中考数学难点突破与训练：解直角三角形中的母抱子模型（含答案及解析）

专题15解直角三角形中的母抱子模型

【模型展示】

占

3

通过在三角形外作高AC,构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键.在

RtAABC和RtAADC中，AC为公共边，DC+BD=BC.

结论“母包子”型的关键是找到两个直角三角形外的公共高

【题型演练】

一、单选题

1.如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3亚米长的梯子8c斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角

为45°,此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合.因梯子阻碍交通,故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，

此时测得梯子AO与地面的夹角为60。，则胡同左侧的通道拓宽了（）

C.（3-忘）米D.（3-6）米

2.如图，在点尸处，看建筑物顶端。的仰角为32。，向前走了15米到达点E即跖=15米，在点E处看点

。的仰角为64。，则的长用三角函数表示为（）

D

A.15sin32°B.15tan64°C.15sin64°D.15tan32°

3.一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为

45°,然后上到斜坡顶部。点处再测得旗杆顶部A点仰角为37。（身高忽略不计）.已知斜坡。坡度i=l：

2.4,坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度跖为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上.则

请问旗杆自身高度AB为（）米.

（参考数据：sin37yo.6,cos37yo.8,tan37°=0.75）

A.10.2B.9.8C.11.2D.10.8

4.如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在8处测得点尸在北偏东30°方向上，若筋=2米，则点尸到

直线AB距离PC为（）.

A.3米B.6米C.2米D.1米

二、填空题

5.如图所示，为了测量出某学校教学大楼的高度，数学课外小组同学在C处，测得教学大楼顶端A处

的仰角为45。；随后沿直线向前走了15米后到达。处，/在。处测得A处的仰角为30。，已知测量器高

2

1米，则建筑物A3的高度约为米.（参考数据：1.414,退它1.732,结果按四舍五入保留整数）

6.永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园

全貌.如图，在A处测得NCAD=30。，在B处测得NCBD=45。，并测得AB=52米，那么永定塔的高CD

约是米.（应句.4,73=1.7,结果保留整数）

7.如图，在一笔直的海岸线/上有相距4的/的A3两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C

在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30。的方向上，则船C到海岸线/的距离是km.

8.如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A,又在河的另一岸边取两个点B、C,测得

Za=30°,Zp=45°,量得BC的长为200米，则河的宽度为.（结果保留根号）

9.如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面

成60。角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高为多少？—•（结

果保留根号）

3

三、解答题

10.某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度.如图所示，在8处测得福塔主体

建筑顶点A的仰角为45。，福塔顶部桅杆天线高120m,再沿C8方向前进20m到达E处，测得桅杆天

线顶部。的仰角为53.4。.求中原福塔8的总度.（结果精确到1m.参考数据：sin53.4%0.803,

cos53.4°=0.596.tan53.4°~1.346）

11.如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度AB,小组成员在专业人员的协助下利用

无人机进行测量，在尸处测得A,8两点的俯角分别为45。和30°（即/CR4=45。，NCP3=30。）.若无人

机离地面的高度PQ为120米，且点Q,A,B在同一水平直线上，求这条河的宽度AB.（结果精确到1米）.（参

12.如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌A3,小明在斜坡的坡脚。处测得宣传牌底部8的仰角为45。，沿

斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31。，已知斜坡DE的坡度3:4,DE=10米，OC=22米，

求宣传牌的高度.（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin31°^0.52,cos31°^0.86,tan31°«0.6）

4

13.如图，山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=16米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角是30。,

塔顶A的仰角是45。，求山高CD（点A,C,D在同一条竖直线上）.（结果保留根号）

14.二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建

筑物.学完三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度.如

图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为40。，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端

A的仰角为60。，求二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据

s加40°x0.64,cos40°«

15.如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点A处测得小岛。在北偏东60。方向，之后轮船继续向正东方

向行驶1.5/?到达8处，这时小岛。在船的北偏东30。方向36海里处.

（1）求轮船从A处到8处的航速.

