正弦定理与余弦定理（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津高考数学复习专练（解析版）

热点07正弦定理与余弦定理

明考情・知方向

三年考情分析2025考向预测

2022年，第16题，考察解三角形和三角函数

解三角形"是每年天津高考常考内容，出现在解答题

2023年，第16题，考察解三角形和三角函数

中。对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简

2024年，第16题，考察解三角形和三角函数

单应用；二是考查两个定理的综合应用，常与两角和

差公式，二倍角公式综合在一起考察。

热点题型解读

题型5三角形面积

题型6三角形周长

正弦定理与余弦定理

题型3正弦定理判断三角形解的个数

题型1利用正（余）弦定理解三角形

-W

1、在AABC中，若角A、8及C所对边的边长分别为。，b及c,其外接圆半径为R,则

abc八八

①-----=------=------=2R

sinAsinBsinC

®asmB=bsinA；bsinC=csinB；asinC-csinA；

③sinA:sin:sinC=a:b:c

abca+b+ca+ba+cb+c…

④------=-------=-------=-------------------------=----------------=----------------=----------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

⑤a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（可实现边到角的转化）

⑥sinA=&,sinB=—,sinC=—（可实现角到边的转化）

2R2R2R

2、余弦定理

2.1余弦定理的描述

①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两

倍.

②符号语言：在AABC中，内角所对的边分别是则：

a2=b2+c2-2Z?ccosA；

b2=a2+c2-2QCCOSB

c2=a2+b2-2"cosC

2.2余弦定理的推论

b1+c2-a2

cosA=

2bc

a-be2-b2

cosB=

lac

2

[2+/-c

cosC二

2ab

1.（2024,天津北辰三模）在VABC中，网=2后，。为VA3C外心，且AO-AC=1，则-4BC的最大

值为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【知识点】余弦定理解三角形、平面向量数量积的几何意义、基本不等式求和的最小值、求投影向量

【分析】

根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得AO在AC方向上的投影向量为;AC,从而求得

|AC|=V2,再根据余弦定理及基本不等式可求得最值.

【详解】

由。为△ABC外心，可得AO在AC方向上的投影向量为^AC，

则AO.AC=；AC2=I,故=

又,耳=20,设|BC|=a,

则cosZABC=（2国+“二》2=注£

2x2,2。4J2a

=-1—+a>2I3x—

2版a4近一V20a4722'

当且仅当a=卡时等号成立，

由0°<ZAfiC<180°可知,Q°<ZABC<30°,

故ZABC的最大值为30。.

故选：A.

2.（2024•天津红桥•二模）在VA3C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知。=6,cosB=1,

⑴求c的值；

（2）求6的值；

⑶求cos128+胃的值.

【答案】⑴2

⑵40

入7肉4加

18

【知识点】给值求值型问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可得解；

（2）利用余弦定理计算可得；

（3）根据平方关系求出sinB,即可求出sin23、cos25,最后由两角和的余弦公式计算可得.

【详解】（1）因为bsinA=3csinB,由正弦定理可得次?=3仍，所以a=3c,

又a=6,所以。=2；

（2）由余弦定理/二/+。2-2accos3,

即&2=62+22-2X6X2X-=32,

3

所以/?=4收（负值已舍去）；

（3）由COS3=G，BG（0,7i）,所以sin8=J1—cos?B=2y,

33

所以sin23=2sinBcosB=2x—x?忘=《虚,

339

cos2B=2cos2B-l=2x|—j-1=——,

⑶9

/兀）7171

所以cos2B+—=cos2Bcos——sin2Bsin—

I6J66

764A/21773+472

=x------------x—=-----------------.

929218

3.（2024•天津•一模）在VA6C中，角A,B,。的对边分别为。，b,c.已知b=sinA=0sinC,

口_5叵

COSD=------.

8

⑴求。的值；

（2）求cosC的值；

⑶求sin（2C+3）的值.

【答案】（1）20

（2）1

⑶呼

【知识点】给值求值型问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由余弦定理计算可得；

（2）利用余弦定理计算可得；

（3）首先求出sinC,从而由二倍角公式求出sin2C、cos2C,最后由两角和的正弦公式计算可得.

【详解】（1）因为sinA=A/2sinC，

由正弦定理可得。=缶，

又b=行，cosB=-----，

8

由余弦定理cosB="+c2=迫,即2.?+©2_（码_5垃,解得。=2或。=一2（舍去），

2ac82后8

所以a=>/2c=2A/2-

（2）由余弦定理（03（7_.+._。2_仅后）+（拒）_2?_3.

