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文档简介
大招奔驰模型
D
模型介绍
因为像奔驰车标,所以叫奔驰模型
0【结论】如图,等边△ABC,PA=3,PB=4,PC=5,
团关键:旋转可以让线段动起来
证明:过点B作BQ±AP与点Q以AP为边向左侧作等边4APD,连接
ZAPB=150°BD
:.ZBPQ=30°BP=4BQ=2VAABC,Z\ADP为等边三角形
/.ZDAB=60°-ZBAP
PQ=J/-BQ2=2禽
ZPAC=600-ZBAP
:.ZDAB=ZPAC
:.AB2=AQ2-BQ2=25+12A/3
易证△DABBZ\PAC(SAS)
sT旃2^/.DB=PC=5
44VDP!+BP;!=DB;!
:.ZDPB=90°ZAPB=150°
各种旋法:
A
国超酷炫又实肋s亭
0Q例题精讲
【例1】.如图,点。是等边AABC内部一点,BD=1,Z)C=2,则NADB=150
解:将△BCD绕点8逆时针旋转60°得到△AB),
:.BD=BD',AD'=CD,
:.ZDBD'=60°,
是等边三角形,
AZBDD'=60°,
':BD=1,DC=2,AD=M,
:.DD'^1,AD'=2,
在△AQ£>'中,AD'2=AD1+DD'2,
:.ZAZ)D'=90°,
AZADB=600+90°=150°,
故答案为150.
A变式训练
【变式17].如图,点。是等边△ABC内一点,AZ)=3,BD=3,CD=342>AACE是
由△ABD绕点A逆时针旋转得到的,则/AOC的度数是()
A
D.55°
由旋转可知,AACE@AABD,
.•.AE=AD=3,CE=BD=3,CD=3^2>
ZBAD=ZCAE,
VAABC是等边三角形,
AZBAC=60°,
:.ZBAD+ZDAC^6Q°,
.,.ZCA£+ZDAC=60°,即NZME=60°,
:.ADAE是等边三角形,
.•.r>E=A£>=3,
V32+32=(3A/2)2,
:.DE1+CE1=CD2,
...△OEC是直角三角形,且NZ)EC=90°,
:.DE=CE,Z£DC=45°,
AZADC=ZADE+ZCDE=105°,故选:C.
【变式1-2].如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP、BP、CP,若AP=6,BP
=8,CP—10.则S人ABP+SABPC=24+16E_.
解:如图,将△BPC绕点8逆时针旋转60°后得连接PP,
A
根据旋转的性质可知,
旋转角NPBP,=ZCAB=60°,BP=BP',
:.4BPP'为等边三角形,
:.BP'=BP=8=PP;
由旋转的性质可知,AP'=PC=10,
在△BPP中,PP'=8,AP=6,
由勾股定理的逆定理得,AAPP'是直角三角形,
2
S^ABP+S^BPC—S四边形AP'BP=SABP'P+SAAP'P=返BP+—XPPXAP=24+16A/3
4
故答案为:24+16我
【变式1-3].如图,点P是正方形ABC。内的一点,且B4=l,PB=PD=M,贝IJ/APB
的度数为105°.
解:如图,将AAPB绕点A逆时针旋转90°得到△AOE,连接EP,
AAPB^AAED,
:.AE=AP=1,PB=DE=M,ZPAE=90Q,NAED=NAPB,
:.PE=®AE=®ZAEP=ZAPE=45°,
:.DE=DP=PE=近,
.♦.△OEP是等边三角形,
AZD£P=60°,
AZAED=1Q5°=ZAPB,
故答案为:105°.
(■Ip
僦j实战演练
1.如图,点。是等边三角形ABC内一点,0A=2,OB=1,0C=M,则△AOB与△BOC
的面积之和为()
解:将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△C£>8,连接0Z),
:.OB=BD,ZOBD=60°,CD=OA=2,
△BOZ)是等边二角形,
:.OD=OB=1,
':OD2+OC2=l2+(V3)2=4,CD2=22=4,
:.OD1+OC2=CD1,
:.ZDOC=90°,
/\AOB与△8OC的面积之和为SABOC+S&BCD=S4BOD+SACOD="^-X12+—X1XV§
42
3V3
故选:C.
