直线的相交（3个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）（原卷版）

第01讲直线的相交

（3个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）

01学习目标

课程标准学习目标

①对顶角的性质；

1.了解相交线和对顶角的概念；

②利用有关对顶角的性质，并且

2.理解对顶角相等；

包含较多的说理过程；

3.会利用余角、补角和对顶角的性质进行,有关角的计算。

02思维导图

知识清单

03>_=_=

知识点01：对顶角

对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的

四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。

对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。

【即学即练1】

1.如图，N1和N2是对顶角的是（）

B.

【即学即练2】

2.如图所示，如图所示，直线AB,。相交，所形成的Nl,Z2,Z3,N4中，N2的对顶角是（）

B.Z3C.Z4D.N1和23

知识点02：垂直

1.垂直的定义：如图，直线。、。相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线。

与直线6互相垂直，记作或者交点。就是垂足.其中。是6的垂线，b也是a的垂线.垂线是

直线，且相对于另一条直线而言.

图1

2.垂直定义的应用：

（1）判定：若直线A8和。相交，交点为。，ZBOC=90°,则

AB±CD.这个推理过程可表示为：

,/ZBOC=90°,

ABLCD.（垂直的判定）.

（2）性质：若两条直线垂足为点O,贝U

ZAOC=NAOD=ZBOC=ZBOD=90°,

这个推理过程可表示为：

AB1CD

：./BOC=90。（垂直的定义）.

c

图2

【即学即练3】

3.如图，在同一平面内，OA±l,OB11,垂足为0,则。4与08

重合的理由是（）

"B

<>A

01

A.两点确定一条直线

B.垂线段最短

C.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.垂直于同一直线的两条直线平行

【即学即练4】

4.如图，于点0,直线C£）经过点0,/4。0=33。33',则的度数是（

A.123067,B.123°33'C.146067,D.146033,

知识点03邻补角

邻补角是指两个角有一条公共边，并且它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补

角。具体来说，邻补角具有以下特征：

公共边和公共顶点：邻补角有一个公共的顶点和一条公共边12o

反向延长线：两个角的另一条边互为反向延长线12。

角度和为180度：邻补角的度数之和为180度，即它们是互补的12。

成对出现：邻补角是成对出现的，一个角是另一个角的邻补角2。

平角：互为邻补角的两个角相拼成一个平角，即180度2。

定义和性质

邻补角的定义是：两个角有一条公共边和共同的顶点，且它们的另一条边互为反向延长线，这

样的两个角互为邻补角。例如，在一条直线上，相邻的两个直角（90度）就是邻补角口

实际应用

邻补角在几何学中有重要的应用。例如，在解决一些几何问题时，可以利用邻补角的性质来简

化计算。此外，邻补角在平面几何中也有广泛的应用，特别是在直角三角形中，一个锐角的邻

补角必然是钝角

题型精讲

题型01相交线

【典例1】下列图形满足“直线4与直线相交，点〃既在直线4,又在直线4上”的是（）

【变式1】平面上的三条直线最多可将平面分成（）部分

A.4B.6C.7D.8

【变式2】直线AB,BC,C4的位置关系如图所示，下列语句：①点A在直线上；②直线3c经过点

③直线AC,8C交于点C；④点C在直线4B外；⑤直线AB,BC,C4两两相交.以上表述正确的有.（只

【变式3】一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直

线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有一个交点.

【变式4】平面内〃条直线最多将平面分成多少个部分？

题型02垂线的定义理解

【典例1】如图，直线。、》相交于点。，射线c'a,垂足为点O,若4=40°,则/2的度数为（）

【变式1】如图，已知ON_La,OM±a,所以QW■与ON在同一条直线上的理由是（）

•'M

■•N

oa

A.两点确定一条直线

B.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

C.过一点只能作一条垂线

D.垂线段最短

【变式2】如图，直线AB、相交于点。，于点O,NDOB=43。,ZCOE=_____度.

【变式3】如图，直线AB,CD相交于点。，0ELA5于点。，ZDOB=43°,ZCOE=度.

【变式4】如图，OC，钻交直线于点0,射线OZXOE在/BOC内，OE平分/BOD,其中NC8=34。.

