大船之上,而刻其水痕所

至,称物以载之,则校可知矣.”

—《三国志》

解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个

搬运工的体重，所以

①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是X斤，则可列方程为：.

②解这个方程得，%=.

③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=.个搬运工的体重

④最终可求得：大象的体重为斤.

【答案】20x+3X130=20x+久+130；260；2；5590

【分析】根据题意，表示出大象的重量可表示为(20%+3X130)斤，也可表示为(20x+x+130)斤，进而

可列方程求解即可.

【详解】解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重

量+1个搬运工的体重，所以

①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为:20x+3x130=20x+x+130.

②解这个方程得，%=260.

③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=2个搬运工的体重；

(4)20X260+3x130=5590,

即最终可求得：大象的体重为5590斤.

故答案为：20x+3X130=20x+x+130；260；2；55

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键.

【变式2］（2324上•武汉•期中）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球，己知该品牌的乒乓球拍

每副定价150元，乒乓球每盒定价15元.元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优

惠方案，即

方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；

方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款.

该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（%>20,尤为整数）.

⑴当x=40时，若该球馆按方案一购买，需付款元；若该球馆按方案二购买，需付款元；

（2）当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？

⑶若x=40,能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；

如果不能，请说明理由.

【答案】（1）1800,1890

（2）%=100

⑶先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需付款1770元

【分析】（1）根据两种方案的收费方式列式，计算x=40时的值即可；

（2）根据题意建立方程求解即可；

（3）根据题意得出方案一购买球拍，方案二购买剩余所需乒乓球.

【详解】（1）解：由题意得，方案一需付款：10xl50+15（x-20）=（15x+1200）元，

方案二需付款：10x150X90%+15%X90%=（13.5%+1350）%,

当x=40时，

方案一需付款：15x40+1200=1800（元）

方案二需付款：13.5x40+1350=1890（元），

故答案为：1800,1890；

（2）解：由题意得，15x+1200=13.5x+1350,

解得：%=100,

二当久=100时，分别用两种方式购买所需费用一样；

（3）解：先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需付款10X150+20X

15x90%=1770（元）.

【点睛】本题主要考查了列代数式及代数式求值问题，一元一次方程的应用，得到两种优惠方案付费的关

系式是解题的关键.

【变式3](2324上•沈阳,期中)已知数轴上两点力，B对应的数分别为-4,10,点P为数轴上一动点，对应

的数为X.

AB

-----*----1------------*---->

-4010

⑴若点P到点4点B的距离相等，请求出x的值；

(2)数轴上是否存在点P,使点P到点4点B的距离之和为20?若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；

⑶一小球甲从点4处以1个单位/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也

向左运动，追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动，设点力的运动的时间为t秒.请直接写出甲，

乙两小球到原点的距离相等时t的值.

r答案]⑴％=3

(2)存在；x=-7或13

(3)6秒或62秒

【分析】(1)根据点P到点4点8的距离相等，则可得X—(―4)=10-x,进而可求解.

(2)依题意得|x+4|+—10|=20,分类讨论：当x<-4时，当—4Wx<10时，当X210时，化简绝

对值即可求解.

(3)分类讨论：当甲，乙两小球到原点的距离第一次相等时和当甲，乙两小球到原点的距离第二次相等时，

利用距离相等为等量关系列出式子即可求解.

【详解】(1)解：由题意得：

x—(-4)=10—X,

解得：x=3.

(2)存在，理由如下：

由题意得：|x+4|+\x-101=20,

当x<一4时，+4|+-10|=-X—4—%+10=20,

解得：x=-7,

当一4<x<10时，+4|+—10|=x+4—%+10=20,

即：14=20,不符合题意，舍去，

当x>10时，|x+4|+|x—10|=尤+4+尤-10=20,

解得：%=13,

综上所述：%=-7或

（3）当甲，乙两小球到原点的距离第一次相等时，

依题意得：t+4=10—2（t—2）,

解得：t=6（秒）；

当甲，乙两小球到原点的距离第二次相等时，

甲、乙两小球相遇时，时间为：

2（t-2）-（t+4）=10,

解得：t=18（秒），

此时甲、乙两小球与原点的距离为：18+4=22,

贝U：t+4=2（t-2）-（10+2X22）,

解得：t=62秒，

综上所述：甲，乙两小球到原点的距离相等时t的值为：6秒或62秒.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴及化简绝对值，比较复杂，读题是难点，所以解题的关键

是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，利用分类讨论的思想解决

问题.