（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛。的东南方向？

5

16.如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼一10飞机在点A发现航展观礼台。在俯角为21。方向上.飞

机继续向前飞行了800米到达8点.此时测得点。在点8俯角为45。的方向上.请你计算当飞机飞到D点的正

上方点C时（点A、6、C在同一直线上），竖直高度CO约为多少米？（结果保留整数，参考数值：sin21°«0.36,

cos21°«0.93,tan21°«0.38）

17.科技改变生活，5G时代将对我们的生活产生意想不到的改变.某数学兴趣小组要测量5G信号塔的高

度，如图，在起点”处用高1米（DM=1米）的测量仪测得信号塔AB的顶端8的仰角为30。，在同一剖面沿

水平地面向前走20米到达尸处，测得顶端B的仰角为63.4。，求信号塔AB的高度约为多少米?（精确至U1米.参

考数据：s力?63.4°x0.89,cos63.4°«0.45,^63.4°»2.00,73»1.73）

18.小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆A8的高度.小明站在点。处利用测倾

器测得旗杆顶端A的仰角为45。，小华在8。之间放置一个镜子，并调整镜子的位置，当镜子恰好放在点E

处时，位于点。处的小明正好在镜子中看到旗杆顶端A,此时。E的距离为1.4米，已知测倾器的高为1.75

米.请你根据以上信息，计算旗杆A2的高度.

,\5?Xc

_1_________

BED

19.周日，妈妈带小岚到商场的攀岩墙处玩耍如图，AD是一攀岩墙，小岚从攀岩墙底部。处向上攀爬，妈

6

妈站在距离攀岩墙3根的B处，当他到达C处时，妈妈看向他的仰角为30°,当他到达墙顶A处时，妈妈看

向他的仰角为75°（小岚妈妈的身高均忽略不计），此时攀岩教练开始释放手中的绳子，使小岚以L5租/s的

速度下落到C处，再减速下落到地面，则他从A处下落到C处需要多长时间？（结果保留整数，参考数据：

s%75:0.97,cos75=0.26,tan7s«3.73,若"73)30°?

20.炎黄二帝巨型塑像位于河南省郑州市西北部三十公里之处的黄河风景名胜区向阳山（始祖山）上，炎

黄二帝巨塑背依邙山，面向黄河.数学活动小组的同学为测量像体的整体高度，在地面上选取两点A和8,

且点A,B及其中像体在同一平面内，像体底部N与点A,3在同一条直线上，同学们利用高1m的测

倾仪在A处测得像顶”的仰角为35。，在8处测得像顶〃的仰角为45。，且=45m.根据测量小组提供

的数据，求该塑像的高度.（结果精确到1m,参考数据：sin35°«0.57,cos35°«0.82,tan35°~0.70.）

c%45。1

ABN

21.如图，某楼房AB顶部有一根天线班，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C,D,

A,在点C处测得天线顶端E的仰角为60°,从点C走到点。，测得8=5米，从点。测得天线底端8的仰

角为45°,已知A,B,E在同一条垂直于地面的直线上，钻=25米.

7

(1)求A与C之间的距离；

(2)求天线班的高度.(参考数据：73®1.73,结果保留整数)

22.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图，正在执行巡航任务的海

监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔尸在北偏东60。方向上，海监船继续向东航

行1小时到达B处，此时测得灯塔尸在北偏东30。方向上.

(1)求2处到灯塔尸的距离；

(2)已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

23.如图，在港口A处的正东方向有两个相距6Am的观测点B、C,一艘轮船从A处出发，北偏东26。方

向航行至D处，在B、C处分别测得NABD=45。，/C=37。求轮船航行的距离AD(参考数据：sin26°»0.44,

cos26°~0.90,tan26°®0.49,sin37°®0.60,cos370~0.80,tan37°«0.75)

24.位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.

8

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道

上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22。，然后沿方向前进16根到达点N处,

测得点A的仰角为45。.测角仪的高度为16”,

⑴求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1加.参考数据:

s加22°x0.37,cos22。»0.93,322°»0.40,72合1.41）；

⑵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6〃?，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化

建议.

25.学完三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量纪念塔的高度.如图,

。是高为1m的测角仪，在。处测得塔顶端A的仰角为40°,向塔方向前进40m在E处测得塔顶端A的仰角

为63.4°,求纪念塔的高度（结果取整数）.

参考数据：sin40°«0.64,cos40°«0.77,tan40°®0.84,tan63.4°«2.00.

