中考数学难点突破与训练：全等三角形中的倍长中线模型（含答案及解析）

专题07全等三角形中的倍长中线模型

【模型展示】

B

\/

\/

V

E

已知：在小ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD,连接AE则：BC平行

且等于AE.

特点

【证明】

延长BD到E,使DE=BD,连接CE,

,：AD是斜边5c的中线

：.AD=CD

■:ZADE=ZBDC

：./\ADE^/\BDC（SAS）

：.AE=BC,ZDBC=ZAED

J.AE//BC

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，

则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证

结论

明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中

线的时候）。

【模型证明】

2

：.ZF=ZCGE^9Q0.

义,：NBEF=/CEG,BE=CE,

在ABEF和^CEG中，

，ZF=ZCGE

-ZBEF=ZCEG,

BE=CE

△BFEgLCGE.

：.BF=CG.

在小ABF和4DCG中，

2F=NDGC

•••<ZBAE=ZCDE,

BF=CG

AABF^ADCG.

J.AB^CD.

方法三:

作CF〃AB,交DE的延长线于点F.

D

：.ZF=ZBAE.

3

文•：NBAE=ND,

：.ZF=ZD,

：.CF=CD.

<ZAEB=ZFEC

・・・<ZF=ZBAE,

BE=CE

AABE^AFCE.

：.AB=CF.

：.AB=CD.

【题型演练】

一、解答题

1.如图，AABC中，是2C边上的中线，E,E为直线上的点，连接BE,CF,且族〃B.

(1)求证：&BDE丝ACDF；

⑵若AE=15,AF=8,试求。E的长.

2.如图，在RMABC中，NAC2=90。，点。是的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线''加倍构造全

等，就可以测量与数量关系.请根据小明的思路，写出C。与的数景关系，并证明这个结论.

3.我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图，OA=OB,OC=OD,

ZAOB=ZCOD^90°,回答下列问题：

4

B

P

(1)求证：△O4C和△是兄弟三角形.

(2)“取8。的中点P,连接0P,试说明AC=2OP.”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲

的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题.

①请在图中通过作辅助线构造仆BPE出ADPO,并证明BE=OD；

②求证：AC=2OP.

4.【发现问题】

小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：

如图1,是AABC的中线，若A8=8,AC=6,求的取值范围.

【探究方法】

小强所在学习小组探究发现：延长至点E,使连接BE.可证出△AOC与△利用全等

三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个AABE中，进而求出AO的取值范围.

方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种

方法叫做倍长中线法.

【应用方法】

(1)请你利用上面解答问题的方法思路，写出求的取值范围的过程；

【拓展应用】

(2)已知：如图2,是△ABC的中线，8A=BC,点E在的延长线上，EC=BC.写出与AE之

间的数量关系并证明.

图1

图2

5

5.［问题背景］

①如图1,C£）为AA8C的中线，则有必4。£）=幺2。£）；

②如图2,将①中的/AC8特殊化，使/ACB=90。，则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明A8=2C。；

［问题应用］如图3,若点G为△ABC的重心（△ABC的三条中线的交点），CGL2G,若AGxBC=16,则4BGC

面积的最大值是（）

A.2B.8C.4D.6

6.先阅读，再回答问题：如图1,已知△ABC中，AD为中线.延长A。至E,使。E=AD.在△A3。和△EC。

中，AD=DE,ZADB=ZEDC,BD=CD,所以，XABD%AECD（SAS）,进一步可得到AB=CE,AB//CE

等结论.

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算

或证明题.

解决问题：如图2,在AABC中，是三角形的中线，尸为上一点，5.BF=AC,连结并延长B尸交AC

于点E,求证：AE=EF.

7.（1）如图1,若AABC是直角三角形，NBAC=90。，点D是BC的中点，延长AD到点E,使DE=AD,

连接CE,可以得到△ABD之AECD,这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”.求证：△ACE是直

角三角形

6

(2)如图2,△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点,

且DE_LDF.试说明BE2+CF2=EF2；

(3)如图3,在(2)的条件下，若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积.

