中考数学复习重难点强化训练：反比例函数及其应用（分层训练）解析版

L_专题03反比例函数及其应用（分层训练）

丁丁分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2022•云南・中考真题）反比例函数方：的图象分别位于（）

A.第一、第三象限B.第一、第四象限

C.第二、第三象限D.第二、第四象限

【答案】A

【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解.

【详解】解：06>0,

团反比例函数了彳的图象分别位于第一、第三象限.

故选：A

【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数y=三（上片0）,当k>0时，图象位

于第一、三象限内，在每一象限内，了随x的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限内，在每一

象限内，y随x的增大而增大是解题的关键.

2.（2022・甘肃天水•校考一模）下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是（）

A.y--2/B.y-7jrC.y-2x—1D.y-~

【答案】A

【分析】由题意直接根据一次函数、反比例函数以及二次函数的性质进行判断即可.

【详解】解：A、眇=-21,回对称轴x=0,当x>0时，y随着x的增大而减小；当x<0时，y随着x的增大而

增大；

B、眇=27,回对称轴x=0,当x>0时，y随着龙的增大而增大；当x<0时，y随着x的增大而减小；

C、团人>0,眇随着x的增大而增大；

D、瞅<0,团在每一象限内了随x的增大而增大.

故选:A.

【点睛】本题综合考查二次函数、反比例函数、一次函数的增减性（单调性），熟练掌握一次函数、反比例

函数以及二次函数图像的性质是解题的关键.

3.（2022•辽宁沈阳,校考一模）反比例函数y=B的图象分别位于第二、四象限，则直线y=kx+2不经过的

象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据反比例函数的性质可以确定上的符号，再根据一次函数的性质即可解答.

【详解】解：••・反比例函数y图象在二、四象限，

・•・k<0,

则一次函数y=心:+2图象经过一、二、四象限，不经过第三象限.

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数，（1）当k〉0时，

图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限；（2）当k>0时，在同一个象限内，

y随汇的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随汇的增大而增大.

4.（2022上•山西朔州•九年级统考期末）若反比例函数（k为常数）的图象在第二、四象限，贝味的

取值范围是（）

A.k.<—2B.k>—2且k丰0

C.k>2D.k<2且k丰0

【答案】C

【分析】根据反比例函数的性质得2-kV0,然后解不等式即可.

【详解】根据题意得2-k<0,

解得k>2.

故选：C.

【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握反比例函数y3（Q0）的图象是双曲线；当k>0,

X

双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0,双曲线的两支分别

位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.

5.（2022・江苏无锡•统考一模）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y5（k=0,x>0）上,

X

若矩形ABCD的面积为8,则k的值为（)

【分析】设A点的坐标为(m,n)则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为会根据中心在反比例函数

y=-±,求出中心的横坐标为空，进而可得出BC的长度，根据矩形ABCD的面积即可求得.

xn

【详解】解：如图，延长DA交y轴于点E,

设A点的坐标为(m,n)则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为会

团矩形ABCD的中心都在反比例函数栏上,

l2k

0X=——，

n

团矩形ABCD中心的坐标为(空，-).

n2

[3BC=2(n--m)=n--2m,

团s矩形ABCD=8，

团

(-n-2m)*n=8.

4k-2mn=8,

团点A(m,n)在上，

团mn二k,

团4k-2k=8.

解得：k=4.

故选D.

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键.

6.（2022上•四川凉山•九年级阶段练习）点（1,-3）关于y轴的对称点在反比例函数y=:的图像上，下列说

法不正确的是（）

A.y随x的增大而减小

B.点（1,3）在该函数的图像上

C.当x>1时，0<y<3

D.该函数图像与直线y=x的交点是（遮，V3）和（-V3,-V3）

【答案】A

【分析】先确定对称点坐标为（-1,-3）,将其代入反比例函数y=£中求得k=3,得到函数解析式，根据函

数的性质解答.

【详解】点（1,—3）关于y轴的对称点坐标为（-1,-3）,

将（-1,-3）代入y=3得k=（一1）X（-3）=3,

回反比例函数解析式为y=：,

0k=3>O,

团在每个象限内y随着x的增大而减小，故A错误；

当x==l时，y=3,故B正确；

当久21时，0Vy<3,故C正确；

解方程组R二；,得卜=£或卜=一噜,

{.y-xly=V3（y=-V3

故函数y=|图像与直线y=x的交点是V3）和（-V3,-V3）,

故D正确，

故选：A.

【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数解析式，轴对称的性质，反比例函数的性质，函数图象交点问

题.