【变式4］（22-23下•浦东新•期末）六年级（1）班、（2）班各有48人，两个班都有一些同学参加课外数学

小组，（1）班参加数学小组的人数恰好是（2）班没有参加数学小组人数的点（2）班参加数学小组的人数恰

好是（1）班没有参加数学小组人数的|,六年级（1）班、（2）班没有参加数学小组的各有多少人？

【答案】六年级（1）、（2）班没有参加的同学有36人、24人

【详解】解：设六年级（1）班没有参加的同学有尤人，则（2）班参加的同学有|x人，

（1）班参加的同学有（48-尤）人，（2）班没有参加的同学有（48-|尤）人，

根据题意可得，

48-%=2（48-§久）

1

48—%=24——X

3

1

48—24=—-%+x

2

-x=24

%=36

22

048=48一±x36=48—24=24,

33

故六年级（1）、（2）班没有参加的同学有36人、24人.

【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用；从没有参加的人数开始分别列出各班没有参加和参加的人数

是解题的关键.

【变式5］（2324上•哈尔滨•阶段练习）水是生命之源，节约用水是全社会的共同责任.为了加强公民的节

水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控的手段达到节水的目的，某市自来水收费的价格表如下（水

费按月结算）

价格表

每月用水量价格

不超过6立方米的部分每立方米3元

超过6立方米不超过10立方米的部分每立方米5元

超过10立方米的部分每立方米8元

小亮家一月份用水自立方米，二月份用的水量比一月份用的节少2立方米.

65

⑴求小亮家一月份应交的水费.

（2）求小亮家二月份应交的水费.

⑶若小亮家三月份交的水费是二月份水费的杯，求小亮家三月份的用水量多少立方米.

【答案】⑴12.5

（2）28

⑶12

【分析】（1）根据表格中的收费方法，列式计算即可；

（2）根据表格中的收费方法，列式计算即可；

（3）设小亮家三月份的用水量是尤立方米，根据题意，求出x的范围，列出方程进行求解即可.

【详解】（1）解：根据题意得：至X3=12.5（元）.

6

答：应交水费12.5元；

故答案为：12.

（2）二月份用水量为2=8（立方米），

65

根据题意得：6x3+（8—6）x5=18+10=28（元）.

回张鸣家5月份应交水费28元；

（3）三月份交的水费为28=54（元），

14

设小亮家三月份的用水量是尤立方米，

当用水量为10立方米时，应交水费6x3+（10—6）x5=18+20=38（元），

054>38,

0x>10.

根据题意得6X3+（10-6）X5+（%-10）X8=54,

解得x=12.

答：小亮家三月份的用水量是12立方米.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用.解题的关键是理清收费方法，正确的列出方程和代数式.

【变式6]（2324上•南岸•期中）如图，在数轴上点A表示的数是-4,点B在点A的右侧，且到点A的距离

是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍.

]___________I_________I____________________________I_______

AOCB

⑴点B表示的数是；点（;表示的数是；

（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以

每秒3个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q重合，

求出t的值和此时点P对应的数；

⑶在（2）的条件下，当点Q到达点A后沿原路按原速返回，点P到达点8后两个点同时停止运动.是否存在

某一时刻3使得P、Q两点间的距离恰好等于线段4B的一半，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在,

请说明理由.

【答案】⑴14；2

（2）当t为3.6时，P,Q两点相遇，相遇点所表示的数是3.2

⑶t的值为1.8或5.4或9

【分析】(1)根据两点间的距离公式可求点B表示的数；根据线段的倍分关系可求点C表示的数；

(2)t秒后，点P表示的数为：-4+2t；点Q表示的数为：14-33根据相遇时点P、。表示的数相同得出

-4+21=14-33求出f的值即可；

(3)分Q还未返回前，Q返回途中两种情况讨论即可求解.