图I国3

8.(1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

在△ABC中，AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1)：

①延长AD到Q,使得DQ=AD；

②再连接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中;

③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14,则AD的取值范围是.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条

件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

(2)请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.

(3)思考：己知，如图2,AD是AABC的中线，AB=AE,AC=AF,NBAE=NFAC=90。.试探究线段

AD与EF的数量和位置关系并加以证明.

图1图2

9.在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在AABC中，AB

=8,AC=6,点。是8c边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点E,使

7

AD=DE

然后连接BE（如图①），这样，在AADC和△£!阳中，由于，/ADC=/EDB,:.△ADCdEDB,：.AC

BD=CD

=EB,接下来，在△ABE中通过AE的长可求出的取值范围.

(1)在图①中，中线的取值范围是.

(2)应用上述方法，解决下面问题

①如图②，在AA8C中，点。是BC边上的中点，点E是边上的一点，作。fUOE交AC边于点E连

接ER若BE=4,CF=2,请直接写出所的取值范围.

②如图③，在四边形ABC。中，ZBCD=150°,/A£)C=30。，点E是A8中点，点厂在。C上，且满足BC

=CF,DF=AD,连接CE、ED,请判断CE与瓦>的位置关系，并证明你的结论.

10.阅读材料，解答下列问题.

如图1,已知AABC中，AD为中线.延长至点E,使DE=AD.在△AOC和△EDB中，AD=DE,

ZADC=ZEDB,BD=CD,所以，4ACD咨LEBD,进一步可得至UAC=BE,AC〃8E等结论.

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算

或证明题.

解决问题：如图2,在△ABC中，是三角形的中线，点尸为AD上一点，且BF=AC,连结并延长BP交

AC于点E,求证：AE=EF.

11.(1)如图1所示，在AABC中，D为3c的中点，求证：AB+AC>2AD

8

A

A

AM

甲说：不可能出现△ABD/Z\ACD,所以此题无法解决；

乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长AD至点E,使得=

连接BE、CE,由于5。=。。，所以可得四边形ABEC是平行四边形，请写出此处的依据

________________________________________(平行四边形判定的文字描述)

所以AC=3E,AABE中，AB+BE>AE,

即AB+AC>2AD

请根据乙提供的思路解决下列问题：

(2)如图2,在AABC中，。为8C的中点，AB=5,AC=3,AD=2,求AABC的面积；

(3)如图3,在44BC中，。为BC的中点，/为AC的中点，连接2M交AD于尸，若AM=MF.求证:

BF=AC.

12.(1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在△ABC中，AB=8,AC=6,

求边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图2),

图1图2图3

①延长到使得。

②连接通过三角形全等把AB、AC、2AO转化在中；

③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB-BM<AM<AB+BM,从而得到AD的取值范围

是;

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.

(2)请你写出图2中AC与的数量关系和位置关系，并加以证明.

(3)深入思考：如图3,是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF=9Q°,请直接利用(2)

的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明.

9

13.【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在AABC中，AD是8C边上的中线,

若延长AD至E,使DE=AD,连接CE,可根据SAS证明△板)/△£；€»,则AB=EC.

E

图①图②

(1)【类比探究】如图②，在ADEF中,DE=3,DF=1,点G是E尸的中点,求中线OG的取值范围;

(2)【拓展应用】如图③，在四边形ABCD中，AB//CD,点E是BC的中点.若AE是的平分线.试

探究AB,AD,。。之间的等量关系，并证明你的结论.

14.阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1,△ABC中，AB=6,AC=4,点D为BC的中点，求

AD的取值范围.

图1图3

(1)小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题.他的做法是：如图2,延长AD到E,使DE=

AD,连接BE,构造ABED丝ACAD,经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：AD的取值范围是.

(2)参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3,AABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，

连接PE并延长交BC于点D.求证：PA・CD=POBD.

15.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法.

10

⑴如图1,是AABC的中线，AB=7,AC=5求AD的取值范围.我们可以延长到点〃，使mf=AD,

连接BM,易证△ADCZ&WZJB,所以=接下来，在AABM中利用三角形的三边关系可求得40

的取值范围，从而得到中线相＞的取值范围是.

