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文档简介
专题07全等三角形中的倍长中线模型
【模型展示】
B
\/
\/
V
E
已知:在小ABC中,D为AC中点,连接BD并延长到E使得DE=BD,连接AE则:BC平行
且等于AE.
特点
【证明】
延长BD到E,使DE=BD,连接CE,
,:AD是斜边5c的中线
:.AD=CD
■:ZADE=ZBDC
:./\ADE^/\BDC(SAS)
:.AE=BC,ZDBC=ZAED
J.AE//BC
倍长中线是指加倍延长中线,使所延长部分与中线相等,然后往往需要连接相应的顶点,
则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证
结论
明边之间的关系(通常用“SAS”证明)(注:一般都是原题已经有中线时用,不太会有自己画中
线的时候)。
【模型证明】
2
:.ZF=ZCGE^9Q0.
义,:NBEF=/CEG,BE=CE,
在ABEF和^CEG中,
,ZF=ZCGE
-ZBEF=ZCEG,
BE=CE
△BFEgLCGE.
:.BF=CG.
在小ABF和4DCG中,
2F=NDGC
•••<ZBAE=ZCDE,
BF=CG
AABF^ADCG.
J.AB^CD.
方法三:
作CF〃AB,交DE的延长线于点F.
D
:.ZF=ZBAE.
3
文•:NBAE=ND,
:.ZF=ZD,
:.CF=CD.
<ZAEB=ZFEC
・・・<ZF=ZBAE,
BE=CE
AABE^AFCE.
:.AB=CF.
:.AB=CD.
【题型演练】
一、解答题
1.如图,AABC中,是2C边上的中线,E,E为直线上的点,连接BE,CF,且族〃B.
(1)求证:&BDE丝ACDF;
⑵若AE=15,AF=8,试求。E的长.
2.如图,在RMABC中,NAC2=90。,点。是的中点,小明发现,用已学过的“倍长中线''加倍构造全
等,就可以测量与数量关系.请根据小明的思路,写出C。与的数景关系,并证明这个结论.
3.我们规定:有两组边相等,且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图,OA=OB,OC=OD,
ZAOB=ZCOD^90°,回答下列问题:
4
B
P
(1)求证:△O4C和△是兄弟三角形.
(2)“取8。的中点P,连接0P,试说明AC=2OP.”聪明的小王同学根据所要求的结论,想起了老师上课讲
的“中线倍长”的辅助线构造方法,解决了这个问题,按照这个思路回答下列问题.
①请在图中通过作辅助线构造仆BPE出ADPO,并证明BE=OD;
②求证:AC=2OP.
4.【发现问题】
小强在一次学习过程中遇到了下面的问题:
如图1,是AABC的中线,若A8=8,AC=6,求的取值范围.
【探究方法】
小强所在学习小组探究发现:延长至点E,使连接BE.可证出△AOC与△利用全等
三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个AABE中,进而求出AO的取值范围.
方法小结:从上面思路可以看出,解决问题的关键是将中线延长一倍,构造出全等三角形,我们把这种
方法叫做倍长中线法.
【应用方法】
(1)请你利用上面解答问题的方法思路,写出求的取值范围的过程;
【拓展应用】
(2)已知:如图2,是△ABC的中线,8A=BC,点E在的延长线上,EC=BC.写出与AE之
间的数量关系并证明.
图1
图2
5
5.[问题背景]
①如图1,C£)为AA8C的中线,则有必4。£)=幺2。£);
②如图2,将①中的/AC8特殊化,使/ACB=90。,则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明A8=2C。;
[问题应用]如图3,若点G为△ABC的重心(△ABC的三条中线的交点),CGL2G,若AGxBC=16,则4BGC
面积的最大值是()
A.2B.8C.4D.6
6.先阅读,再回答问题:如图1,已知△ABC中,AD为中线.延长A。至E,使。E=AD.在△A3。和△EC。
中,AD=DE,ZADB=ZEDC,BD=CD,所以,XABD%AECD(SAS),进一步可得到AB=CE,AB//CE
等结论.
