直角三角形的边角关系 知识归纳与题型突破（十一类题型清单） 原卷版-2024-2025学年北师大版九年级数学下册

直角三角形的边角关系知识归纳与题型突破

（十一类题型）

01思维导图

02知识速记

一、锐角三角函数

1.正弦、余弦、正切的定义

如右图、在RtaABC中，ZC=9O°,如果锐角A确定:

这个比叫做NA的正弦.

邻b

(2)cosA=^-=-这个比叫做NA的余弦.

(3)tanA=^=?,这个比叫做NA的正切.

要点：

(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其

大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.

(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示NA三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“4”，

但不能写成sin-A,对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号不能省略，应写成

sinZBAC,而不能写出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinAp而不能写成sinA2.

(4)三角函数有时还可以表示成sina,cos户等.

2.锐角三角函数的定义

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数.

要点：

I.函数值的取值范围

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是ZA的函数.同样，COSA、

tanA也是NA的函数，其中NA是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量NA的取值范围

是0。<乙\<90。，函数值的取值范围是0<sinA<l,0<cosA<l,tanA>0.

2.锐角三角函数之间的关系：

45"

CB

余角三角函数关系：“正余互化公式”如NA+NB=90。，

那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

cmA

同角三角函数关系：sin2A+cos2A=l；tanA=

COSJ4

3.30°、45。、60。角的三角函数值

Z.A30°45°60°

sinA收也

2~T2

工

cosA在也

222

tanA立1出

3

30。、45。、60。角的三角函数值和解30。、60。直角三角形和解45。直角三角形为本章重中之重，是几何计

算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.

二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

角角关系：两锐角互余，即NA+NB=90。；

边边关系：勾股定理，即/+/=3；

边角关系：锐角三角函数，即

a

~b

bab

sin5=—,cos5=-,tanB

cca

要点:

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角).这两种情形的共同之处：有一条边.因

此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边.

三、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量

关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

L解这类问题的一般过程

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出

几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的

问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

2.常见应用问题

h

*(1)坡度：j=1：w=—=tana；坡角:a.

(3)仰角与俯角:

铅垂线

要点:

1.解直角三角形的常见类型及解法

和解法

三角形类铲已知条件解法步骤

tan="

由b求4A,

两直角边（a,b）

z.B=90°-zA,

两C=+废

边

Aa

sin=—

由c求乙A,

RtAABC斜边,一直角边（如c,a）

Bz.B=90°-zA,

b=_J

ZB=9O°-ZA,

x\锐角、邻边

b

乙1

X-------------------c（如NA,b）c=------

ba=6,tan&cos工

一直角边

边和一锐角zB=90°—zA,

锐角、对边

a.a

（如NA,a）

角sinA,tan工

zB=90°—zA,

斜边、锐角（如c,ZA）

a=csinAfb=ccosA

2.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是:

把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转

化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系.

借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际问

题抽象为数学问题.

当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解.

03题型归纳

题型一锐角三角函数的概念

例题

1.在RtZX/BC中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角/的余弦值（）

A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的工

2

C.保持不变D.扩大为原来的4倍

巩固训练

2.在中，ZC=90°,各边都扩大2倍，则锐角Z的三角函数值（）

A.扩大2倍B.不变C.缩小LD.扩大工

22

3.在RtA^5C中，ZC=90°,=13,CB=5,NB的余弦值为.

4.如图，在Rt4/3C中，NC=90。，AC=4,BC=3,则/A4c的正切值为（）

题型二求锐角三角函数

例题

5.在RtZXABC中，ZC=90°,AB=5,8c=3,那么siir4的值为()

A134

B.一c.-D.

5453

巩固训练

6.在RtZXZBC中，ZC=90°,那么

A.tanAB.cotAC.sinAD.cosA

7.在Rt^ZBC中，ZACB=90°,BC=1,AB=2,则下列结论正确的是（)

J31

At.sirk4=—B.tan4A=—C.cosB=D.tanB=也

22~2

题型三特殊锐角三角函数值

例题

8.tan60°的值是（）

百V31

A.B.昱rD.-

232

巩固训练

tan450-cos600__

9.----------------------tan30°n=.

sin60°

10.计算：2cos230°-亚sin45°+tan60°，sin60°=

题型四根据特殊锐角三角函数值求角度

例题

11.如果锐角a满足cosa=——,则a的大小是.

2

巩固训练

12.如果锐角。的正切值为且，那么锐角。为度

3

历

13.在锐角中，44=75°,sinC=—,贝l）N5='

2

14.已知a为锐角，且cos（a-30。）=*,则。=.

、2

15.在△48。中，若cos4—--■1-（1—tan=0,ZA,都是锐角，贝!J△43。是三角形.

题型五比较锐角函数值的大小

例题

16.已知实数。=tan30°,b=cos60°,c=sin45。，则下列判断正确的是（）

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

巩固训练

17.☆a=sin60°,b=cos45°,c=tan30°,则它们之间的大小关系是（）

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<c<b

18.△NBC中，/C=90°,AB=5,BC=3,贝U()

A.siiL4>cosA,且tarU>cosB

B.sirU<cosA,且tanA>cosB

C.siiL4>cosA,且tanA<cosS

D.sirU<cosA,且tanA<cosB

题型六网格问题

例题

19.如图，A,B,C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin/ZCB的值为（）

V5CD,如

5-I3

巩固训练

20.如图，44BC的顶点都是正方形网格中的格点，贝Utan442c等于（）

C.-D.好

23

题型七解直角三角形一直角三角形

例题

21.如图，在RtZk/BC中，20=90°,AC=2,BC=\,则sinS的值为（）

1

B.

