指数函数、对数函数与幂函数（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学复习专练（原卷版）

热点2-3指数函数、对数函数与幕函数

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

近三年的高考中，指数函数、对数函数与幕函数以选预计2025年会重点考查指数函数的性质应用、对

择题和填空题为主，偶尔也会在解答题中渗透考数函数的运算与图象应用，以及幕函数的图象和性

查，每题分值一般为5分左右.重点考查三种函数质，题型主要是选择题或填空题，难度多为中档，

的图象与性质、指数与对数互化、指对幕函数值的且可能与新定义、初等数论等知识结合考查.

比较大小等问题，难度中等.

热点题型解读

题型1指数与对数的化简求值题型6对数型复合函数的性质

题型2指数函数的图象与性质题型7指对幕函数值比较大小

指数函数、对数函数

题型3对数函数的图象与性质题型8指数与对数不等式问题

与幕函数

题型4幕函数的图象与性质题型9指对函数与实际应用

题型5指数型复崩数的倾题型10反函数及其应用

题型1指数与对数的化简求值

1、指数塞运算的一般原则

(1)指数幕的运算首先将根式统一为分数指数幕，以便利用法则计算；

(2)先乘除后加减，负指数幕化成正指数幕的倒数；

(3)底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数;

(4)运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

.2、对数混合运算的一般原则

（l）将真数和底数化成指数幕形式，使真数和底数最简，用公式log”,AT=2vilog。沙化简合并;

（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；

（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、塞；

（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然；

后进行化简合并；

（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式.

（24-25高三上•四川绵阳・月考）计算：（k>g45+log85）xlog52-2"叼+16

81

（24-25高三上•广东•月考）J（乃一8『一4幅3+iog37」og79—log]55—log]53的值为—.

（23-24高三上•陕西咸阳•开学考试）计算:

2749,2

+0.0083x—;

25

(2)(log43+log83)(log32+log92)+log3手+7哨？.

4.（24-25高三上•河南周口・期中）计算:

Ig8+lgl25-Ig2-lg5

Ig^lgO.l

(2)若*=2(。＞0),求

优+「

题型2指数函数的图象与性质

00

指数函数的图象需要注意以下几个特征:

j（1）指数函数的图象所过的关键点为（1,a）,（0,1）,（-11）；

a

（2）函数图象与坐标轴的交点位置；

（3）函数的定义域、值域、奇偶性、单调性.

1.（24-25高三上•四川宜宾•模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又（0,+8）在是增函数的是（）

A./(^)=ex+e-xB.f(x)=ex-exC.f(x)=x-3D./(x)=xln|x|

exex-e~x\

2.（23-24高三下.江西新余月考）函数〃为偶函数，则。的值为：（）

A.-1B.1C.0D.2

3.（24-25高三上•内蒙古・月考）函数丫=优-/（4>0,且awl）的图象可能是（）

4.（24-25高三上•福建宁德•月考）函数/（x）=a*3+2尤（a>0且"1）的图象恒过的定点为.

题型3对数函数的图象与性质

对数函数图象的识别及应用方法

II

（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、：

:最低点等）排除不符合要求的选项.

ii

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

1.（24-25高三上•广东惠州・月考）已知函数y=log.（x-l）+2夜（。>0且awl）的图象恒过定点P,点P在

幕函数y=的图象上，则/（4）=.

2.（24-25高三上•安徽•期中）若〃x）=log4——。是奇函数，则/=（）

A.；B.立C.亚D.2

22

3.（24-25高三上•重庆・月考）3知函数7（%）=log3lG；TI（awO）的图象关于直线%=2对称,则。=（）

A.2B.1C.-D.；

32

4.（24-25高三上•山东德州•期末）函数〃尤）=xlog2|x|的图象大致为（）

题型4幕函数的图象与性质

0O后雄

对于募函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=l,y=l,尸x所分区域.：

根据。<0,0<a<l,a=l,的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

2

1.（24-25高三上•山东济南・月考）幕函数〃同=声的图象大致为（）

2.（24-25高三上•湖南邵阳・月考）在同一坐标系内，函数丁=/（。片0）和〉="-’的图象可能是（）

3.（24-25高三上糊北•月考）已知幕函数g（元）=（产-书-勺/-分包在9+8）上单调递减，则/的值为

4.（24-25高三上•重庆・月考）已知累函数”刈=--2»3（〃第2）为奇函数，且在区间（0,+功上是严格减函

数.

