中考数学复习知识讲义：角平分线模型（含答案及解析）

角平分线模型知识精讲

【知识梳理】

知识点一、角的平分线

如图所示，射线OC把分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线.

PS：角的平分线是一条射线，不是线段或直线.

如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部；

知识点二、角平分线性质定理与判定定理

1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；

2.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

知识点三、角平分线的画法(尺规作图)

如图所示：作的角平分线

(1)以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线。/、08于点。、E；

(2)分别以点。、E为圆心，大于石的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C；

(3)过。、C两点作射线0C,射线0C就是的角平分线.

【角平分线有关模型】

1.过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题:

例:

已知：P是N408平分线上的一点，过点p作于点M,过点P作PNL08于点N,则①

PM=PN；②OM=ON；③/MPO=NNPO；@ZOMP=ZONP.

2.若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例:

已知：是NC4B的平分线，NC=90°,过点。作。于点£,则。E=

A

EB

3.在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），例：

已知：点。是N/05平分线上的一点，在。4、上分别取点E、F,且OE=QF,连接。£、DF,则

^OED^/XOFD.

4.过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例:

已知：点。是N/03平分线上的一点，过点。作。E//OB,则△E。。是等腰三角形，即石。=成＞.

5.有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三

角形,例：

已知:0C平分ZAOB，点。是04上一点，过点。作DEH0C交0B的反向延长线于点E,则。。=0E.

6.从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例:

已知：0E平分/4O8,点。在3上，DEVOE,则可延长DE交0B于点F,则DE=EF,OD=OF,Z

ODF=ZOFD.

7.有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三

角形,例：

(1)已知：0c平分点E、尸分别在04、02上，过点E作E加，0。于点过点尸作JWL0。

于点N,则△。石MS^ORN,如图所示:

(2)已知：OC平分N408,点E、尸在OC上，作EW_LO力于点M,作PN_L08于点N,则

△OEMsAOFN,如图所示:

A

C

彳

-

口

N

(3)己知：0c平分N403,点E、F在0Cy，作/EM0=/FNO,则AOEMs^OFN,如图

所示:

8.利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例:

己知：NA4c是圆。的圆周角，ND0E是圆。的圆心角，4F平分NB4C,OG平分/D0E,连接BRCF、

DG、EG,则2尸=。尸，DG=EG.

9.【内内模型】如图，△48。两个内角平分线交于点。，则/。=90°+1/4.

10.【内外模型】如图，△ABC的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D,则

2

M

CB

11.【外外模型】如图，△46。两个外角的角平分线交于点。，则/。=90°—

角平分线模型知识精讲

【知识梳理】

知识点一、角的平分线

如图所示，射线OC把分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线.

PS：角的平分线是一条射线，不是线段或直线.

如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部；

知识点二、角平分线性质定理与判定定理

1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；

2.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

知识点三、角平分线的画法(尺规作图)

如图所示：作的角平分线

(1)以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线。/、08于点。、E；

(2)分别以点。、E为圆心，大于石的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C；

(3)过。、C两点作射线0C,射线0C就是的角平分线.

【角平分线有关模型】

1.过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题:

已知：P是N408平分线上的一点，过点p作于点M,过点P作PNL08于点N,则①

PM=PN；②OM=ON；③/MPO=NNPO；@ZOMP=ZONP.

【证明】：OC是的角平分线，

ZMOP=ZNOP,

在AMOP与AN0P中,

ZM0P=ZN0P

N0MP=N0NP=90。'

{0P=0P

:.丛MOP9丛NOPCAAS）,

：.PM=PN,OM=ON,ZMPO=ZNPO,ZOMP=ZONP.

2.若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例:

己知：是NCAB的平分线，ZC=90°,过点。作。石，48于点E,则。E=

【证明】如图，平分/CAB,

ZCAD=ZEAD,

：.DELAB于点E,

ZC=ZAED=90°,

在△AC。和△AEO中，

NCAD=/EAD

<ZC=ZAED=^

[AD=AD

△AC。名△AED(AAS),

DE=DC.

