正余弦定理在解三角形中的高级灵活应用与最值问题（讲义）-2025年高考数学二轮复习（原卷版）

专题10正余弦定理在解三角形中的高级灵活应用与最值问题

自家

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧............................................................4

05核心精讲•题型突破............................................................8

题型一：倍长定比分线模型8

题型二：倍角定理与正弦平方差9

题型三：角平分线模型与张角定理10

题型四：隐圆问题12

题型五：正切比值与和差问题13

题型六：四边形定值和最值与托勒密定理14

题型七：边角特殊，构建坐标系16

题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题17

题型九：三角形的形状判定19

题型十：三角形中的几何计算20

题型十一：中线长定理与余弦和为022

重难点突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围24

差情;奏汨•日标旦祐

解三角形问题作为每年高考数学中的必考内容，其考查频率颇高，尤其在选择题和填空题中占据重要

地位。有时，它甚至以压轴小题的形式出现，挑战考生的思维极限。在综合考查方面，解三角形问题也常

作为解答题的重点，难度适中，旨在全面检验考生的数学素养和解题能力。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年II卷第15题，13分2025年高考数学中，

掌握定理应用，解2023年北京卷第7题，4分

正弦定理解三角形问题预计仍将是

决三角问题2023年乙卷第4题，5分

考查的重点。考试将着重

2022年n卷第18题，12分

测试考生利用正弦定理处

2024年I卷第15题，13分

理三角形边角关系，以及

2024年甲卷第11题，5分

理解定理推导，应

余弦定理2022年乙卷第17题，12分运用正余弦定理解析平面

用解三角形题

2021年乙卷第15题，5分图形边、角与面积的能力。

2021年浙江卷第14题，6分题型上将涵盖选择、填空

2023年甲卷第16题，5分和解答题，其中解答题预

掌握定理，解决几2023年II卷第17题，10分

三角形的几何计算计将占据较大比例，且多

何计算问题2022年天津卷第16题，15分

被安排在前两题位置，难

2021年乙卷第9题，5分

度适中，属于中档题。而

选择题和填空题则可能作

为基础题或中档题出现，

2022年上海卷第19题，14分

熟练方法，准确求

范围与最值问题2022年甲卷第16题，5分也不排除成为压轴题的可

解

2022年I卷第18题，12分能。考生需熟练掌握相关

知识，以应对多样化的题

型挑战。

〃用识导图•思维引航\\

㈤3

.n过偏—・—拈工弓

1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，

基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.

2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化.要适当选

用公式，对于面积公式S=L"sinC=LacsinB=L6csinA,一般是已知哪一个角就使用哪个公式.

222

3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，

求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定

所求式的范围.

4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等

知识.

5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手铜，要牢牢掌握并灵活运用.利用三

角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本

不等式等求其最值.

6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求

解.

7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径.充分利用题设条件中所提供的特殊边角

关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结

合三角形、不等式、函数等知识求其最值.

0

〃二真题班拚精御皿\\

TTQ

1.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在VABC中，内角A,且。所对的边分别为。也c,若5=],廿=w〃c,

则sinA+sinC=（）

A2月R7390币n3而

1313213

2.（2024年北京高考数学真题）在VABC中，内角A氏C的对边分别为。乃,c,—A为钝角，。=7,

/o

sin2B=——bcosB.

7

（1）求/A；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VABC存在，求VABC的面积.

条件①：6=7；条件②：cosB=j|；条件③：csinA=1^.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

3.（2024年新课标全国H卷数学真题）记VA5c的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+抬cosA=2.

⑴求A.

（2）若a=2,@sinC=csin2B，求VABC的周长.

4.（2024年新课标全国I卷数学真题）记VABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC=0cosB，

ci~+b~_c?=yp2,cib

⑴求8；

（2）若VABC的面积为3+后，求a

5.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记YABC的内角A,B,C的对边分别为瓦c,已知0一°=.

cosA2

⑴求》C;

,,acosB-bcosAb«4

（2）若——丁1―7——=1，求VABC面积•

acosB+bcosAc

6.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在VABC中，已知NA4C=120。，AB=2,AC=1.