7.（2022上,安徽宿州•九年级灵璧中学阶段练习）如图，反比例函数图像上一点A（2,2）,过A作ABEIx轴

于B,若SAAOB=（）

A.2B.2.5C.4D.8

【答案】A

【分析】此题可先由点A的坐标求得反比例函数解析式，即得到k的值，再由反比例函数系数k的几何意

义得到SAAOB的值.

【详解】解：由于点A位于反比例函数图象上，且坐标为（2,2）；

-1

则k=2x2=4,SAAOB=-|k|=2.

故选A.

【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，

所得垂线与坐标轴围成的三角形的面积为自k|.

8.（2022上广东揭阳•九年级阶段练习）如果点A（一l,y“、B（l,y2）,C（2,丫3）是反比例函数y=-^图象

X

上的三个点，则下列结论正确的是（）

A.yi>y3>y2B.y3>y2>yiC.y2>y3>yiD.y3>yi>Y2

【答案】A

【详解】试题分析：根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象

限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点B和点C的纵坐标的大小即可.

团反比例函数的比例系数为-1,

团图象的两个分支在二、四象限；

回第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A在第二象限，点B、C在第四象限，

13yl最大,

01<2,y随x的增大而增大，

鸵2<丫3，

0yi>y3>y2.

故选A.

考点：反比例函数图象上点的坐标特征.

9.(2023•河北邯郸・校考二模)下列函数的图象与坐标轴没有交点的是()

A.y=3(%—I)2+2B.y=—|C.y=x2+2%+6D.y=x

【答案】B

【分析】根据反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】解：A、y=3(x—+2是二次函数，由丫=30-1)2+222>0知其图象与％轴没有交点，但

与y轴有交点(0,5),故此选项不符合题意；

B、y=-£是反比例函数，与坐标轴没有交点，故此选项符合题意；

JX

C、y=/+2x+6是二次函数，由y=久2+2久+6=(%+1)2+525>0知其图象与x轴没有交点，但与y

轴有交点(0,6),故此选项不符合题意；

D、y=x是正比例函数，与坐标轴有交点(0,0),故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，解题

的关键是掌握所学函数的性质进行判断.更一般地说：一次函数和二次函数只要不限定自变量的取值范围，

都与y轴有交点.

10.(2022•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测)若双曲线y=詈图象的一个分支于第四象限，贝狄的取值范围是(

A.k<-1B.k<1C.fc<0D.fc<0

【答案】A

【分析】根据反比例函数图象所在象限，列不等式即可.

【详解】解：回双曲线丫=等图象的一个分支于第四象限，

狄+1<0,

解得，k<—1,

故选：A.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是明确反比例函数图象在二、四象限时，比例系数小于0.

11.(2022•吉林长春•统考一模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点8、C在x轴的正半轴上，乙4cB=

90。,点。在N5边上，且力D=2DB,函数y=：(k>0,刀>0)的图象经过点。.若点/、3的坐标分别为(4福)、

(1,0),则。的值为()

y

o\BCx

39

A-2B.3C.4D.-

【答案】B

【分析】作。砸5c于E,得出的。施0£»班，根据点/、8的坐标和求出点。坐标即可.

【详解】解：作。砸BC于£,

S^ACB=90°,

SDE^AC,

aa4c施ELDE8,

EL4O=2DB,

0—--=3,

DEBE

团点N、8的坐标分别为（4,£）、（1,0）,

9=3,DE=5,BE=1,

则。点坐标为（2,|）,

a

k.x2=3,

故选：B

【点睛】本题考查了反比例函数和相似三角形的性质与判定，解题关键是恰当作辅助线，利用相似三角形

的性质求出点的坐标.

12.（2022下•湖北武汉•九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）在已知反比例函数y=§"为常数）的图

象上有三点401，—2）,B（*2，a）,C（x3,3）,若比3<右<的，则°的取值范围是（）

A.a>3B.a<-2C.a>3或a<—2D.—2<a<3

【答案】C

【分析】先判断出人的取值，再根据反比例函数的性质即可求得.

【详解】解：①当k>0时，y=：的图象分布在第一、三象限，在每个象限内V随X的增大而减小，

团4（%i，—2）,C（%3,3）

团点4在第三象限，点。在第一象限

团％1<x3

而已知条件中％3<%i，故女>0不存在；

当k<0时，y=W的图象分布在第二、四象限，在每个象限内歹随尤的增大而增大，

团4（%i，—2）,C（X3,3）

团点4在第四象限，点。在第二象限

团％1>0,%3<0

当第3<%2<0时，则Q>3,当时，则a<—2,

故a的取值范围为：a>3或aV—2,

故选：C.

