中考数学复习重难点强化训练：分式方程及其应用（分层训练）解析版

专题02分式方程及其应用（分层训练）

分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2223下・泰州•阶段练习）解分式方程白=2+三，去分母后得到（）

x-lX-1

A.x=2+3B.x=2（x—1）+3

C.x=3（x—1）+2D.x（x-1）=2+3（x—1）

【答案】B

【分析】分式方程左右两边同乘（x-1）去分母得到结果，即可作出判断.

【详解】解：去分母得：x=2（x-1）+3.

故选：B.

【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键.

2.（2223下•宝山•期末）上海市16个区共约1326条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健

身步道”行走，甲的速度是乙的L5倍，甲比乙提前15分钟走完全程，如果设乙的速度为x千米/时，那么

下列方程中正确的是（）

A.---=15B.---=0.25C.---=15D.---=0.25

x1.5%1.5%x1.5%xx1.5%

【答案】D

【分析】根据题意可直接进行求解.

【详解】解：由题意得：2-2=0.25.

x1.5%

故选：D.

【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键.

3.（22・23上•天津•期末）中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的.郑州、北

京两地相距约700km,乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h,已知高铁列车的平均行驶速度是特

快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为xkm/h,则下面所列方程中正确（）

A.---=3.6B.---=3.6

X2.8%2.8%X

700X2.87000,700

C.—=3.6D.----=3.6-------

xX2.8xx

【答案】A

【分析】设特快列车的平均行驶速度为xkm/h,则高铁列车的平均行驶速度是2.8xkm/h,根据"郑州、北京

两地相距约700km,乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h",即可求解.

【详解】解：设特快列车的平均行驶速度为xkm/h,则高铁列车的平均行驶速度是2.8xkm/h,根据题意得：

700700„，

------------=3.6.

x2.8x

故选：A

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键.

4.(22•23下.广州.一模)方程2=三的解为()

xx—3

AA.x=”4-B.1x=2—〃C.x=~1rD.x=—3

5210

【答案】A

【分析】方程两边乘x(六3)得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可.

【详解】解：方程两边乘尤(x-3),得8(x-3)=2x,

解得：x=4,

检验：当x=4时，x(x-3)H0,

所以x=4是原分式方程的解，

即原分式方程的解是x=4.

故选:A.

【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.

5.(2223上•恩施・期末)分式方程二-々=0有解，则m的取值范围是()

Xx-1

A.m=#0B.m1C.m=/=。或n?大1D.m#=0且m丰1

【答案】D

【分析】先求出加与犬的关系，再根据分式方程有解的条件判断即可.

【详解】‘一二7=0

Xx-1

方程两边同时乘以工(%-1)得：m(x-1)-x=0,

0(m—l)x=m,

团分式方程有解，

团m—1H0,

勖1W1.

[?]m(x—1)—x=0,

「x

0m=——x-l

团分式方程友-二7=0有解，

Xx-l

W0且久一1H0

回％W0且久W1

0mH0

故选D

【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键是找出增根.

6.(22・23下•哈尔滨•一模)方程」7=二的解为().

x-l%+3

A.%=3B.x=2C.x=—5D.%=5

【答案】D

【分析】去分母，将分式方程化为整式方程，再解整式方程，验根即可.

【详解】解：去分母得：久+3=2(x—l),

去括号得：%+3=2%—2,

移项合并得％=5,

经检验x=5是该方程的解，

故选：D.

【点睛】本题考查解分式方程，熟知解分式方程的方法以及注意解分式方程一定要验证根是解题的关键.

7.(2223上•石家庄•期末)分式方程六-三=工的解为()

z2-9x-3x+3

A.2B.-3C.3或一3D.无解

【答案】A

【分析】方程两边都乘(X+3)(%-3)得出9-2(x+3)=x-3,求出方程的解，再进行检验即可.

【详解】解：2Q----------

xz-9x-3x+3

方程两边都乘Q+3)(%—3),得9—2(%+3)=x—3,

解得：%=2,

检验：当久=2时，(%+3)(%—3)。0,

所以x=2是分式方程的解,

故选A.