2ab-2x2及x0-4

（3）由（2）nT^sinC=Vl-cos2C=—,

4

所以sin2C=2sinCcosC=2xx—=§0,

448

cos2C=2cos2C-l=2x|-|-1=-,

⑷8

又sin3=Vl-cos2B=,

8

所以sin（2C+B）=sin2CcosB+cos2CsinB

3a5后i9A/T?

=---------X-------------F—X---------=-----------.

88884

4.（2024•天津河东•一模）在三角形A3C中，角A,民。所对的边分别为〃也J已知〃=8,3Q=7C,

7-13

b>Q,COSC=——.

14

⑴求角A的大小；

⑵求sin（A+2C）的值；

⑶求边。的值.

【答案】⑴ZA=60。；

98

⑶c=3.

【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、余弦定理

解三角形

【分析】⑴先求出sinC=述，故sinA=3,根据大边对大角，得到A为锐角，求出ZA=60。；

142

(2)由二倍角公式得到sin2C,cos2C,进而利用和角公式求出答案；

(3)由余弦定理求出c=3.

【详解】(1)因为cosC=E，sin2C+cos2C=bCG(0,TI),解得sinC二至，

1414

由已知3sinA=7sinC,sinA=—，

2

又b>a,故

故解得ZA=60。；

oo71

(2)sin2C=2sinCcosC=-------,cos2c=cosC-sinC=一,

9898

sin(A+2C)=sinAcos2C+cosAsin2C=~~~~；

2

17Q2,^2_T_c

(3)由cosA=—,〃=—c得°

23cosA=-----------

2x8c2

整理为5c2+9。-72=0,解得。=3或。=—彳(舍).

5.(2023•天津北辰•三模)在VA3C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.满足(2a-c)cos3=6cosC.

(1)求角B的大小；

⑵设a=4,b=25/7.

(i)求c的值；

(ii)求sin(2C+B)的值.

【答案】明

(2)(I)c=6；(ii)—空

14

【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理

解三角形

【分析】(1)利用正弦定理和诱导公式求解即可.

(2)(i)利用余弦定理求解即可；(ii)利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合即可求解.

【详解】(1)由(2a-c)cos5=/?cosC,

根据正弦定理得，(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

可得2sinAcos3=sin(B+C)=sinA,

因为OVAVTT,故sinAwO,则cosB=—,

2

TT

又0<B<n,所以5=耳.

(2)由(1)知，B=且a=4,b=2册,

a2+c2-b2

(i)贝ijcos3=

lac

即L16+c--28,解得c=_2(舍)，c=6.

22x4xc

故c=6.

(ii)由(2々-c)cos5=/?cosC,

得(2x4-6)XJ=2>/7COSC,

解得cosC=—^―,贝！IsinC=3匹

1414

cos2C=2cos2C—1=-----,

14

贝Ijsin(2C+=sin2CcosB+cos2CsinB

题型2判断三角形形状

判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点

①sinA=sin8=A=8nAABC为等腰三角形

■JTTT

②sinA=cosBnA+B=-^A-B=5n△ABC直角三角形或钝角三角形

■JT

③sin2A=sin2864=B或A+B=7n△ABC为等腰三角形或钝角三角形

④cos2A=cos2B今4=20AABC为等腰三角形

⑤4+b?=c^ncosC=00AABC为直角三角形

⑥02+方2-2<o=>cosC<0

或/<0=>cos8<0=>ZkABC为钝角三角形

22

或从+c-a<0=>cosA<0

@a2+b2-c2>0=>cosC>0

且6+c2-b2>0=cosB>0今AABC为锐角三角形

J!L&2+c2-a2>0=>cosA>0

1.（2024•河北秦皇岛•三模）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且B=2C,bfa，

则（）

A.VA5C为直角三角形B.VA3C为锐角三角形

C.VABC为钝角三角形D.VABC的形状无法确定

【答案】A

【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正、余弦定理判定三角形形状

【分析】由正弦定理得sinB=0sinA，利用正余弦的二倍角公式、两角和与差的正弦展开式化简可得

4^cos2C-2cosC-V2=0，解方程可得答案.

【详解】由b=42a，可得sin5=后sinA，

则sin2C=6sin（7i-3C）=&sin3C,

sin2C=V2sin2CcosC+A/2COS2C-sinC，

2cosC=2A/2COS2C+V2^2COS2C-1）,

即4A/2COS2C-2COSC-V2=0，

由3=2C>C,故C只能为锐角，可得cosC=Y2,

2

因为0<C<5,所以c=；,B=j

242

故选：A.