26.如图，是一座人行天桥示意图，天桥离地面的高8C是10根，坡面AC的倾斜角NCAB=45。，在距离A

点12相处有一建筑物〃Q.为方便行人过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD的倾斜角NCD5=37。，

若新坡面下。处需留至少4加人行道，则该建筑物”。是否需要拆除？请通过计算说明理由.（参考数据：

343

sin37°--，cos37°~—，tan370--）

554

9

o

27.某中学九年级数学兴趣小组欲利用所学知识测量白塔的高度，测量过程如下：如图，先在点A处用测

角仪AE测得塔顶仰角为30。，然后沿AC方向前行12米到达点8处，在5点处用测角仪防测得塔顶仰角

为45。，已知测角仪高为1米，A、B、C三点在一条直线上，求塔8的高度.（结果保留根号）

10

专题15解直角三角形中的母抱子模型

【模型展示】

A

BDC

平移A

通过在三角形外作高AC,构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的

关键.在RtAABC和RtAADC中，AC为公共边，DC+BD=BC.

覆论“母包子”型的关键是找到两个直角三角形外的公共高

【题型演练】

一、单选题

1.如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3五米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯

子与地面的夹角为45。，此时梯子顶端8恰巧与墙壁顶端重合.因梯子阻碍交通，故将梯子

底端向右移动一段距离到达。处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60。，则胡同左侧的通

道拓宽了（）

A.A米B.3米C.（3-码米D.（3-6）米

【答案】D

【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、根据正切的定义求出DE,结合图

形计算得到答案.

【详解】解：在Rt_EBC中，ZBCE=45。,

：.EC=EB=—=—x3^=3（米），

22

BE

在石中，tanZBDE=—,

飞=6（米）,

.•.C£>=EC-DE=（3-4）米,

故选：D.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三

角函数的定义是解题的关键.

2.如图，在点尸处，看建筑物顶端。的仰角为32。，向前走了15米到达点E即跖=15米，

在点E处看点。的仰角为64。，则8的长用三角函数表示为（）

A.15sin32°B.15tan64°C.15sin64°D.15tan32°

【答案】C

【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出ADE尸是等腰三角形，在放△DEC中，

利用NDEC的正弦即可表示出的长度.

【详解】VZF=32°,ZD£C=64°,

AZDEF=?DEC?F32?,

DE=EF=15,

由题可知，AOCE为直角三角形，

CD

在Rt&DEC中，sin?DEC-----

DE

CD

即：sin64?——，

15

CD=15^in64?,

故选：C

【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利

用三角形的外角得出等腰三角形.

3.一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆

顶部A的仰角为45。，然后上到斜坡顶部。点处再测得旗杆顶部A点仰角为37。（身高忽略

不计）.已知斜坡CD坡度，=1：2.4,坡长为2.6米，旗杆所在旗台高度E尸为1.4米，旗

台底部、台阶底部、操场在同一水平面上.则请问旗杆自身高度A2为（）米.

（参考数据：sin37°~0.6,cos37°~0.8,tan37°~0.75）

12

A.10.2B.9.8C.11.2D.10.8

【答案】B

【分析】如图，作。"_LFC交FC的延长线于延长AB交的延长线于T,作"_LAT

AJ

于J.设AT=TC=x,在RtAADJ中，根据tanZAZV=而，构造方程解决问题即可.

【详解】解：如图，作DH_LFC交FC的延长线于H,延长AB交CF的延长线于T,作DJ±AT

于J.

由题意四边形£尸7及四边形是矩形，

：.BT=EF=1A?K，JT=DH,

DHi

在RtAOCH中，：CO=2.6米，——=—,

CH2.4

：.DH=1（米），CH=2A（米），

ZACT=45°,Zr=90°,

：.AT=TC,

设AT=TC=x.贝!]ZZ/=n/=(x+2.4)米，AJ=(x-1)米,

在RtAADJ中，：tan/AZV=——=0.75,

DJ

1=0.75,

%+2.4

解得尸2,

：.AB=AT-BT=AT-EF=11.2-1.4=9.8(米),

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型.

4.如图，在A处测得点尸在北偏东60°方向上，在B处测得点尸在北偏东30°方向上，若AB=2

米，则点P到直线A3距离PC为（）.

13

A.3米B.6米C.2米D.1米

【答案】B

【分析】设点尸到直线A2距离PC为x米，根据正切的定义用x表示出AC、BC,根据题

意列出方程，解方程即可.