⑴求函数y=〃x）的表达式；

⑵对任意实数xe）』，不等式/（x）W/+4,恒成立，求实数，的取值范围.

题型5指数型复合函数的性质

指数型复合函数的值域求法

（1）形如y=/（优）（。>0,且awl）的函数求值域用换元法：令a*=t,将求原函数的值域转化为

i

求/⑺的值域，但要注意“新元尸的范围.

（2）形如y=（a>0,且awl）的函数求值域用换元法：令〃=/（%）,先求出〃=/（%）的值域,

i

再利用y=。"的单调性求出y=/⑴的值域.

/[、x(a-x)

1.(24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中)已知函数/(无)=：在区间上单调递增，则。的取值范围

是()

A.[0,+oo)B.[-2,+oo)C.(-oo,0]D.(-00,-2]

一9*+〃

2.(24-25高三上•福建龙岩・月考)已知函数/(%)=-^―(aeR)为偶函数.g(x)=〃矿(2x)+2f(x)+m(meR).

⑴求。的值及函数的值域.

(2)若命题“*eR,g(x)上0”为假命题，求实数小的取值范围.

〃

3.(24-25高三上•云南丽江・月考)设aeR,已知函数了"卜2*!+^为奇函数.

⑴求实数。的值；

(2)若。＜0,判断并证明函数/■(%)的单调性；

⑶在(2)的条件下，函数〃尤)在区间[加河(加＜〃)上的值域是[h2TH21(AeR),求上的取值范围.

4.(23-24高三上・甘肃兰州・月考)已知函数〃无)=〃*+a⑶+m^ax-a~x^(a>0且aw1)

⑴若相=2,求函数〃尤)的最小值；

⑵若/(力2-1恒成立，求实数机的取值范围.

题型6对数型复合函数的性质

1、解决对数型复合函数单调性问题的思路

(1)y=log°/(x)型：函数y=log。/(x)的单调性与函数月=/(x)(/(x)>0)的单调性在a>1时相同，

I

!在0<。<1时相反；

(2)y=/(logaX)型：一般用换元法，即令"log。》,则只需要研究f=log°x及y=/«)的单调性

i

即可.

2、对数型复合函数的值域求法

(1)形如y=/(log”x)(a>0,且awl)的函数求值域用换元法：令log“x=/,先求出log〃x=/的

i

i

：值域，再利用y=f(t)的单调性，再求出y=f{t］的值域.

i

(2)形如y=log“/(x)(a>0,且awl)的函数的值域用换元法：令//=/(%),先求出〃=/(%)的

i

［值域，再利用y=log„〃的单调性，求出y=logaf(x)的值域.

1.(24-25高三上・甘肃庆阳•模拟预测)函数〃到=3a0-2尤2的值域为()

A.(—oo,l]B.(0,1]C.fo,—D.f-®3,—

2.(24-25高三上•山东德州•期末)已知函数外力=1幅(--办+4).

(1)当4=5时，求/'(X)的定义域及单调递增区间；

⑵若关于X的方程;=。在(0,2)上有解，求。的最小值.

3.(24-25高三上.四川德阳・月考)已知函数/(尤)=1吗(-必+2疝+1)的定义域为。，g(x\=^f±

4X+1

3

⑴若力="求函数〃%)的值域；

⑵若£>=(加,几)，且［g(m)-g⑺了<io,求实数丸的取值范围.

4.(24-25高三上•广东深圳•月考)函数/(MnOogzX-zXlog'X-g

(1)当xe[l，4]时，求该函数的值域；

⑵若"X)>/«log4x对于xe[4,均恒成立，求机的取值范围.