2.（2024•陕西渭南•三模）已知VABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若人cosC+ccos3=b,

S.a=ccosB,贝IjVABC是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状

【分析】由正弦定理和sinA=sin（B+C）得到。=6,cosC=0,求出C=],得到答案.

【详解】bcosC+ccosB=b=>sinBcosC+sinCcos3=sin3=sin（3+C）=sin3,

BPsinA=sinB,故a=6,

a—ccosB=>sinA=sinCcosB=>sin（B+C）=sinCcosB

=>sinBcosC+cosBsinC=sinCeosB=>sinBcosC-0,

因为86（0,/,所以sinBwO,故cosC=0,

因为Ce（O,?t）,所以C=],

故VABC为等腰直角三角形.

故选：D

3.（2024•内蒙古赤峰•一模）已知VABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2"+b=2c8s8,

J!LsinA+sinB=l,贝UVABC的形状为（）

A.等边三角形B.顶角为120。的等腰三角形

C.顶角为150。的等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状

12兀

【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简2«+〃=2c8s8,可得cosC=-/,即。=号，再由两角差的

jr

正弦公式化简sinA+sin3=l,可得A=5=：,即可得出答案.

6

[详解】由正弦定理可得2sinA+sinB=2sinCeosB,

因为A+3+C=TI,所以3+C=7i—A,

所以2sin（3+C）+sinB=2sinCeosB,即2sin3cosC+2cosBsinC+sinjB=2sinCcosB,

即2sinBcosC+sinB=0,因为3«0㈤,所以sin区wO,

1Ojr-rr

所以cosC=—因为。£（0,兀），所以C=3~,所以B+A=§,

因为sinA+sin_B=l,所以sinA+sinA）=l,

所以sinA+^^cosA-^sinA=1,BPcosA+—sinA=1,

2222

即$m（人+1）=1,因为AGK,5）所以A+]=5,所以A=S，

因为8+A=g.所以A=3=m，

36

所以VABC的形状为顶角为120。的等腰三角形.

故选：B.

4.（2023•甘肃酒泉•三模）在VABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若（=史生2型，则VA3C的形

bsinBeosA

状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状

【分析】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得（片-廿乂/+〃-。2）=。，即可判断VABC的

形状.

序42_2〃242_72

【详解】由正弦定理，余弦定理及a2cosAsinB=Z?2cosBsinA得，a2----------------b=b2-----------------a,

2bclac

112222244222

a[b+c-a^=b（^a+c一/）,即a-b+c（Z?-«）=O,

贝|+62）（/_J2）+C2仅2一々2）=o,即（〃2_/）（々2+/一02）二0,

:.a=b^a2+b2=c2,:.ABC为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

5.（2023•内蒙古呼和浩特•一模）在VABC中，。是5C边的中点，且AB=3,AC=2,40=百，则VABC

的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.无法确定

【答案】C

【知识点】正、余弦定理判定三角形形状

【分析】分别在和，ACD中，利用余弦定理得到两个等式，然后两式相加，得到BC,然后在VA3C

中，由余弦定理判断.

【详解】解：在△ABD中，由余弦定理得AB?=A/P+BD?一2AD.3Z>COSNADB,

在，ACD中，由余弦定理得AC-=AD2+DC2-2AD-DCcosZADC,

两式相加得3£>2+£>。2=7,则DC=恒，BC=A/14，

2

在VABC中，由余弦定理得cosA=4"+8c_=_J_<0,

2ABXAC12

所以VABC是钝角三角形，

故选：c

题型3正弦定理判断三角形解的个数

I

1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；

i

2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

例如：已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况：（多解情况）

I

①若A为锐角时：

i

a<bsinA无解

a=bsinA一解（直角）

bsmA<a<b二解（一锐,一钝）

a>b一解（锐角）

已知边a,b和/A

a<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<b

无解仅有一个解有两个解

a<b无解

②若A为直角或钝角时:

a>b一解（锐角）

7T

L（2024・湖北黄冈•一模）已知VABC的内角A,氏C所对的边分别为a,b,c,A=^,b=3,下面可使得VABC

有两组解的。的值为（）

A.—B.3C.4D.e

2

【答案】D

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

【分析】根据加inA<a<b,即可得到答案.

【详解】要使得VA5c有两组解，则6sinA<a<6,又A=g,b=3,得到乳1<。<3,

32

故选：D.