【详解】解：设点P到直线距离尸C为x米，

PCi-

在RtAAPC中，AC=-------------=,

tanZPAC

在RtZXBPC中，BC=———=—x,

tan/PBC3

由题意得，\[3x-^-x=2,

3

解得，x=A/3（米），

故选：B.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是

解题的关键.

二、填空题

5.如图所示，为了测量出某学校教学大楼A3的高度，数学课外小组同学在C处，测得教

学大楼顶端A处的仰角为45。；随后沿直线向前走了15米后到达。处，尸在。处测得A

处的仰角为30。，已知测量器高1米，则建筑物AB的高度约为米.（参考数据：

75=1.414,石。1.732,结果按四舍五入保留整数）

【答案】21

【分析】设AG=x米，由NAEG=45。得EG=AG=x,FG=EG+EF=x+\5,根据利用特殊角三角

函数值可得关于尤的方程，解之可得答案.

【详解】解：由题意可得四边形尸。CE,四边形ECBG,四边形尸DBG均为矩形

设AG=x米，由NAEG=45°得EG=AG=x,FG=EG+EF=x+\5,

在即AAFG中，tan30°=—=—^=—

FGx+153

解得：匠a+15

14

15百+15,15括+17

AB=AG+BG=--------------F1=------------»21

22

故答案为：21

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想

找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件.

6.永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔

顶，俯瞰园博园全貌.如图，在A处测得/CAD=30。，在B处测得NCBD=45。，并测得

AB=52米，那么永定塔的高CD约是米.（血刃.4,6切.7,结果保留整数）

【答案】74

【分析】首先证明BD=CD,设BD=CD=x,在RtAACZ）中，由NA=30。，推出AD=MCD,

由此构建方程即可解决问题.

【详解】如图，•.,CO_LA。，ZCBD=45°,

：.ZCDB=90°,ZCBD=ZDCB=45°,

：.BD=CD,设BO=CD=x,

在RtAACD中，VZA=30°,

：.AD=6CD,

；.52+x=Qx,

故答案为74,

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

7.如图，在一笔直的海岸线/上有相距4初7的两个观测站，3站在A站的正东方向上,

从A站测得船C在北偏东60。的方向上，从8站测得船C在北偏东30。的方向上，则船C到

海岸线I的距离是km.

15

【答案】273

【分析】过点C作CDLAB于点D,然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形

的应用即可求出答案.

【详解】过点C作CDXAB于点D,

ZCBD=90°-30°=60°,

ZACB=ZCBD-ZCAD=30°,

.•.ZCAB=ZACB,

；.BC=AB=4km,

在RtACBD中，

CD=BC・sin60。=4x—=2#）（km）

2

；•船C到海岸线/的距离是2&m.

故答案为：2下!.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用一方向角问题，解题

的关键是熟练运用锐角三角函数的定义.

8.如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A,又在河的另一岸边取两个

点B、C,测得Na=30。，Zp=45°,量得BC的长为200米，则河的宽度为.（结

果保留根号）

【答案】（百+1）m

16

【分析】直接过点A作ADLBC于点D,利用tan30o=T^=＜，进而得出答案.

x+1003

【详解】过点A作ADXBC于点D,

VZp=45°,ZADC=90°,

；.AD=DC,

设AD=DC=xm,

则tan3(T=—-—=立，

x+2003

解得：x=100(6+1)，

答：河的宽度为100(V3+Dm.

故答案是：100(V3+Dm.

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用、特殊角的的三角函数值，正确得出AD=CD

是解题关键.

9.如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一

次是阳光与地面成60。角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8

米，则树高A8为多少？—.(结果保留根号)

【答案】米

【分析】设=利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出8c和CZ),然后求解即

可.

【详解】解：设相=彳米

在RfABZ)中，tanZADB=tan60°==A/3,贝1|80=立方

BD3

在RtABC中，tanZACB=tan300=—=—,则BC=信

BC3

CD=BC-BD,即百x-立尤=8,解得x=4g

3

即AB=4百米

17

故答案为4石米

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三

角函数的定义以及特殊角的正切值.

三、解答题

10.某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度.如图所示，在8

处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45。，福塔顶部桅杆天线高120m,再沿方向前

进20m到达E处，测得桅杆天线顶部。的仰角为53.4。.求中原福塔的总度.(结果精

确到1m.参考数据：sin53.4°=0.803,cos53.4°=0.596.tan53.4°~1.346)

【答案】中原福塔CD的总高度约为389m.