在已知三角形的中线时,我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形,并进一步解决一些相关的计算
或证明题.
解决问题:如图2,在AABC中,是三角形的中线,尸为上一点,5.BF=AC,连结并延长B尸交AC
于点E,求证:AE=EF.
7.(1)如图1,若AABC是直角三角形,NBAC=90。,点D是BC的中点,延长AD到点E,使DE=AD,
连接CE,可以得到△ABD之AECD,这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”.求证:△ACE是直
角三角形
6
(2)如图2,△ABC是直角三角形,ZBAC=90°,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,
且DE_LDF.试说明BE2+CF2=EF2;
(3)如图3,在(2)的条件下,若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积.
图I国3
8.(1)阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
在△ABC中,AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图1):
①延长AD到Q,使得DQ=AD;
②再连接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中;
③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14,则AD的取值范围是.
感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”等条件,可以考虑倍长中线,构造全等三角形,把分散的已知条
件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
(2)请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.
(3)思考:己知,如图2,AD是AABC的中线,AB=AE,AC=AF,NBAE=NFAC=90。.试探究线段
AD与EF的数量和位置关系并加以证明.
图1图2
9.在利用构造全等三角形来解决的问题中,有一种典型的利用倍延中线的方法,例如:在AABC中,AB
=8,AC=6,点。是8c边上的中点,怎样求的取值范围呢?我们可以延长到点E,使
7
AD=DE
然后连接BE(如图①),这样,在AADC和△£!阳中,由于,/ADC=/EDB,:.△ADCdEDB,:.AC
BD=CD
=EB,接下来,在△ABE中通过AE的长可求出的取值范围.
(1)在图①中,中线的取值范围是.
(2)应用上述方法,解决下面问题
①如图②,在AA8C中,点。是BC边上的中点,点E是边上的一点,作。fUOE交AC边于点E连
接ER若BE=4,CF=2,请直接写出所的取值范围.
②如图③,在四边形ABC。中,ZBCD=150°,/A£)C=30。,点E是A8中点,点厂在。C上,且满足BC
=CF,DF=AD,连接CE、ED,请判断CE与瓦>的位置关系,并证明你的结论.
10.阅读材料,解答下列问题.
如图1,已知AABC中,AD为中线.延长至点E,使DE=AD.在△AOC和△EDB中,AD=DE,
ZADC=ZEDB,BD=CD,所以,4ACD咨LEBD,进一步可得至UAC=BE,AC〃8E等结论.
在已知三角形的中线时,我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形,并进一步解决一些相关的计算
或证明题.
解决问题:如图2,在△ABC中,是三角形的中线,点尸为AD上一点,且BF=AC,连结并延长BP交
AC于点E,求证:AE=EF.
11.(1)如图1所示,在AABC中,D为3c的中点,求证:AB+AC>2AD
8
A
A
AM
甲说:不可能出现△ABD/Z\ACD,所以此题无法解决;
乙说:根据倍长中线法,结合我们新学的平行四边形的性质和判定,我们可延长AD至点E,使得=
连接BE、CE,由于5。=。。,所以可得四边形ABEC是平行四边形,请写出此处的依据
________________________________________(平行四边形判定的文字描述)
所以AC=3E,AABE中,AB+BE>AE,
即AB+AC>2AD
请根据乙提供的思路解决下列问题:
(2)如图2,在AABC中,。为8C的中点,AB=5,AC=3,AD=2,求AABC的面积;
(3)如图3,在44BC中,。为BC的中点,/为AC的中点,连接2M交AD于尸,若AM=MF.求证:
BF=AC.
12.(1)方法学习:数学兴趣小组活动时,张老师提出了如下问题:如图1,在△ABC中,AB=8,AC=6,
求边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图2),
图1图2图3
①延长到使得。
②连接通过三角形全等把AB、AC、2AO转化在中;
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB-BM<AM<AB+BM,从而得到AD的取值范围
是;
方法总结:上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.
(2)请你写出图2中AC与的数量关系和位置关系,并加以证明.