2.（2024•宁夏银川•三模）VABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,且a=4,sinC=1,若VABC有

4

两解，则c的取值可能为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

【分析】由题意可得asinC<c<a,计算即可得.

【详解】由题意可得asinC<c<〃，即l<c<4.

故选：A.

3.（23-24高一下•天津河西•期中）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（）

A.a=20,b=ll,5=30。B.a=6,c=4,C=60°

C.》=18,c=20,5=120。D.〃=30/=25,A=150。

【答案】D

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

【分析】由正弦定理结合大边对大角，小边对小角对选项一一判断即可得出答案.

旦」10

【详解】对于A,由正弦定理可得：SinA，，所以sinA=U，

211

因为。>〃，所以A>8,所以三角形有2解，故A错误；

6_4r

对于B,由正弦定理可得：而久=:万，所以sinA=±@>l,此三角形无解，故B错误；

T4

18_20

对于C,由正弦定理可得：赤=忑,所以sinB=%r^,

T20

因为》<c,所以3<C,则C为钝角，不成立，所以无解，故C错误；

3025「

对于D,由正弦定理可得：1sinB，所以

512

因为">8，所以A>3,所以此三角形只有唯一解，故D正确.

故选：D.

4.（23-24高一下•浙江宁波•期中）在VABC中，a=x,b=2,8=60。，若三角形有两解，则x的取值范

围是（）

A.2<x<2y/3B.2<x<->/3C.#,<x<2D.2<%<-73

33

【答案】B

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

【分析】过C作CDLAB于。，根据3C,CZ）,AC的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围.

【详解】由题设，过C作CDLAB于。，如下图示，

fC£）=xsin600<24r―

则°,可得2<x<g者时，三角形有两解.

当xsin60o>2,即时，三角形不存在；

当x=2或时，△ABC分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；

当x<2时，在射线3。方向上有一个△ABC,而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形;

A

5.(23-24高一下•天津•阶段练习)在VABC中，已知6=2,4=30。，且该三角形有唯一解，则。取值范围一

【答案】{1灯[2,+8)

【知识点】正弦定理判定三角形解的个数

【分析】利用正弦定理得出。与sinB的关系式，再根据三角形有唯一解，可得8只有一个值，根据正弦函

数的图象与性质得到8的范围，且当8为直角时，也满足题意，进而可得出。的取值范围.

【详解】.在VABC中，b=2,A=30。，

2x-

由正弦定理得sm8=变史4=-2=1>A=30°,.-.0<5<1500,

aaa

要使三角形有唯一解，得至!)0<3430。，即OvsinB?；,

0<—<—,解得〃之2,

a2

又3=90。时，三角形也只有一解，

此时。=1,.,.的取值范围为"}|』2,+8).

故答案为：{l}[L2,+8).

题型4三角形边长比值(代数和)

方法：化角

(1)利用正弦定理a=2RsinA；/2=2火5批8;。=2火5达。将边化为角；

(2)根据题意求出角的范围；

(3)结合辅助角公式化简求解

二7号五面二示兵系浪用薪函录5巨斯海5访三不芮福工方工嗣近蔚ij泊石口:瓦直二浸■二m

(1)求A；

(2)若VABC的面积是班,c=2b,求。；

/、

⑶若。为边AC上一点，且满足=2+i~产——，0=2正，试求3D+CD的最大值.

\AB\COSA\BD\COSZCDB

7T

【答案】（1）A=§;

（2）a=V6;

⑶最大值为4.

【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本

不等式求和的最小值

【分析】（1）用余弦定理即可求解；

（2）利用三角形面积公式即可求解；

（3）取的中点为E,先证明郎_LAC,得到一ABD为等边三角形，再结合余弦定理和基本不等式求解

即可.

【详解】（1）由余弦定理可得/=62+c2-2bccosA,

又b2=a1—c2+betBPa2—b2+c2—be＞cosA=—,

7T

Ae(0,71),A=—；

3

(2)S=—bcsinA=^-bc=y(3,...be=4,

24

又.c=2b,/.b=A/2，c=2A/2，

a2=b1+c2-bc=6y：.a=\[6;

(3)取的中点为E,则区4+&)=2B£，

ABACBDAC

(BA+BD)-AC=2BE-AC=2(-+)=^(|AC|-|AC|)=0,

|ABIcosA\BD\cosZCDB

/.BE±AC,BA=BD,XA=—,ABD为等边二角形,^BDC=—,

J。

在,BDC中，由余弦定理可得BC2=BD2+CD2-2BDCDcosNBDC，

即a2=(BD+CD)2-BDCD=12,

又由基本不等式可得瓦＞。“丁）2="丁

•.3（B£）+C£＞）＜12,当且仅当BD=CD时等号成立,

4

:.BD+CD＜4,，勖+⑦的最大值为4.

