整式的乘除法 知识归纳与题型突破（十三类题型清单）原卷版-2024-2025学年北师大版七年级数学下册

整式的乘除法知识归纳与题型突破（十三类题型）

01思维导图

同底数幕的乘法运算

幕的乘方与积的乘方

同底数幕的乘法

同底数幕的除法运算

幕的混合运算

幕的逆运算

用科学记数法表示绝对值小于1的数

整式的乘法

题型归纳

整式的乘法的实际应用

平方差公式计算平方差公式

平方差及几何意义完全平方公式

完全平方公式计算

完全平方公式及几何意义

整式的混合运算

整式的化简求值

02知识速记

要点一：塞运算

1.嘉的乘法运算

口诀：同底数塞相乘，底数不变，指数相加。

amXan=a<m+n）（a^0,m,n均为正整数，并且m>n）

2.塞的乘方运算

口诀：幕的乘方，底数不变，指数相乘。

（a"）"=a"（m,n都为正整数）

3.积的乘方运算

口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幕相乘。

=d'l）"'（m,n为正整数）

4.塞的除法运算

口诀：同底数累相除，底数不变，指数相减。

am+an=a<m-n>(a/),m,n均为正整数，并且m>n)

要点二：整式的乘法运算

1.单项式乘单项式

单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数鬲分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同

它的指数作为积的一个因式.

2.单项式乘多项式

单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.

3.多项式乘多项式

多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.

要点三：平方差公式

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

要点四：完全平方公式

完全平方公式：(a+by=a1+2ab+b2(a-Z>)2=a1-2ab+b2

两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍

注意：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这

两数之积的2倍.以下是常见的变形：

a2+b~=(a+6)2-2ab=(a-Z))2+2ab(a+=(a+4ab

要点五：整式的除法运算

1.单项式的除法法则

单项式相除，把系数、同底数事分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指

数作为商的一个因式.

2.多项式除以单项式的法则

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

03题型归纳

题型一同底数塞的乘法运算

【典例1］（22-23七年级上•上海静安•阶段练习）计算：（a—b）2.（b—口＞+缶一b）4.（b—a）

巩固训练

1.（23-24七年级下•浙江舟山•期末）计算：结果正确的是（）

A.2a3B.2a2C.a3D.a2

2.（23-24七年级下•四川巴中•期末）计算a4x（—a）5的结果是（）

A.a20B.a9C.-a20D.-a9

3.（23-24七年级下•河南驻马店•期中）已知3a=5,3b=10,3C=50,那么a、6、c之间满足的等量关系

是（）

A.a+b=cB.ab=c

C.a'.b'.c=1:2:10D.a2■b2=c2

题型二幕的乘方与积的乘方运算

■（一次）

【典例2】（2024•陕西咸阳•三模）计算:y=（）

A.——5y4B.—VC.—6y3D.--1xbAy62

巩固训练

1.（23-24七年级下•贵州铜仁・期中）计算（久2y『的结果是（）

A.x6y4B.xQy4C.xQyD.x2y4

2.（23-24七年级下•河南关B州•期末）若a+2b=3,则2a•#=（：）

A.8B.12C.16D.24

3.（23-24七年级下•江苏宿迁•期末）（3爪3）2运算结果正确的是（）

A.3m6B.6m6C.6m5D.9m6

题型三同底数塞的除法运算

【典例3］（23-24七年级下•河北邢台•期末）已知根片0,小6+加2的计算结果是（）

A.mB.m4C.m3D.m5

巩固训练

1.（23-24七年级下•江苏淮安•期中）己知：%-y-3=0,则2，+2旷=.

2.（23-24七年级下•广西梧州•期中）计算：（一。3）3+。4=_.

3.（23-24七年级下•河北石家庄•期中）若a"2=2,4=3,则.

题型四塞的混合运算

【典例4］（23-24七年级下•江苏泰州•阶段练习）计算：

（1）a2-a3a4；（2）（p—q）4-（q—p）3•（q—p）5-

224

(3)|-3|-(2023-TT)°+(-2)；(4)X•X+(—久2)3_(%4)2+x2.

巩固训练

1.⑵一24八年级上•吉林长春•阶段练习）计算

43422

(l)x-X-X—(X)+(—2x)3.x5(2)(%-y)，-(y-x)3+(y-x)

2.（22-23七年级•上海•假期作业）计算:

⑴1)4.a/(2)(a2-a3)24-aJx(—a)2.