2.如图,尸是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,
连接B。.若B4=6,PB=8,PC=10,则四边形AP3Q的面积为()
C.24+18愿D.48+18百
解:连接尸。,如图,
•:△ABC为等边三角形,
:.AB=AC,ZBAC=6Q°,
•••线段AP绕点A顺时针旋转60。得到线段AQ,
:.AQ=AP,ZPAQ=6O°,
••.△AP2为等边三角形,
尸=6,
VZPAQ-ZPAB=ZCAB-ZPAB,
:.ZCAP=ZBAQ,
在△APC和△AQB中
'AP=AQ
<ZCAP=ZBAQ-
AC=AB
A/\APC^/\AQB(SAS),
:.CP=BQ=10,
在△BPQ中,:PQ=6,BP=8,BQ^10,
而62+82=102,
:.PQ2+PB2^BQ2,
.♦.△BP。为直角三角形,ZBPQ=9O°,
四边形APBQ的面积=SABPO+SAAPQ
=AX6X8+^5.X62
24
=24+973.
故选:A.
3.如图,0是正AABC内一点,0A=3,0B=4,0C=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋
转60°得到线段B01,有下列结论:
①△BO'A可以由ABOC绕点B逆时针旋转60°得到;
②点0与。’的距离为4;③/A0B=150°;
心S四边形AOBO,=6+38;⑤SAAOC+SAAOB=6+^V3
其中正确的结论是()
A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③
解:如图,连接00'.
①由奔驰模型推导过程可知N0B0'=60°,ABOC^ABO^A,N②A0B=150°,△BOO'为等边
三角形,所以00'=0B=4,故①②③正确•Sa^A0B0,=S,A00.+SAOBO.=|X3X4+f义
42=6+4V3,故④错误.
如图,将AAOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合,点。旋转至点0".
易知△A00”是边长为3的等边三角形,△C00”是直角三角形,
则S«40c+SAAOB=S四边形AOBO,=Sbco。—SkAOO"
=1X3X4+—X3M+-V3,故⑤正确.综上所述,正确的结论为①②③⑤.故选A.
244
4.如图,在菱形ABCD中,ZABC=60°,对角线AC平分/BAD,点P是4ABC内一点,连接
PA,PB,PC.若PA=6,PB=8,PC=10,则菱形ABCD的面积等于
D
解:过A点作AHLBP,交BP的延长线于H,
由奔驰模型可知/APB=150°,.-.ZAPH=30°,
AH=|PA=3,PH=3V3,.,.BH=8+3V3,/.AB2=AH2+BH2=100+4873,X
S«ABCD=2SAJ4BC=2
—XAB2=50V3+72
4
5.如图,点尸是正方形ABC。内一点,若FA=f,PB=&,PC=1,则/3PC=135°
解::四边形A8CO为正方形,
AZABC=90°,BA=BC,
把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△BCE,连接PE,如图,
:.BP=BE=如,CE=AP=®NPBE=9Q°,
...△P8E为等腰直角三角形,
:.ZBPE=45°,PE=HPB=H乂迎=2,
在中,:PC=1,PE=2,CE=正
;.PC2+PE2=C烂,
...△PCE为直角三角形,ZCP£=90°,
AZBPC=ZBPE+ZCPE=450+90°=135°.
故答案为:135°.
36+25F
6.已知P是等边△ABC内一点,若B4=3,PB=5,PC=4,则△ABC的面积=
4
解::△ABC为等边三角形,
J.AB^AC,ZBAC=60°,
把△APC绕点A顺时针旋转60°可得到△A8D如图,
:.AD=AP=3,BD=PC=4,ND4P=60°,ZADB=ZAPC,
•*.△AOP为等边三角形,
:.DP=AP^3,ZADP=6Q°,
在△BOP中,*:DP=3,£)8=4,BP=5,
而32+42=52,
:.DP1+DB1=BP1,
...△8。尸为直角三角形,NBDP=90°,
:.ZADB^ZADP+ZBDP^60°+90°=150°,
ZAPC=150°;
作8ELW于E,如图
;.NBDE=30°,
在RtZ\B£)E中,BE=LBD=2,DE=6BE=2M,
2
:.AE^AD+DE^3+273,
在RtAABE中,^=7BE2+AE2=V22+(,3+2^3)2=V25+12V3,
返义(“25+12E)2=36+25五,
44
故答案为:36+2543.