（1）求sin/ABC；

（2）若。为BC上一点，且N54T>=90。，求△ADC的面积.

7.（2023年新课标全国I卷数学真题）已知在VA3C中，A+B=3C,2sin（A-C）=sinfi.

（1）求sinA；

（2）设AB=5,求AB边上的高.

8.（2023年北京高考数学真题）在VABC中，（a+c）（sinA—sinC）=6（sinA—sin3）,则/C=（）

,兀一兀c27r5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

9.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在VABC中，内角A,3,C的对边分别是。也c,若acosB-AosA=c,

jr

且c=],则48=（）

jcTC3TC27r

A.—B.-C.—D.—

105105

10.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在VABC中，ABAC=60°,AB=2,BC=>/6,/A4c的角平分

线交8C于。，贝ijAD=.

11.（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，

他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是

c2a2_,其中q,从c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边

a=A/2,b=A/3,c=2J则该三角形的面积S=.

12.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知VA5C中，点。在边3c上，ZAT归=120。,AD=2,8=25。.当

去AT取得最小值时，BD=______.

AB

13.（2022年新高考全国n卷数学真题）记VABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,分别以。，b,c

为边长的三个正三角形的面积依次为d，Sz，S3,已知S「邑+邑=/,sinB=g.

（1）求VA2C的面积；

（2）若sinAsinC=,求6.

3

14.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记VA5C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

⑴若A=23,求C；

(2)证明：2/=62+C2

6（2022年新高考全国I卷数学真题）记VA2C的内角iC的对边分另—已知言

⑴若C=可，求&

（2）求《4^的最小值・

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：倍长定比分线模型

【典例1・1】设。，b,。分别为一ABC的内角A,B,。的对边，A。为5c边上的中线，c=l,ZBAC=—f

2csinAcosB=asmA-bsmB+—bsinC.

2

⑴求A。的长度；

⑵若E为A5上靠近B的四等分点，G为ABC的重心，连接EG并延长与AC交于点F求Ab的长度.

A-C3

【典例1-2］在ABC中，内角A,B,C的对边分别为b,c,且满足cos?-----cosAcosC=-,

24

⑴求角3的大小；

⑵若"8,ssA=理，。为边,上一点，且但7,求箸的值.

巧

如图，若尸在边3C上，且满足=|AP|=m,则延长AP至。，使尸。=九4尸，连接CD,易

知MIIZJC,S.DC=Ac,|A£>|=(1+2)|AP|.ABAC+ZACD^180°.

sinA-sinC_sinA-sinB

【变式1-1］在①外匕一百ccosA=asinC，②,这两个条件中任选一个，补充

ba+c

在下面的问题中，并解答问题.

在.ABC中，内角ABC的对边分别为〃,b,c,且满足

⑴求C；

(2)若ABC的面积为6,0在边AC上，＞CD=1CA,AC+BC=4,求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.

命题预测

1.在.ABC中，角A,民C所对的边分别为。，4c,且3AB=2,M是3c的中点，AM=2右,则

AC=,cosZMAC=.

题型二：倍角定理与正弦平方差

【典例2-1】从①62+—=2/ccos8(1—2cosC)；②C2="+“匕；③sinCeos3-sinBcosC=cos(C-B),

sinBcosB

这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题.

在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,"c,且________.

(1)证明：C=2B；

(2)求士¥+4sinB的取值范围.

sinC

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【典例2-2】已知a,b,c分别为ASC三个内角A,B,C的对边，a2-c2=bc.

(1)证明：A=2C；

(2)若。=2,且一ASC为锐角三角形，求6+2c的取值范围.

B=2Ao〃=a(a+c)

C=2B^c2=bCb+a),这样的三角形称为“倍角三角形”.