⑴求480。的度数;

⑵求/AOE的度数.

题型03画垂线

【典例1】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（）

A.1B.2C.无数D.不存在

【变式1】下列各图中，过直线/外的点P画/的垂线CD.三角尺操作正确的是（）

【变式2】如图，一束光线以入射角为50。的角度射向斜放在地面上的平面镜经平面镜反射后与

水平面成30。的角，则与地面48所成的角/CD4的度数是.

【变式4】如图，平面上有四个点A、B、C、D,按照要求作图:

B・

⑴画出线段AB.

⑵画出直线CD.

（3）在直线CD上面出与点B距离最短的点E并说明这样画的理由.

题型04垂线段最短

【典例1】如图，点P是直线。外的一点，点4B、C在直线。上，且垂足为点B,PA1PC,

则下列正确的语句是（）

BC

A.线段PC的长是点P到直线。的距离B.上4、PB、PC三条线段中，PB最短

C.线段AC的长是点A到直线PC的距离D.线段AC的长是点C到直线的距离

【变式1】小峰同学家在点P处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段PC去公

路边，这一选择用到的数学知识是（）

A.两点确定一条直线B.垂线段最短

C.两点之间，线段最短D.过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直

【变式2】如图，在VA3C中，过点C作CDLAB于点D,M是边A3上的一个动点，连接CM.若CD=6,

则线段CM的长的最小值是.

B.

I)

【变式3】如图，欲在河岸AB上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出CP垂直

垂足为尸，然后沿CP铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是：

C

4尸k8

【变式4】如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1,A、8、C都在格点上.

(1)利用网格作图：过点C画直线A3的垂线CE,垂足为点E；

(2)线段CE的长度是点到直线的距离；

(3)比较大小：CECB(填＞、＜或=),理由：

题型05点到直线的距离

【典例1】若尸为直线/外一定点，A为直线/上一点，且R4=l,1为点P到直线/的距离，则d的取值范

围为()

A.O<6?<1B.O<J<1C.0<dWlD.O<J<1

【变式1】如图，量得直线/外一点尸到/的距离总的长为5cm,点A是直线/上的一点，那么线段出的

长不可能是()

A.4cmB.5cmC.5.5cmD.8cm

【变式2】如图，在三角形ABC中，ZAC5=90。，CD_LAB,垂足为。.若AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,

则点A到直线BC的距离为cm,点B到直线AC的距离为cm,点c到直线AB的距离为cm

DB

【变式3］如图，尸是直线/外一点，A,B,C三点在直线/上，且于点3,ZAPC=9Q°,若丛=4,

12

PC=3,AC=5,PB=《,则点A到直线PC的距离是.

【变式4】如图，点P是/AO3的边。4上的一点，请过点P画出。4,03的垂线，分别交08于点M,N,

哪条线段的长度表示点P到直线03的距离？

题型06对顶角的定义

【典例1】下面四个图形中，/I与N2是对顶角的为（）

A.如果N1=N2,则/I和/2是对顶角

B.如果N1和N2有公共的顶点，则N1和/2是对顶角

C.对顶角都是锐角

D.锐角的对顶角也是锐角

【变式2】若一个角的对顶角是它的补角的;，则这个角的度数为.

【变式3】若〃条直线两两相交于不同的点时，可形成对对顶角.

【变式4】如图，直线和CD相交于点。，OELCD-,垂足为0,0/平分NAOE,ZCOF=34°.解

(1)/CO尸的邻补角是=/30D的对顶角是二

⑵求—AOC的度数.

题型07对顶角相等

【典例1】如图，直线A3、CD相交于点。，平分ZEOC,ZBOD=3T,则NDOE的度数为()

A.106°B.74°C.96°D.84°

【变式1】如图，直线AB、CD相交于点。，/COE为直角，ZAOE=60°,则()

C.120°D.140°

【变式2】如图，直线。和直线》相交于点0,Zl=50°,则N2=

【变式3】如图，直线A3、C。相交于点O,OE平分/BOD,ZAOC=74°,ZDOF=90°,ZBOE=

°,ZEOF=°.