【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k>0时，y=X的图象分布在第一、三象限,

在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，y=：的图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的

增大而增大.

13.（2022•吉林长春•校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，RdNBC的顶点43的坐标分别为（一1,

1）、（3,0）,直角顶点C在第一象限.将A/BC绕点/顺时针旋转90。得到点。在双曲线y=1上,

则k的值为（）

A.3B.4C.—6D.6

【答案】D

【分析】根据旋转性质可得EIABCEBADE,BCAE=90°；DE=BC,AC=AE,DEMCElx轴；根据图形特点推出点D

的纵坐标是：-3,点D的横坐标是：；；=-2,代入y=：可得.

【详解】因为回ABC绕点A顺时针旋转90°得至崛ADE,

所以回ABCEBADE,0CAE=9O°；

所以DE=BC,AC=AE,DEOACEIx轴

又A、B的坐标分别为（-1,1）、（3,0）,

所以点D的纵坐标是：-3,点D的横坐标是：

所以D（-2,-3）

因为点D在双曲线上，

所以k=xy=-2X（-3）=6

故选：D

【点睛】考核知识点：旋转，反比例函数.理解旋转性质和反比例函数的性质是关键.

14.（2022下•全国•九年级统考期末）反比例函数y=土贮（a是常数）的图象分布在（）

X

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限

【答案】C

【分析】先判断出；目小于0,再根据反比例函数比例系数小于0时，函数图象位于第二、四象限即可解答.

【详解】0a2>O,

0-a2<O,

0-l-a2<O,

回函数图象位于第二、四象限.

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，当k>0,反比例函数图象位于一、三象限；当k<0,反比例

函数图象位于第二、四象限内.

15.（2022•广东广州•统考一模）如图，正比例函数yi=kix和反比例函数丫2=§的图象都经过点A（2,-1）,

若yi>y2,则x的取值范围是（)

A.-l<x<0B.x>2C.-2<x<0或x>2D.x<-2或0<x<2

【答案】D

【详解】如图，国点A坐标(2,-1),

又回正比例函数和反比例函数丫咚都是关于原点对称,

yi=kix2

回它们的交点A、B关于原点对称，

回点B坐标(-2,1),

自由图象可知，.>丫2时，x<-2,或0<x<2,故选D.

二、填空题

16.(2022・河南・统考一模)己知：如图，直线乃=依+1与双曲线j在第一象限交于点P(l,t)，与x轴、

【答案】V2

【分析】根据题意将点代入双曲线g=|，求得t的值，然后将P代入直线月=kx+l,求得直线解

析式，分别令x,y=O,求得点4B的坐标，即可求得04。8的长，然后勾股定理即可求解.

【详解】解：回直线yi=丘+1与双曲线丫2=|在第一象限交于点PQ/)，

01xt=2,

得t=2,

P(l,2),代入yi=/o:+l,得2=k+l,

解得k=1，

•••直线乃-x+1,

令x=0,得y=l,令y=0,得x=-1,

71(-1,0),8(0,1),

OA=OB=1,

•­.Rt△4。8中，AB=Vl2+I2=V2,

故答案为：V2.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，求得点P的坐标是解题的关键.

17.(2022•浙江台州•统考一模)如图，反比例函数y=£的图象经过点4(一1,一1),则当函数值y>1时，自

变量x的取值范围为.

【答案】0<xWl

【分析】将/(-1,-1)代入反比例函数解析式求出左的值，再利用函数的性质和图象即可求出满足题意x

的取值范围.

【详解】解：回反比例函数y=£的图象经过点/(-1,-1),

0-1=—,

-1

解得k=l，

1

取=1

团该函数图象在第一、三象限，

团在每个象限内，y随X的增大而减小，

当x<0时，y<0；当x>0时，y>0,

当y=l时，1=3x=l,

x的取值范围为OVxVl,

故答案为：0<xWL

【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函

数的性质，解题的关键是利用数形结合的方法.

18.(2022•湖北孝感・统考二模)如图，直线>=，与双曲线y=E(k>0,x>0)交于点),将直线y=|x向

上平移2个单位长度后，与y轴交于点C,与双曲线交于点8,若。4=38C,则左的值为一.