(3)深入思考:如图3,是△ABC的中线,AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF=9Q°,请直接利用(2)
的结论,试判断线段与的数量关系,并加以证明.
9
13.【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想,如图①,在AABC中,AD是8C边上的中线,
若延长AD至E,使DE=AD,连接CE,可根据SAS证明△板)/△£;€»,则AB=EC.
E
图①图②
(1)【类比探究】如图②,在ADEF中,DE=3,DF=1,点G是E尸的中点,求中线OG的取值范围;
(2)【拓展应用】如图③,在四边形ABCD中,AB//CD,点E是BC的中点.若AE是的平分线.试
探究AB,AD,。。之间的等量关系,并证明你的结论.
14.阅读下面材料:小军遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,AB=6,AC=4,点D为BC的中点,求
AD的取值范围.
图1图3
(1)小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题.他的做法是:如图2,延长AD到E,使DE=
AD,连接BE,构造ABED丝ACAD,经过推理和计算使问题得到解决.
请回答:AD的取值范围是.
(2)参考小军思考问题的方法,解决问题:如图3,AABC中,E为AB中点,P是CA延长线上一点,
连接PE并延长交BC于点D.求证:PA・CD=POBD.
15.在通过构造全等三角形解决的问题中,有一种典型的方法是倍延中线法.
10
⑴如图1,是AABC的中线,AB=7,AC=5求AD的取值范围.我们可以延长到点〃,使mf=AD,
连接BM,易证△ADCZ&WZJB,所以=接下来,在AABM中利用三角形的三边关系可求得40
的取值范围,从而得到中线相>的取值范围是.
⑵如图2,AD是AABC的中线,点E在边AC上,BE交AD于点、F,且AE=EF,求证:AC=BF;
16.在通过构造全等三角形解决的问题中,有一种典型的方法是倍延中线.
(1)如图1,4)是AABC的中线,Ag=7,AC=5,求Ar)的取值范围.我们可以延长AO到点V,使DM=AD,
连接8M,易证AADCMAMDB,所以浏/=AC.接下来,在中利用三角形的三边关系可求得AM的
取值范围,从而得到中线AD的取值范围是;
(2)如图2,AD是AABC的中线,点E在边AC上,3E交AQ于点尸,且AE=EF,求证:AC=BF;
(3)如图3,在四边形A3CD中,AD//BC,点E是AB的中点,连接CE,ED且CELDE,试猜想线段
BC,CD,A。之间满足的数量关系,并予以证明.
17.问题探究:数学课上老师让同学们解决这样的一个问题:如图①,已知E是BC的中点,点A在DE上,
S.ZBAE=ZCDE.求证:AB=CD.
分析:证明两条线段相等,常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质.本题中要证相等的两条
11
线段不在同一个三角形中,所以考虑从全等三角形入手,而AB与8所在的两个三角形不全等.因此,要
证AB=CD,必须添加适当的辅助线构造全等三角形.以下是两位同学添加辅助线的方法.
第一种辅助线做法:如图②,延长QE到点孔使DE=EF,连接3尸;
第二种辅助线做法:如图③,作CGLOE于点G,MLDE交DE延长线于点冗
图①图③
图④
(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明:
方法总结:以上方法称之为“倍长中线”法,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线
构造全等三角形来解决问题.
(2)方法运用:如图④,AD是AABC的中线,BE与交于点/且AE=EF.求证:BF=AC.
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专题07全等三角形中的倍长中线模型
【模型展示】
B
\/
\/
V
E
已知:在△ABC中,D为AC中点,连接BD并延长到E使得DE=BD,连接AE
特点则:BC平行且等于AE.
【证明】
延长BD到E,使DE=BD,连接CE,
\'AD是斜边BC的中线
:.AD=CD
':ZADE=ZBDC
:AADE出/\BDC(SAS)
:.AE=BC,ZDBC=ZAED
J.AE//BC
倍长中线是指加倍延长中线,使所延长部分与中线相等,然后往往需要连接
相应的顶点,则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法
结论
多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明)(注:一般都是
原题已经有中线时用,不太会有自己画中线的时候)。
【模型证明】
方法一
解决方
案已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,JLZBAE=ZCDE,则:AB=CD.
