中考数学必刷题考点分类专练：规律探究问题（解析版）

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题30规律探究问题

一.选择题（共10小题）

1.（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据1,-2,1旦，….则按此规律排列的

252172637

第10个数是（）

A.B.-21c..19

10110182

【分析】把第3个数转化为：且，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是/+1,且奇数项是正，偶

10

数项是负，据此即可求解.

【解析】原数据可转化为：1,,3-5-,----79_11

2510TT26,37

;.1=（-1）1+12X1-1,

222+1

-1=（-1）2+3X2-1,

522+1

昱=（-1）3+12X3-1,

1032+1

第〃个数为：（-1）"+i型

n2+l

.•.第10个数为：（-1）10+12*10-1=-卫.

102+1101

故选：A.

2.（2022•牡丹江）观察下列数据：1,-2,A,-A,_L,…，则第12个数是（）

25101726

A.卫B,-卫C.卫D.-卫

143143145145

【分析】根据给出的数据可以推算出第〃个数是一^义（-1）"I所以第12个数字把〃=12代入求值

2

n+l

即可.

【解析】根据给出的数据特点可知第〃个数是T—x（-1）"I

2

n+l

.•.第12个数就是12X（-1）12+1=-卫.

122+1145

故选：D.

3.（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x,3/,5x3,7x4,9x5,......,第〃个单项式是（）

A.(2M-1)xnB.(2n+l)BC.(〃-1)x"D.(w+1)xn

【分析】根据题目中的单项式，可以发现系数是一些连续的奇数，x的指数是一些连续的整数，从而可

以写出第〃个单项式.

【解析】..,单项式：x,3x2,5x3,7%4,9%5,•••,

.•.第〃个单项式为（2„-1）%",

故选：A.

4.（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）

2

46

81012

14161820

2224262830

••••••

A.98B.100C.102D.104

【分析】由三角形的数阵知，第〃行有〃个偶数，则得出前9行有45个偶数，且第45个偶数为90,得

出第10行第5个数即可.

【解析】由三角形的数阵知，第"行有〃个偶数，

则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45个偶数,

...第9行最后一个数为90,

.•.第10行第5个数是90+2X5=100,

故选：B.

5.（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需

要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小

木棒，则n的值为（）

第1个图形第2个图形第3个图形

A.252B.253C.336D.337

【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6X2+2=14根小木棒，第3个图

形需要6X3+2X2=22根小木棒，按此规律，得出第〃个图形需要的小木棒根数即可.

【解析】由题意知，第1个图形需要6根小木棒，

第2个图形需要6X2+2=14根小木棒，

第3个图形需要6X3+2X2=22根小木棒，

按此规律，第〃个图形需要6〃+2(«-1)=(8«-2)个小木棒，

当8〃-2=2022时，

解得〃=253,

故选：B.

6.(2022•玉林)如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形N2CD所的顶点/

处.两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个

顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是()

【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到/点，黑跳棋跳到斤点，可得

结论.

【解析】•••红跳棋从N点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点,

:.红跳棋每过6秒返回到N点，

2022+6=337,

经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点,

•・•黑跳棋从/点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点,

黑跳棋每过18秒返回到Z点,

2022-M8=112-6,

经过2022秒钟后,黑跳棋跳到E点，

连接/E,过点尸作*WL4E,

由题意可得：AF=AE=2,NN尸£=120°,

；.NF4E=30°,

在RtZUEM中，AM=J3-AF=y/3,

2

：.AE=2AM=2y/3,

经过2022秒钟后,两枚跳棋之间的距离是2爪.

故选：B.

7.（2022•江西）将字母"C","H"按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个

数是（）

HHHHHH

——

——

I——

II

CH

-C-C-HH-c-c

——

—III一H

-C——

HH

HHHH

①②③

A.9B.10C.11D.12

【分析】列举每个图形中"的个数，找到规律即可得出答案.

【解析】第1个图中//的个数为4,

第2个图中〃的个数为4+2,

第3个图中"的个数为4+2X2,

第4个图中〃的个数为4+2X3=10,

故选：B.

8.（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9

个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个

图案中正方形的个数为（）

◊◊◊◊◊◊◊◊◊

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊O

◊◊◊◊◊◊◊◊

◊O

①②③④

A.32B.34C.37D.41

【分析】根据图形的变化规律得出第n个图形中有4"+1个正方形即可.

【解析】由题知，第①个图案中有5个正方形，

第②个图案中有9个正方形，

第③个图案中有13个正方形，

第④个图案中有17个正方形，

第n个图案中有4〃+1个正方形，

，第⑨个图案中正方形的个数为4X9+1=37,

故选：C.

9.（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3

个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）

【分析】根据前面三个图案中菱形的个数，得出规律，第九个图案中菱形有个，从而得出答

案.