【答案】J

O

【分析】先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式，再分别过点A、B作ADEIx轴，BE0X轴，CF0BE

于点F,再设A(3x,|x),由于0A=3BC,故可得出B(x,|x+2),再根据反比例函数中k=xy为定值求出

解：•••将直线y=(x向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C,

平移后直线的解析式为》=1+2,

如图：分别过点48作/£>_Lx轴，8£_Lx轴，CF：LBE于点、F,设/(3x,|x),),

'：OA=3BC,BC//OA,CF〃x轴，

△BCFs△AOD,

：.CF=^OD,

点B在直线y=|x+2上，

]

:・B(%,-x+2),

2

•.•点4、5在双曲线y=>

X

・,.3%•1%=%・6%+2),解得％=5

..1fl1,9

••k=-x(-X—F2)=—.

2\2278

故答案为g

o

【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐标，再根据k=xy的

特点求出k的值即可.

19.(2022下•江苏盐城•八年级阶段练习)已知A(m,2)与B(1,m-3)是反比例函数y=：图象上的两

个点，则k的值为.

【答案】-3

【详解】EIA(m,2)与B(l,m-3)是反比例函数y=:图象上的两个点，

02m=m-3,

解得m=-3.

故答案为-3.

20.(2022•广西柳州•统考三模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=X(左<0,x<0)的图象经过/、

/X

P两点，其中尸为AB的中点，8点在x轴上，若砌03的面积是9,则上的值为

【答案】-6

【分析】过点4作轴，垂足为。，点尸作尸。取轴，垂足为。，连接尸。，根据左的几何意义，确定

BD=DC=OC,根据△405的面积是9,计算4cxe。的值，根据图像的分布确定左值即可；

【详解】过点4作4。取轴，垂足为。，点尸作尸。以轴，垂足为。，连接尸O,

团反比例函数歹=：（左VO,x<0）的图象经过/、P两点,

团S-oc=S^POD

IZL4cHx轴，尸。取轴，

即。口4C,

^\AP=PB,

^BD=DC,

0PZ)=-^C,

2

11

^ACxCO=-PDxDO

22f

B^ACxCO^-x-ACCDC+CO),

222

0DC=CO,

^BD=DC=OC,

回△408的面积是9,

取CxB。多Cx3co=9,

EL4CxCO=6,

即片=6,

国图像的分布在第二象限，

昨-6,

故答案为：-6.

【点睛】本题考查了反比例函数人的几何意义，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握反

比例函数人的几何意义，灵活运用三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理是解题的关键.

21.(2022・广东深圳•统考二模)如图，己知直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,与双曲线y

=-(x>0)交于C、D两点，且EIA0C=E]AD0,则k的值为

X

【分析】先利用面积判断出BD=AC,再判断出△AOCE0ADO,进而建立方程求出AC=BD,再判断出△ACEEBAB。,

进而求出CE,0E,即可得出结论.

【详解】解：由已知得0A=2,0B=4,根据勾股定理得出，AB=2V5,

如图，过点C作CEElx轴于E,作CGEly轴G,过点D作DH取轴于H,作DFEly轴于F,连接GH,GD,CH,

团点C,D是反比例图象上的点，

0S矩形FDH0=S矩形GCE0，

吗S矩形FDH0=|S矩形GDE0-

团SzkDGH=SzkGHC・

团点C,D到GH的距离相等.

团CDR1GH.

团四边形BDHG和四边形GHAC都是平行四边形.

回BD=GH,GH=CA.

即BD=AC；

设AC=BD=m,

团团AOC=R1ADO,

CAOFDAO,

回团AOC团回ADO,

E^APO-=—AD

ACAO

回AO2=AC・AD,

团22=m(2A/5-m),

lEm—V5±l(舍去V^+1),

过点C作CE取轴于点E,

团团ACE团团ABO,

AE_CE_AC

'AO~OB~AB

^AECEy/5-1

回一=­=—k,

242V5

回AEe，CEW

回。E=OA-AE=2-等=等.OE=等X中/

故答案为：f

【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数，以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解函数的图

像和性质，结合相似三角形解决问题.

22.（2022•江苏南京校联考一模）己知反比例函数＞=£的图像经过点（1,3）、（m,n）,则硕的值为.

【答案】3

【分析】把点的坐标分别代入解析，即可求得人及的值.

【详解】解：把点（1，3）代入

得上3

故反比例函数的解析式为y=I

把点（m,〃）代入y=：

得mn=3

故答案为：3

【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，理解在函数图像上的点的坐标一定满足函数解析式是解决本

题的关键.