⑵如图2,AD是AABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点、F,且AE=EF,求证：AC=BF；

16.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线.

(1)如图1,4)是AABC的中线，Ag=7,AC=5,求Ar)的取值范围.我们可以延长AO到点V,使DM=AD,

连接8M,易证AADCMAMDB,所以浏/=AC.接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AM的

取值范围，从而得到中线AD的取值范围是;

(2)如图2,AD是AABC的中线，点E在边AC上，3E交AQ于点尸，且AE=EF,求证：AC=BF；

(3)如图3,在四边形A3CD中，AD//BC,点E是AB的中点，连接CE,ED且CELDE,试猜想线段

BC,CD,A。之间满足的数量关系，并予以证明.

17.问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是BC的中点，点A在DE上，

S.ZBAE=ZCDE.求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质.本题中要证相等的两条

11

线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而AB与8所在的两个三角形不全等.因此，要

证AB=CD,必须添加适当的辅助线构造全等三角形.以下是两位同学添加辅助线的方法.

第一种辅助线做法：如图②，延长QE到点孔使DE=EF,连接3尸；

第二种辅助线做法：如图③，作CGLOE于点G,MLDE交DE延长线于点冗

图①图③

图④

(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：

方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线

构造全等三角形来解决问题.

(2)方法运用：如图④，AD是AABC的中线，BE与交于点/且AE=EF.求证：BF=AC.

12

专题07全等三角形中的倍长中线模型

【模型展示】

B

\/

\/

V

E

已知：在△ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD,连接AE

特点则：BC平行且等于AE.

【证明】

延长BD到E,使DE=BD,连接CE,

\'AD是斜边BC的中线

：.AD=CD

'：ZADE=ZBDC

:AADE出/\BDC（SAS）

：.AE=BC,ZDBC=ZAED

J.AE//BC

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接

相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法

结论

多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是

原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【模型证明】

方法一

解决方

案已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，JLZBAE=ZCDE,则：AB=CD.

13

14

15

'Z?£B=ZFEC

ZF=ZBAE,

BE=CE

AABE^AFCE.

：.AB=CF.

：.AB=CD.

【题型演练】

一、解答题

1.如图，AABC中,是BC边上的中线,EI为直线上的点，连接且BE〃CF.

⑴求证：xBDE9CDF；

⑵若AE=15,Ab=8,试求。E的长.

【答案】（1）见解析；

【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；

（2）由（1）结论计算线段差即可解答；

（1）

证明：'：BE//CF,:./BED=NCFD,

VZBDE=ZCDF,BD=CD,

：.J\BDE^/\CDF（AAS）；

（2）

解：由（1）结论可得

EF=AE-AF=15-8=1,

7

：.DE=--,

2

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS）和性质；掌握全等三角形的

判定和性质是解题关键.

2.如图，在RdABC中，ZACB=90°,点。是AB的中点，小明发现，用己学过的“倍长中

线”加倍构造全等，就可以测量C。与数量关系.请根据小明的思路，写出。与A8的

数景关系，并证明这个结论.

16

A

【答案】CD=gA2,证明过程详见解析

【分析】延长C。到点E,使ED=CD,连接BE,根据全等三角形的判定和性质即可求解.

【详解】解：CD=^AB,证明：如图，延长C。到点E,使EC=CD,连接BE,

在4和△AOC中,

BD=AD

<ZBDE=ZADC

ED=CD

：.ABDEmAADQSAS),

：.EB=AC,ZDBE=ZA,

：.BE//ACf

,/ZACB=90°,

：.ZEBC=180°-ZACB=90°,

：・/EBC=/ACB,

在^ECB和△ABC中，

EB=AC

<ZEBC=ZACB

CB=BC

：.AECB^AABQSAS),

：.EC=AB,

：.CD=^-EC=^-AB.

22

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线.

3.我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图，on

=OB,OC=OD,NAOB=NCOZ)=90。，回答下列问题：

17

B

P

(1)求证：△OAC和△是兄弟三角形.

(2)“取8。的中点尸，连接。尸，试说明AC=20P”聪明的小王同学根据所要求的结论，想

起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列

问题.

