中考数学模型复习讲义：奔驰模型（解析版）

大招奔驰模型

D

模型介绍

因为像奔驰车标，所以叫奔驰模型

0【结论】如图，等边△ABC,PA=3,PB=4,PC=5,

团关键：旋转可以让线段动起来

证明：过点B作BQ±AP与点Q以AP为边向左侧作等边4APD,连接

ZAPB=150°BD

:.ZBPQ=30°BP=4BQ=2VAABC,Z\ADP为等边三角形

/.ZDAB=60°-ZBAP

PQ=J/-BQ2=2禽

ZPAC=600-ZBAP

:.ZDAB=ZPAC

：.AB2=AQ2-BQ2=25+12A/3

易证△DABBZ\PAC(SAS)

sT旃2^/.DB=PC=5

44VDP!+BP；!=DB;!

:.ZDPB=90°ZAPB=150°

各种旋法:

A

国超酷炫又实肋s亭

0Q例题精讲

【例1】.如图，点。是等边AABC内部一点,BD=1,Z)C=2,则NADB=150

解：将△BCD绕点8逆时针旋转60°得到△AB),

：.BD=BD',AD'=CD,

：.ZDBD'=60°,

是等边三角形，

AZBDD'=60°,

'：BD=1,DC=2,AD=M，

：.DD'^1,AD'=2,

在△AQ£>'中，AD'2=AD1+DD'2,

：.ZAZ)D'=90°,

AZADB=600+90°=150°,

故答案为150.

A变式训练

【变式17].如图，点。是等边△ABC内一点，AZ)=3,BD=3,CD=342>AACE是

由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则/AOC的度数是()

A

D.55°

由旋转可知，AACE@AABD,

.•.AE=AD=3,CE=BD=3,CD=3^2>

ZBAD=ZCAE,

VAABC是等边三角形，

AZBAC=60°,

：.ZBAD+ZDAC^6Q°,

.,.ZCA£+ZDAC=60°,即NZME=60°,

：.ADAE是等边三角形，

.•.r>E=A£>=3,

V32+32=(3A/2)2,

：.DE1+CE1=CD2,

...△OEC是直角三角形，且NZ)EC=90°,

：.DE=CE,Z£DC=45°,

AZADC=ZADE+ZCDE=105°,故选：C.

【变式1-2].如图，等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP、BP、CP,若AP=6,BP

=8,CP—10.则S人ABP+SABPC=24+16E_.

解：如图，将△BPC绕点8逆时针旋转60°后得连接PP,

A

根据旋转的性质可知，

旋转角NPBP，=ZCAB=60°,BP=BP',

：.4BPP'为等边三角形，

：.BP'=BP=8=PP；

由旋转的性质可知，AP'=PC=10,

在△BPP中，PP'=8,AP=6,

由勾股定理的逆定理得，AAPP'是直角三角形,

2

S^ABP+S^BPC—S四边形AP'BP=SABP'P+SAAP'P=返BP+—XPPXAP=24+16A/3

4

故答案为：24+16我

【变式1-3].如图，点P是正方形ABC。内的一点，且B4=l,PB=PD=M，贝IJ/APB

的度数为105°.

解：如图，将AAPB绕点A逆时针旋转90°得到△AOE,连接EP,

AAPB^AAED,

：.AE=AP=1,PB=DE=M，ZPAE=90Q,NAED=NAPB,

:.PE=®AE=®ZAEP=ZAPE=45°,

:.DE=DP=PE=近,

.♦.△OEP是等边三角形，

AZD£P=60°,

AZAED=1Q5°=ZAPB,

故答案为：105°.

（■Ip

僦j实战演练

1.如图，点。是等边三角形ABC内一点，0A=2,OB=1,0C=M，则△AOB与△BOC

的面积之和为（）

解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△C£>8,连接0Z）,

：.OB=BD,ZOBD=60°,CD=OA=2,

△BOZ）是等边二角形，

：.OD=OB=1,

'：OD2+OC2=l2+（V3）2=4,CD2=22=4,

:.OD1+OC2=CD1,

：.ZDOC=90°,

/\AOB与△8OC的面积之和为SABOC+S&BCD=S4BOD+SACOD="^-X12+—X1XV§

42

3V3

故选：C.