2.（2024•广东•模拟预测）在VABC中，角A,5,C的对边分别是。也。，且他+。854=〃（85吕-以）5。）.

（1）证明：A=2B.

⑵若VABC是锐角三角形，求士b的取值范围.

a

【答案】（1）证明见解析；

⑵（¥¥）•

【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、证明三角形中的恒等式或不等式、求三角形中

的边长或周长的最值或范围

【分析】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到sin（A+C）=sin（A-3）,结合三角形内角性质即可证

结论；

TTTTI

(2)由题设得应用正弦边角关系、倍角正弦公式有h2=「三，即可求范围.

64a2cos4

【详解】(1)由题设(sin5+sinC)cosA=sinA(cosB-cosC),

所以sinBcosA+sinCcosA=sinAcosB—sinAcosC,

则sinCcosA+sinAcosC=sinAcosB—sin5cosA,即sin(A+C)=sin(A-B),

又A+C=7i—5,贝依皿(兀-3)=51口5=5111(4—5),且A,3£(0,7i),

所以3=A—5=A=25,得证.

„.兀兀

0<A<—Q<2B<-

22

7171

（2）由题设■0<B<-即，0<B<-,得…，

22

71

'<A+8<7i-<3B<71

：2[2

1黑二黑二2濡而cosBe（号务故/J,今

cosB-sinC

3.（2024•江西•模拟预测）在VABC中，角A,B,。所对的边分别记为〃，b,c,且tanA=

cosC+sinB

（1）若8=?,求C的大小.

（2）若〃=2,求b+c的取值范围.

【答案】（l）C=q

⑵（2次）

【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围

_sin

【分析】（1）由tanA=----------------,得sinAcosC+sinAsin5=cosAcos5—cosAsinC,再利用两角和差

cosC+sinB

的正余弦公式化简，进而可求得A8的关系，即可得解；

（2）利用正弦定理求出反c,再根据48的关系结合三角函数的性质即可得解.

、“cosB-sinC=一、，sinAcosB-sinC

【详解】⑴因为3必=授五"’所以高万'

即sinAcosC+sinAsinB=cosAcosB—cosAsinC,

即sinAcosC+cosAsinC=cosAcosB—sinAsin5,

所以sin(A+C)=cos(A+5),即sinB=cos(A+B),

而A,8e(0,兀)，所以B+A+8=|•或B-(A+B)=B，

所以A+2B=g或A=-g(舍去)，

22

又因为3=9所以A=3，

66

兀

所以c=2T；

TT

(2)由⑴得A+2B=,

因为,=——b=——c,

sinAsinBsinC

.asinB2sinB2sinB2sinB

b---------~---------=---------------------------

所以sinAsinA.(兀cdcos2B,

sin——2B

12

.2sin—+B

asinC2sinC_(2J_2cosB

sinAsinA.\7icos25

sin——2B

(2)

2(sinB+cos2(sinB+cos8)2叵

则cos2Bcos2B-sin2BcosB-sinB(兀、，

cosBn+—

I4j

0<B<7l

兀TT

又由彳0<]-28<兀，<0<B<-,

0<—+B<7t

I2

所以:+：后，所以0<cos[B+V<*，

所以b+C£（2,KO）.

4.（2024•四川泸州•一模）设VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且溶1=您经处

ab+c

⑴求A；

⑵若2加+°2的最大值为6+26，求。的值.

【答案】（1）A=1;

（2）a=5/3.

【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应

用、求三角形中的边长或周长的最值或范围

【分析】（1）禾U用正弦边角关系及差角正弦公式得sinGB-A）=sin（A-C）,结合三角形内角性质求角A的

大小；

（2）根据正弦边角关系及倍角余弦公式可得2〃+°2J/©-2cos23-cos2C）,结合及三角恒等变

3

换有力2+°?=2/[1+等sin（2jB一三）],最后根据正弦型函数性质及已知求边长.

【详解】（1）由题设及正弦边角关系，有任4=叫+”,

sinAsmB+sinC

所以sinBcosA+sinCcosA=sinAcosB+sinAcosC,

整理得sin3cosA—sinAcos3=sinAcosC-sinCcosA,即sin（B-A）=sin（A-C）,

显然3—A+A—C=5—C=TI不合题设，贝ijB—A=A—C,

所以A=^A+B+C=7t,可得A=].