【解析】由图形知，第①个图案中有1个菱形,

第②个图案中有3个菱形，即1+2=3,

第③个图案中有5个菱形即1+2+2=5,

则第〃个图案中菱形有1+21）=（2«-1）个，

，第⑥个图案中有2X6-1=11个菱形，

故选：C.

10.（2022•荆州）如图，已知矩形N2CD的边长分别为0,6,进行如下操作第一次，顺次连接矩形/BCD

各边的中点，得到四边形N/iQDi；第二次，顺次连接四边形N/1C15各边的中点，得到四边形

42%。2。2；…如此反复操作下去，则第〃次操作后，得到四边形的面积是（）

【分析】连接/Qi，DM可知四边形N/iCpDi的面积为矩形/8CZ）面积的一半，则再根

2

据三角形中位线定理可得02。2=暴[0,/2。2=好。1，则52=会4*乎。1=9,依此可得规

律.

【解析】如图，连接4。，DB，

V顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形AXBXCXDX,

四边形48CQ是矩形，

：.AXC^BC,AXCX//BC,

同理，Bi5=AB,B[D\〃AB,

2

:顺次连接四边形小8©5各边的中点，得到四边形上&。2。2,

.-.C2£>2=1ACi,A2D2=l-BlDi,

212

.".S2=—AC\X—B\D\—^ab,

2124

依此可得S〃=也，

2n

故选：A.

二.填空题(共14小题)

11.(2022•恩施州)观察下列一组数：2,1,2,…，它们按一定规律排列，第〃个数记为劭，且满足

27

—^-十---=---•贝IQ4二——_，〃2022=一_•

anan+2an+l53032

【分析】由题意可得劭=,2-,即可求解.

3(n-1)+1

【解析】由题意可得：«1=2=—,a2=—=—>的=2，

1247

..1i1_2

•-I-------------------，

a2a4a3

，2+工=7,

a4

•••_ClA1_——2—f

510

..11_2

,------+----------,

a3a5a4

•=2

13

同理可求a6=-=-^-,,

816

・“=2

•，un---7---r-----'

3(n-1)+1

故答案为：1,1

53032,

12.（2022•宿迁）按规律排列的单项式：X,-X3,%5,X9,则第20个单项式是-》39

【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可.

【解析】根据前几项可以得出规律，奇数项为正，偶数项为负，第〃项的数为（-1）-1,

则第20个单项式是（-1）21义/9=-X39,

故答案为：-尤39.

13.（2022•怀化）正偶数2,4,6,8,10,按如下规律排列,

则第27行的第21个数是744.

2

46

81012

14161820

【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三

行有3个数•第"行有”个数，则前〃行共有n（n+l）个数,再根据偶数的特征确定第几行第几个数是

2

几.

【解析】由图可知，

第一行有1个数，

第二行有2个数，

第三行有3个数，

*

第n行有n个数.

前〃行共有n（n+l）个数.

2

前27行共有378个数，

...第27行第21个数是一共378个数中的第372个数.

•••这些数都是正偶数，

...第372个数为372X2=744.

故答案为：744.

14.（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列:

若有序数对（〃，m）表示第〃行，从左到右第〃?个数，如（3,2）表示6,则表示99的有序数对是

(10,18)

第1行1

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

【分析】根据第"行的最后一个数是川，第〃行有（2〃-1）个数即可得出答案.

【解析】:•第〃行的最后一个数是/A第”行有（2"-1）个数，

.•.99=102一1在第10行倒数第二个，

第10行有：2X10-1=19个数，

二99的有序数对是（10,18）.

故答案为：（10,18）.

15.（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第"个图中共有木料n(n+l)

~1~

根.

第1个第2个第3个第4个

【分析】观察图形可得：第〃个图形最底层有〃根木料，据此可得答案.

【解析】由图可知:

第一个图形有木料1根，

第二个图形有木料1+2=3（根），

第三个图形有木料1+2+3=6（根），

第四个图形有木料1+2+3+4=10（根）,

第n个图有木料1+2+3+4+……+.=n（n+l）（根），

2

故答案为：n（n+l）

2

16.（2022•大庆）观察下列''蜂窝图"，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是49

第4个

【分析】从数字找规律，进行计算即可解答.

【解析】由题意得：

第一个图案中的””的个数是：4=4+3X0,

第二个图案中的“”的个数是：7=4+3Xl,

第三个图案中的“”的个数是：10=4+3X2,

.•.第16个图案中的””的个数是：4+3X15=49,

故答案为：49.

17.（2022•绥化）如图，ZAOB=60°，点外在射线O/上，且。B=l,过点外作尸1KJ6U交射线08

于&,在射线CM上截取尸声2，使尸122=尸成1；过点尸2作尸2K2,04交射线。2于小,在射线CM上

截取尸2尸3，使尸2尸3=尸2K2…按照此规律，线段P-殳g的长为（1+7^）2022.

【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出前几项，然后即可得到P“K〃的式子，从而可以写出线段

^,2023-^2023的长.