【分析】设AC为xm,则CZ)=(x+120)m,在RtAACB中，可得BC=AC=_x,从而得到CE=x+20,

CD

然后在RtA。位中，利用锐角三角函数，可得到tan/DEGK，即可求解.

【详解】解：如图，设AC为xm,贝！JCD=(x+120)m,

在RSAC3中，ZABC=45°,

.*.BC=AC=xf

・・・CEr+20,

CD

在RSOCE中，tanNDEO方，Z£>EC=53.4°,

x+120

即W.346,

x+20

解得：F269.0,

・•・CD=x+120=389.0-389米，

答：中原福塔CD的总高度约为389m.

18

【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是

解题的关键.

11.如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度A3,小组成员在专业人

员的协助下利用无人机进行测量，在尸处测得A,B两点的俯角分别为45。和30°（即

ZCPA=45°,NCPB=30°）.若无人机离地面的高度尸。为120米，且点Q,A,8在同一

水平直线上，求这条河的宽度A3.（结果精确到1米）.（参考数据：走=1.414,73^1.732）

【答案】88米

【分析】在心△A尸。和山△中，利用锐角三角函数，用尸。表示出A。、8。的长，然

后计算出的长.

【详解】解：CP//QB,

ZCPA=ZPAQ=45°,NCPB=ZPBQ=30°,

在RdAPQ中，NPAQ=45。,

:.ZPAQ=ZAPQ=45°,

,-.AQ=PQ=120（米），

在Rf△BPQ,tanNPBQ=登，

BQ

:.QB=—吆—=^2=12073

tanZPBQ旦（:米），

，AB=QB-QA=120』-120=120x（1.732-l）a88（米），

答：这条河的宽度A3约为88米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题.解决本题的关键是用含P。的

式子表示出A。和BQ.

12.如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌A3,小明在斜坡的坡脚。处测得宣传牌底部B的

仰角为45。，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31。，己知斜坡DE的坡度

3:4,DE=10米，0c=22米，求宣传牌A3的高度.（测角器的高度忽略不计，参考数据：

sin31°«O.52,cos31°M）.86,tan31°»0.6）

19

【答案】宣传牌A3的高度为2米.

【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C,则CF=EG,CG=EF,然后在RtAEFD、

RtABCD,中解直角三角形即可.

【详解】解：过E分别作。、AC的垂线，设垂足为尸、G,

则CF=EG,CG=EF,

在RtAEFD中，

・斜坡DE的坡度3:4,DE=10米，

.,.设EF=3x米，£>F=4x米，

DE=^EF2+DF2=5X=10，

..x=2,

.•.跖=6米，£>尸=8米，

在RtABCD中，/BDC=45。,

BC=CD=22米,

:.BG=BC-CG=22~6=i6（米），

在RtAAEG中，AG=EGtan31°=30x0.6=18（米），

.•.AB=AG—BG=18—16=2（米）.

答：宣传牌A2的高度为2米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直

角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键.

13.如图，山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=16米，在山脚下点B处测得塔底

C的仰角是30。，塔顶A的仰角是45。，求山高CD（点A,C,D在同一条竖直线上）.（结

果保留根号）

20

A

【答案】86+8

【分析】分别解RtZXABD和RtBCD,得至UAD=3"CD=^-BD,根据

AD-CD=BD--BD=]6m即可求解.

3

An

【详解】解：在RtZXABD中，tanZABD=——=1,

BD

JAD=BD,

在Rt3CD中，tanNCB£>=0=@,

BD3

CD=—BD,

3

AC=16m,

AD-CD=BD--BD=16m,

3

解得BD=（8指+24）m,

Cr>=^yBD=（8V3+8）m.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握正切的定义是解题的关键.

14.二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修

建的纪念性建筑物.学完三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的

知识测量二七纪念塔的高度.如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰

角为40。，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端A的仰角为60。，求二七纪念塔AB的高

度（精确到1米，参考数据s加40。土0.64,cos40。士0.77,3?40。20.84,6a1.73）.

【答案】二七纪念塔AB的高度约为62米

【分析】由题意根据正切的定义分别用AG表示出EG、DG,进而根据DG-EG=38列出算

21

式求出AG的长，计算即可.

