直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】（苏科版）（原卷版）

专题2.6直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】

【苏科版】

【题型1已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】..............................................2

【题型2已知直线与圆的位置关系确定取值范围】................................................2

【题型3根据直线与圆的位置关系确定交点个数】................................................3

【题型4利用直线与圆的位置关系求最值】......................................................4

【题型5定义法判断切线】.....................................................................5

【题型6切线的判定（连半径证垂直）】.........................................................6

【题型7切线的判定（作垂直证半径）】.........................................................7

【题型8利用切线的性质求线段长度】...........................................................8

【题型9利用切线的性质求角度】..............................................................9

【题型10利用切线的判定与性质的综合运用】...................................................10

【知识点1直线与圆的位置关系】

设。的半径为r,圆心。到直线/的距离为d

则有：

相交：直线和圆有两

个公共点直线/和。相交odvr

直

线

与

圆

的

相切：直线和圆只有

位

置一个公共点直线/和。相切od=r

关!

系

相离：直线和圆没有

公共点直线/和」。相离od>r

•___

【题型1已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】

【例1】（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有和点A与点8,如果。。的半径为6c7九，线段

OA=lQcm,线段OB=6C7W,那么直线45与。。的位置关系为（）

A.相离B.相交C.相切D.相交或相切

【变式1-1］（2022秋•韶关期末）已知。。的半径等于3,圆心。到直线/的距离为5,那么直线/与O。

的位置关系是（）

A.直线/与。。相交B,直线/与。。相切

C.直线/与相离D.无法确定

【变式1-2］（2022秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为。，点P在函数y=—i的图象上，

以点P为圆心，以。尸为半径的圆与直线＞=-2的位置关系是（）

A.相离B.相切

C.相交D.三种情况均有可能

【变式1-3］（2022秋•自贡期末）如图，。。的半径为5,圆心。到一条直线的距离为2,则这条直线

A.hB.hC./3D.U

【题型2已知直线与圆的位置关系确定取值范围】

【例2】（2022秋•北仑区期末）O。的半径为5,若直线/与该圆相交，则圆心。到直线/的距离可能是

（）

A.3B.5C.6D.10

【变式2-1］（2022•松江区校级模拟）如图，已知中，NC=90°,AC=3,BC=4,如果以点C

为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么OC的半径厂的取值范围是（）

121212

A.OWE器B.—<r^3C.—<r^4D.3WrW4

$55

【变式2-2］（2022秋•丛台区校级期中）已知矩形ABC。中，AB=4,BC=3,以点B为圆心r为半径作

圆，且OB与边C。有唯一公共点，则r的取值范围为（）

A.3WY4B.3WY5C.3G<4D.3WW

【变式2-3］（2022秋•丛台区校级期中）以坐标原点。为圆心，作半径为4的圆，若直线y=-x+b与。。

相交，则b的取值范围是（）

A.0<6<2&B.-4V2<b^442C.-242<b<2V2D.-4V2<b<442

【题型3根据直线与圆的位置关系确定交点个数】

【例3】（2022秋•武汉期末）已知。。的半径等于5,圆心。到直线/的距离为6,那么直线/与O。的公

共点的个数是（）

A.0B.1C.2D.无法确定

【变式3-1］（2022秋•武汉期末）直角△ABC,ZBAC=90°,AB=8,AC=6,以A为圆心，4.8长度为

半径的圆与直线BC的公共点的个数为（）

A.0B.1C.2D.不能确定

【变式3-2］（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5cm如果圆心到直线距离是4cm那么这条直线和这个圆

的公共点的个数是（）个.

A.0B.1C.2D.0或1或2

【变式3-3］（2022秋•沐阳县期中）如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心，r

为半径画圆.

（1）当厂=时，OC与边A8相切；

（2）当r满足时，OC与边AB只有一个交点；

（3）随着，的变化，OC与边的交点个数还有哪些变化？写出相应的厂的值或取值范围.

AR

【题型4利用直线与圆的位置关系求最值】

【例4】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y=,x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，点尸是以C（l,0）

PB,则△RLB面积的最小值是（）

C.15D.20

【变式4-1]（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的上一动点，点。到直线MN的距离为3.点尸

是上一个动点.在运动过程中若/尸。4=90°,则线段用的最小值是

【变式4-2]（2022•乐亭县一模）如图，。。的半径是5,点A在。。上.P是O。所在平面内一点，且

AP=2,过点尸作直线/,使

（1）点。到直线/距离的最大值为

（2）若N是直线/与O。的公共点，则当线段的长度最大时，。尸的长为.