【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.

8.（2223下•广东•期末）如果关于x的分式方程三-义=2有增根，则加的值为（）

x-33-x

A.1B.-1C.2D.4

【答案】B

【分析】解分式方程。=2得，x=手，由分式方程有增根可知，将x=噌代入x-3=。得,手=0,

X—J3—XzZZ

计算求解即可.

【详解】解：2-4=2,

x-33-x

去分母得，m+1=2（%—3）,

解得，％=等，

团分式方程有增根，

团将％=代入％-3=0得，哼1=0,解得TH=-1,

故选：B.

【点睛】本题考查了分式方程的增根.解题的关键在于正确的解分式方程.

9.（2223上•三门峡•期末）辛弃疾词曰：〃稻花香里说丰年，听取蛙声一片.〃五常稻花香大米成饭食味清淡

略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品.某收割队承接了60hm2五常水稻的收割任务，为了让五常

大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天收割的面积为%hnA

60(1+20%)60。

D.------——-----=----2--

(1+20%)%60XX

6060(1+20%)rr6060r

--------------------------=ZD.一--------二Z

XXX

【答案】D

【分析】设原计划每天收割的面积为xhm2,则实际每天收割的面积为（l+20%x）hm2,根据结果提前2天

完成任务列方程求解即可.

【详解】解：设原计划每天收割的面积为xhm2,由题意得

6060_

%(1+20%)%.•

故选D.

【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根

必须检验，这是解分式方程的必要步骤.

10-（2223上•永州,期中）如果解关于X的分式方程六一芸=1时出现增根,那么〃，的值为（）

A.3B.-3C.9D.-9

【答案】D

【分析】先解关于X的分式方程,得x=二F，由题意,该方程有增根，因为增根为x=3,所以x=二尸=3,

由此可求出加的值.

【详解】解：&-芸=1

去分母得，m+3x=x-3,

移项得，3x—x—TH—3,

合并同类项得，%=等

回关于X的分式方程含-芸=1有增根,

回％=节2=3,即爪=一9,

故选：D.

【点睛】本题考查了含参分式方程的解法，增根的概念，正确理解以上概念并进行正确的计算，是解题的

关键.

—(a>b)

11.（22・23上•沧州•阶段练习）定义一种新运算：。助=a~^,若5阻=2,则％的值为()

一--(a</?)

b-av)

-5T10

A“.—10B.一或一C

323-1

【答案】C

【分析】根据题意得出两种情况：乂<5和%>5,得出分式方程，再求出方程的解即可.

【详解】解：050%=2,

当％V5时，原方程化为：——=2,

5-%

解得：％=|;

当%>5时，原方程化为：—--=2f

x-5

—x=2x—10,

—3x=-10,

10

X=—,

3

10广

『5，

%=/舍去，

经检验X=|是原方程的解，

故选：C.

【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.

下•平顶山•阶段练习)关于的方程有增根,那么

12.(2223xx^-1-1=(,x+2:)(x-l，)、a=()

A.3B.0C.1D.-2

【答案】A

【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为0,求出x的值，分式方程去分母后代入计算即可求出。的

值.

【详解】去分母得：x(x+2)-(x+2)(x-1)=a,

解得x=a-2.

由分式方程有增根，得(％+2)(x-1)=0,

解得x=-2或x=1,

把x=-2代入x=a—2得：a=0,

经检验不合题意，舍去；

把x=1代入x—a—2

得：a=3.

故选：A.

【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增

根代入整式方程即可求得相关字母的值.

(iir>0

13.(22・23下•九龙坡•阶段练习)如果关于'的不等式组2-的解集为％>3,且关于y的分式

1%+3<3(%—1)

方程3+a=3有非负整数解，则符合条件的整数拉的值的和是()

2-yy-2

A.-4B.-3C.-1D.-2

【答案】C

【分析】表示出不等式组的解集，确定出加的范围，根据分式方程有非负整数解确定出加的值即可.