23.（2022・湖北黄冈•九年级统考自主招生）当aWxW2时，函数y=：的图象为曲线段CD,y=—2x—b的

图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若曲线段CD在AAOB的内部（且与三条边无交点），则6的取值范围

为

【答案】b<—|

【分析】先求出点D的坐标，再将点D的坐标代入直线解析式即可得到答案.

【详解】当x=2时，代入y中得yg,

0D⑵力

当直线y=-2%-b过点D时，得：-4-b=/

解得b=-支

团曲线段CD在AAOB的内部(且与三条边无交点)，

Q

tab<

2

故填：b<—

【点睛】此题考查反比例函数的性质、一次函数的性质，当已知点坐标时可将点坐标代入对应的函数解析

式，即可得到解析式中其它未知数的值.

24.(2022•广西河池•统考二模)如图，在第一象限中，反比例函数y=:的图象经过矩形/BCD的顶点/,

C,若点/为(4,5),AB=3,BC|比轴，则点C的坐标为.

【答案】(10,2)

【分析】根据矩形性质得到B(4,2),求出反比例函数解析式丫=g，从而得到C点的纵坐标为2,代入解析式

即可求出结果.

【详解】解：••・反比例函数y=：的图象经过矩形的顶点/(4,5),

fc=4X5=20,即y=

在矩形/BCD中/(4,5),AB=3,则E(4,2),

•••BC11%轴，

・•.C点的纵坐标为2,

••・代入反比例函数y=则2=解得％=10,

.,•点C的坐标为(10,2),

故答案为：(10,2).

【点睛】本题考查反比例函数综合，涉及到矩形性质、待定系数法求函数解析式、函数上点的坐标求解，

熟悉矩形性质与反比例函数性质是求解问题的关键.

25.(2023•广东佛山•校考一模)如图，点/在双曲线y=[(卜>0,久>0)上，点B在直线/：y=mx-2b

Cm>0,b>0)上，/与8关于x轴对称，直线1与y轴交于点C,当四边形40CB是菱形时，有以下结论：

①4(6,36)②当b=2时，k=③m=四边形40cB=26?则所有正确结论的序号是.

【答案】②③/③②

【分析】①根据菱形的性质和勾股定理计算点A的坐标即可判断；②根据①中的坐标，直接将b=2代入

即可判断；③先求出点B的坐标，再代入一次函数的解析式可判断；④根据菱形的面积=底边x高即可可解

答.

【详解】解：如图：①y=-中，当x=0时，y=—2b,

HOC=2b,

回四边形力。CB是菱形,

EL4B=OC=0A=2b,

0A与B关于x轴对称，

EL4B1OD,AD=BD=b,

SOD=J(2b)2_b2=V3b,

EL4(V^b,b)；故①不正确；

②当b=2时，点N的坐标为：（273,2）,

Elk—2-\/3x2=4百，故②正确；

③囿4（百b,b）,4与B关于%轴对称，

国8（百瓦一6）,

团点B在直线y=mx-2b上，

孙闻＞m-2b=­b,

0m=故③正确；

④菱形40CB的面积=AB,OD=2bVb=28炉，故④不正确；

所以本题结论正确的有：②③.

故答案为：②③.

【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、坐标与图形性质、勾股定理，关于x轴对称、

菱形的性质等知识点，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键.

三、解答题

26.（2022•甘肃张掖•校联考二模）如图，已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数丫=个的图象相交于A、

B两点，且A点的横坐标为2.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）在x轴上取关于原点对称的P、Q两点，（P点在Q点的右边），试问四边形AQBP一定是一个什么形状

的四边形？并说明理由.

【答案】(1)A(2,6),B(-2,-6);(2)四边形AQBP是平行四边形.理由见解析.

【详解】分析：(1)设A点坐标为(2,t),把A(2,t)分别代入y=kx和y=*,可求出k=3,t=6,则A

X

点坐标为(2,6),再根据正比例函数图象和反比例函数图象的性质得到点A与点B关于原点对称，所以B

点坐标为(-2,-6);

(2)如图，由点A与点B关于原点对称得到OA=OB,由点P与点Q关于原点对称得到OP=OQ,则根据平

行四边形的判定方法即可判断四边形AQBP为平行四边形.

详解：解：(1)将x=2分别代入y=kx及丫=竺小，

X

解得k=3；

y=3x

12,

{y-

解得:件=3恃=7,

(.71=6(.y2=-6

0A(2,6),B(-2,-6)；

(2)四边形AQBP是平行四边形.理由如下:

团点P、点Q关于原点对称,

EIOP=OQ,

又团反比例函数的图象关于原点对称,

0OA=OB,

回四边形AQBP一定是平行四边形.

