中考数学复习重难点强化训练：反比例函数及其应用（知识串讲+9大考点）原卷版

专题03反比例函数及其应用

考点类型

考点1：反比例函数定义

考点2：反比例函数图像

考点3：反比例函数的增减性模块三函数

03讲反比例函数

考点4：反比例函数图像性质

——比较大小

考点5：反比例函数k的几何意义

口知识一遍过

（一）反比例函数的概念

⑴定义：形如y1"。）的函数称为反比例函数，反叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切

实数.

k

（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：y=—,y=kx-1xy=k.（其中k为常数，且kWO）

X

（二）反比例函数图像性质

反比例函数y=—(kw0)

X

左的符号k>0k<0

所在象限一、三象限二、四象限

yy

L

大致图像

0X厂X

在一个支上（每一个象限内），y在一个支上（每一个象限内），y

增减性

随X的增大而减小。随X的增大而增大。

对称性图像关于原点对称；关于y=x、y=-x对称

（三）待定系数发生求解析式

①设出含有待定系数的反比例函数解析式y±（k为常数，kWO）；

X

②把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；

③解方程，求出待定系数；

④写出解析式

（四）反比例函数k的几何意义

（1）意义：从反比例函数y=K（kWO）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形

X

面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为工|k|.

2

（2）常见的面积类型：（基础）

1

S矩,6℃一kISOABCr=IkIS“=IkI（OA=AQ

（五）反比例函数与一次函数综合

（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a.b）,则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为

（-a.-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.

（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解

（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k>0和k

<0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.

（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确

定出解集的范围.

（六）反比例函数实际应用

（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；

（2）设出函数表达式；

（3）依题意求解函数表达式；

（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.

编）考点一遍过

考点1:反比例函数定义

典例1:（2023上•山东东营•九年级校联考阶段练习）下列函数:①y=%—2,②y=|,③y=%T,④y=高,

（5）xy=11,⑥丫=m⑦y=*⑧?=L其中y是x的反比例函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式11（2023上•安徽合肥•九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）若P（2,a）,Q（4,l）两点都在反比例

函数y=的勺图像上，则a的值为（）

11

A.2B.—2C.一D.—

22

【变式2】（2023上,江西吉安•九年级统考期末）已知反比例函数y=（机-当％>0时，>随x的增

大而增大，则m的值为（）

A.1B.-1C.±1D.2

【变式3］（2021•广东广州•统考三模）若关于x的一元二次方程/-2x-,"=0无实数根，则反比例函数y=

吧的图象可能经过点（）

X

A.（3,1）B.（0,3）C.（-3,-1）D.（-3,1）

考点2:反比例函数图像

典例2：（2023上•湖南邵阳•九年级统考阶段练习）函数yi=孑口=-依-k在同一坐标系中的图象可以大

【变式1］（2023上•广东深圳,九年级校考期末）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时

间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=10,则y与x的函数图象大致是（）

【变式2］（2022•浙江温州•统考二模）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强p（kPa）

与气体的体积U（m3）的关系是如图所示的反比例函数.当气球内气体的压强大于200kPa,气球就会爆炸.为

了不让气球爆炸，则气球内气体的体积U需满足的取值范围是（）

A.V<0.5B.V>0.5C.V<0.5D.V>0.5

【变式3］（2023下•安徽蚌埠•九年级校考开学考试）二次函数丫=£1%2+入+£：的图象如图所示，则一次函

数y=-ax+b与反比例函数y=:在同一坐标系内的大致图象是（）

考点3：反比例函数的增减性

典例3：（2023•广东广州,统考中考真题）已知正比例函数y1=奴的图象经过点反比例函数月=5勺

图象位于第一、第三象限，则一次函数y=ax+b的图象一定不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式1］（2023上•黑龙江哈尔滨•九年级统考期末）对于反比例函数y=|,下列说法不正碉的是（）