【详解】解：解不等式三”20,得：X>m,

解不等式x+3<3(x-1),得：x>3,

13不等式组的解集为x>3,

Elm<3,

解方程|二+三=3,

2-yy-2

去分母，得3-y-血=3(2-y),

去括号，得3-y-血=6-3y,

移项，得-y+3y=6-3+m,

合并同类项，得2y=3+血，

系数化成1得y=等.

回分式方程？=3有非负整数解，

小。,

0m>-3,

0—3<m<3,

回771——3,—2,—1,0,1,2,3,

哼=2,即m=1时，方程无解，且爪=一2,0,2时，方程无整数解，

国符合条件的m的所有值的和是一3—1+3=—1.

故选：C.

【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得用的取值范围以及正确解分式方程是解题的关

键.

14.(1819下•全国•单元测试)若x=—1是方程三—三=0的根，则a的值为()

x-1X

A.6B.—6C.3D.-3

【答案】A

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x=-l代入计算即可求出a的值.

【详解】去分母得:ax-3x+3=0,

将x=-l代入得：-a+3+3=0,

解得：a=6,

故选A.

【点睛】考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0.

15.(2223下•大同•模拟预测)解分式方程3-2=芸时，去分母正确的是()

A.1—2(%—2)=1+xB.1—2(%—2)=-1+%

C.1—2(%—2)=-1—xD.-1+2(%—2)=1+%

【答案】C

【分析】先确定分式的最简公分母为1-2,再把等式的左右两侧同时乘以X-2即可.

【详解】解：等式两边同时乘以％-2得，1一2(%-2)=-(1+汽)，

团1-2(%—2)=-1—xj

故选：C.

【点睛】本题考查解分式方程，熟练找出分式中分母的最简公分母是解题的关键.

16.(2223上•武汉・期末)若分式方程上+3=三有增根，则。的值是()

x—2a+x

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】D

【分析】首先根据解分式方程的一般方法得出方程的根，然后根据增根的定义将增根代入方程的解求出。

的值.

【详解】解：回分式方程2+3="有增根，

x-2a+x

团(％—2)(a+%)=0,

回％=2或一Q,

当％=2时，a=—2,

当％=时不合题意,

故选：D.

【点睛】此题考查了分式增根，解题的关键是分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根求出。

的值.

17.（2223上•重庆•阶段练习）若整数。使关于x的分式方程六+裳=1有非负整数解，且使关于y的不

（空>2y+i

等式组2>6至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）

12y>3y-a

A.-4B.-3C.0D.2

【答案】D

【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组至少有3个整数解，求出。的范围，再解分式方程，根据

分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答.

【详解】解：26?,

2y>3y-a（2）

解不等式①得：y>-8,

解不等式②得：yWa,

团原不等式组的解集为：-8<yWa,

团不等式组至少有3个整数解，

团a之一5,

1.x+a.

~二+7-=1，

x—33—x

1—X—CL=X—39

解得：x=^,

回分式方程有非负整数解，

0x>0（x为整数）且x片3,

上20且匕H3,

22

13aW4且a彳-2,

团符合条件的所有整数。的值为：-4,0,2,4,

团符合条件的所有整数a的和是：2,

故选：D.

【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式

方程是解题的关键.

18.（2223上•淄博•期中）若关于x的分式方程邑+竽当=2无解，则加的值为（）

x-33-x

A.-1B.0C.3D.-2

【答案】A

【分析】分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程

的分母等于0.

【详解】解：三+受”=2,

x-33-x

两边都乘以％-3,得

2—（%+m）=2（%—3）,

团3%=8—m,

团分式方程无解，

耿一3=0,

团％=3,

09=8—m,

0m=-1.

故选A.

【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容.分式方程无解的条件是：去分

母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.