点睛：本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数和正比例函数图象的性质、平行四边形和矩

形的判定方法；会运用原点对称的性质.

27.(2022广东惠州•九年级统考学业考试)如图，直线y=k1X+b与双曲线y=母交于C(4,a),D两点，与

轴分别交于4(3,0),B两点，且。4=个。从

(1)求一次函数和反比例函数解析式;

(2)若点E与点B关于x轴对称，连接求4CDE的面积.

【答案】(1)一次函数的解析式为y=gx-3百；反比例函数的解析式为丫=誓；(2)15V3

【分析】(1)先求出B点坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式，再求出C点坐标，用待定系数法求

反比例函数解析式;

(2)先由对称性质求E点坐标，再联立方程组求得F点坐标，最后根据三角形面积公式求面积.

【详解】(1)04(3,0),

团。Z=3.

回。

国OB=3y/3.

姐(0,-3V3).

把4(3,0),S(0,-3百)分别代入3/=自％+匕，得

3kl+b=0

b=-3A/3

解得｛七=乌

b=-3A/3.

团一次函数的解析式为y=V3x-3V3.

把C(4,m)代入y=V3x—3V3,得m=V3.

0C(4,V3).把C(4,a代入y=墨得矽=4V3.

回反比例函数的解析式为y=?

(2)・・・点E与点B关于X轴对称，由(1)知3(0,-3V3),

团E(0,3V3).

OBE=3V3-(-3V3)=6V3.

y=A/3X—3V3

解方程组｛

4A/3

y=­X

=4%2=-1

｛(

侍y1=V3y2=-4V3

0C(4,V3),0D(-1,-4V3).

^ACDE=S^DBE+SACBE，

码后

CDE=\BE-\XD\+\BE-\xc\=|x6V3xl+|x6V3x4=15

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，三

角形的面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

28.(2023,安徽安庆•统考一模)如图，一次函数丫=小久+九(根40)的图象与反比例函数y=1(kK0)的

图象交于第二、四象限内的点4(a,3)和点B(6,6).过点4作x轴的垂线，垂足为点C,AAOC的面积为3

⑴分别求出一次函数y=爪尤+n(m力0)与反比例函数y=£(k力0)的表达式；

(2)结合图象直接写出nix+n>:的解集；

⑶在x轴正半轴上取点P,使PA-PB取得最大值时，求出点P的坐标.

【答案】(1)反比例函数的表达式为y=-p一次函数表达式为y=-j%+2.

(2)x<—2或0<x<6

(3)P(10,0)

【分析】(1)由AAOC的面积为3,可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求6的值.

(2)结合图像观察，求一次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x的取值范围即可.

(3)作对称点B关于x的对称点夕，直线与x轴交点就是所求的点P,求出直线与x轴的交点坐标即可.

【详解】(1)解：根据题意，AC=3,

SA40c=3,

OC=2,

结合图形，可得力(—2,3),

将4(一2,3)代入y=:得k=-6,

・••反比例函数的表达式为y=-1

把B(6,b)代入反比例函数得b=-1,

■­.

将4(—2,3)和B(6,—1)代入y=kx+zn解得：m=2,fc=—

二一次函数表达式为y=-|x+2.

(2)由图象可以看出的mx+n＞与解集为％＜一2或0＜久＜6.

X

(3)解：如图，作点B关于x轴的对称点夕，连接力与x轴交于P,此时P4-PB最大.

-B(6,-1),

夕(6,1),

设直线4P的关系式为y=k、+//,将力(一2,3),(6,1)代入,

解得长=—工，b'=~,

42

・•・直线4P的关系式为y=—"+|,

当y=0时,解得％=10,

•••P(10,0).

【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，理

解轴对称知识作图是解题的关键.

29.(2022•河北石家庄•石家庄市第四十中学校考二模)如图，已知反比例函数y=：(x>0)的图象与直线

=依+6都经过点P(2,m),Q(n,4),且直线2交x轴于点力，交y轴于点8,连接OP,OQ.

(1)直接写出小，n的值及直线Z的函数表达式；

(2)△。/1P与AOEQ的面积相等吗？写出你的判断，并说明理由；

(3)若点M是y轴上一点，当MP+MQ的值最小时，求点M的坐标.

【答案】⑴m=1,n=y=-2x4-5；(2)相等.理由见解析；(3)M(05).

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题.

(2)利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可判断.