【详解】(1)解：点B表示的数是—4+18=14；点C表示的数是—4+18xg=2；

故答案为：14；

(2)解：t秒后，点P表不的数为：一4+2t；点Q表示的数为：14一3t,根据题意得：

-4+2t=14-3t,

解得：t—3.6

相遇点所表示的数为一4+2x3.6=3.2,

答：当t为3.6时，P,Q两点相遇，相遇点所表示的数是3.2；

(3)解：由已知得：P运动9秒到B,Q运动6秒到A,

Q还未返回前：点P表示的数为：-4+2t；点Q表示的数为：14—33

|14-3t-(-4+2t)l=18X0.5,

t=1.8或5.4,

Q返回途中：Q表示的数是一4+3(t-6),

-4+2t-[-4+3(t-6)]=9

解得：t=9,

答：t的值为1.8或5.4或

【点睛】本题考查了数轴、两点间的距离，本题渗透了分类讨论和方程的思想，在解决类似的问题时，要

防止漏解.

【变式7](2324上•沙坪坝•阶段练习)如图，将某些具有一定规律的数按照如下图的方式进行排列，得到

一个数阵，用如图的一个矩形框框住其中的4个数：

⑴若方框内最右上角的数是97,则最左下角的数为；

(2)若方框内最右上角的数用。表示，请用含。的代数式表示这4个数之和；

⑶方框内的4个数之和可能为612吗？若可能，求最右上角的数；若不可能，请说明理由.

【答案】⑴151

(2)4a+108

⑶见解析

【分析】(1)由题意即可得出结论；

(2)方框内最右上角的数为a,则其它三个数分别为a+18,a+36,a+54,利用代数式求和即可；

(3)由题意：方框内4个数的和为612,列出一元一次方程，解方程求出a,再由数阵排列规律即可得出结

论.

【详解】(1)国方框内最右上角的数是97,

则最左下角的数为：97+54=151；

故答案为：151；

(2)团方框内最右上角的数用a表示，

团第二个数为a+18,第三个数为a+36,最左下角的数为a+54,

13这4个数N和为：a+(a+18)+(a+36)+(a+54)=4a+108；

(3)不能，

理由是：4a+108=612,

解得：a=126,

根据数阵排列规律，不存在126这个数，所以方框内的4个数之和不可能为612.

【点睛】本题考查了数学规律题的解法的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法

的运用，解答时寻找数据变化的规律是解答的关键.

【变式8](22-23上•漠河•期末)某校初一(1)班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，

每题必答.下表记录了其中4个参赛者的得分情况.

参赛者答对题数答错题数得分

A200100

B288

C64

D1040

⑴请补全表格.

(2)参赛者E得82分，他答对了几道题？

⑶参赛者尸说他错了10个题，得50分，请你判断可能吗？并说明理由

【答案】⑴18,14,6,10

(2)17

⑶不可能，理由见解析

【分析】(1)先由A同学，。同学的得分可得可得答对一题得5分，答错一题扣1分，再填表即可；

(2)设E答对了y道题，则他答错了(20-y)道题，再由得分为82分建立方程求解即可；

(3)由。同学的情况可作判断.

【详解】(1)解：由A同学可得：100+20=5,可得答对一题得5分，

由。同学可得：10x5—40=10,10+10=1,可得答错一题扣1分，

SB同学答对18题，。同学答错10题，

设C同学答对x题，则答错(20-x)题，

05%—(20—%)=64

解得：x=14,

回C同学答对14题，答错6题.

(2)设E答对了y道题，则他答错了(20-y)道题，

团5y—(20—y)=82,

解得y=17；

(3)由。同学答错了10题，得分是40分，

团参赛者F说他错了10个题，得50分是错误的.

【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意，选择合适的方法

解题是关键.

【变式9](2324上•哈尔滨•阶段练习)比优特超市销售甲、乙两种商品，已知甲商品每件进价40元，售价

60兀；乙商品每件售价48兀，利润率为60%.