【变式4-3]（2022•广汉市模拟）在RtZXABC中，ZC=90°,AC=10,8C=12,点。为线段BC上一动

点.以为。。直径，作交。。于点E,连BE,则BE的最小值为（）

E

、B

、OJD

A.6B.8C.10D.12

【知识点2切线的判定】

（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）

③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线

（2）切线判定常用的证明方法：

①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.

【题型5定义法判断切线】

【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（）

A.过半径外端的直线

B.与圆心的距离等于该圆半径的直线

C.垂直于圆的半径的直线

D.与圆有公共点的直线

【变式5-1]（2022秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（）

A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线

【变式5-2]（2022秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线.（2）与圆只有

一个公共点的直线是圆的切线.（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线.（4）和三角形三边所在

直线都相切的圆有且只有一个.其中不正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.1个

【变式5-3]（2022秋•慈溪市期末）己知。。的半径为5,直线所经过。。上一点尸（点E,尸在点P的

两旁），下列条件能判定直线EE与。。相切的是（）

A.0P=5B.OE=OF

C.。到直线所的距离是4D.OP±EF

【题型6切线的判定(连半径证垂直)】

【例6】(2022•顺德区一模)如图，A,B,C,。是上的四个点，ZADB=ZBDC=60°,过点A作

AE//BC交CD延长线于点E.

(1)求/ABC的大小；

(2)证明：AE是O。的切线.

【变式6-1](2022•昭平县一模)如图，AB是O。的弦，。尸，交。。于C,0c=2,30°.

(1)求AB的长；

(2)若C是。尸的中点，求证：是。。的切线.

【变式6-2](2022春•朝阳区校级月考)如图，在Rt^ABC中，/C=90°,平分/BAC交BC于点

。为A3上一点，经过点A,。的圆。分别交AB,AC于点E,F,连接EE

求证：BC是圆。的切线.

【变式6-3](2022秋•武夷山市期末)如图，点P是。。的直径AB延长线上的一点(PBVOB),点E是

线段。尸的中点.在直径48上方的圆上作一点C,使得EC=EP

求证：PC是。。的切线.

【题型7切线的判定（作垂直证半径）】

【例7】（2022•武汉模拟）如图，在RtZXABC中，/B=90°,N54C的平分线交BC于点。，E为AB上

的一点，DE=DC,以。为圆心，DB长为半径作O。，AB=5,£8=3.

（1）求证：AC是。。的切线；

（2）求线段AC的长.

【变式7-1］（2022秋•滨海县期末）如图，以点。为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）

O

A.以。4为半径的圆B.以OB为半径的圆

C.以。C为半径的圆D.以。。为半径的圆

【变式7-2］（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边8c的中点，腰48与相切于

点D求证：AC是。。的切线.

D,

BO

【变式7-3](2022秋•丹江口市期中)如图，。为正方形A8CD对角线上一点，以点。为圆心，OA长为

半径的。。与BC相切于点E.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若正方形ABC。的边长为10,求。。的半径.

【知识点3切线的性质】

(1)切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

(2)切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

【题型8利用切线的性质求线段长度】

【例8】(2022•新平县模拟)如图，已知A8是。。的直径，C£)是的切线，点C是切点，弦BLAB

于点E,连接AC.

(1)求证：AC平分/DCB

(2)若AO_LC。，BE=2,CF=8,求A。的长.

F

【变式8-1](2022•泸县一模)如图，是。。的切线，A为切点，AC是。。的弦，过。作。HLAC于

点H.若OH=3,AB=12,BO=13,求：。。的半径和AC的长.

B

【变式8-2］（2022•建邺区一模）如图，AB,8是。。的切线，B、。为切点，AB=2,C£>=4,AC=10.若

ZA+ZC=90°,则。。的半径是.

【变式8-3X2022•新抚区校级三模）如图，△AC。内接于。。,48是。。的切线，/C=45°,ZB=30°.AD

C.2V3D.2V6

【题型9利用切线的性质求角度】

【例91（2022•红桥区三模）已知孙、P8是。。的切线，A、3为切点，连接A。并延长，交P8的延长

线于点C,连接P。，交。。于点D

（/）如图①，若NA。尸=65°,求NC的大小;

（II）如图②，连接若BD〃AC,求NC的大小.

【变式9-1］（2022秋•香洲区期末）如图，PA,P8是。。的两条切线，A、8是切点，AC是。。的直径,

/A4C=35°,求/尸的度数.

【变式9-2](2022•老河口市模拟)B4,尸2是。。的切线，A,2是切点，点C是。。上不与A,2重合

的一点，若/APB=70：则NAC3的度数为.

【变式9-3](2022•曲阜市二模)已知B