,abc一2asinB2asinC

⑵由嬴葭砧可得匹k'

所以2〃+c2-4/(2sin2B+sin2C)_2a2(3-2cos2B-cos2C)

+C-3-3

由(1)知：B+C-,则2产后-冽

2/(3+乎sin28-1cos2B)=2a2口+3sin(2B_马],

-333

由0<8<曰，则-]<23-三<兀，又2廿+，的最大值为6+26，

所以2/(l+g)=6+2g,可得a=6(负值舍)，

综上，a=\/3.

5.（23-24高一下•北京・期末）已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,6,c,S,b2+c2=a2-2bcsinA.

（1）求A的大小；

（2）若。是边AB的中点，且CD=2,求c+2回的取值范围.

【答案】（1）4=不

4

⑵（4,4⑹

【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围

【分析】（1）根据余弦定理可以求解；

（2）令NACD=。，利用正弦定理，把边长瓦c都用。表示，最后用三角函数知识解得取值范围.

【详解】（1）因为/+/=/_2/?csinA

一2AsinA

所以cosAJ+c-一=-sinA,

2bc2bc

所以tanA=—l,又因为Ae(O,7t),所以A=7；

(2)

令NACD=。,因为A=与，所以

CD2nb=2夜sin]；一6

由正弦定理可得:sinA.3兀

sin—

4

ADCDAD2

——=-.....=>——=-------=>AO=2应sin。

sin0sinAsin0sjn3K

T

所以c=2AD=40sin。，

所以c+2伤=4&sin6»+2&x20sin(：—e)=40cose

又因为所以cosOe

所以c+2后e(4,40)

题型5三角形面积

00

①s='乂底乂高；

2

!@S=—absmC=—acsmB=—bcsmA；

222

③S=g(a+Z?+c)r(其中，a/,c是三角形ABC的各边长，厂是三角形ABC的内切圆半径)；

:④S=Unhr(其中，a,b,c是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径).

4R

2、三角形面积最值：

核心技巧：利用基本不等式。6<(苫^)24日产，再代入面积公式.!

3,三角形面积取值范围：

「核心技巧：利用正弦定理a=2HsinA,Z?=2RsinB,代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取

值范围，求面积的取值范围.

W…7兀耳关浑凝拟预测)巨而至C逾7的扬'区芳苫:？4名0,过0的前置说写扬■薪;AC分别相交

于点M、N,AM=2AB,AN=juAC,BD=DC-

(1)若AN=2NC，则A»2N=;

(2)AAW与VABC的面积之比的最小值为.

34

【答案】-/-0.75—

49

【知识点】三角形面积公式及其应用、向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律、基本不等式求和的

最小值

【分析】根据A/>BN=：(A2+AC>qAC-A2),利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得

AO=~AM+^-AN,根据三点共线可得<+'=3,利用三角形的面积公式可得自图如=2”,再结合基

343〃4〃SABC

本不等式即可求解.

112

【详解】(1)ADBN=-(AB+AC)(AN-AB)=-(AB+AC)(-AC-AB)

232

=-(--AJB-AC+-AC-AB)=-X(-1X^X^X-+-X3-3)=--；

23323234

2111__1—.1一

(2)因为AO=—x—(A8+AC)=-AB+—AC,所以AO=AM+「A2V,

323337zT34

因为M,O,N三点共线，故+丁=1，即7+—=3,

343〃ZjU

S-\AM\-\AN\-sinA,,

又因为=----------------="，而4440,1],-+-=3,

3ABCi|AB|-|AC|-sinA〃

iinr4?

则V+_L=322」?L,即加当且仅当％=〃=；时取等号，

AJLl\AjLL93

4

所以AW与VABC的面积之比的最小值为

34

故答案为：一二；—.

49

2.（2024•天津•二模）在VABC中，AM=2MB，尸是的中点，延长AP交8C于点。.设ABF,AC=b，

3

则AP可用〃，b表示为，若AT>=遥，COSNA4C=不则VA3C面积的最大值为.

【答案】AP二1〃+13,2一5

32o

【知识点】三角形面积公式及其应用、用基底表示向量、数量积的运算律、基本不等式求积的最大值

【分析】根据几何关系，表示向量AP；设AP=/IAD,再利用平面向量基本定理表示BP，即可求解力，再

根据相>=6,以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解.

【详解】由点尸是的中点，

则AP=_L（AM+AC）=L