2.如图，尸是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,

连接B。.若B4=6,PB=8,PC=10,则四边形AP3Q的面积为（）

C.24+18愿D.48+18百

解：连接尸。，如图，

•:△ABC为等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=6Q°,

•••线段AP绕点A顺时针旋转60。得到线段AQ,

：.AQ=AP,ZPAQ=6O°,

••.△AP2为等边三角形，

尸=6,

VZPAQ-ZPAB=ZCAB-ZPAB,

：.ZCAP=ZBAQ,

在△APC和△AQB中

'AP=AQ

<ZCAP=ZBAQ-

AC=AB

A/\APC^/\AQB(SAS),

：.CP=BQ=10,

在△BPQ中，：PQ=6,BP=8,BQ^10,

而62+82=102,

:.PQ2+PB2^BQ2,

.♦.△BP。为直角三角形，ZBPQ=9O°,

四边形APBQ的面积=SABPO+SAAPQ

=AX6X8+^5.X62

24

=24+973.

故选：A.

3.如图，0是正AABC内一点，0A=3,0B=4,0C=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋

转60°得到线段B01,有下列结论：

①△BO'A可以由ABOC绕点B逆时针旋转60°得到；

②点0与。’的距离为4;③/A0B=150°;

心S四边形AOBO,=6+38；⑤SAAOC+SAAOB=6+^V3

其中正确的结论是（）

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

解：如图，连接00'.

①由奔驰模型推导过程可知N0B0'=60°,ABOC^ABO^A,N②A0B=150°,△BOO'为等边

三角形，所以00'=0B=4,故①②③正确•Sa^A0B0，=S,A00.+SAOBO.=|X3X4+f义

42=6+4V3,故④错误.

如图，将AAOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合，点。旋转至点0".

易知△A00”是边长为3的等边三角形，△C00”是直角三角形，

则S«40c+SAAOB=S四边形AOBO，=Sbco。—SkAOO"

=1X3X4+—X3M+-V3,故⑤正确.综上所述，正确的结论为①②③⑤.故选A.

244

4.如图，在菱形ABCD中，ZABC=60°,对角线AC平分/BAD,点P是4ABC内一点，连接

PA,PB,PC.若PA=6,PB=8,PC=10,则菱形ABCD的面积等于

D

解：过A点作AHLBP,交BP的延长线于H,

由奔驰模型可知/APB=150°,.-.ZAPH=30°,

AH=|PA=3,PH=3V3,.,.BH=8+3V3,/.AB2=AH2+BH2=100+4873,X

S«ABCD=2SAJ4BC=2

—XAB2=50V3+72

4

5.如图，点尸是正方形ABC。内一点，若FA=f，PB=&，PC=1，则/3PC=135°

解：：四边形A8CO为正方形，

AZABC=90°,BA=BC,

把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△BCE,连接PE,如图,

:.BP=BE=如,CE=AP=®NPBE=9Q°,

...△P8E为等腰直角三角形，

：.ZBPE=45°,PE=HPB=H乂迎=2,

在中，：PC=1,PE=2,CE=正

;.PC2+PE2=C烂,

...△PCE为直角三角形，ZCP£=90°,

AZBPC=ZBPE+ZCPE=450+90°=135°.

故答案为：135°.