A=2C0"=<?(<?+/?)

+@'A14cnabCj(2c

推论1：A=2B<=>--------=-------=---------ob=---------=---------------

sin2BsinBsin3B2cosB3-4sin2B

推论2：A=2B<=>—=1+2cosA<=>Z?+c=2^cosB

b

正弦平方差：sin2a-sin2£=sin(a+£)sin(o-£)

【变式2-1】在/IBC中，A8=4,AC=3.

(1)若cosC=—，，求一ABC的面积；

(2)若A=2以求5。的长.

【变式2-2】在锐角ABC中，角A,B,。所对的边为。，b,c,且a.cos5=Z?(l+cosA).

(1)证明：sinC=sin3B；

(2)求£的取值范围.

a

命题预测1

1.在锐角一ABC中，角AB,C所对的边为a,b,c,且a-cosB=b(l+cosA).

⑴证明：A=23

(2)若》=2,求。的取值范围.

题型三：角平分线模型与张角定理

【典例3-1】在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且cos5(ccos5+人cosC)+ga=0.

⑴求角5的大小:

⑵若〃+c=8,b=7,a<c,求sin(2A+C)的值；

(3)设。是边AC上一点，BD为角平分线且2AD=DC,求cosA的值.

【典例3-2】已知在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinC『丁尸强

a+ba-c

(1)求角&

⑵若点。在AC上，8。为，ABC的角平分线，BD=2也,求2a+c的最小值.

巧

姮)(参考一轮复习)

角平分线张角定理：如图，AD为NS4c平分线，cosZBAD=-1('—")+

2bC

斯库顿定理：如图，AD是△ABC的角平分线，则AO?=筋.4。一皿DC,可记忆：中方=上积一下

积.

【变式3-1](2024.河北沧州・模拟预测)在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知/=c(c+勾.

(1)求证：B+3c=兀；

(2)若/ABC的角平分线交AC于点。，且a=12,b=7,求3。的长.

【变式3-2】VA3c中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4asinA=Z>sinCcosA+csinAcos&

小—sinA

(1)求一^的值；

sinC

(2)若BD是/ABC的角平分线.

(i)证明：BD2=BA-BC-DA-DC

(ii)若a=l,求配)•AC的最大值.

-命题-预--测-ii

+/一。2)

1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且史上殳包上4

2absinC

⑴求c；

(2)若ZkABC的三条角平分线相交于点。，AB=7,0AB的面积为""，求OC.

4

题型四：隐圆问题

【典例4-1】(2024・四川眉山.三模)阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名

命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数2(2>0,2^1)的动点的轨迹.已知在VA3C中，角A、

B、C所对的边分别为a、b、c,且sinA=2sin3,acosB+bcosA-3,则VABC面积的最大值为()

A.3B.3拒C.6D.6y[3

4

【典例4-2】在平面四边形A5CD中，连接对角线BD,已知C£>=9,BD=\6,ZBDC=9Q°,sinA=-,

则对角线AC的最大值为()

A.27B.16C.10D.25

若三角形中出现人=4〃(X>1),且。为定值，则点。位于阿波罗尼斯圆上.

【变式4-1】已知ABC中，BC=2,G为的重心，且满足AGL5G,贝hABC的面积的最大值为

【变式4-2］已知等边ABC的边长为2,点G是ABC内的一点，且AG+3G+CG=0，点P在.ABC所

在的平面内且满足|尸3=1,则|P'的最大值为.

I命题预测

41

1.在平面四边形ABCD中，/BAD=90°,AB=2,AD=1.AB-AC+BA-BC=-CACB,则+

32

的最小值为一.