题型7指对幕函数值比较大小

1、单调性法：当两个数都是指数塞或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幕函数的函数值，

然后利用该函数的单调性比较.

2、作差法、作商法：

i

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用作为分界点，然后再各部分内再利用函数:

的性质比较大小.

4、估值法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值.

5、构造函数，运用函数的单调性比较：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，

所以可能优先从结构最接近的的两个数规律

I

(1)对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣”比较大小；

(2)有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小.

6、放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；

(2)指数和幕函数结合来放缩；

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩；

(4)“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数(主要是整数多一些)，那!

么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系.

1.(24-25高三上•河北邯郸・月考)已知。=3%6=1叫15,c=log9207,则()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

2.（24-25高三上•贵州六盘水・月考）若a=log3i6=（£|工=1|），则°，氏0的大小关系为（

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

3.（24-25高三上・山东泰安・月考）已知。=log53,b=log43,c=0.4",则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

4.（24-25高三上・江西・月考）已知"logs7,b=\og6S,c=log810,则b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.ob>a

题型8指数与对数不等式问题

1、解指数不等式：

（1）形如，㈤>ag{x）的不等式，可借助y=优的单调性求解；

（2）形如。"耳>6的不等式，可将人化为。为底数的指数累的形式，再借助>=优的单调性求解；

（3）形如优〉"的不等式，可借助两函数y=优，>="的图象求解.

（4）形如+c>0（或<0）,通过换元令/=优（注意确定/的范围），转化为

产+4+c>0的形式进行求解.

2、解对数不等式

（1）形如log“x>log°b的不等式：借助y=log“x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分。>1或

0<«<1两种情况讨论；

（2）形如log,x〉6的不等式：应将6化为以。为底的对数式的形式，再借助y=log。x的单调性求解；

（3）形如log.x>log8x的不等式：可利用图象求解.

1.（24-25高三上•重庆・月考）已知/（x）=e,-eT,若/（炉一？》）〉“6-尤），则实数x的取值范围为.

,、\—x-1,尤<0

2.（24-25高三上・浙江•期中）已知函数〃力=一、n，则关于了的不等式了（力W1的解集为（）

inIx十1j,l>u

A.（^o,-2]U[e,-hx））B.[-2,e]

C.2][e—l,+oo）D.[—2,e—1]

3.（24-25高三上•湖南・月考）已知log2a（4/+l）＜log2a4a＜0,则（）

11

A.0<a<-B.—<a<C.—<a<—D，

42242

4.（24-25高三上・贵州・月考）已知函数外元）=log2（4，+l）-x+GI,则关于了的不等式〃x+2）＞〃2x）

解集为（）

A.IMB.[-卜口.&

c

-。・虹Bl,？

题型9对数函数与实际应用

指数函数与对数函数实际应用问题的解题思路

（1）理解题意：读懂题目，明确题目要求解决的问题，通常涉及增长率、衰减率等实际问题.

（2）建立模型：根据题目描述，建立适当的数学模型.

（2）运用性质：在建立模型后，运用指数函数和对数函数的性质来简化问题.

（3）求解方程：在模型中，通常需要解指数方程或对数方程。这时，要注意方程的解法，尤其是涉及!

到方程的变换和化简.

ii

；（4）检验结果：需要检验求得的解是否符合题目的实际情况.