36+25F

6.已知P是等边△ABC内一点，若B4=3,PB=5,PC=4,则△ABC的面积=

4

解：:△ABC为等边三角形，

J.AB^AC,ZBAC=60°,

把△APC绕点A顺时针旋转60°可得到△A8D如图，

：.AD=AP=3,BD=PC=4,ND4P=60°,ZADB=ZAPC,

•*.△AOP为等边三角形，

：.DP=AP^3,ZADP=6Q°,

在△BOP中，*：DP=3,£)8=4,BP=5,

而32+42=52,

：.DP1+DB1=BP1,

...△8。尸为直角三角形，NBDP=90°,

：.ZADB^ZADP+ZBDP^60°+90°=150°,

ZAPC=150°；

作8ELW于E,如图

；.NBDE=30°,

在RtZ\B£)E中，BE=LBD=2,DE=6BE=2M，

2

：.AE^AD+DE^3+273,

在RtAABE中，^=7BE2+AE2=V22+(,3+2^3)2=V25+12V3，

返义(“25+12E)2=36+25五,

44

故答案为：36+2543.

4

7.如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60。得到线段AQ,

连接3。.若用=6,PB=8,PC=10,则四边形APB。的面积为24+9\伍.

解：连接P。，如图，

,/AABC为等边三角形，

：.ZBAC^60°,4B=AC,

•..线段A尸绕点A顺时针旋转60°得到线段A。,

：.AP=PQ=6,NB4Q=60°,

：./\APQ为等边三角形，

：.PQ=AP=6,

VZCAP+ZBAP^60°,ZBAP+ZBAQ^6Q°,

：.ZCAP=ZBAQ,

在△APC和△ABQ中，

，AC=AB

<ZCAP=ZBAQ>

AP=AQ

AAPC^AABe，

：.PC=QB=10,

在△BPQ中，：PB2=82=64,PQ2=62,BQ2^102^

而64+36=100,

:.PB2+P^=BQ2,

...△尸2。为直角三角形，ZBPQ=90°,

S四边形APBQ=SABPQ+S/^APQ——X6X8+

2

故答案为24+9V3.

CA

8.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且必=3,PB=4,PC=5,以8C为边在AABC

外作△BQCg/XB朋，连接P。，则以下结论中正确有（填序号）

①△BP0是等边三角形②△PCQ是直角三角形③NAPB=150°④NAPC=120°

解：①:△ABC是等边三角形，...NABC=60°,

"：/\BQC^/\BPA,：.ZCBQ=ZABP,PB=QB=4,PA=QC=?>,ZBPA=ZBQC,

:.NPBQ=NPBC+NCBQ=NPBC+NABP=NABC=6Q°,△BP。是等边三角形，

所以①正确；®PQ=PB=4,PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,：.PQL+QC1=PC1,

：.ZPQC=9Q°,...△PC。是直角三角形，所以②正确；

③•.,△8PQ是等边三角形，.'.ZPQB=ZBPQ=60°,

AZAPB=ZBQC=ZBQP+ZPQC=60°+90°=150°,所以③正确；

④NAPC=360°-150°-60°-ZQPC=l50°-ZQPC,

'：ZPQC=90°,PCW2QC,：.ZQPC^30°,AZAPC^120°.所以④错误.

所以正确的有①②③.

9.如图，P是正三角形48c内的一点，且以=6,尸8=8,PC=10.若将C绕点A逆

时针旋转后，得到△「'AB.

（1）求点P与点P'之间的距离；

（2）求NAP8的度数.

解：（1）连接PP,由题意可知BP=PC=10,AP'=AP,

ZPAC=ZP'AB,而/以C+/3AP=60°,所以/B4P'=60度.故△APP为等边三

角形，所以PP'=AP=AP'=6；

（2）利用勾股定理的逆定理可知：

PP,2+Bp2=BP'2,所以ABPP'为直角三角形，且NBPP'=90°

可求NAPB=90°+60°=150°.

10.下面是一道例题及其解答过程，请补充完整.

(1)如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度

数.

解：将绕点A逆时针旋转60°,得到B,连接PP',则△APP'为等边三

角形.

,:PP'=E4=3,PB=4,P'B=PC=5,

：.P'P2+PB2^P'B~.

:.△BPP，为三角形.

ZAPB的度数为.

(2)类比延伸

如图2,在正方形A8CD内部有一点P,若NAPO=135°,试判断线段m、PB、PD之

间的数量关系，并说明理由.

解：(1)如图1,将绕点A逆时针旋转60°,得到△APB,连接尸P',贝！］△APP

为等边三角形.