4
7.如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60。得到线段AQ,
连接3。.若用=6,PB=8,PC=10,则四边形APB。的面积为24+9\伍.
解:连接P。,如图,
,/AABC为等边三角形,
:.ZBAC^60°,4B=AC,
•..线段A尸绕点A顺时针旋转60°得到线段A。,
:.AP=PQ=6,NB4Q=60°,
:./\APQ为等边三角形,
:.PQ=AP=6,
VZCAP+ZBAP^60°,ZBAP+ZBAQ^6Q°,
:.ZCAP=ZBAQ,
在△APC和△ABQ中,
,AC=AB
<ZCAP=ZBAQ>
AP=AQ
AAPC^AABe,
:.PC=QB=10,
在△BPQ中,:PB2=82=64,PQ2=62,BQ2^102^
而64+36=100,
:.PB2+P^=BQ2,
...△尸2。为直角三角形,ZBPQ=90°,
S四边形APBQ=SABPQ+S/^APQ——X6X8+
2
故答案为24+9V3.
CA
8.如图,P是等边三角形ABC内的一点,且必=3,PB=4,PC=5,以8C为边在AABC
外作△BQCg/XB朋,连接P。,则以下结论中正确有(填序号)
①△BP0是等边三角形②△PCQ是直角三角形③NAPB=150°④NAPC=120°
解:①:△ABC是等边三角形,...NABC=60°,
":/\BQC^/\BPA,:.ZCBQ=ZABP,PB=QB=4,PA=QC=?>,ZBPA=ZBQC,
:.NPBQ=NPBC+NCBQ=NPBC+NABP=NABC=6Q°,△BP。是等边三角形,
所以①正确;®PQ=PB=4,PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,:.PQL+QC1=PC1,
:.ZPQC=9Q°,...△PC。是直角三角形,所以②正确;
③•.,△8PQ是等边三角形,.'.ZPQB=ZBPQ=60°,
AZAPB=ZBQC=ZBQP+ZPQC=60°+90°=150°,所以③正确;
④NAPC=360°-150°-60°-ZQPC=l50°-ZQPC,
':ZPQC=90°,PCW2QC,:.ZQPC^30°,AZAPC^120°.所以④错误.
所以正确的有①②③.
9.如图,P是正三角形48c内的一点,且以=6,尸8=8,PC=10.若将C绕点A逆
时针旋转后,得到△「'AB.
(1)求点P与点P'之间的距离;
(2)求NAP8的度数.
解:(1)连接PP,由题意可知BP=PC=10,AP'=AP,
ZPAC=ZP'AB,而/以C+/3AP=60°,所以/B4P'=60度.故△APP为等边三
角形,所以PP'=AP=AP'=6;
(2)利用勾股定理的逆定理可知:
PP,2+Bp2=BP'2,所以ABPP'为直角三角形,且NBPP'=90°
可求NAPB=90°+60°=150°.
10.下面是一道例题及其解答过程,请补充完整.
(1)如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度
数.
解:将绕点A逆时针旋转60°,得到B,连接PP',则△APP'为等边三
角形.
,:PP'=E4=3,PB=4,P'B=PC=5,
:.P'P2+PB2^P'B~.
:.△BPP,为三角形.
ZAPB的度数为.
(2)类比延伸
如图2,在正方形A8CD内部有一点P,若NAPO=135°,试判断线段m、PB、PD之
间的数量关系,并说明理由.
解:(1)如图1,将绕点A逆时针旋转60°,得到△APB,连接尸P',贝!]△APP
为等边三角形.
,:PP'=PA=3,PB=4,P'B=PC=5,:.P'P1+PB1=P'B2.