3.在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形(角边等，造全等)，例：

已知：点。是N/OB平分线上的一点，在。1、08上分别取点£、F,且0E=0F,连接。£、DF,则

△0ED空40FD.

【证明】如图，：。£＞平分NA02,

ZAOC=ZBOC,

0D=0D

^AOC=^BOC,

{0E=0F

：.M)ED空/XOFD(SAS)

4.过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例:

已知：点。是平分线上的一点，过点、D作DEMOB,则△石0。是等腰三角形，即石。=ED.

【证明】:。。是N403的平分线,

•.Z1=Z2,

又•「DE/IAB,：.Z2=Z3,/.Z1=Z3,

」.△EO。是等腰三角形.

5.有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三

角形,例：

已知:OC平分N406，点。是上一点，过点D作DEI/0C交OB的反向延长线于点E,则0。=0E.

【证明】•••。。平分/4。8,

ZAOC=ZBOC,

\'DE//OC,

:./E=/BOC,ZODE=ZAOC,

：.ZE=ZODE,

：.OD=OE.

6.从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：

己知：。£平分N/02,点。在。4上，DELOE,则可延长DE交。2于点尸，贝！|DE=E尸，0D=0F,Z

ODF^ZOFD.

【证明】如图，：0E平分NA02,

ZDOE=ZFOE,

；.DE_LOE于点E,

：.ZDEO=ZFEO=90°,

/DOE=/FOE

NDEO=NFEO=90。,

{OE=OE

:.△DOE9/\FOE(ASA),

.•.则OE=EROD=OF,ZODF=ZOFD.

7.有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角

形，例：

(1)已知：OC平分NAOB，点、E、F分别在OA.OB1.,过点E作。于点M,过点F作PNLO。

于点N,则AOEMS^OFN,如图所示：

【证明】：OC平分N/QB,

ZEOM=ZFON,

又,：/OME=NONF=90°,

:AOEMsM)FN.

(2)已知：OC平分N408,点£、尸在OC上，作EW_L04于点M,作RN_L08于点N,则

△OEMs40FN,如图所示：

E

B

ON

【证明】：0C平分N4OB,

/EOM=/FON,

又＜/OME=/ONF=90°,

：./\OEM^/\OFN.

(3)已知：OC平分N4CZB,点E、F在OC上，作/EMO=/FNO,则△。及0s△QFN,如图

所示:

【证明】•；。。平分/4。8,

ZEOM=ZFON,

又,：NOME=/ONF,

：.40EMsAOFN.

8.利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角(圆心角)所对的弦相等”可得相等线段，例:

已知：N3/C是圆。的圆周角，是圆。的圆心角，AF平分/BAC,OG平分/DOE,连接8GCF、

DG、EG,贝!]8P=C尸，DG=EG.

【证明】止平分N3/C,

ZBAF=ZCAF,

:.BF=CF（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等）,

：OG平分/DOE,

ZDOG=ZEOG,

：.DG=EG（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等）.

9.【内内模型】如图，△40。两个内角平分线交于点。，则/。=90°+白/4.

【证明】平分N4C8,8。平分NAMC,「./1=/2,/3=/4,

在△/8C中，ZA+Z1+Z2+Z3+Z4=8O°,

在△03。中，ZD+Z2+Z4=180°,

­.•Z1=Z2,Z3=Z4,

.JN/+2/2+2/4=180。①

1ZD+Z2+Z4=180°②

由①一②X2得N4+2N2+2N4—2/0—2/2—2/4=360°—180°,

/.N4-2ZD=180°,即/D=90°+

10.【内外模型】如图，△48。的一个内角平分线和一个外角平分线交于点。，则

M

C'B

【证明】平分NHCB,AD平分」.N1=N2,N3=N4,

在△ABC中，^A+ZACB=ZABM,即N4+N1+N2=N3+N4①

在△ZZBC中，ZD+Z2=Z4②

•.♦N1=N2,N3=N4

.(Z4+2Z2=2Z4①