⑴每件甲商品利润率为;乙商品每件进价为元；

(2)若超市同时购进甲、乙两种商品共52件，总进价为1790元，则购进乙种商品多少件？

⑶在"十一国庆”期间超市所有商品有优惠促销活动，方案如下：

①购买商品不超过300元，不优惠；

②购买商品超过300元，但不超过500元，按照售价九折优惠；

③购买商品超过500元时，按照售价的八折优惠；

按照以上优惠条件，若王阿姨一次性购买甲商品实际付款432元，求王阿姨此次购物购买多少件甲商品？

【答案】⑴50%,30

(2)29件

(3)8件或者9件

【分析】(1)设乙的进价为龙元/件，根据乙的利润率为50%,求出x的值；

(2)设购进甲种商品x件，则购进乙种商品(52-x)件，再由总进价是1790元，列出方程求解即可；

(3)分两种情况讨论，①打折前购物金额超过300元，但不超过500元，②打折前购物金额超过500元,

分别列方程求解即可.

【详解】(1)解：甲商品的利润率为(60-40)+40=50%,

设乙的进价为x元/件，

贝l|48—x=60%x,

解得：x=30.

故乙的进价为30元/件；

故答案为：50%,30；

(2)设购进甲种商品x件，则购进乙种商品(52-%)件，

由题意得,40%+30(52-x)=1790,

解得：*=23,

52一刀=52—23=29

回购进乙种商品29件；

(3)设王阿姨此次购物购买机件甲商品，

①当打折前购物金额超过300元，但不超过500元时，

由题意得0.9x60y=432,

解得：y=8；

②当打折前购物金额超过500元时，

0.8x60y=432,

解得：y=9,

综上可得王阿姨此次购物购买8件或9件甲商品.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求

解.

【变式10］（2324上•哈尔滨・阶段练习）修一条公路，甲工程队单独承包要40天完成，乙工程队单独承包

要60天完成.

⑴现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？

（2）如果甲、乙两工程队合作12天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条路共

需要几天？

【答案】（1）24天

（2）42天

【分析】（1）设两队合作需要尤天完成，由工程问题的数量关系建立方程求出其解即可;

（2）设乙队单独做还需要y天完成，根据甲乙完成的工作量之和为1建立方程求出其解即可.

【详解】（］）设两队合作需要尤天完成，由题意，得

解得：x-24.

答：两人合做需要24天完成；

（2）设乙单独做还需要y天完成，由题意，得

12x（―+—）+—=1

\4060/60

解得：y=30.

12+30=42（天）.

答：修好这条路共需要42天.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，抓住关键描述语，找到等量关系列出

方程.

考点5：方程组的概念

典例5：（2223下•周口•阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

①仁¥②③慝[;＜：2

A,①②B.③④C.①②④D.①②③

【答案】C

【分析】根据二元一次方程组的定义：两个一次方程，共两个未知数，组成的方程组，进行判断即可.

【详解】解：①是二元一次方程组；②是二元一次方程组；③不是整式方程，不是二元一次方程组；④

是二元一次方程组；

故选C.

【点睛】本题考查二元一次方程组的识别，熟记定义，是解题的关键.

【变式1]（2223下•济宁•阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（）

（x+y=1-2y=3r2x+y=0（z=5

A.7„B.i,„C.„；D.hy_

+-7

kxy=2[-+y=3（3x-2=y[23

【答案】C

【分析】根据二元一次方程组的定义"把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元

一次方程组"进行判断即可得.

【详解】解：A、不是二元一次方程组，选项说法错误，不符合题意；

5汽_2V=3

二，不是二元一次方程组，选项说法错误，不符合题意；

{1=3

c、1：+?二，，是二元一次方程组，选项说法正确，符合题意；

—L,_y

（z=5

D、卜+2=7,不是二元一次方程组，选项说法错误，不符合题意；

12T3

故选：C.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握二元一次方程组的定义.

【变式2]（22-23下,廊坊•期中）若二元一次方程组产一惑=13的解为,则⑤表示的方程可以是

I0$）（y=

（）

A.x+y=4B.：—y=4C.xy=­3D.y=-3

【答案】D

【分析】将方程组的解代入每个选项分别计算即可判断.

【详解】解：A、将]:二口代入工+丫=4,