:.^BPP'为直角三角形....NAPB的度数为90°+60°=150°.故答案为:直角;150°;
(2)2PA2+PD2=PB2.理由如下:
如图2,把绕点A顺时针旋转90°得到,连接尸尸’.
则P'B=PD,P'A=PA,ZPAP'=90°,
:.△APP'是等腰直角三角形,:.PP'2=B42+P,A2=2B42,ZPP'A=45°,
VZAPD=135°,AZAP'B=ZAPD=135°,:.ZPP'8=135°-45°=90°,
在RtAPP2中,由勾股定理得,PP'2+P'B2=PB2,:.2R\2+PD2^PB2.
图2
H.【方法呈现】:
(1)已知,点尸是正方形ABC。内的一点,连B4、PB、PC.将△加2绕点B顺时针旋
转90°到CB的位置(如图1),设A8的长为a,PB的长为b(b〈a),求△物8
旋转到的过程中边RL所扫过区域(图1中阴影部分)的面积;
【实际运用】:
(2)如图2,点尸是等腰RtzXABC内一点,AB=BC,连接以,PB,PC.若B4=2,
PB=4,PC=6,求/APB的大小;
【拓展延伸工
(3)如图3,点尸是等边△ABC内一点,B4=3,PB=4,PC=5,则△APC的面积是
(直接填答案)
解:(1)•.•将△以8绕点8顺时针旋转90°到CB的位置,
.'.△E4Bg△PCB,.*.5AP4B=SAP,CB,S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP,=m(/-信);
(2)如图2,连接PP.
:将绕8点顺时针旋转90°,与△「'CB重合,
:.4PAB9丛P'CB,ZPBP'=90°,
:.BP=BP',ZAPB=ZCP'B,AP=CP'=2,
:.^PBP'是等腰直角三角形,...PP'=V2PB=4V2,ZBP'P=45°.
在△CPP中,':PP'=4V2,CP'=2,PC=6,:.PP'2+CP'2=PC2,
.♦.△CPP是直角三角形,ZCP'P=90°,
:.ZCP'B=/BP'P+ZCP'P=45°+90°=135°;
(3)如图3①,将绕A点逆时针旋转60°得到△PAC,连接PP1,
AAAPB^AAPiC,:.AP^APi,NP4尸i=60°,CPi=BP=4,
...△B4P1是等边三角形,:.PPi=AP=3,
":CP=5,CP=4,PPi=3,:.PPi2+CPi2=CP2,
.♦.△CPiP是直角三角形,ZCPiP=90°,
.。=1n373973。1八/“一
••S^APPI5x3xQ—,S^PPIc—5x3X416,
9^/5
:・S四边形APCPl=S/iAPPl+Sz\PPlC=7-+6;
9、百
*.*AAPB^AAPiC,/.SAABP+SMPC=S四边形APCPI=—<—+6;
4,
如图3②,同理可求:/XABP和△BPC的面积的和另x4x竽+卜3义4=4b+6,
△APC和△BPC的面积的和=JX5X毕+Jx3X4=粤§+6,
ZZZ4
.♦.△ABC的面积=/(—+6+4V3+6++6)=^^+9,
Z444
25J3
••.△APC的面积=A45c的面积-AAPB与△BPC的面积的和=(----+9)-(4遮+6)
=-J—+3.故答案为一1+3.
4,4
12.(1)如图1,点尸是等边△ABC内一点,已知E4=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度
数.
分析:要直接求NAPB的度数显然很困难,注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数,
因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内.
解:如图2,作/以。=60°使AZ)=AP,连接PD,CD,则△B4D是等边三角形.
APD=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°
':AABC是等边三角形
J.AC^AB,ZBAC=60°AZBAP^ZCAD
:.AABP^/\ACD
.•.BP=CD=4,ZAPB=ZADC
•.•在△PCD中,PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2
:.NPDC=90°
ZAPB=ZADC^ZADP+ZPDC^60°+90°=150°
(2)如图3,在△ABC中,AB=BC,ZABC=90°,点P是△ABC内一点,E4=l,PB
=2,PC=3,求/APB的度数.