,:PP'=PA=3,PB=4,P'B=PC=5,：.P'P1+PB1=P'B2.

：.^BPP'为直角三角形....NAPB的度数为90°+60°=150°.故答案为:直角；150°；

(2)2PA2+PD2=PB2.理由如下：

如图2,把绕点A顺时针旋转90°得到,连接尸尸’.

则P'B=PD,P'A=PA,ZPAP'=90°,

:.△APP'是等腰直角三角形，：.PP'2=B42+P,A2=2B42,ZPP'A=45°,

VZAPD=135°,AZAP'B=ZAPD=135°,：.ZPP'8=135°-45°=90°,

在RtAPP2中，由勾股定理得，PP'2+P'B2=PB2,：.2R\2+PD2^PB2.

图2

H.【方法呈现】：

(1)已知，点尸是正方形ABC。内的一点，连B4、PB、PC.将△加2绕点B顺时针旋

转90°到CB的位置(如图1),设A8的长为a,PB的长为b(b〈a),求△物8

旋转到的过程中边RL所扫过区域(图1中阴影部分)的面积；

【实际运用】：

(2)如图2,点尸是等腰RtzXABC内一点，AB=BC,连接以，PB,PC.若B4=2,

PB=4,PC=6,求/APB的大小；

【拓展延伸工

(3)如图3,点尸是等边△ABC内一点，B4=3,PB=4,PC=5,则△APC的面积是

(直接填答案)

解：(1)•.•将△以8绕点8顺时针旋转90°到CB的位置，

.'.△E4Bg△PCB,.*.5AP4B=SAP,CB,S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP，=m(/-信)；

(2)如图2,连接PP.

:将绕8点顺时针旋转90°,与△「'CB重合，

：.4PAB9丛P'CB,ZPBP'=90°,

：.BP=BP',ZAPB=ZCP'B,AP=CP'=2,

：.^PBP'是等腰直角三角形，...PP'=V2PB=4V2,ZBP'P=45°.

在△CPP中，':PP'=4V2,CP'=2,PC=6,：.PP'2+CP'2=PC2,

.♦.△CPP是直角三角形，ZCP'P=90°,

：.ZCP'B=/BP'P+ZCP'P=45°+90°=135°；

(3)如图3①，将绕A点逆时针旋转60°得到△PAC,连接PP1,

AAAPB^AAPiC,：.AP^APi,NP4尸i=60°,CPi=BP=4,

...△B4P1是等边三角形，：.PPi=AP=3,

"：CP=5,CP=4,PPi=3,：.PPi2+CPi2=CP2,

.♦.△CPiP是直角三角形，ZCPiP=90°,

.。=1n373973。1八/“一

••S^APPI5x3xQ—,S^PPIc—5x3X416,

9^/5

：・S四边形APCPl=S/iAPPl+Sz\PPlC=7-+6；

9、百

*.*AAPB^AAPiC,/.SAABP+SMPC=S四边形APCPI=—<—+6；

4,

如图3②，同理可求：/XABP和△BPC的面积的和另x4x竽+卜3义4=4b+6,

△APC和△BPC的面积的和=JX5X毕+Jx3X4=粤§+6,

ZZZ4

.♦.△ABC的面积=/(—+6+4V3+6++6)=^^+9,

Z444

25J3

••.△APC的面积=A45c的面积-AAPB与△BPC的面积的和=(----+9)-(4遮+6)

=-J—+3.故答案为一1+3.

4,4

12.(1)如图1,点尸是等边△ABC内一点，已知E4=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度

数.

分析：要直接求NAPB的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，

因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内.

解：如图2,作/以。=60°使AZ)=AP,连接PD,CD,则△B4D是等边三角形.

APD=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°

'：AABC是等边三角形

J.AC^AB,ZBAC=60°AZBAP^ZCAD

：.AABP^/\ACD

.•.BP=CD=4,ZAPB=ZADC

•.•在△PCD中，PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2

：.NPDC=90°

ZAPB=ZADC^ZADP+ZPDC^60°+90°=150°

(2)如图3,在△ABC中，AB=BC,ZABC=90°,点P是△ABC内一点，E4=l,PB

=2,PC=3,求/APB的度数.