13
14
15
'Z?£B=ZFEC
ZF=ZBAE,
BE=CE
AABE^AFCE.
:.AB=CF.
:.AB=CD.
【题型演练】
一、解答题
1.如图,AABC中,是BC边上的中线,EI为直线上的点,连接且BE〃CF.
⑴求证:xBDE9CDF;
⑵若AE=15,Ab=8,试求。E的长.
【答案】(1)见解析;
【分析】(1)根据两直线平行内错角相等;全等三角形的判定(角角边);即可证明;
(2)由(1)结论计算线段差即可解答;
(1)
证明:':BE//CF,:./BED=NCFD,
VZBDE=ZCDF,BD=CD,
:.J\BDE^/\CDF(AAS);
(2)
解:由(1)结论可得
EF=AE-AF=15-8=1,
7
:.DE=--,
2
【点睛】本题考查了平行线的性质,全等三角形的判定(AAS)和性质;掌握全等三角形的
判定和性质是解题关键.
2.如图,在RdABC中,ZACB=90°,点。是AB的中点,小明发现,用己学过的“倍长中
线”加倍构造全等,就可以测量C。与数量关系.请根据小明的思路,写出。与A8的
数景关系,并证明这个结论.
16
A
【答案】CD=gA2,证明过程详见解析
【分析】延长C。到点E,使ED=CD,连接BE,根据全等三角形的判定和性质即可求解.
【详解】解:CD=^AB,证明:如图,延长C。到点E,使EC=CD,连接BE,
在4和△AOC中,
BD=AD
<ZBDE=ZADC
ED=CD
:.ABDEmAADQSAS),
:.EB=AC,ZDBE=ZA,
:.BE//ACf
,/ZACB=90°,
:.ZEBC=180°-ZACB=90°,
:・/EBC=/ACB,
在^ECB和△ABC中,
EB=AC
<ZEBC=ZACB
CB=BC
:.AECB^AABQSAS),
:.EC=AB,
:.CD=^-EC=^-AB.
22
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是正确的作出辅助线.
3.我们规定:有两组边相等,且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图,on
=OB,OC=OD,NAOB=NCOZ)=90。,回答下列问题:
17
B
P
(1)求证:△OAC和△是兄弟三角形.
(2)“取8。的中点尸,连接。尸,试说明AC=20P”聪明的小王同学根据所要求的结论,想
起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法,解决了这个问题,按照这个思路回答下列
问题.
①请在图中通过作辅助线构造仆BPE冬&DPO,并证明BE=OD;
②求证:AC=2OP.
【答案】(1)见解析
⑵①见解析;②见解析
【分析】(1)证出N40C+N20D=180。,由兄弟三角形的定义可得出结论;
(2)①延长。尸至E,使PE=OP,证明△也△OP。(SAS),由全等三角形的性质得出
BE=OD;
②证明△EBO名△COA(SAS),由全等三角形的性质得出OE=AC,则可得出结论.
(1)
证明:VZAOB=ZCOD=90°,
:.ZAOC+ZBOD=3600-ZAOB-ZC(9D=360o-90o-90°=180°,
又,:AO=OB,OC=OD,
...△。4(7和4。8£)是兄弟三角形;
(2)
①证明:延长OP至E,使PE=OP,
:尸为2。的中点,
18
:.BP=PD,
又,:NBPE=NDPO,PE=OP,
:.△BPEQXDPO(SAS),
:.BE=OD;
②证明::△BPE0△£>P。,
:./E=/DOP,
:.BE//OD,
:.ZEBO+ZBOD=ISO°,
又:/8OO+/AOC=180。,
:.ZEBO=ZAOC,
:BE=OD,OD=OC,
:.BE=OC,
又:OB=OA,
.♦.△EBO注△COA(SAS),
OE=AC,
又〈OE=2OP,
:.AC=2OP.
【点睛】本题是三角形综合题,考查了新定义兄弟三角形,全等三角形的判定与性质,正确
作出辅助线是解题的关键.