题型五：正切比值与和差问题

【典例5-1】在△ABC中，AB=6且9tanA+9tanB+5tanC=0,则4ABC面积的最大值为

【典例5-2】已知在锐角△A8C中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,若2Z?cosC=ccosB,则⑦”。二

tanB

111

--------F--------1------的--最小值为.

tanAtanBtanC

定理1：tanA=2tanB<^>c=(2+l)/?cosA«>(2+1)(/?2-a2)+(A-l)c2=0

定理2：+^_=

tanAtanBtanC2

定理3：(正切恒等式)AABC中，tanA+tan6+tanC=tan4tan5-tanC.

【变式5・1】(2024・浙江•模拟预测)在锐角三角形A3C中，角A氏C的对边分别为。，瓦c,若

b2+c2=40csinA+g,则tanA+tan3+tanC的最小值是.

ii31

【变式5-2】在,yWC中，角A,民C所对的边分别为a,b,c,若——+--=-——，且sin（C-8）=彳sinA,

tanBtanCbc-sinA''2

则C?一".

命题预测T

1.在锐角「ABC中，〃，瓦c分别为角所对的边，b=2,且ABC的面积S=2.

4.

⑴右sinA=《，求〃；

（2）求tan5的最大值.

题型六：四边形定值和最值与托勒密定理

【典例6-1】克罗狄斯•托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.托勒密定理是

欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，

2兀

当且仅当四点共圆时，等号成立.已知在凸四边形ABCO中，AB=2,BC=6,AD=2CD,ZADC=—,

则BO的最大值为（）

A.5B.372C.276D.2币

【典例6-2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：

圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积

之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余

弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形的四

个顶点在同一个圆的圆周上，AC、80是其两条对角线，BD=4y/3,且为正三角形，则四边形A8CQ

的面积为（）

D

A.16A/3B.16C.1273D.12

巧

正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是

拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理.

托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB-CD+ADZC上当且仅当四边形ABC。四点共圆时,

等号成立.

【变式6-1】如图.在平面四边形"。中，BC=CD=AD当AB.设/的3证明：器为定值.

2

【变式6・2］如图，平面四边形ABCD的对角线分别为AC,,其中A5=逝，，CD,NBC。=-ZABC.

(1)若3C=2,.ACD的面积为主仔，求△及»的面积;

2

(2)^ZADC=ABCD,AD=2AB,求cosZACD的值.

命题预测

1.克罗狄斯・托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表

的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅

当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论.如图，四边形ABC。内接于半径为2方的

圆，ZA=120°,ZB=45°,AB=AD,则四边形ABC。的周长为（）

A.4代+6夜B.10A/3C.4百+4夜D.4档+50

题型七：边角特殊，构建坐标系

【典例7・1】已知三角形A5C中，BC=3,角A的平分线交3C于点。，若器=；，则三角形ABC面积的

最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【典例7・2】在ABC中，NACB=30。，点。在边3c上，且5。=3,^AB=2AD,则长度的最大值为

（）

A.3B.4C.5D.6

巧

利用坐标法求出轨迹方程

【变式7-1】已知AABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点G是AABC的重心，＞AGBG=0.

c

(1)若/GAB=,求tanzGAC的值;

o

(2)求coszACB的取值范围.

命题预测D

1.在&ABC中，AB=2,AC=3近,44c=135。，〃是，ABC所在平面上的动点，则

w=MA.M8+MB.MC+MC.M4的最小值为

题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题

【典例8-1】(2024.高三.河北沧州•期中)记VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

Z?+c=2acosIB—I.

I3j

⑴求A;

(2)若VABC的面积为3百，sinBsinC=^-,求VABC的周长.

【典例8-2】在VABC中，角AB,C对应的边分别为4c.已知csinA+ocosC=b.

⑴求sinA；

(2)若点。为边的中点，且°=20,AD=45,求VA3C的面积.

图

与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化.要适当选用

公式，对于面积公式S=」a6sinC=」acsinB=L6csinA,一般是已知哪一个角就使用哪个公式.

222

【变式8-1]已知VABC的三个角A,B,C的对边分别是a,b,c,且tanC=3tan3.

⑴若。=26,求C；

(2)若°=#，6+c=3,求VABC的面积.