19.（22・23下・舟山・期末）在课外活动跳绳时,相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下.已知小

范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x下，下列方程正确的是（）

A100100-20c100100+20-100100+20、100100-20

A.—=---------B.—=---------C.—=---------D.—=---------

xx-30xx+30xx-30xx+30

【答案】B

【分析】如果设小季每分钟跳x下，那么小范每分钟跳（x+30）下.题中有等量关系：小季跳100下所用的

时间=小范跳120下所用的时间，据此可列出方程.

【详解】解：由于小季每分钟跳x下，所以小群每分钟跳G+20）下.

根据题意，得

100_100+20

xx+30'

故选:B.

【点睛】本题考查了分式方程在实际生活中的应用.注意认真审题是前提，找出等量关系是关键.

11

3X+1~的解集恰好有3个负整

>2%+1

数解，且关于y的分式方程等-言=1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）

A.6B.9C.-1D.2

【答案】A

【分析】解一元一次不等式组求得解集，根据题意可求得。的取值范围，解分式方程得方程的解，根据分

式方程的解为非负整数即可确定所有的。值，从而可求得其和.

-%<-a)①

【详解】

等>2x+l②

解不等式①得：”2等；解不等式②得：x<-l

由题意知不等式组的解集为：

膻等<%<-1恰好有三个负整数解

人

团m―5lV,-a----5-5Wj—4

12

解得：一5<。<7

解分式方程"-泞=1得：y=誓

y-11-yJ4

团分式方程有非负整数解

0a+l是4的非负整数倍

团一5<a<7

0—4Va+1W8

0«+1=0或4或8

即。二一1或3或7,

•••y丰1即山丰1,

4

・••aW3,

综上：a=-1或7,

则-1+7=6

故选:A

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识，是方程与不等式的综合，根据不等式组有3

个非负整数解，从而得出关于。的不等式是本题的难点与关键.

二、填空题

21.（2223下•河源,期末）分式方程3=1的解为

x-2

【答案】久=5

【分析】根据解分式方程的步骤进行计算即可.

【详解】解：2=1

去分母得，％—2=3,

解得，x=5,

经检验x=5是分式方程的解,

故答案为：%=5.

【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.

22.（2223上•本溪•期中）某校举行"停课不停学，名师陪你在家学"活动，计划投资9000元建设几间直播教

室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%,并比原计划多建设了两间直播教室，总投资追加

了3000元.若设原计划每间直播教室的建设费用是x元，根据题意，可列方程为

【答案】幽+2=9000+3000

X双1+20%)

【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间直播教室的建设费用是x（l+20）%元，结合

总投资=每间直播室的建设费用x直播间数量，再根据实际直播教室数量比原计划多两间列出方程即可.

【详解】解：设原计划每间直播教室的建设费用是久元,

由题意得出2+29000+3000

Xx(l+20%)

9000Q9000+3000

故答案为:-----rZ

xx(l+20%)

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确找准等量关系列出方程是解题的关键.

23.（22・23下・达州・期末）解关于x的方程上|=安时，若产生增根，则机的值等于_____.

x-lx-1

【答案】-1

【分析】先通过去分母，将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出X的值，然后将其代入整式方程

即可.

【详解】解：去分母得：x-3=m-l,

由增根的定义得，x=l,

将x=l代入x-3=m-l得，1-3二加-1,

团加二-1.

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了解分式方程、增根的定义，掌握理解增根的定义是解题关键.

24.（22・23下•连云港,期中）关于久的分式方程石-与=1有增根，则小的值为________.

x-1X-1

【答案】4

【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到巾-2-2“=久-1,据此

求出久的值，代入整式方程求出a的值即可.

【详解】解：将分式方程若一言=1两边同乘0—1），

得■771—2—2.X=X-1.

由分式方程有增根，得到％-1=0,即第=1,

把％=1代入整式方程m—2—2=0,可得：m=4.

故答案为：4.