(3)如图作点Q关于y轴的对称点Q',理解PQ'交v轴于M,参数MQ+MP的值最小.求出最小PQ'的解析式

即可解决问题.

【详解】解：(1)回反比例函数y=>0)的图象与直线=for+b都经过点P(2,m),Q(ji,4)

0m=1,n=j,P(2,l),QG，4),

则有[(2)k+b6=41，解得｛(K:_5，

团直线/的解析式为y=-2x+5.

(2)相等.

理由：回y=-2x+5

团当y=0时，%=|,即0/=[,当％=0时，y=5,即。8=5,

me1545c1-15

团S^oap=-x-x1=S^OBQ=2X^X2=4

团S^poa=S&OBQ・

(3)如图作点Q关于y轴的对称点Q',理解PQ'交y轴于M,参数MQ+M尸的值最小.

时’(-刊，

(2k+b=1

直线PQ'的解析式为y=k%+b,则有，—工々+8=4,6

k=--5

解得117,

b=-

\5

团直线PQ'的解析式为y=-|x+y,

当％=0时,y=3

阿嗯)

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合，关键在于熟悉待定系数法的解题方法,联立关系式的常用方

法.

30.(2023•广东珠海•校考一模)如图，已知一次函数ymx-3与反比例函数y=§的图象相交于点4(8,几)，

与x轴相交于点B(4,0).以N3为边作菱形4BCD,使点C在x轴正半轴上，点。在第一象限.求点。的坐

标.

【答案】£>(13,3)

【分析】利用待定系数法求得一次函数的解析式，然后求得点力的坐标，利用勾股定理求得48,由菱形的

性质得出40=AB=5fAD||BC,即可求得点D的坐标为(13,3).

【详解】解：团一次函数y=m%-3图象与x轴相交于点8(4,0),

团0=4m—3,解得m

4

团一次函数为y=-3,

把点2(8,n)代入y=?%-3得，n=[x8—3=3,

比4(8,3),

EL4B=J(8-铲+32=5,

回四边形力BCD是菱形，

SAD=AB=5,AD||BC,

0£)(13,3).

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求一阐述解析式，勾股定理，以及菱形的

性质，求出点A的坐标是解答本题的关键.

31.(2023•江西抚州•统考一模)如图，一次函数y=x+l的图象与反比例函数y=2(>>0)的图象交于点

B(jn,2).

>A

⑴求反比例函数的解析式;

⑵点。(2,九)也在反比例函数图象上，求初08的面积.

【答案】(l)y

⑵S.0o=1.5

【分析】(1)根据一次函数y=x+l与反比例函数方:(x>0)的图象相交于点2(m,2),可以求得点2的

坐标，进而求得反比例函数的解析式;

(2)先求出点O坐标，再过点8作鸟顺轴于E,过点。作。畋轴于R延长防、即相交于4,则四边

形4EOF是矩形，所以4(2,2),根据S"00=S矩形4E0F—S^OEB—S^OFQ—SMBD求解即可.

【详解】(1)解：把3(加，2)代入y=x+l中，得2二冽+1.

团加=1.

团点5(1,2).

把5(1,2)代入中，得2=号，

昨2,

团反比例函数的解析式为y=2;

(2)解：把点。(2,〃)代入反比例函数y=|,得〃=|=1,

00(2,1),

如图：过点3作8顺轴于E,过点。作。时轴于R延长班、ED相交于/,

则四边形/EOP是矩形，

EL4(2,2),

回SABOD—^ifg^AEOF-SAOEB-SAOFD-SAAB。

=2x2--xlx2-ix2xl--xlxl

222

=1.5.

【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次

函数的综合，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

32.(2022•山西大同,统考一模)如图，一次函数ykmx+n的图象分别交x轴、y轴于A、C两点，交反比例

函数y25(k>0)的图象于P、Q两点.过点P作PBEIx轴于点B,若点P的坐标为(2,2),回PAB的面积为

X

4.

（1）求一次函数与反比例函数的解析式.

（2）当x为何值时，yi<y2?

【答案】（1）一次函数解析式为yi=3+l,反比例函数解析式为y2=；

（）当或时，

2x<-40<x<2yi<y2.

【详解】试题分析：（1）由反比例函数图象上点坐标的特点可求出k值的大小，从而得出反比例函数解析

式；由三角形的面积公式可得出AB=4,结合点B坐标可得出点A的坐标，由A、P点的坐标利用待定系数

法即可求出一次函数的解析式；

（2）令yi=y2,求出x的值，从而得出点Q的横坐标，结合两函数图象的位置关系即可得出结论.