A.点（2,1）在它的图象上B.它的图象在第一、三象限

C.当％>0时，y随支的增大而增大D.当久<0时，y随久的增大而减小

【变式2］（2023上•广东广州•九年级广东广雅中学校考阶段练习）已知反比例函数旷=手的图象上有

两点，当久1<%2<0时，、1<丫2，则根的取值范围是（）

5522

A.m>-B.m<——C.m<-D.m>-

2255

【变式3］（2023•湖北武汉•统考中考真题）关于反比例函数y=|,下列结论正确的是（）

A.图像位于第二、四象限

B.图像与坐标轴有公共点

C.图像所在的每一个象限内，y随x的增大而减小

D.图像经过点（a,a+2）,则a=1

考点4：反比例函数图像性质一一比较大小

典例4：（2021•山东德州,中考真题）已知点4（右,yi）,B（x2,y2）,C（尤3/3）都在反比例函数y=子Q是常

数）的图象上，且为<%<。<?3，则与，上，的的大小关系为（）

A.x2>>x3B.xr>x2>x3C.x3>x2>%iD.x3>xr>x2

【变式1］（2022•北京朝阳•统考一模）点4（9,%）,8（>2/2）在反比例函数y=5的图象上，下列推断正确的

是（）

A.若<久2，则为<y2B.若%1<%2,则、1>丫2

c.若％1+久2=。，则yi+丫2=0D.存在％1=汽2，使得为。72

【变式2］（2022下•湖北武汉,九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知点4（句,力）、

3（%2）2）、。（%3，为）都在反比例函数y=B（k<0）的图象上，且%1<冷<0<%3・下列结论中正确的是（）

A.73<0<71<72B.y3<0<y2<y1C.乃<为<°〈为D.乃<、2<°<为

【变式3］（2023•湖北宜昌统考中考真题）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为

（一3,%）,（—2,3）,（2/3），则，为/2，%的大小关系为（）

A.y2<yi<y3B.y3<y2<7iC.y2<73<yiD,<y-i<y2

考点5：反比例函数k的几何意义

典例5：（2022•山东日照•统考中考真题）如图，矩形O4BC与反比例函数为=?（而是非零常数，x>0）的

图象交于点M,N,与反比例函数〉2=当（幻是非零常数，x>0）的图象交于点2,连接OM,ON.若四边

【变式1］（2023,福建,统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=：和》=三的图象

的四个分支上，则实数n的值为（）

【变式2］（2023下•江苏扬州•九年级校联考阶段练习）如图，点A,C为函数y=£（x<0）图象上的两点,

过A,C分别作ABHx轴，CQ0x轴，垂足分别为B,D,连接。4,AC,OC,线段OC交AB于点E,且点E

恰好为OC的中点.当0AEC的面积为:时，%的值为（）

4

A.-1B.-2C.-3D.-4

【变式3］（2023•全国•九年级专题练习）如图，在函数y=|（%>0）的图像上任取一点A,过点A作y轴的

则AAOB的面积是（）

D.10

【变式41（2023下•八年级课时练习）如图，点A在曲线到yi=：（%>0）上，点3在双曲线y?=^（%<0）上,

4B〃无轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC,若△ABC的面积是6,贝！H的值（）

A.—6B.-8C.-10D.-12

【变式5］（2023下•山东临沂•九年级校考阶段练习）如图，A,8是反比例函数在第一象限内的图象上

的两点，且A,8两点的横坐标分别是2和4,则回。42的面积是（）

【变式6］（2023上•河北石家庄•九年级校考期末）如图四个都是反比例函数y==的图像.其中阴影部分面

积为6的个数是（）

【变式7］（2023下•山东济南・九年级统考开学考试）如图，点A,B是反比例函数y=£（x>0）图象上的两点，

轴于点C,8。，X轴于点连结04BC.若点C（l,0）,BD=2,三角形BCD的面积为3,则三角形40C的

面积是（）

A.2B.3C.4D.5

考点6:求反比例函数解析式

典例6：（2023下•天津河东•九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=：（k大0）的

图象经过点4（1,2）和点8（—1即），则m的值为.

【变式1］（2023下•山东德州•九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点4（2,3）向下平移5个单位长

度得到点B,若点B恰好在反比例函数y=£的图像上，则k的值是.

【变式2】（2023下•江苏•九年级专题练习）一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车平均速度"（km/h）的变化,

到达时所用的时间t（h）的变化情况如图所示，那么行驶过程中t与"的函数表达式为.

【变式3］（2023下•全国•八年级专题练习）如图，点A是y轴正半轴上一点，过点A作y轴的垂线交反比

例函数>=等的图象于点B,交反比例函数>=f的图象于点c,若AB=2AC,则根的值是—.

考点7：反比例函数与一次函数

典例7：（2023•全国•九年级专题练习）如图，正比例函数y=/qx与反比例函数y=§的图像交于4（1,Hi）、B

两点，当k6W当时，x的取值范围是（）

A.-1<%<0或久>1B.x<—1或0V%41

C.x<—1或%>1D.—1<%<。或0<%<1

【变式1］（2023上•山东枣庄•九年级统考期末）如图，正比例函数>=以（〃为常数，且*0）和反比例函

数（左为常数，且近0）的图象相交于4-2,相和B两点，则不等式办>［的解集为（

A.x<-2或x>2B.-2<x<2C.-2<x<0或x>2D.x<-2或0cx<2

【变式2］（2023下•八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y尸乙+b（麻0）图象与反比例函

数图象交于A,B两点，与y轴交于点C,已知点A（4,1）,将点A向左平移2am>0）个单位，再向

下平移”个单位刚好与点8重合.