【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）

把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

25.（2223下•镇江•期末）已知分式把机（机，〃为常数）满足表格中的信息，贝狄=

x+n

X的取值10.5k

分式的值无意义03

【答案】-1

【分析】由表格中的数据，结合分式值无意义及分式值为0的条件可求解小，n值，即可求解分式，利用％=k

时，丝郎=3计算可求解.

x+n

【详解】解：由表格可知：当％=1时，%4-n=0,且当久=0.5时，4%+m=0,

解得m=-2,n=-1,

・•・分式为竺4，

当x=k时，-——=3,

解得k=-1，

经检验，k=-1是原方程的解，

故答案为：-L

【点睛】本题主要考查了分式的值，分式有意义的条件及分式的值为零的条件，解分式方程，求解m,n值

是解题的关键.

26.（2223上•绍兴•阶段练习）在一个不透明的口袋中，装有若干个颜色不同其余都相同的球.如果口袋中

装有2个红球且摸到红球的概率为|,那么口袋中球的总个数为.

【答案】10

【分析】设口袋中球的总个数为x个，根据概率公式列方程即可.

【详解】解：设口袋中球的总个数为x个，

根据题意得：2=3

x5

解得：x=10,

经检验：x=10是方程的解，

则口袋中球的总个数为10个，

故答案为：10.

【点睛】此题考查概率的公式，解分式方程，正确掌握简单事件的概率公式是解题的关键.

27.（22・23下•乌鲁木齐•二模）在一个不透明的口袋中有红、白两种小球，它们除颜色外均相同，其中红

球2只，白球〃只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为|,则〃=.

【答案】3

【分析】根据题意，由概率公式可得方程：2解此方程即可求得答案.

n+25

【详解】解：根据题意得：

_3

n+25’

解得：n=3,

经检验：九=3是原分式方程的解.

故答案为：3.

【点睛】此题考查了概率公式的应用，解分式方程，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比.

28.（2223下•宁波•期末）关于x的分式方程上+三=2有增根，贝也的值为.

x-2x-2

【答案】-1

【分析】把分式方程化成整式方程得x=k+3,由分式方程有增根得出k+3=2,即可求出k的值.

【详解】解：2+0=2,

x-2x-2

去分母得：fc+%—1=2（x—2）,

解得：x=fc+3,

团分式方程有增根，且增根为2,

耻+3=2,

解得：k——1,

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解决问题的关键.

29.（2223下•九龙坡•三模）关于久的不等式组邑三％_1的解集为x>3,且关于y的分式方程号+詈=

I4一

-1有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为.

【答案】1

【分析】根据不等式组的解集和分式方程的解确定a的取值范围，即可求解.

【详解】解：解不等式组卜XT〈V-

〔丁-X-1

彳“a-2<x

寸I3W%'

（—x+aV2

・•・关于x的不等式组也匚wX_1的解集为x>3,

I4—

CL-2V3,

・,•a<5,

解分式方程言=-1,

解得：丫=等

••,分式方程有非负整数解,

•••y>0且yw1,

・•・—>0且上H1,

22

解得a2—3且aH—1,

一3WaW5且a不一1,

.・・满足条件的整数a的值为-3,-2,0,1,2,3,4,

当a=-2,0,2,4时，y的值不是整数，不符合题意，舍去,

.•・满足条件的整数a的值为-3,1,3,

故和为：1

【点睛】本题考查了根据不等式组的解集和分式方程的解求参数，非负整数的性质，熟练掌握解不等式组

和分式方程的方法是解题的关键.

3。.（22・23下・扬州•阶段练习）关于x的分式方程士=2+言的解为正数，则"的取值范围是.

【答案】m>—6且m=—3

【分析】先解分式方程可得％=6+再根据分式方程的解为正数建立不等式组即可得到答案.

【详解】解：喜=2+言,

去分母得：x=2(%—3)—m,

整理得：x=6+m,

回关于X的分式方程W=2+E的解为正数,

6+m>0

0-

6+m3

解得：^n>-6且m4-3.

故答案为：m>—6且m丰—3.

【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法，掌握"解分式方程的步骤与方法,

以及分式方程的解的含义"是解本题的关键.