3.（22-23七年级下•江苏・周测）先化简，再求值:

(l)[5a4-a2—(3a6)2+(a2)3]+(—2a2)2,其中a=-5

(2)a3-(—b3)2+(—|a^2)，其中a=—2,6=]

题型五幕的逆运算

【典例5](23-24七年级下•全国•课后作业)1)已知a'=2,62n=3.求(a3b的值;

(2)已知59=a,95=b.用a,b表示4545的值；

(3)已知九为正整数，且%2n=7.求(3/与2—i3Q2)2n的值.

巩固训练

1.(23-24八年级上•全国•课后作业)(1)已知/n=5,a3n=8,求a加+6l的值；

(2)已知10。=5,10b=6,求l02a+3b的值.

2.(22-23八年级上•福建莆田•期中)(1)己知2，n=a,32n=b,m,n为正整数，求俏+1。"的值；

(2)已知x"=3,yn=2,求(盯2)2n的值.

3.(2023七年级下•江苏•专题练习)(1)若工3力=4,y3n=5,求(/刃3+(y')3一万26.yi.『2n的值;

(2)已知2x+5y—3=0,求4仁32〃的值；

(3)已知x"=2,yn=3,求(/y)2n的值.

题型六用科学记数法表示绝对值小于1的数

【典例6】(23-24七年级下•陕西西安•期末)在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”.根

据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为0.000002m,则数据0.000002用科学记数法表示为()

A.2xIO-5B.0.2x10-6C.2xIO-7D.2x10-6

巩固训练

1.（23-24七年级下•全国•单元测试）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的细颗粒物，也称为可

入肺细颗粒物.它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，这

些颗粒物的直径0.0000。25m用科学记数法表示为（）

5

A.2.5x10-6B.2.5x10-7c.400D.4x10

2.（23-24七年级下•广东揭阳•阶段练习）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中

央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就.科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125

纳米，1纳米=1.0x10-9米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（）

A.125xIO4米B.1.25x10-8米c.1.25x10f米D.1.25Xl。一11米

3.（23-24七年级下•全国・单元测试）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，lcnP可燃冰的质量仅为

0.00092kg.数据0.00092用科学记数法表示是（）

A.92XIO-4B.92x10-3C.9.2x10-3D.9.2x10-4

题型七整式的乘法

【典例7】（23-24七年级下•山东荷泽•期中）计算：

（1）（3xy2）2+4xy3-（—xy）（2）^—|ab2^-（—3ab+9bc—1）

(3)(1—2x)(—x2+3x—1)(4)(2a+b)(3a—2b)—4a(—a+26—1)

巩固训练

1.（23-24七年级下•江苏镇江•阶段练习）计算

（l）4xy-（—3y）+2y（6xy+2）(2)(a—l)(a—3)—a(a—4)

2.（23-24七年级下•山东荷泽•期中）计算：

(l)(3xy2)2+4xy3-(-xy)(2)(一g.(—3ab+9bc—1)

2

(3)(1—2x)(—x+3x—1)(4)(2a+6)(3a-26)-4a(-a+2b-1)

3.(23-24八年级上•辽宁盘锦•阶段练习)计算:

(1)(—2x2)3+4x3-x3；(2)(3/—x+1)(—4%)；

(3)(x—3)(/+4x)；(4)(3x—y)(x+2y).

题型八整式的乘法的实际应用

【典例8]⑵-24七年级下•广东广州•阶段练习)如图，某中学校园内有一块长为(3a+26)米，宽为(2a+b)

米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为(2a+6)米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然

后将阴影部分进行绿化.

3a+26

2a+b

(1)求长方形地块的面积；(用含a,6的代数式表示)

(2)求修建雕像的小长方形地块的面积；(用含a,b的代数式表示)

(3)当a=4/=1时，求绿化部分的面积.

巩固训练

1.(23-24七年级下•黑龙江大庆•期末)某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现

规划将一块长(9a—l)m、宽(3b—5)m的长方形场地(如图)打造成居民健身场所，具体规划为：在

这块场地中分割出一块长(3a+l)m、宽bm的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材.

(1)求安装健身器材的区域面积;

(2)当a=9,b=15时，求安装健身器材的区域面积.