4.【发现问题】
小强在一次学习过程中遇到了下面的问题:
如图1,是AABC的中线,若AB=8,AC=6,求的取值范围.
【探究方法】
小强所在学习小组探究发现:延长AD至点E,使即=AD,连接3E.可证出△4。。与4EDB,
利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到同一个△A3E中,进而求出AD的取值
范围.
方法小结:从上面思路可以看出,解决问题的关键是将中线延长一倍,构造出全等三角
形,我们把这种方法叫做倍长中线法.
【应用方法】
(1)请你利用上面解答问题的方法思路,写出求的取值范围的过程;
【拓展应用】
(2)已知:如图2,是AA8C的中线,BA=BC,点E在BC的延长线上,EC=BC.写
出与AE之间的数量关系并证明.
19
图1
图2
【答案】(1)1<AD<7;(2)2AD=AE.理由见解析
【分析1(1)延长至点E,使DE=AD,连接BE,证明△BDE^ACDACSAS),得出AC=BE=6,
由三角形三边关系可得出答案;
(2)延长AD至R使由S4S证明△瓦加乌△CD4,利用己知条件推出
再由SAS1证明△ACEmAFBA即可得到2AO=AE.
【详解】(1)证明:延长A£)至E,使DE=AD,
是2C边上的中线,
:.BD=CD,
在48。£和4CDA中,
BD=CD
<ZBDE=ZCDA,
DE=DA
:.ABDE冬/XCDA(SAS),
:.AC=BE=6,
在AABE中,AB-BE<AE<AB+BE,
:.8-6<2AD<8+6,
:.1<AD<1;
(2)2AD=AE.理由如下:
证明:延长A£)至凡使£>B=A£>,
是BC的中线,
:.BD=CD,
20
在48。尸和△CDA中,
BD=CD
<ZBDF=ZCDA,
DF=DA
••・△BDF咨ACDA(SAS),
:.AC=BFfZCAD=ZFf
:.AC//BF,
:.ZFBA+ZBAC=lSO°f
U:BA=BC,
:.ZBAC=ZBCAf
•・•NACE+N3cA=180。,
JZFBA=ZACE,
9
:BA=BCfEC=BC,
:.BA=EC,
在△FA4中,
CE=BA
<NACE=NFBA,
AC=BF
:./\ACE^/\FBA(SAS),
:.AE=AF,
':2AD=AF,
:.2AD=AE.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形三边关系,熟练掌握全等三角形的判
定方法是解题的关键.
5.[问题背景]
①如图1,C0为△ABC的中线,则有S』ACD=S』3C。;
②如图2,将①中的NAC3特殊化,使NAC8=90。,则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明
AB=2CD;
[问题应用]如图3,若点G为△A3C的重心(△ABC的三条中线的交点),CGL3G,若AGxBC
=16,则△BGC面积的最大值是()
A.2B.8C.4D.6
21
【答案】[问题背景]①见解析;②见解析;[问题应用]c
【分析】[问题背景]①设A8边的高长为/7,可得5/8=;/1。><九5/8=;8。*人再由
AD-BD,即可求证;
②延长CD至点E,DE=CD,连接AE,BE,根据AD=BD,可得四边形ACBE是平行四
边形,再由NACB=90。,可得到四边形ACBE是矩形,即可求证
[问题应用]如图,过点G作GHLBC于点〃,根据题意可得点。是BC的中点,AG=2DG,
从而得至|JDG=;8C,得至IJAG=BC,再由AGX8C=16,可得至UAG=BC=4,再由GH_LBC,
可得G比。G,从而得到当G〃=DG时,ABGC面积的最大,即可求解.