31.（2223上•吕梁・期末）某商店一次性购进一种商品，十二月份以一定售价销售，销售额为6000元，一

月份恰逢新年促销活动，商店决定在十二月份的售价的基础上打9折销售，最后一月份比十二月份销售量

增加了20件，销售额增加了1200元.问该商店十二月份这种商品的售价是多少元/件？设该商店十二月份

这种商品的售价是万元/件，则可列方程为

6000+1200

【答案】£222+20=

X90%%

【分析】设该商店12月份这种商品的售价是x元，则1月份这种商品的售价是90%x元，根据题意可得等量

关系：12月份的销量+20=1月份的销量，根据等量关系列出方程即可.

【详解】设该商店12月份这种商品的售价是x元，由题意得:

6000,a6000+1200

------F20=-----------

x90%x

6000+1200

故答案为:—+20=

X90%x

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的

等量关系，列出方程.

32.（2223下・泸州・二模）若整数a使关于久的分式方戳詈=2的解为整数，且使关于久的一元一次不

等式组一*：lx+1221有解，则所有满足条件的整数a的值之和为

（%+5>a

【答案】2

【分析】利用一元一次不等式组的解集，得到关于a的取值范围，利用解分式方程的方法求得分式方程的解,

并依据已知条件确定a的取值，将所有满足条件的整数a的值相加即可得出结论.

4L

【详解】解：关于久的一元一次不等式组产；黑，a2>1的解集为a一5<%三一|,

关于x的一元一次不等式组｛2x_1：；21有解,

••.a-5<-1,

・•・a<4-.

3

关于x的分式方程竺9=2-m的解为x=

x-33-x2-a

・・・原分式方程有可能产生增根3,

.•・—^3,

2-a

・••aW1,

,•,整数a使关于x的分式方程==2-m的解为整数，a<4；,

X-33-X3

a=-1或3,

所有满足条件的整数a的值之和为-1+3=2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，一元一次不等式组的解和解一元一次不等式组，考

虑分式方程的增根情形是解题的关键.

33.（22•23下•赣州,阶段练习）有六张正面分别标有数0,1,2,3,4,5的不透明卡片，它们除了数字不

同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a,则使关于x的方程上：+

x-2

2="有正整数解的概率为

2-X-------

【答案】I

6

【分析】先求出分式方程的解为x=2,再根据分式方程的解为正整数，求得。=0,然后由概率公式求解

即可.

【详解】解：解分式方程上与+2="，得

x-22-x

2

，

X=——2-a

团分式方程的解为正整数，

回2-a>0,

鼬<2,

团a=0,1,

团分式方程的解为正整数，当a=l时，x=2不合题意，

团a=0,

团使关于久的分式方程有正整数解的概率为3

6

故答案为：g

6

【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数，求概率，熟练掌握根据分式方程解的情况求参数和概率

公式是解题的关键.

34.(22•23上•邯郸•阶段练习)代数式二与代数式三的值相等，则列等式为—，解得x=—.

【分析】根据题意列出分式方程，求出分式方程的解即可得到x的值.

【详解】解：根据题意得：

x-1x-2

去分母得：2(x-2)=3(x-1),

去括号得：2x-4=3x-3,

解得：x=-l,

检验：把代入得：(x-1)(x-2)

团分式方程的解为x=-L

故答案为：£=

【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键.

35.（23・24上•重庆•阶段练习）从-4、-1、-1、0、，、2、3这七个数中，随机抽取一个数°,若数a使关

于x的分式方程三=户的解为整数，且使不等式组（IG久一1）W久+1有且仅有四个整数解，那么

x-2x-22TI5x+3>a-2%

这七个数中满足所有条件的a的值之和为.