(3)拓展应用.如图(4),/XABC中,ZABC=30°,AB=4,BC=5,尸是△ABC内
部的任意一点,连接抬,PB,PC,则出+P8+PC的最小值为
解:(1)如图2,作NB4D=6(r使A£)=AP,连接尸£>,CD,则△E4D是等边三角形.
:.PD=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°
•/△ABC是等边三角形
:.AC=AB,ZBAC=6Q°,
:.ZBAP=ZCAD,
:./\ABP^/\ACD(SAS)
:.BP=CD=4,ZAPB=ZADC
:在△PC。中,PD=3,PC=5,CD=4,PD1+CD1=PC2
:.ZPDC=90°
:.ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=600+90°=150°
故答案为:PD,ZCAD,ZAPB,90.
(2)解:VZABC=9Q°,BC=AB,
:.把△P2C绕8点逆时针旋转90°得到△£>血1,如图,
图3
:.AD=PC=3,BD=BP=2,
VZPBD=90°
:.DP=®PB=2近,/DPB=45°,
在△APO中,AD=3,PD=242>PA=1,
':12+(2A/2)2=32,
:.AP2+PD2=BD2,
.•.△APO为直角三角形,
AZAPD=90°,
:.ZAPB=ZAPD+ZDPB=900+45°=135
(3)解:如图4中,将△ABP绕着点B逆时针旋转60°,得到连接EP,CD,
:.NABP=NDBE,BD=AB=4,NPBE=60°,BE=PE,AP=DE,
;.ABPE是等边三角形
:.EP=BP
AP+BP+PC=PC+EP+DE
当点。,点E,点P,点C共线时,以+PB+PC有最小值CD
VZABC=30°=ZABP+ZPBC
;・NDBE+NPBC=30°
:.ZDBC=90°
•••CD=VBD2+BC2=VS2+42=V41,
故答案为JIL
13.(原题初探)(1)小明在数学作业本中看到有这样一道作业题:如图1,P是正方形ABC。
内一点,连结PA,PB,PC现将绕点B顺时针旋转90°得到的CB,连接
PP'.若以=&,PB=3,ZAPB=135°,则尸C的长为,正方形ABC。的边
长为.
(变式猜想)(2)如图2,若点尸是等边△ABC内的一点,且B4=3,PB=4,PC=5,
请猜想/APB的度数,并说明理由.
(拓展应用)(3)聪明的小明经过上述两小题的训练后,善于反思的他又提出了如下的
问题:
如图3,在四边形中,A£>=3,0)=2,ZABC^ZACB=ZADC^450,则
的长度为.
解:(1)•.,△RIB绕点2顺时针旋转90°得到的△「'CB,
:.BP=BP'=3,P'C=PA=V2,ZPBP'=90°,ZBP'C=ZAPB=135°,
:.△BPP'为等腰直角三角形,:./BP'P=45°,PP'=V2PB=3A/2,
:./PP'C=135°-45°=90°,
在Rtz^PP'C中,由勾股定理得:PC=7PP'2+P£2=J(3V2)2+(V2)2=2A/5,
过点A作交8尸的延长线于E,如图1所示:
VZAPB=135°,:.ZAPE^180Q-135°=45°,...△人£9是等腰直角三角形,
:.AE=PE=尹仁与X/=1,:.BE=PB+PE=3+1=4,
在RtAAEB中,由勾股定理得:AB=yjAE2+BE2=Vl2+42=V17,
故答案为:26,V17;
(2)NAPB的度数为150°,理由如下:
:•△ABC是等边三角形,:.AB=BC,ZABC=60°,
将△BPC绕点8逆时针旋转60°,得到△BPA,连接尸尸,,如图2所示:
则△BPP是等边三角形,:.PP'=BP=4,ZBPP'=60°,
VAP=3,AP'=PC=5,:.P'P2+AP2=AP'2,:.AAPP'为直角三角形,
:./APP'=90°,/.ZAPB=ZAPP'+ZBPP'=90°+60°=150°;
(3)VZA
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