AG

【详解】解：在RtzMEG中，tanZAEG=——,

EG

EG=———=—0.58AG,

tanZAEG3

AG

在RtADG中，tan/ADG=-----,

DG

。四=

DG=——1.2AG,

tanZADG0.84

DG—EG=38,

.•.L2AG—0.58AG=38,

AGe61.3,

AB=61.3+1比62.

答：二七纪念塔AB的高度约为62米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记

锐角三角函数的定义是解题的关键.

15.如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点A处测得小岛。在北偏东60。方向，之后轮

船继续向正东方向行驶1.5〃到达8处，这时小岛。在船的北偏东30。方向36海里处.

（1）求轮船从A处到8处的航速.

（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛。的东南

方向？

【答案】（1）24海里/小时.（2）3+3百小时.

4

【分析】（1）过。作OCLAfi,利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC、BC、AC

的长，进而可求得AB的长，再根据速度=路程+时间解答即可；

（2）如图，根据题意可判断AOCD为等腰直角三角形，则CD=OC,进而可得BD的长，

再由时间=路程除速度求解即可.

【详解】（1）过。作

22

由题意得03=36海里，ZOBC=60°,ZOAC=30°,

OC=OBsin60°=18A/3（海里），

BC=OBcos60°=18（海里。

3

AB=AC-BC=54-18=36（海里）,

二速度：/船=1|=24（海里/小时）・

（2）如图，

由题意，ZCOD=45°,。点在。的东南方向,

•••AOCD为等腰直角三角形，

（?£>=OCtan45°=18V3（海里），

BD=BC+CD=18+18^/3（海里），

,「J8+18有=/（小时），

244

...经过出亘小时后到达.

4

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运

用三角函数解直角三角形是解答的关键.

16.如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼——10飞机在点A发现航展观礼台。在俯角

为21。方向上.飞机继续向前飞行了800米到达8点.此时测得点。在点B俯角为45。的方向上.

请你计算当飞机飞到。点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CL（约

为多少米？（结果保留整数，参考数值：sin21°«0.36,cos21°®0.93,tan21°®0.38）

【答案】竖直高度。约为490米.

【分析】根据题意直接利用解直角三角形的方法进行求解即可.

【详解】解：如图：NCBD=45°NBCD=90°；.CD=CB

23

CDCD

NA=21。・•・

-IfAB+BCAB+CD

CD

AB=800a0.38

800+8

/.CD=490.32-490.

答：竖直高度CD约为490米.

【点睛】本题主要考查解直角三角形，关键是根据题意利用三角函数进行求解即可.

17.科技改变生活，5G时代将对我们的生活产生意想不到的改变.某数学兴趣小组要测量5G

信号塔的高度，如图，在起点〃处用高1米（DM=1米）的测量仪测得信号塔A3的顶端8的

仰角为30。，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达厂处，测得顶端8的仰角为63.4。，求

信号塔A3的高度约为多少米?（精确到1米.参考数据：

sin63A°®0.89,cos63A°®0.45,/tzn63.4°®2.00,6»1.73）

【答案】该信号塔A3的高度约为17米

【分析】本题首先假设AB的长度为x,继而表示BE的长度，利用正切三角函数表示DE,

进一步表示CE,最后再次利用正切三角函数列式求解.

【详解】由已知得：CD=20,DM=AE=1,

设A3为x米，则比=（x-l）米，

。BE

在RtADEB中，tan30=-----,

DE

:.DE=6（X-I）,

:.CE=DE-CD=6（X-i）-20,

BE

在HAC石8中，tan63.4°=——.

CE

.2°1

-V3（%-l）-20）

求解得：x~\1（米）.

故该信号塔A3的高度约为17米.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于对各种三角函数概念的理解，并

结合具体图形情况，适时选取合适的三角函数以提升解题效率.

18.小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆A8的高度.小明站在

点D处利用测倾器测得旗杆顶端A的仰角为45。，小华在BD之间放置一个镜子，并调整镜

24

子的位置，当镜子恰好放在点E处时，位于点。处的小明正好在镜子中看到旗杆顶端A,

此时。E的距离为1.4米，已知测倾器的高为1.75米.请你根据以上信息，计算旗杆A8的

高度.

A

\、、

_1____

BED

【答案】旗杆AB的高度为15.75米

【分析】过点C作CFL4B于点孔可得四边形EBOC是矩形，根据入射角等于反射角可得,

ZCED=ZAEB,所以tanNCE£)=tanNAEB,进而可求A尸的长，最后求出A2的长.