【答案】2

【分析】解分式方程、一元一次不等式组，再根据题目要求取值即可；

r*%八的份（3x-l）Wx+l①

【详解】解：p

5%+3>a—2x（2）

解不等式①得xW3,

解不等式②得x>等，

国该不等式组的解集为：等<xW3,

团不等式组「（3"-1）Wx+1有且仅有四个整数解,

I5%+3>a—2%

0-1<—<0,

7

团一44a<3,

团—4、—1、-->0、->2符合题意，

HT\CLX3X

角牛：------------=——

x-2x-22-X

ax—3=—X

（a+l）x=3

3

x=---

a+1

团分式方程W-三=白的解为整数，

x-2x-22-x

13-1>0、|、2符合题意,

综上符合题意的数有—}0、|、2.

回这七个数中满足所有条件的a的值之和为-：+0+|+2=2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查分式方程、一元一次不等式组的应用，正确计算是解题的关键.

三、解答题

36.（22・23下•宝鸡•二模）解方程：-=2.

x-1xz-l

【答案】x=-3

【分析】把分式方程化成整式方程，解整式方程即可，注意检验.

【详解】解：去分母得：2x（x+1）-%+1=2x2-2,

解得：x=-3,

检验：把％=—3代入得：（%+1）（%—1）H0,

团分式方程的解为％=-3.

【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程要检验.

37.（22・23下・无锡・一模）某社区拟建4,5两类摊位以搞活〃地摊经济〃，每个摊位的占地面积4类比5

类多2平方米.若用60平方米建/类或3类摊位，则/类摊位的个数恰好是2类摊位个数的|.求每个工,

2类摊位的占地面积.

【答案】A摊位的面积是5平方米，3摊位的面积是3平方米

【分析】设2类摊位占地面积为x,根据题意列方程求解即可.

【详解】解：设8类摊位占地面积为x平方米，则/类摊位占地面积为（x+2）平方米，

由题意得|•竺=也，

5xx+2

解得x=3,

经检验x=3是分式方程的解，且符合题意，

则x+2=5,

则A类摊位占地面积为5平方米，B类摊位占地面积为3平方米.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

38.（2223下•沙坪坝•阶段练习）解方程：

【答案】(1比=一1

(2)无解

【分析】(1)按照分式方程的计算步骤，即可解答.

(2)按照分式方程的计算步骤，注意分式方程无解的情况，即可解答.

【详解】⑴解：三=々

x-1X

两边同乘工(%—1),得4%=2x—2,

解得：%=-1,

经检验，％=-1是原方程的根.

(2)解：—+-4^-=—,

x+2X2-4x-2

方程两边都乘——4,得x—2+4%=2(%+2),

解得x=2,

经检验，％=2是分式方程的增根，

所以原方程无解.

【点睛】本题考查了解分式方程，注意分式方程无解的情况是解题的关键.

39.(2223上•昌平•期中)现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程:

%+［=2+］的解为/=2,久2=|；

x+1=3+1的解为XI=3,%2=

%+|=4+［的解为久1=4,久2=［；

⑴猜想关于x的方程x+5=5+普勺解是」

(2)猜想关于x的方程x+1=a+十的解是」

⑶用上述方法求关于％的方程立宇=a的解.

x+la+1

【答案】(1)%1=5/2=(

，r\1

(2)%i=a,x2=-

(3)%i=a,x2=

【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；

（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；

（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；

【详解】（1）解:猜想关于x的方程x+（=5+］的解是石=5*2=/

故答案为：%i-5,x2-1；

（2）解：猜想关于x的方程％+|=a+:的解是=a,x2=

故答案为：%i=a,x2-I；

（3）解：方程变形得：曳呼+^=0+2，

x+1x+1a+1

11

%+14------=a+1H-------,

x+1a+1

可得％+1=a+1或久+1=—,

解得：x1=CL,X2=——.

【点睛】本题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.弄清题中的规律

是解本题的关键.

40.（22・23下・松原•一模）2022年北京冬奥会期间吉祥物冰墩墩受到了很多人的喜欢，一墩难求.某生产

厂接到了要求几天内生产出14400个冰墩墩外套的加工任务，为了让更多人尽快拿到冰墩墩，工人们愿意

奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂生产线进行生产，实际每天加工的个数比原计划

多%结果提前4天完成任务.问实际每天加工多少个冰墩墩外套?