2

D.2

巩固训练

22.在RtZ\/BC中，N4CB=90°,BC=12,tan5=—,则4B的长为（）

A.8B.12C.13D.18

23.如图，在RtZk/BC中，ZS=9O°,ZA=a,AB=4,则/C的长是（）

4

B.C.D.4tana

smacosa

24.如图，在ZX/BC中，ZACB=90°,下列结论正确的是（）

B

AN-----------------------dC

A.AC-BC-tanAB.AB=AC-cosAC.BC-AB-sinB

D.AC-BC-tanB

25.如图，在AABC中,NA=45O/C=90。,点D在线段AC上/BDC=6（r,AD=l,则BD等于（）

A.V3B.V3+1C.V3-1D.4

3

题型八解直角三角形在特殊平行四边形中的应用

例题

26.如图，在矩形4BCD中，48=1,BC=2,对角线4C的垂直平分线分别交2D、4c于点E、O,则OE

的长为（）

巩固训练

3

27.如图，在菱形45CQ中，DE，AB于点、E,cosA=-fAD=5,贝!JtanNBDE的值为（）

A.立B."C.2D.-

252

28.如图，在矩形/BCD中，ZABC=9Q°,点E是4B上一点，连接/C,CE,若Z8C£=30。，BE=3,

A.4>/3B.3gC.273D.3亚

题型九解直角三角形一非直角三角形

例题

29.如图，在△N3C中，/4=30。，AC=20tanB=—,则4B的长为（）

2

A.2+273B.3+V3C.4D.5

巩固训练

30.如图，在等腰4ABe中，AB=AC.若/BAC=a,AB=m,则底边BC=()

八.a•a

A.m-sinaB.2m-sinaC.2m-sm—D.m-sin—

22

31.如图，/4CB=45。,NPRQ=125。△48C底边8c上的高为％,△尸。穴底边。尺上的高为色，则有

A.%=为B.<h2C./A>h2D.以上都有可能

32.如图，在四边形ABCD^,&4平分/BCD,AB1AC,ZB=60°,AE18C于点E.若8c=10,

则点A到CD的距离为.

33.如图，四边形/BCD的对角线NC、AD相交于O,乙4。。=60。，AC=BD=2,则这个四边形的面积是

D

B.2

C.由D.273

2

题型十三角函数的应用、利用三角函数测高

例题

34.如图：为了测楼房BC的高，在距离楼房10米的A处,测得楼顶B的仰角为，那么楼房BC的高为

D.旦米

A.lOtana米B.1°米C.lOsina米

tanasina

巩固训练

35.如图，两建筑物的水平距离为“m,从/点测得。点的俯角为a,测得C点的俯角为尸，则较低建筑

36.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点5

处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点。处，在点。处测得塔顶

A的仰角为30。，已知斜坡的斜面坡度i=l:百，且点A,B,C,D,E在同一平面内，小明同学测得古

塔48的高度是（)

A

E

o

-

B

1o

A+2mB+Ac2mm

0))mD.40

37.如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距20四米的1号楼和2号楼的地面正中间点3

垂直起飞到点A处，测得1号楼顶部E的俯角为60。，测得2号楼顶部尸的俯角为45。.已知1号楼的高度

为20米，那么2号楼的高度为米(结果保留根号).

38.长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹.长尾夹的侧面可近似的看作等腰三角形，如图1是一

个长尾夹的侧平面示意图，已知8C=23mm，44cB=70。.按压该长尾夹的手柄，撑开后可得如图2所示的

侧平面示意图.测量得/GED=/"£>£=80。.求这时这个长尾夹可夹纸厚度GH为mm(参考数据:

sin70°«0.94,cos70°。0.34,tan70°。2.75,sin80°20.98,cos80°«0.17,tan80°。5.67)

39.一款闭门器按如图1所示安装，支点C分别固定在门框和门板上，门宽为。。，摇臂”3=18cm,

连杆BC=24cm,闭门器工作时，摇臂、连杆和OC长度均固定不变，如图2,当门闭合时，sinB=旦,

3

则AC的长为cm.

题型十一解答题

例题

40.计算：sin2300-2cos30°-tan60°+sin245°

巩固训练

41.计算：^/(sin45°-1)2+cos45°+tan60°-cos30°.

4

42.如图所示，在△48C中，48=30。，sinC=j,AC=15,求8c的长.

43.如图，在菱形N3CD中，对角线/C与AD相交于点。，AC=6,5。=12,点E在边4D上,

AE=^AD,连结BE交4c于点Af.

(1)求MC的长.

⑵tanZBMO的值为.

44.项目式学习，为了测量学校教学楼的高度，方案如下:

课题测量教学楼的高度

测量

测倾器.皮尺

工具

测量在阳光下，小华站在楼42影子的顶端尸处，止匕刻量出小华的影长尸G；然后在楼42落在地面的影

方法子上的点。处，安装测倾器8,测出楼顶端/的仰角.

测量小华的影长尸G=2m,小华身高即=1.6m,用测倾器CO