(3)拓展应用.如图(4),/XABC中，ZABC=30°,AB=4,BC=5,尸是△ABC内

部的任意一点，连接抬，PB,PC,则出+P8+PC的最小值为

解：(1)如图2,作NB4D=6(r使A£)=AP,连接尸£>,CD,则△E4D是等边三角形.

：.PD=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°

•/△ABC是等边三角形

：.AC=AB,ZBAC=6Q°,

：.ZBAP=ZCAD,

：./\ABP^/\ACD(SAS)

：.BP=CD=4,ZAPB=ZADC

:在△PC。中，PD=3,PC=5,CD=4,PD1+CD1=PC2

：.ZPDC=90°

：.ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=600+90°=150°

故答案为：PD,ZCAD,ZAPB,90.

(2)解：VZABC=9Q°,BC=AB,

:.把△P2C绕8点逆时针旋转90°得到△£＞血1,如图,

图3

：.AD=PC=3,BD=BP=2,

VZPBD=90°

:.DP=®PB=2近,/DPB=45°,

在△APO中，AD=3,PD=242>PA=1,

'：12+(2A/2)2=32,

:.AP2+PD2=BD2,

.•.△APO为直角三角形，

AZAPD=90°,

：.ZAPB=ZAPD+ZDPB=900+45°=135

(3)解：如图4中，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°,得到连接EP,CD,

:.NABP=NDBE,BD=AB=4,NPBE=60°,BE=PE,AP=DE,

；.ABPE是等边三角形

：.EP=BP

AP+BP+PC=PC+EP+DE

当点。，点E,点P,点C共线时，以+PB+PC有最小值CD

VZABC=30°=ZABP+ZPBC

；・NDBE+NPBC=30°

：.ZDBC=90°

•••CD=VBD2+BC2=VS2+42=V41，

故答案为JIL

13.（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1,P是正方形ABC。

内一点，连结PA,PB,PC现将绕点B顺时针旋转90°得到的CB,连接

PP'.若以=&,PB=3,ZAPB=135°,则尸C的长为,正方形ABC。的边

长为.

（变式猜想）（2）如图2,若点尸是等边△ABC内的一点，且B4=3,PB=4,PC=5,

请猜想/APB的度数，并说明理由.

（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的

问题：

如图3,在四边形中，A£>=3,0）=2,ZABC^ZACB=ZADC^450,则

的长度为.

解：(1)•.,△RIB绕点2顺时针旋转90°得到的△「'CB,

：.BP=BP'=3,P'C=PA=V2,ZPBP'=90°,ZBP'C=ZAPB=135°,

:.△BPP'为等腰直角三角形，:./BP'P=45°,PP'=V2PB=3A/2,

:./PP'C=135°-45°=90°,

在Rtz^PP'C中，由勾股定理得：PC=7PP'2+P£2=J(3V2)2+(V2)2=2A/5,

过点A作交8尸的延长线于E,如图1所示：

VZAPB=135°,：.ZAPE^180Q-135°=45°,...△人£9是等腰直角三角形,

：.AE=PE=尹仁与X/=1,：.BE=PB+PE=3+1=4,

在RtAAEB中，由勾股定理得：AB=yjAE2+BE2=Vl2+42=V17,

故答案为：26，V17；

(2)NAPB的度数为150°,理由如下：

:•△ABC是等边三角形，：.AB=BC,ZABC=60°,

将△BPC绕点8逆时针旋转60°,得到△BPA,连接尸尸,，如图2所示:

则△BPP是等边三角形，：.PP'=BP=4,ZBPP'=60°,

VAP=3,AP'=PC=5,：.P'P2+AP2=AP'2,：.AAPP'为直角三角形，

:./APP'=90°,/.ZAPB=ZAPP'+ZBPP'=90°+60°=150°；

(3)VZA