1.（24-25高三上•河南许昌•期中）放射性物质的衰变规律为：M=Mox\^J，其中指初始质量，，为衰

变时间，T为半衰期，M为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为工，T2（单位:

11

天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则〒-王=（）

A-B.-LC.'D」

10245121024512

2.（24-25高三上•北京・月考）德国科学家WilhelmPeukert于19世纪末提出蓄电池的容量C（单位：Ah）,

放电时间f（单位：h）与放电电流/（单位：A）之间关系的经验公式：C^T-t,其中。为Peukert常数，

不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为C1，Peukert常数为四；

第二块蓄电池的容量为Cz，Peukert常数为必.第一块电池测试：当放电电流/=20A时，放电时间r=20h,

当放电电流/=30A时，放电时间f=10h；第二块电池测试：当放电电流/=20A时，放电时间t=20h,当

20

放电电流/=30A时，放电时间才=511,则()

A.Pi>P2,a>GB.41<P2,G>G

c.Pi>p?，G<GD.Pi<P2,G<G

3.(24-25高三上・江苏泰州•期中)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有

所了解，例如，地震时释放出来的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为母石=4.8+1.5V.黄

海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄

海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的()倍.(精确到1)

(参考数据：lg29.5«1.470,lg30.5®1.484,lg31.5»1.498,lg32.5«1.512)

A.29B.30C.31D.32

4.(24-25高三上•山东德州・月考)中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：C=Wlog?11+引，

它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信

道内部的高斯噪声功率N的大小，其中三叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W,将信噪比三从2000

NN

提升至10000,则C大约增加了(1g2。0.3010)()

A.18%B.21%C.23%D.25%

题型10反函数及其应用

反函数的常用性质

(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；

(2)若函数y=/(x)的图象上有一点(a,6),则点(6,a)必在其反函数的图象上，反之也成立;

(3)互为反函数的两个函数的单调性相同；

(4)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；

(5)单调函数必有反函数.

1.(24-25高三上•广东•月考)函数y=/(尤)的图象与丁=2工的图象关于直线y=x对称，则函数y=〃sinx)

的递减区间是.

2.（24-25高三上•广东梅州•开学考试）已知函数y=的图象与函数y=的图象关于直线V=%对称，

则〃2e）=（）

A.2e2B.2eC.l+ln2D.lg（2e）

3.（24-25高三上・安徽六安・月考）（多选）已知函数＞=。'和y=lnx的图象与直线y=2-x交点的横坐标分

别为。），贝！I（）

A.a＜bB.a+b=2C.ab＞lD.a2-^-b2＞2

4.（23-24高三下•江苏扬州・模拟预测）设方程2、+x+3=0和方程log2%+x+3=0的根分别为P，/设函数

f（x）=（x+p\x+q）,则（）

A./（2）=f（0）＜/（3）B./（0）=f（3）＞/（2）

C.f（3）＜/（2）=/（0）D./（0）＜f（3）＜/（2）

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（24-25高三上・贵州贵阳•月考）下列函数中，在区间（0,+e）上单调递增的是（）

A.，（无）=-lnxB./（x）=-C./（x）-D."刈=用

2.（24-25高三上•湖南岳阳•期中）已知〃力=詈署是偶函数，贝匹=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（24-25高三上•山东枣庄•月考）已知函数y=log.（x-D+1（。＞0,且awl）的图象恒过定点A,若点A

在直线加X+盯T=o（根＞0,〃＞0）上，则3+」的最小值为（）

mn

A.13B.8&C.9+40D.8

x2—2ax+a,x＜0

4.（24-25高三上•广东梅州•中）已知函数”x）=1在R上单调递减，则。的取值范围是（）

----ln（.x+l）,x＞0

©

A.（一8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.口,+8）

5.（24-25高三上•重庆渝中•月考）19世纪美国天文学家西蒙・纽康和物理学家本・福特从实际生活得出的大量

数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本・福特定律，即在大量1。进制随

〃~I-1

机数据中，以“5eN+）开头的数出现的概率为尸（a）=1g—,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合

n

该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若

£尸（〃）=警:一限：N+，E9）（说明符号方为=4+电++%化i"eN+））,贝心的值为（）

n=k10g3Z+10g3dk=i

A.3B.5C.7D.9

6.(24-25高三上•福建龙岩・月考)已知a=g+ln2,b=|+1,c=g+受，则()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

7.（23-24高三下•广东佛山・一模）"2。＞1，1唯人＞1”是“2"+，＞4”的（）

A.充分不必要条件