【详解】解:[问题背景]①设AB边的高长为人,
S^ACD=5A。xh,S#CD=5BDxh,
〈CO为△ABC的中线,即AO=3D,
・q―q
,•-°ABCD;
②如图,延长CO至点E,使DE=CD,连接AE,BE,
二,CO为△ABC的中线,
:.AD=BD,
■:DE=CD,
・・・四边形AC3E是平行四边形,
,/ZACB=90°,
・・・四边形AC3E是矩形,
:.AB=CE,
•;DE=CD,
:.AB=CD-^DE=2CD;
[问题应用]如图,过点G作GH_L3C于点H,
22
H
E
AFB
图3
•.•点G为△ABC的重心(△ABC的三条中线的交点),
二点。是2C的中点,AG=2DG,
•:CG±BG,
:.DG=-BC,
2
:.AG=BC,
;AGxBC=16,
,\AG=BC=4,
DG=2,
':GH±BC,
:.GH<DG,
.•.当GH=2,即G8=£)G时,ABGC面积的最大,最大值为
-DGxBC=-x2x4=4.
22
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质,重心的性质,熟练掌握矩形的判定和性质定理,
重心的性质是解题的关键.
6.先阅读,再回答问题:如图1,已知AABC中,为中线.延长至E,®DE=AD.在
△48。和4£0)中,AD=DE,NADB=NEDC,BD=CD,所以,△A8O0ZXEC。(SAS),
进一步可得到A2=CE,AB〃CE等结论.
在已知三角形的中线时,我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形,并进一步解决
一些相关的计算或证明题.
解决问题:如图2,在△ABC中,是三角形的中线,尸为4。上一点,5.BF^AC,连结
并延长3P交AC于点E,求证:AE=EF.
23
A
【答案】证明见试题解析.
【分析】延长AD到G,使DF=DG,连接CG,得至UBD=DC,根据&4S推出△BDFdCDG,
根据全等三角形的性质得出出三CG,ZBFD=ZG,求出NAPE=NG,CG=AC,推出
ZG=ZCAF,求出ZAFE=ZCAF即可.
【详解】解:延长A。到G,DF=DG,连接CG,
是中线,
:.BD=DC,
在△BDF^DACOG中,
;BD=DC,ZBDF=ZCDG,DF=DG,
:.4BDFm丛CDG,
:.BF=CG,ZBFD=ZG,
':NAFE=/BFD,
:.NAFE=NG,
;BF=CG,且已知BF=AC,
CG=AC,
:.ZG=ZCAF,
:.ZAFE^ZCAF,
:.AE=EF.
24
【点睛】本题考查了倍长中线法、三角形全等的判定、性质及等腰三角形的性质等,本题的
关键是借助阅读材料中提供的方法延长AD到G,使。尸=OG,进而构造三角形全等.
7.(1)如图1,若AABC是直角三角形,NBAC=90。,点D是BC的中点,延长AD到点
E,使DE=AD,连接CE,可以得到△ABDgAECD,这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍
长中线法”.求证:AACE是直角三角形
(2)如图2,△ABC是直角三角形,ZBAC=90°,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、
AC边上的点,且DEDF.试说明BE2+CF2=EF2;
(3)如图3,在(2)的条件下,若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积.
图1'\/图2图3
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)—.
4
【分析】(1)根据全等三角形的性质和直角三角形的判定解答即可;
(2)延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,根据全等三角形的判定和性质进行解
答;
(3)连接AD,根据全等三角形的判定和性质和三角形的面积公式解答即可.
【详解】(1)VAABD^AECD
.\ZECD=ZB
ZBAC=90°
.•.ZB+ZBCA=90°
ZBCE+ZBCA=90。,即ZACE=90°
/.△ACE是直角三角形
(2)延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,
VDE=DG,DF±DE,
;.DF垂直平分DE,
;.EF=FG,
25
•・,D是BC中点,
・・・BD=CD,
在^BDE和^CDG中,
BD=CD
<ZBDE=ZCDG,
DE=DG
AABDE^ACDG(SAS),
ABE=CG,NDCG=NDBE,
VZACB+ZDBE=90°,
AZACB+ZDCG=90°,即NFCG=90。,
,.,CG2+CF2=FG2,
.*.BE2+CF2=EF2;
(3)连接AD,
VAB=AC,D是BC中点,
.\ZBAD=ZC=45O,AD=BD=CD,
VZADE+ZADF=90°,ZADF+ZCDF=90°,
・•・ZADE=ZCDF,
在^ADE和^CDF中,
NBAD=NC
<AD=CD,
/ADE=/CDF
AAADE^ACDF(ASA),
AAE=CF,BE=AF,AB=AC=17,
S四边形AEDF=~SAABC,
.'.SAAEF=—X5X12=30,
2
•••△DEF的面积==SAABC-SAAEF=-^—.