【答案】1200

【分析】设原计划每天加工x个冰墩墩外套，则实际每天加工（1+Jx个冰墩墩外套，根据题意，列出方程,

即可求解.

【详解】解：设原计划每天加工X个冰墩墩外套，则实际每天加工（l+3）x个冰墩墩外套,

1440014400)

依题意得:------=%

X(1+水

解得：x=900,

经检验，x=900是原方程的解，且符合题意.

所以（1+=1200

答：实际每天加工1200个冰墩墩外套.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键.

41.（2223上•江苏•期末）解方程：--4^-=1.

x-2xz-4

【答案】原分式方程无解

【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，再检验即可得到答案.

【详解】解：去分母得：0+2）2—16=/—4,

去括号得：%2+4%+4—16=%2-4,

移项得：4x=16—4—4,

合并同类项得：4x=8,

系数化为1得：%=2,

检验：当x=2时，（x+2）（%—2）=0,

原分式方程无解.

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系

数化为1,检验，是解题的关键.

42.（22•23上•渭南•期末）小明在解一道分式方程二-1=—,过程如下：

2-xx-2

第一步：方程整理1=仁

x-2x-2

第二步：去分母x—1—（x—2）—2x—5

⑴请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是

（2）请把以上解分式方程过程补充完整.

【答案】（1）分式的基本性质；等式的基本性质

⑵见解析

【分析】（1）根据分式的基本性质和等式的基本性质即可得；

（2）再第一步和第二步的基础上，根据解分式方程的步骤补充完整即可.

【详解】（1）解：第一步是将分式户的分子与分母同时乘以-1,依据是分式的基本性质,

2-x

第二步是将方程的两边同乘以。-2)去分母，依据是等式的基本性质，

故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质.

(2)解：—-1=—,

2-xx-2

第一步：方程整理3一1=*,

x-2x-2

第二步：去分母x-1-(x-2)=2x-5,

第三步：去括号刀一1一x+2=2x-5,

第四步：移项x—x—2x=—5+1—2,

第五步：合并同类项—2x=—6,

第六步：系数化为工得x=3,

第七步：经检验，x=3是分式方程的解.

【点睛】本题考查了分式的基本性质和等式的基本性质、解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题

关键.

43.(22•23上•忠县•期末)忠县某酒厂在去年双12节(12月12日)推出甲、乙两种罐装白酒，营业员在

定期盘点时发现双12节后第一周甲、乙两种白酒共卖出100罐，甲种白酒总销售额为14000元，乙种白酒

总销售额为27000元，其中每罐乙种白酒的价格是甲种白酒的？倍.

⑴求第一周甲种白酒每罐多少元？

(2)今年元旦节时，为提高营业员推销积极性，酒厂制定出如下奖励办法：每卖出1罐甲种白酒按售价的a%

给予营业员奖励，每卖出1罐乙种白酒按售价的0.5%给予营业员奖励；在奖励办法的激励下，元旦节后的

第一周甲种白酒的销量比去年双12节后第一周提高了50%,乙种白酒的销量比去年双12节后第一周提高

了20a%,若想保证营业员获得的奖励不少于609元，求a的最小值.

【答案】⑴第一周甲种白酒每罐卖350元；

(2)2

【分析】(1)设第一周甲种白酒每罐x元,，则乙种白酒每罐(x+100)元，由题意：第一周甲、乙两种白

酒共卖出100罐，甲种白酒总销售额为14000元，乙种白酒总销售额为27000元，其中每罐乙种白酒的价

格是甲种白酒的:倍.列出分式方程，解方程即可；

(2)先求出甲、乙白酒单价和销量，然后由题意：保证营业员获得的奖励不少于609元，列出一元一次不

等式，解不等式即可.

【详解】（1）解：设第一周甲种白酒每罐X元，则乙种白酒每罐1久元，

根据题意，得3