①请在图中通过作辅助线构造仆BPE冬&DPO,并证明BE=OD；

②求证：AC=2OP.

【答案】(1)见解析

⑵①见解析；②见解析

【分析】(1)证出N40C+N20D=180。，由兄弟三角形的定义可得出结论；

(2)①延长。尸至E,使PE=OP,证明△也△OP。(SAS),由全等三角形的性质得出

BE=OD；

②证明△EBO名△COA(SAS),由全等三角形的性质得出OE=AC,则可得出结论.

(1)

证明：VZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOC+ZBOD=3600-ZAOB-ZC(9D=360o-90o-90°=180°,

又,：AO=OB,OC=OD,

...△。4(7和4。8£)是兄弟三角形；

(2)

①证明：延长OP至E,使PE=OP,

:尸为2。的中点,

18

：.BP=PD,

又,：NBPE=NDPO,PE=OP,

:.△BPEQXDPO(SAS),

：.BE=OD；

②证明：：△BPE0△£>P。，

:./E=/DOP,

：.BE//OD,

：.ZEBO+ZBOD=ISO°,

又：/8OO+/AOC=180。，

：.ZEBO=ZAOC,

:BE=OD,OD=OC,

：.BE=OC,

又：OB=OA,

.♦.△EBO注△COA(SAS),

OE=AC,

又〈OE=2OP,

：.AC=2OP.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确

作出辅助线是解题的关键.

4.【发现问题】

小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：

如图1,是AABC的中线，若AB=8,AC=6,求的取值范围.

【探究方法】

小强所在学习小组探究发现:延长AD至点E,使即=AD,连接3E.可证出△4。。与4EDB,

利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到同一个△A3E中，进而求出AD的取值

范围.

方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角

形，我们把这种方法叫做倍长中线法.

【应用方法】

(1)请你利用上面解答问题的方法思路，写出求的取值范围的过程；

【拓展应用】

(2)已知：如图2,是AA8C的中线，BA=BC,点E在BC的延长线上，EC=BC.写

出与AE之间的数量关系并证明.

19

图1

图2

【答案】(1)1<AD<7；(2)2AD=AE.理由见解析

【分析1(1)延长至点E,使DE=AD,连接BE,证明△BDE^ACDACSAS),得出AC=BE=6,

由三角形三边关系可得出答案；

(2)延长AD至R使由S4S证明△瓦加乌△CD4,利用己知条件推出

再由SAS1证明△ACEmAFBA即可得到2AO=AE.

【详解】(1)证明：延长A£)至E,使DE=AD,

是2C边上的中线，

：.BD=CD,

在48。£和4CDA中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDA,

DE=DA

:.ABDE冬/XCDA(SAS),

：.AC=BE=6,

在AABE中,AB-BE<AE<AB+BE,

：.8-6<2AD<8+6,

：.1<AD<1；

(2)2AD=AE.理由如下：

证明：延长A£)至凡使£>B=A£>,

是BC的中线,

：.BD=CD,

20

在48。尸和△CDA中，

BD=CD

<ZBDF=ZCDA,

DF=DA

••・△BDF咨ACDA(SAS),

：.AC=BFfZCAD=ZFf

：.AC//BF,

：.ZFBA+ZBAC=lSO°f

U：BA=BC,

：.ZBAC=ZBCAf

•・•NACE+N3cA=180。，

JZFBA=ZACE,

9

：BA=BCfEC=BC,

：.BA=EC,

在△FA4中，

CE=BA

<NACE=NFBA,

AC=BF

：./\ACE^/\FBA(SAS),

：.AE=AF,

'：2AD=AF,

：.2AD=AE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判

定方法是解题的关键.