【详解】解：如图，

F1...................安

BED

过点C作CFLAB于点孔

可得四边形FBDC是矩形，

：.FB=CD=L15,

FC=BD=BE+1.4,

根据题意，得

ZACF=45°,

：.AF=CF,

根据入射角等于反射角可知:

ZCED=ZAEB,

tanZCED=tanZAEB,

.CD_AB

••一,

DEBE

.1.75_AF+1.75

FC-1A

'：AF=FCf

.・・解得A尸=14,

25

：.AB=AF+FB=14+1.75=15.75（米）.

答：旗杆48的高度为15.75米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到入射角和反射角的问题，能够正确理

解正切的含义是解题的关键.

19.周日，妈妈带小岚到商场的攀岩墙处玩耍如图，4）是一攀岩墙，小岚从攀岩墙底部。

处向上攀爬，妈妈站在距离攀岩墙3加的8处，当他到达C处时，妈妈看向他的仰角为30°,

当他到达墙顶A处时，妈妈看向他的仰角为75°（小岚妈妈的身高均忽略不计），此时攀岩教

练开始释放手中的绳子，使小岚以L5m/s的速度下落到C处，再减速下落到地面，则他从

A处下落到C处需要多长时间？（结果保留整数，参考数据：

s%75°x0.97,cos7sx0.26,tarT/5°23.73,6〜1.73）30°?

【答案】小岚从A处下落到C处需要6s

【分析】在中，利用三角函数解直角三角形可得CD；在中，利用三角函

数解直角三角形可得AD,进而得到AC的长度，即可求解.

【详解】解：根据题意可知，NCBD=30°,/ABD=75"

CD

在氏ABCD中，tmZCBD=——

BD

CD

即tan30°=子

ACD=3tan30°«1.73（m）

AT）

在Rt\ABD中，tan/ABD=---

BD

BPtan75°

/.AD=3tan75°®11.19（m）

AC=AD-CD=9.46（m）

9.46-1.5-6（5）

答:小岚从A处下落到C处需要6s.

【点睛】此题主要考查利用三角形函数解直角三角形，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题

26

关键.

20.炎黄二帝巨型塑像位于河南省郑州市西北部三十公里之处的黄河风景名胜区向阳山（始

祖山）上，炎黄二帝巨塑背依邙山，面向黄河.数学活动小组的同学为测量像体的整体高度，

在地面上选取两点A和3,且点A,8及其中像体在同一平面内，像体底部N与点A,

3在同一条直线上，同学们利用高1m的测倾仪在A处测得像顶M的仰角为35。，在8处测

得像顶M的仰角为45。，且AB=45m.根据测量小组提供的数据，求该塑像的高度.（结果

精确到1m,参考数据：sin35°«0.57,cos35°»0.82,tan35°»0.70.）

c小用/。I

ABN

【答案】该塑像的高度约为106m.

【分析】延长CD交MN于E,贝l|CE_LMN,NE=BD=AC=lm,ZMDE=45°,ZMCE=35°,

CD=AB=45m,在RtADEM中，求出ME=DE,在RtACEM中，利用勾股定理求出ME的

长，即可得出答案.

【详解】延长8交于E,如图所示：

C「我。％45。___________

ABN

由题意得：CE1MN,NE=BD=AC=lm,

NMD石=45。，CD=AB=45m,

ME

在Rt；DEM中，tanNMDE-=1,

DE

:・ME=DE,

MEME

在RtZ\CEM中,…E喑

CD+DE~CD+ME

AME=(CD+ME)xtanZMC£,=(45+ME)xtan35°«(45+ME)x0.7,

解得：MEa105(m),

27

A£V=ME+AE=105+l«106（m）；

答：该塑像的高度约为106m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角问题；通过作辅助线得出直角三角形，正确

求解是解题的关键.

21.如图，某楼房A2顶部有一根天线8E,为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线

上的三点C,D,A,在点C处测得天线顶端E的仰角为60°,从点C走到点。，测得8=5

米，从点。测得天线底端8的仰角为45°,已知A,B,£在同一条垂直于地面的直线上，

AB=25米.

（1）求A与C之间的距离；

（2）求天线BE的高度.（参考数据：6合1.73,结果保留整数）

【答案】（1）AC之间的距离为30米；（2