试题解析：（1）回点P的坐标为（2,2）,

0k=2x2=4,

团反比例函数解析式为丫2=上

X

1

I21SAABC=-AB•PB=4,

团AB=4,

团点A(-2,0).

团点A、P在一次函数图象上,

由黑U二解得｛：..

团一次函数解析式为yi=|x+l.

(2)令yi=|x+l=y2=1,即x2+2x-8=0,

解得:

xi=-4,X2=2.

即点Q横坐标为-4,点P横坐标为2.

结合两函数图象可知：

当x<-4和0<x<2时，一次函数图象在反比例函数图象下方,

则当x<-4或0<x<2时，yi<y2.

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

33.(2022上•安徽滁州•九年级校联考期中)如图，直线y=ax+6经过点4(—3,0),交反比例函数y=：(久>。)

的图象于点B(l,zn).

⑴求左的值;

(2)点。为第一象限内反比例函数图象上点2下方的一个动点，过点。作DCly轴交线段48于点C,连接

AD,求△4CD的面积的最大值.

【答案】(1)8

(2)y

【分析】(1)根据待定系数法确定一次函数关系式y=2%+6,从而求出点3的坐标为(1,8),再利用待

定系数法确定人的值即可；

(2)设点C的坐标为(x,2%+6),由于DCly轴，得到点。的坐标，表示出SAACD=-1+|丫+§，根据

二次函数性质即可得出△4CD的面积的最大值.

【详解】(1)解：把4(一3,0)代入y=ax+6,得一3a+6=0,

解得a=2,

团直线的函数表达式为y=2%+6,

团当/=1时，y=2xl+6=8,

站(1,8),

把8(1,8)代入反比例函数y=三得k=1x8=8.

(2)解：设点C的坐标为(x,2x+6),

由于DCly轴，所以点。的纵坐标为2x+6,

团点。(言2"+6),

团SAACD=(CDX(2久+6)=3—X)X(2%+6)=-%2-3*+4=—(x+1)+§,

团当久=一1.5时，SA®最大值=泉

答：S“CD的最大值为

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、平面直角坐标系

中三角形面积问题，熟练掌握函数的图像与性质，并能掌握相应题型的解题方法技巧是解决问题的关键.

34.(2023•江西•统考中考真题)如图，已知直线37=刀+6与反比例函数丫=：。＞0)的图象交于点4(2,3),

与y轴交于点2,过点2作X轴的平行线交反比例函数y=£(久＞0)的图象于点C.

⑴求直线4B和反比例函数图象的表达式；

(2)求△ABC的面积.

【答案】(1)直线4B的表达式为y=x+l,反比例函数的表达式为y=?

(2)6

【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可；

(2)由一次函数解析式求得点8的坐标，再根据BCIIx轴，可得点C的纵坐标为1,再利用反比例函数表达

式求得点C坐标，即可求得结果.

【详解】(1)解:国直线丫=尤+6与反比例函数丫=£0＞0)的图象交于点4(2,3),

团k=2x3=6,2+b=3,即b=l,

回直线AB的表达式为y=x+l,反比例函数的表达式为y=%

(2)解：回直线y=x+1的图象与y轴交于点3,

团当％=0时，y=1,

姐(0,1),

SBCIIx轴，直线BC与反比例函数y="x>0)的图象交于点C,

回点C的纵坐标为1,

膻=1,即x=6,

X

0C(6,1),

0BC=6,

团SAABC=aX2x6=6.

【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函

数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键.

35.(2022上•辽宁鞍山•九年级统考期末)己知：如图.在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴

交于点B、A,与反比例函数的图象分别交于点C、D,CE取轴于点E,tan乙48。=}0B=4,0E=2.

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)求回BOD的面积.

【答案】(1)y=-±(2)2.

X

【详解】试题分析：(1)根据已知条件求出C点坐标，用待定系数法求出反比例的函数解析式；

(2)根据已知条件求出A,B两点的坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式，再和反比例的函数解析

式联立可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解.

解：(1)fflOB=4,0E=2,

0BE=2+4=6.

EICE取轴于点E.tan0ABO=—=

BE2

0CE=3.(1分)

El点C的坐标为C(-2,3).

设反比例函数的解析式为y哈（m3）

将点C的坐标代入，得3=三.

0m=-6.（4分）

回该反比例函数的解析式为y=-

X

（2）EIOB=4,

EIB（4,0）.（6分）

nA1

团tan团ABO=一=