5.［问题背景］

①如图1,C0为△ABC的中线，则有S』ACD=S』3C。；

②如图2,将①中的NAC3特殊化，使NAC8=90。，则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明

AB=2CD；

［问题应用］如图3,若点G为△A3C的重心(△ABC的三条中线的交点)，CGL3G,若AGxBC

=16,则△BGC面积的最大值是()

A.2B.8C.4D.6

21

【答案】［问题背景］①见解析；②见解析；［问题应用］c

【分析】［问题背景］①设A8边的高长为/7,可得5/8=；/1。＞＜九5/8=；8。*人再由

AD-BD,即可求证；

②延长CD至点E,DE=CD,连接AE,BE,根据AD=BD,可得四边形ACBE是平行四

边形，再由NACB=90。，可得到四边形ACBE是矩形，即可求证

［问题应用］如图，过点G作GHLBC于点〃，根据题意可得点。是BC的中点，AG=2DG,

从而得至|JDG=；8C,得至IJAG=BC,再由AGX8C=16,可得至UAG=BC=4,再由GH_LBC,

可得G比。G,从而得到当G〃=DG时，ABGC面积的最大，即可求解.

【详解】解：［问题背景］①设AB边的高长为人，

S^ACD=5A。xh,S#CD=5BDxh,

〈CO为△ABC的中线，即AO=3D,

・q―q

,•-°ABCD；

②如图，延长CO至点E,使DE=CD,连接AE,BE,

二,CO为△ABC的中线，

：.AD=BD,

■:DE=CD,

・・・四边形AC3E是平行四边形，

,/ZACB=90°,

・・・四边形AC3E是矩形，

：.AB=CE,

•；DE=CD,

：.AB=CD-^DE=2CD；

［问题应用］如图，过点G作GH_L3C于点H,

22

H

E

AFB

图3

•.•点G为△ABC的重心（△ABC的三条中线的交点），

二点。是2C的中点，AG=2DG,

•：CG±BG,

：.DG=-BC,

2

：.AG=BC,

；AGxBC=16,

,\AG=BC=4,

DG=2,

'：GH±BC,

：.GH<DG,

.•.当GH=2,即G8=£）G时，ABGC面积的最大，最大值为

-DGxBC=-x2x4=4.

22

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，重心的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理，

重心的性质是解题的关键.

6.先阅读，再回答问题：如图1,已知AABC中，为中线.延长至E,®DE=AD.在

△48。和4£0）中，AD=DE,NADB=NEDC,BD=CD,所以，△A8O0ZXEC。（SAS）,

进一步可得到A2=CE,AB〃CE等结论.

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决

一些相关的计算或证明题.

解决问题：如图2,在△ABC中，是三角形的中线，尸为4。上一点，5.BF^AC,连结

并延长3P交AC于点E,求证：AE=EF.

23

A

【答案】证明见试题解析.

【分析】延长AD到G,使DF=DG,连接CG,得至UBD=DC,根据&4S推出△BDFdCDG,

根据全等三角形的性质得出出三CG,ZBFD=ZG,求出NAPE=NG,CG=AC,推出

ZG=ZCAF,求出ZAFE=ZCAF即可.

【详解】解：延长A。到G,DF=DG,连接CG,

是中线，

：.BD=DC,

在△BDF^DACOG中，

;BD=DC,ZBDF=ZCDG,DF=DG,

：.4BDFm丛CDG,

：.BF=CG,ZBFD=ZG,

'：NAFE=/BFD,

：.NAFE=NG,

;BF=CG,且已知BF=AC,

CG=AC,

：.ZG=ZCAF,

：.ZAFE^ZCAF,

：.AE=EF.

24

【点睛】本题考查了倍长中线法、三角形全等的判定、性质及等腰三角形的性质等，本题的

关键是借助阅读材料中提供的方法延长AD到G,使。尸=OG,进而构造三角形全等.

7.(1)如图1,若AABC是直角三角形，NBAC=90。，点D是BC的中点，延长AD到点

E,使DE=AD,连接CE,可以得到△ABDgAECD,这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍

长中线法”.求证：AACE是直角三角形

(2)如图2,△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、

AC边上的点，且DEDF.试说明BE2+CF2=EF2；

(3)如图3,在(2)的条件下，若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积.

图1'\/图2图3

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)—.

4

【分析】(1)根据全等三角形的性质和直角三角形的判定解答即可；

(2)延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,根据全等三角形的判定和性质进行解

答；

(3)连接AD,根据全等三角形的判定和性质和三角形的面积公式解答即可.