24
【点睛】考查全等三角形的判定与性质,通过证明三角形全等得出对应边相等、对应角相等
是解题基础,将待求线段转化成求等长线段是解题的关键.
8.(1)阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
26
在△ABC中,AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图1):
①延长AD到Q,使得DQ=AD;
②再连接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中;
③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14,则AD的取值范围是.
感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”等条件,可以考虑倍长中线,构造全等三角形,
把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
(2)请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.
(3)思考:已知,如图2,AD是AABC的中线,AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=
90°.试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明.
图1图2
【答案】(1)2<AD<7;(2)AC//BQ,理由见解析;(3)EF=2AD,ADLEF,理由见解
析
【分析】(1)先判断出进而得出△QDBg/XAOC(&4S),得出8Q=AC=5,最
后用三角形三边关系即可得出结论;
(2)由(1)知,△QDB^/\ADC(SAS),得出/CA£),即可得出结论;
(3)同(1)的方法得出(SAS),则/。BQ=/AC£>,BQ=AC,进而判断
出进而判断出△得出NBAQ=NAEF,即可得
出结论.
【详解】解:(1)延长到。使得。。=4。,连接80,
:是△ABC的中线,
:.BD=CD,
BD=CD
在△QO8和AADC中,■ZBDQ=ZCDA,
DQ=DA
:.AQDB”AADC(S4S),
.•.BQ=AC=5,
在AAB。中,AB-BQ<AQ<AB+BQ,
27
.'.4<Ae<14,
A2<AD<7,
故答案为2VAOV7;
(2)AC//BQ,理由:由(1)知,△QDB^AADC,
:・NBQD=NCAD,
:.AC//BQ;
(3)EF=2AD,ADLEF,
理由:如图2,延长AO到。使得3Q=A。,连接3Q,
由(1)知,△BDQ^/\CDA(SAS),
:・/DBQ=/ACD,BQ=AC,
':AC=AFf
:.BQ=AF,
在△ABC中,ZBAC+ZABC+ZACB=180°,
・•・ZBAC+ZABC+ZDBQ=180°,
ZBAC+ABQ=1SO°9
':ZBAE=ZFAC=90°9
:.ZBAC+ZEAF=180°f
:.ZABQ=ZEAFf
AB=EA
在和△耳1尸中,<ZABQ=ZEAF,
BQ=AF
:.AABQ^/\EAF,
:.AQ=EF,ZBAQ=ZAEF9
延长D4交E尸于P,
9:ZBAE=90°,
・・・N8AQ+NEAP=90。,
ZAEF+ZEAP=90°f
:.ZAPE=90°,
:.AD±EFf
*:AD=DQ,
・・・AQ=2A。,
9
\AQ=EFf
:・EF=2AD,
即:EF=2AD,AD±EF.
28
E
Q
【点睛】本题是三角形综合题,主要考查全等三角形的判定和性质,倍长中线法,构造全等
三角形是解题的关键.
9.在利用构造全等三角形来解决的问题中,有一种典型的利用倍延中线的方法,例如:在
△ABC中,AB=8,AC=6,点。是BC边上的中点,怎样求的取值范围呢?我们可以
延长到点E,®AD=DE,然后连接BE(如图①),这样,在△AOC和△即8中,由于
AD=DE
<ZADC=ZEDB,:.AADC乌AEDB,:.AC^EB,接下来,在△ABE中通过AE■的长可求
BD=CD
出的取值范围.
请你回答:
图①图②图③
(1)在图①中,中线AD的取值范围是.