【解析】由题意可得，

P\Ki=OP\,tan60°=1XA/3=V3>

P2K2=。尸2・tan60°=（1+正）义如=弧（1+加），

尸3K3=。尸3・tan60°=（1+6+«+3）乂炳=如（1+73）2，

P咨4=OP4・tan60°=[（1+y+禽+3）+73（1+73）%乂如=如（1+73）3）

P,Kn=M（1+V3）"1

•••当”=2023时，P2023K2023=毒（1+我）2022-

故答案为：V3（1+V3）2°22.

18.（2022•聊城）如图，线段/8=2,以48为直径画半圆，圆心为/卜以441为直径画半圆①；取//

的中点幺2,以小，2为直径画半圆②；取々5的中点为，以/243为直径画半圆③…按照这样的规律画下

去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为255L.

一256—

【分析】由/2=2,可得半圆①弧长为工TT,半圆②弧长为（上）2m半圆③弧长为（工）3n，……半

222

圆⑧弧长为（工）8n,即可得8个小半圆的弧长之和为工/（1）2TT+（1）3n+...+（1）8n=255

22222256

IT.

【解析】；4B=2,

：.AAi=l,半圆①弧长为兀*

22

nx-^-

同理小/2=1，半圆②弧长为-----?_=（1）2n，

222

冗x--

3

A2A3=-L,半圆③弧长为.....-=（―）it,

422

兀X弓）7

半圆⑧弧长为-----8TT,

；・8个小半圆的弧长之和为」（A）21r+（工）37T+…+（工）8-=255n.

2222256

故答案为：生

256

19.（2022•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm,按这种连

接方式，50节链条总长度为91cm.

50节

【分析】先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算

即可解答.

【解析】由题意得:

1节链条的长度=2.8cm,

2节链条的总长度=[2.8+(2.8-1)]cm,

3节链条的总长度=[2.8+(2.8-1)X2]cm,

二50节链条总长度=[2.8+(2.8-1)X49]=91Cem),

故答案为：91.

20.(2022•常德)剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片;

从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；

从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸

片；…；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片,

则还有一张多边形纸片的边数为6.

【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加4,如第

一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为2+2X2+lX2=8=4+4Xl

(边)，分成两个图形；第二次，边数为：8-2+2X2+2X1=12=4+4X2,分成三个图形；……；当剪

第”刀时，边数为4+4〃，分成(«+1)个图形；令〃=9即可得出结论.

【解析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加4,

第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为2+2X2+lX2=8=4+4Xl

(边)，分成两个图形；

第二次，边数为：8-2+2X2+2X1=12=4+4X2,分成三个图形；……；

当剪第"刀时，边数为4+4小分成(«+1)个图形；

•••最后得到10张纸片，设还有一张多边形纸片的边数为加，

令〃=9,有4+4X9=5+3X3+5X4+TM,

解得m=6.

故答案为：6.

21.（2022•德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”

也称为“形数”，就是形与数的结合物.用点排成的图形如下：

其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1,第二个三角形数是1+2=3,第三个三

角形数是1+2+3=6,……

图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1,第二个正方形数是1+3=4,第三个正方形数

是1+3+5=9,.......

由此类推，图④中第五个正六边形数是45.

【分析】根据前三个图形的变化寻找规律，即可解决问题.

【解析】图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1,第二个三角形数是1+2=3,第三个

三角形数是1+2+3=6,……

图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1,第二个正方形数是1+3=4,第三个正方形数

是1+3+5=9,.......

图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是1,第二个五边形数是1+4=5,第三个五边形数

是1+4+7=12,.......

由此类推，图④中第五个正六边形数是1+5+9+13+17=45.

故答案为：45.

22.（2022•遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别

向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分

别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正

方形的个数为

127.第一代勾股树笫二代勾股树第三代勾股树

【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数.

【解析】•••第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），

第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），

第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），

第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+2』127（个），

故答案为：127.

23.（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数

【分析】由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5X3+2=17个正三角形，第三个图

形中17X3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53X3+2=161个正三角形，第五个图形中161义

3+2=485个正三角形.

【解析】第一个图形正三角形的个数为5,

第二个图形正三角形的个数为5X3+2=2X32-1=17,

第三个图形正三角形的个数为17X3+2=2X33-1=53,

第四个图形正三角形的个数为53X3+2=2X34-1=161,

第五个图形正三角形的个数为161X3+2=2X35-1=485.

如果是第〃个图，贝U有2X3"-1个

故答案为：485.

24.（2022•黑龙江）如图所示，以。为端点画六条射线04,OB,0C,0D,0E,0F,再从射线CM上某

点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1,2,3,4,5,6,7,

8…后，那么所描的第2013个点在射线上.

【分析】根据规律得出每6个数为一周期.用2013除以6,根据余数来决定数2013在哪条射线上.

【解析】VI在射线上,

2在射线05上,

3