【详解】(1)VAABD^AECD

.\ZECD=ZB

ZBAC=90°

.•.ZB+ZBCA=90°

ZBCE+ZBCA=90。,即ZACE=90°

/.△ACE是直角三角形

(2)延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,

VDE=DG,DF±DE,

；.DF垂直平分DE,

；.EF=FG,

25

•・，D是BC中点，

・・・BD=CD,

在^BDE和^CDG中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDG,

DE=DG

AABDE^ACDG(SAS),

ABE=CG,NDCG=NDBE,

VZACB+ZDBE=90°,

AZACB+ZDCG=90°,即NFCG=90。,

,.,CG2+CF2=FG2,

.*.BE2+CF2=EF2；

(3)连接AD,

VAB=AC,D是BC中点，

.\ZBAD=ZC=45O,AD=BD=CD,

VZADE+ZADF=90°,ZADF+ZCDF=90°,

・•・ZADE=ZCDF,

在^ADE和^CDF中，

NBAD=NC

<AD=CD,

/ADE=/CDF

AAADE^ACDF(ASA),

AAE=CF,BE=AF,AB=AC=17,

S四边形AEDF=~SAABC,

.'.SAAEF=—X5X12=30,

2

•••△DEF的面积==SAABC-SAAEF=-^—.

24

【点睛】考查全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应边相等、对应角相等

是解题基础，将待求线段转化成求等长线段是解题的关键.

8.(1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

26

在△ABC中，AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1)：

①延长AD到Q,使得DQ=AD；

②再连接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中；

③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14,则AD的取值范围是.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形,

把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

(2)请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.

(3)思考：已知，如图2,AD是AABC的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=

90°.试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明.

图1图2

【答案】(1)2<AD<7；(2)AC//BQ,理由见解析；(3)EF=2AD,ADLEF,理由见解

析

【分析】(1)先判断出进而得出△QDBg/XAOC(&4S),得出8Q=AC=5,最

后用三角形三边关系即可得出结论；

(2)由(1)知，△QDB^/\ADC(SAS),得出/CA£),即可得出结论；

(3)同(1)的方法得出(SAS),则/。BQ=/AC£>,BQ=AC,进而判断

出进而判断出△得出NBAQ=NAEF,即可得

出结论.

【详解】解：(1)延长到。使得。。=4。，连接80,

:是△ABC的中线，

：.BD=CD,

BD=CD

在△QO8和AADC中，■ZBDQ=ZCDA,

DQ=DA

:.AQDB”AADC(S4S),

.•.BQ=AC=5,

在AAB。中，AB-BQ<AQ<AB+BQ,

27

.'.4<Ae<14,

A2<AD<7,

故答案为2VAOV7；

(2)AC//BQ,理由：由(1)知，△QDB^AADC,

:・NBQD=NCAD,

：.AC//BQ；

(3)EF=2AD,ADLEF,

理由：如图2,延长AO到。使得3Q=A。，连接3Q,

由(1)知，△BDQ^/\CDA(SAS),

：・/DBQ=/ACD,BQ=AC,

'：AC=AFf

：.BQ=AF,

在△ABC中，ZBAC+ZABC+ZACB=180°,

・•・ZBAC+ZABC+ZDBQ=180°,

ZBAC+ABQ=1SO°9

'：ZBAE=ZFAC=90°9

：.ZBAC+ZEAF=180°f

：.ZABQ=ZEAFf

AB=EA

在和△耳1尸中，<ZABQ=ZEAF,

BQ=AF

：.AABQ^/\EAF,

：.AQ=EF,ZBAQ=ZAEF9

延长D4交E尸于P,

9：ZBAE=90°,

・・・N8AQ+NEAP=90。，

ZAEF+ZEAP=90°f

：.ZAPE=90°,

：.AD±EFf

*：AD=DQ,

・・・AQ=2A。，

9

\AQ=EFf

:・EF=2AD,

即：EF=2AD,AD±EF.

28

E

Q

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等

三角形是解题的关键.

9.在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在

△ABC中，AB=8,AC=6,点。是BC边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以

延长到点E,®AD=DE,然后连接BE（如图①），这样，在△AOC和△即8中，由于

AD=DE

<ZADC=ZEDB,:.AADC乌AEDB,：.AC^EB,接下来，在△ABE中通过AE■的长可求

BD=CD

出的取值范围.