(2)应用上述方法,解决下面问题
①如图②,在AABC中,点。是8c边上的中点,点E是边上的一点,作DFLDE交
AC边于点P,连接EF若BE=4,CF=2,请直接写出跖的取值范围.
②如图③,在四边形ABC。中,ZBC£>=150°,NAOC=30。,点E是48中点,点厂在。C
上,且满足BC=CRDF=AD,连接“、ED,请判断CE与即的位置关系,并证明你的
结论.
【答案】(1)1<AD<7;(2)①2<EF<6;②CELED,理由见解析
【分析】(1)在△ABE中,根据三角形的三边关系定理即可得出结果;
(2)①延长ED到点N,使ED=DN,连接CN、FN,由SAS证得NVDC三AEDB,得出
BE=CN=4,由等腰三角形的性质得出跖=肮,在ACFN中,根据三角形的三边关系定
理即可得出结果;
29
②延长CE与DA的延长线交于点G,易证DG〃:BC,得出NG4E=/CBE,由ASA证得
AGAE=ACBE,得出GK=CK,AG=3C,即可证得CD=GD,由GE=CE,根据等腰三角
形的性质可得出CELED.
【详解】(1)在△ABE中,由三角形的三边关系定理得:AB-BE<AE<AB+BE
8—6<AE<8+6,即2<AE<14
.-.2<2AD<14,即1<AD<7
故答案为:1<AD<7;
(2)①如图②,延长ED到点N,使ED=DN,连接CN、FN
•.•点D是BC边上的中点
:.BD=CD
CD=BD
在ANDC和AEDB中,<ZCDN=ZBDE
DN=ED
:.ANDC=AEDB(SAS)
:.BE=CN=4
DFA.DE,ED=DN
・•.ASW是等腰三角形,EF=FN
在ACFN中,由三角形的三边关系定理得:CN-CF<FN<CN+CF
:.4-2<FN<4+2,即2<KV<6
:.2<EF<6;
②CE上ED;理由如下:
如图③,延长CE与DA的延长线交于点G
・・,点E是AB中点
:.BE=AE
・・•Z.BCD=150°,ZADC=30°
J.DGHBC
.\ZGAE=ZCBE
ZGAE=ZCBE
在4GAE和ACBE中,«AE=BE
ZAEG=ZBEC
:.AGAE^ACBE(ASA)
:.GE=CE,AG=BC
・・・BC=CF,DF=AD
:.CF+DF=BC+AD=AG+AD,即CD=GD
•;GE=CE
.•.CE,E».(等腰三角形的三线合一)
30
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的
判定与性质等知识点,较难的是题(2)②,通过作辅助线,构造全等三角形是解题关键.
10.阅读材料,解答下列问题.
如图1,已知AABC中,AD为中线.延长至点E,使DE=AD.在△AOC和△EDB中,
AD=DE,ZADC=ZEDB,BD=CD,所以,4ACD沿4EBD,进一步可得至〕JAC=BE,AC//BE
等结论.
图1图2
在已知三角形的中线时,我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形,并进一步解决
一些相关的计算或证明题.
解决问题:如图2,在△ABC中,4。是三角形的中线,点厂为4。上一点,>BF=AC,连
结并延长交AC于点£,求证:AE=EF.
【答案】详见解析
【分析】延长AD到M,使DM=AD,连接BM,根据SAS推出△BDMgZkCDA,根据全
等三角形的性质得出BM=AC,NCAD=NM,根据BF=AC可得BF=BM,推出/BFM=NM,
求出/AFE=NEAF即可.
【详解】如图,延长AD至点〃,使得=并连结
31
E
:是三角形的中线,
:.BD=CD,
在△MD3和△ADC中,
BD=CD,
<ZBDM=ZCDA,
DM=DA,
:.AMDB沿AADC,
AAC=MB,NBMD=NCAD,
':BF=AC,
BF=BM,
:.NBMD=NBFD,
VZBFD=ZEFA,NBMD=NCAD,
:.NEFA=NEAF,^AE=EF.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定的应用,主要考查
学生的运用性质进行推理的能力,关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形.
11.(1)如图1所示,在
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