【变式8-2](2024・四川眉山•一模)在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知Beg

11乖ia

nq-----1-----------------.

⑴求B；

(2)若VABC的外接圆半径为R,周长为(若+㈣氏，且。＞b,求A.

命题预测1

<n「人心nd八rt…t.sinC2cosB+cosC

1.记VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知=~-=---------

sinA2-cosA

⑴求A;

（2）若6=2,asinA=6sinC,求VABC的周长.

题型九：三角形的形状判定

【典例9-1】已知VABC的三条边a,b,c和与之对应的三个角A,氏C满足等式

acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccos8+acosC则此三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

【典例9-2］（2024・高三・福建南平期中）在AABC中，内角例氏C的对边分别为a,4c,已知向量

7"=（a,cos5，〃=，,cosg）,p=（c,cos，）共线，贝IJAABC的形状为（）

A.等边三角形B.钝角三角形

JT

C.有一个内角是7的直角三角形D.等腰直角三角形

0

余弦定理判定：三角形三条边从小到大排列，即a<8<c,

若力+廿一°2>0,则△/Re是锐角三角形；

若力+.一C2=0,则AABC是直角三角形；

若力+/一°2<0,则"sc是钝角三角形；

【变式9-1］（2024•高三•上海闵行•期中）在VABC中，已知k+c?一历=/,且btanC=ctan3,则VABC的

形状为（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.有一个角为60。的直角三角形D.等边三角形

a2+b2sin（A+B）

【变式9-2］在VABC中，角A,B,C分别为。，b,c三边所对的角,,则VABC的

sin（A-B）

形状是（）

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

命题预测

1.已知a/,c分别是VABC三个内角A,B,C的对边，下列关于VABC的形状判断一定正确的为（）

A.sin2A+sin2B=sinC,则VABC为直角三角形

B.sin2A+sin2B=sinC,则VABC为等腰三角形

C.sin2A+sin2B+sin2C=2,则VABC为直角三角形

D.sir?A+sir?8+sin2c=2,则VABC为等腰三角形

2.已知VABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a",c,满足2a+）=2c8sB,且sinA+sin3=l,则VABC

的形状为（）

A.等边三角形B.顶角为120。的等腰三角形

C.顶角为150。的等腰三角形D.等腰直角三角形

题型十：三角形中的几何计算

【典例10-1X2024・高三・安徽•期中）如图，在平面四边形ABCZ）中，AC与。3的交点为E,08平分NADC,

AB=BC=CD=2,AD>2.

2

⑴证明：BD=2（AD+2）;

⑵若=37r求J~）匕F.

4BE

【典例10-2】在平面四边形ABCD中，AB=BC=瓜ZABC=120°,AC±CD^.AC=^3CD.

⑴求AD的长；

⑵若M为CD的中点，求cos/WB.

解决三角形中几何计算的方法：

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选

择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可

以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更

加直观化.

【变式10-1】（2024•江苏扬州.模拟预测）如图，四边形ABCD中，已知8c=1,AC2=AB2+AB+1.

(1)若VABC的面积为6，求VABC的周长；

⑵若钻=3,ZADB=60°,ZSCZ)=120°,求/BDC的值.

【变式10-2］如图所示，在VABC中，设a,6,c分别为内角A,民C的对边，已知6+c=3a,b=4(c-a).

⑴求角C；

⑵若c=7,过B作AC的垂线并延长到点。，使A,8,CD四点共圆，AC与80交于点E,求四边形ABCD

的面积.

命题预测

1.在VABC中，2后cos20+sin8=l+月.

2

(2)若£为BC的中点，歹是AC边上的点，且满足BZUAE,y/2\AB\sinZBAC-\BC\cosC=0,求7K的值.

题型十一：中线长定理与余弦和为0

【典例11-1】记VABC的内角AB,C的对边分别为a,6,c,已知VABC的面积为6,。为中