B

V

【变式4］如图，已知直线A3、CD相交于点0,ZCOE=90°

\-^E-D

A

(1)若/AOC=40。，求/BOE的度数.

(2)若NBOC=2NBOD,O/平分/AOC,求ZD。尸的度数.

题型08邻补角的定义理解

【典例1】下列四个图中，/1=/2一定成立的是()

/A

A./B.\2

【变式1】如图，直线AB,CD相交于点0,OELAB于点。，OF平分ZAOE,若/I=20。,则下列结论中

不正确的是()

E

B

A.Z2=45°

B.Z3=20°

C.N1与NAOD互为邻补角

D./BOB与NEO产互为邻补角

【变式2】如图，直线A3、CD相交于点。、OD平分NBOF、OELCD于点。，则/EOB:NAOF=

【变式3】两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的

两个角，互为•

【变式4】如图，射线Q4的方向是北偏东15。，射线02的方向是北偏西40。，ZAOB=ZAOC,射线OD是

02的反向延长线.

(1)射线OC的方向是；

⑵求NCOD的度数；

(3)若射线OE平分NCOD,求/AOE的度数.

题型09找邻补角

【典例1】如图，直线A3、MN相交于一点O,OCLAB,则/COM的邻补角是()

A.ZAONB.ZAOCC.ZNOCD.ZMOB

【变式1】如图，两条直线43与CD相交于点。，OE是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为

E

B

A.6对，2对B.4对，2对C.8对，4对D.4对，4对

【变式2】如图，点。是直线4B上一点，自点。引射线OC、OD、OE、OF,图中共有一对邻补角.

【变式3】如图，直线AB,CD,跖相交于点0,则ZAOD的对顶角是,ZAOC的邻补角是

若/AOC=50°,贝,NCOB=.

【变式4】如图，直线AB、。交于点0,己知OFLCD,ZCOE=2ZAOC

（1）分别写出NCOE的邻补角、余角；

⑵若NBOF=60。，试说明OEJ_.

题型10利用邻补角互补求角度

【典例1］如图，已知。是直线上一点，Zl=40°,on平分N3OC,则N2的度数是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【变式1】如图，直线A5,C。相交于点0,于。，/DOB=43。,/COE的度数是（）

D

a

AB

c

E

A.43°B.137°C.57°D,47°

【变式2】如图，直线43、CO相交于点。，若NAOD=2NAOC+30。，则直线A3与8的夹角40。的

【变式3】如图，直线A3与直线CD相交于点。，于点。，且/BOD:NEOD=1:2,则/EOC的

【变式4】如图，直线A民CD相交于点。OMLAB.

M

(2)若N1=[NBOC,求/BQD和NAOD的度数.

y=>

05强化训练

1.如图，直线4B、CD相交于点O,EOYAB,垂足为。，1AOD125?.则/EOC的度数为（）

C.35°D.25°

2.如图，直线ABLCD于点。，直线历经过点O,若Nl=37。，则/2的度数是（）

D

A.37°B.53°C.43°D.63°

3.a,b,c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（）个

A.1,2或3B.0,1,2或3C.1或2D.以上都不对

4.如图所示，直线AB、CD相交于点0,OE_LAB,射线OD平分射线平分/BOO,则NAOM

等于（）

A.135°B.157.5°C.155°D.145.5°

5.如图，直线AB,C。相交于点。，OD平分NBOF,OE1CD于点0.若NEOF=ct,下列说法：①

ZAOC=a—90°；②NEOB=180°-a；③NAQF=360°-2。.其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

6.已知（M_LOC,NAO3:NAOC等于4:5,则—BOC的度数为.

7.已知直线AB和CD相交于点。，射线OE，CD于点。，且ABOE=47°,则ZAOC的度数为度.

8.如图，直线AB、CD相交于点0.已知N3QD=75。，OE把—AOC分成两个角，S.ZAOE=ZEOC,

将射线OE绕点。逆时针旋转角a（0。<a<360。）到。尸，若ZAOF=120。时，a的度数是°.

10.如图，点。在直线AB上，OD平分—AOC,NCOE=；/BOE,NDOE=10。,设NCOE=a,利用

11.如图，已知直线A6,8相交于点O,/COF与/EOF