⑴求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）若点。是y轴上一点，且%4即=6,求点。的坐标;

⑶当”>/时，直接写出自变量x的取值范围.

【变式3](2023上•吉林延边•九年级校考期末)如图，在平面直角坐标系中，直线为=/qx+b与双曲线=

当相交于4(一2,3),B(m,—2)两点.

(1)求yi，y2对应的函数表达式；

(2)过点B作8尸〃%轴交y轴于点P,求△回尸的面积；

(3)根据函数图象，直接写出关于x的不等式七万+匕<0的解集.

【变式4](2023•广东茂名•校考一模)如图，一次函数丫=+b(k40)与反比例函数y=>0)的图

像交于4(1,6),B(3,m)两点.

⑴求反比例函数和一次函数的解析式:

⑵根据图象直接写出自％+%<£时，x的取值范围:

⑶求AAOB的面积.

【变式5](2023•河南南阳•统考三模)如图，一次函数尸一2x—2的图象分别交x轴、y轴于点8、A,与

反比例函数y=:(”/0)的图象在第二象限交于点回的面积是

⑴求反比例函数的解析式；

⑵若X轴上的点尸与点A,M是以AM为直角边的直角三角形的三个顶点，求点尸的坐标.

【变式6](2023下•黑龙江绥化•九年级绥化市第八中学校校考期中)如图，一次函数〉=女网+6的图象与反

比例函数的图象交于点A(m,2),B(-1,4),与y轴交于点C,连接。1,OB.

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵求ACMB的面积；

⑶若点P在y轴上，S.BP=^OA,请直接写出点P的坐标.

【变式7］（2023上•四川成都•九年级统考期末）如图，一次函数y=2x—3的图象与反比例函数y=£的图

象相交于点4（—1,几），B两点.

⑴求反比例函数的解析式与点B的坐标；

（2）连接A。、BO,求AAOB的面积；

⑶点。是反比例函数图象上的一点，当NBA。=90。时，求点。的坐标.

考点8：反比例函数的实际应用

典例8：（2023,浙江台州•统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同

的液体中时，浸在液体中的高度（单位：cm）是液体的密度p（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计

悬浮在密度为lg/cm3的水中时，h=20cm.

⑴求力关于p的函数解析式.

⑵当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm,求该液体的密度p.

【变式1］（2023•全国•九年级专题练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）

变化时，气体的密度p（单位：kg/m）随之变化.已知密度p与体积V是反比例函数关系，它的图象如图

所示,当0=5m3时,p=1.98kg/m3.

⑴求密度p关于体积V的函数解析式；

⑵若3<V<9,求二氧化碳密度p的变化范围.

【变式2］（2023上•上海徐汇•八年级校联考期末）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者

按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间尤成正比例

药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答

下列问题:

⑴抗生素服用小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有微克;

⑵根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域;

⑶求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y.

【变式3］（2023上•河北张家口•九年级校考阶段练习）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所

排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15

天以内（含15天）排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间％（天）的变化规律如图所

示，其中线段4B表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.

⑴求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的：LOmg/L?为什么？

【变式4］（2023上•黑龙江齐齐哈尔,九年级统考期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的

大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（。。与时间x（h）

之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CO表示恒温系统关闭阶段.

y（℃）

请根据图中信息解答下列问题：

⑴这个恒温系统设定的恒定温度为多少。C；

（2）求全天的温度y与时间x之间的函数关系式；

⑶若大棚内的温度低于10（久）不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小

时？

【便是5］（2023下•江苏•八年级专题练习）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化

而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，

注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平.学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所

⑴求反比例函数的关系式，并求点A对应的指标值；

⑵张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解

时，注意力指标都不低于36?请说明理由.

考点9：反比例函数与几何综合

典例9：（2023下・浙江•八年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系。孙中，点A、B分别在函数为

；0<0）、>2=久久>0#>0）的图象上，点。在第二象限内，4。，刀轴于点。，3。，丫轴于点、，连接45、

PQ,已知点A的纵坐标为一

⑴求点A的横坐标；

⑵记四边形4PQB的面积为S,若点8的横坐标为2,试用含k的代数式表示S.

【变式11（2023•安徽合肥・统考模拟预