请你回答：

图①图②图③

（1）在图①中，中线AD的取值范围是.

（2）应用上述方法，解决下面问题

①如图②，在AABC中，点。是8c边上的中点，点E是边上的一点，作DFLDE交

AC边于点P,连接EF若BE=4,CF=2,请直接写出跖的取值范围.

②如图③，在四边形ABC。中，ZBC£>=150°,NAOC=30。，点E是48中点，点厂在。C

上，且满足BC=CRDF=AD,连接“、ED,请判断CE与即的位置关系，并证明你的

结论.

【答案】（1）1<AD<7；（2）①2<EF<6；②CELED,理由见解析

【分析】（1）在△ABE中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；

（2）①延长ED到点N,使ED=DN,连接CN、FN,由SAS证得NVDC三AEDB,得出

BE=CN=4,由等腰三角形的性质得出跖=肮，在ACFN中，根据三角形的三边关系定

理即可得出结果；

29

②延长CE与DA的延长线交于点G,易证DG〃:BC,得出NG4E=/CBE,由ASA证得

AGAE=ACBE,得出GK=CK,AG=3C,即可证得CD=GD,由GE=CE,根据等腰三角

形的性质可得出CELED.

【详解】(1)在△ABE中，由三角形的三边关系定理得：AB-BE<AE<AB+BE

8—6<AE<8+6,即2<AE<14

.-.2<2AD<14,即1<AD<7

故答案为：1<AD<7；

(2)①如图②，延长ED到点N,使ED=DN,连接CN、FN

•.•点D是BC边上的中点

:.BD=CD

CD=BD

在ANDC和AEDB中，<ZCDN=ZBDE

DN=ED

:.ANDC=AEDB(SAS)

:.BE=CN=4

DFA.DE,ED=DN

・•.ASW是等腰三角形，EF=FN

在ACFN中，由三角形的三边关系定理得：CN-CF<FN<CN+CF

:.4-2<FN<4+2,即2<KV<6

:.2<EF<6；

②CE上ED；理由如下：

如图③，延长CE与DA的延长线交于点G

・・,点E是AB中点

:.BE=AE

・・•Z.BCD=150°,ZADC=30°

J.DGHBC

.\ZGAE=ZCBE

ZGAE=ZCBE

在4GAE和ACBE中，«AE=BE

ZAEG=ZBEC

:.AGAE^ACBE(ASA)

:.GE=CE,AG=BC

・・・BC=CF,DF=AD

:.CF+DF=BC+AD=AG+AD,即CD=GD

•;GE=CE

.•.CE，E».(等腰三角形的三线合一)

30

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的

判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.

10.阅读材料，解答下列问题.

如图1,已知AABC中，AD为中线.延长至点E,使DE=AD.在△AOC和△EDB中，

AD=DE,ZADC=ZEDB,BD=CD,所以，4ACD沿4EBD,进一步可得至〕JAC=BE,AC//BE

等结论.

图1图2

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决

一些相关的计算或证明题.

解决问题：如图2,在△ABC中，4。是三角形的中线，点厂为4。上一点，＞BF=AC,连

结并延长交AC于点£,求证：AE=EF.

【答案】详见解析

【分析】延长AD到M,使DM=AD,连接BM,根据SAS推出△BDMgZkCDA,根据全

等三角形的性质得出BM=AC,NCAD=NM，根据BF=AC可得BF=BM，推出/BFM=NM,

求出/AFE=NEAF即可.

【详解】如图，延长AD至点〃，使得=并连结

31

E

：是三角形的中线,

:.BD=CD,

在△MD3和△ADC中,

BD=CD,

<ZBDM=ZCDA,

DM=DA,

：.AMDB沿AADC,

AAC=MB,NBMD=NCAD,

'：BF=AC,

BF=BM,

：.NBMD=NBFD,

VZBFD=ZEFA,NBMD=NCAD,

：.NEFA=NEAF,^AE=EF.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查

学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形.

11.(1)如图1所示，在