(3)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，那么在第

(2)问的条件下，建设居民健身区所需地面费用为多少？(仅篮球场需铺设塑胶地面，其余为水泥地

面)

2.(23-24七年级下•浙江温州•期中)已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中4型卡片是边长为a的正

方形，B型卡片是边长为6的正方形，C型卡片是长为a,宽为b的长方形,

(1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为(2a+6),宽为(a+b)的长方形，求需要48,C各型号卡片

各多少张？

(2)用一张4型卡片，一张8型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为

18,C型卡片的面积为24,求a,b的值.

3.(22-23七年级下•广东佛山•期中)乘法公式的探究及应用.

数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，/种纸片是边长为。的正方形，8种纸片是

边长为b的正方形，C种纸片是长为从宽为。的长方形，并用/种纸片一张，3种纸片一张，C种纸

片两张拼成了如图2所示的大正方形.

(1)①观察图2,请你写出代数式(a+6)2,a2+b2,ab之间的等量关系式.

②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到(a+b)(3a+6)=

(2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为(2a+b)(a+2b),(在图4的方

框内进行作图)，进而可以得到等式:

1

(3)利用(2)中得到的结论，解决下面的问题：若4a2+10ab+4b2=5,a+2b=-,求2a+b的值.

题型九平方差公式的计算

【典例9】(22-23七年级下•宁夏银川•期中)利用公式计算:

⑴20232—2022x2024；

(2)992-1.

巩固训练

1.(22-23七年级下•贵州六盘水•期中)下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是()

A.(%+1)(1+%)B.(-|x+y)(y+|x

C.(—m+n)(m—n)D.(a2-6)(a-h2)

2.(23-24七年级下•全国•单元测试)计算：2X(3+1)X(32+1)X(34+1)X(38+1)=

3.(23-24七年级下•江苏淮安•期末)若a+b=—2,a-b=3,则。2—接的值为.

题型十平方差及几何意义

【典例10](22-23七年级下•广东佛山•阶段练习)乘法公式的探究及应用.

(1)如图1到图2的操作能验证的等式是_.(请选择正确的一个)

A.a2—2ab+b2—Qa—b)2B.a2+ab—a(a+b)

C.(a—b)2—(a+b)2—4abD.a2—b2=(a+b)(a—b)

(2)当4nl2=12+*,2m+ri=6时，贝！J2ni—n=_.

(3)运用你所得到的公式，计算下列各题：

①20232-2022X2024；

②2x(3+1)x(32+1)x(34+1)x(38+1)x(316+1)+1.

巩固训练

1.(23-24七年级下•山东聊城•期末)如图1所示，从边长为。的正方形纸片中剪去一个边长为6的小正方

形，再沿着线段ZB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形.

图I图2

（1）设图1中阴影部分面积为Si，图2中阴影部分面积为S2.请直接用含a,b的代数式表示Si=

，S2=；写出上述过程所揭示的乘法公式.

（2）应用公式计算：

-1-1-1

①已知9*2—］俨=12,3x+-y-4,求3x—/的值.

②2024x2026—20252.

2.（23-24七年级下•山东聊城•期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为6的正方形（如图1）,然后将剩

余部分拼成一个长方形（如图2）.

（1）上述操作能验证的等式是.

A.a2—2ab+£>2=(a—Z>)2B.a2—b2=(a+b)(a—b)C.a2—ab=a(a—b)

⑵运用你从（1）写出的等式，完成下列各题:

①已知：a—b=3,a2—房=21,求a+b的值;

②计算：(1—乡x(1—强)x(1—x…x(1-^)x

3.（23-24七年级下•安徽淮北・期末）如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中

的阴影部分拼成一个平行四边方形（如图2所示）.

图I图2

(1)上述操作能验证的公式是(请选择正确的一个).

A.a2+ab=a(a+b)

B.a2—b2=(a—b)(a+b)

C.a2—2ab+b2=(a—b)2

(2)请应用上面的公式完成下列各题：

①若4a2—房=24,2a+b=6,贝i]2a_b=；

②计算：242-232+222-212+202-192+-22-1；

题型十一完全平方公式的计算

【典例11］（23-24七年级下•四川达州•期末）已知必+y2=4,xy=2,贝!|（x+y）2的值为（）

A.8B.10C.12D.14

巩固训练

1.（23-24七年级下•全国•假期作业）若（5a+36产=（5a—36）2+4,则4为（）

A.30abB.60abC.15abD.12ab

2.（23-24七年级下•湖南岳阳・期中）若/—6x+a是完全平方式，则。的值应是（）

A.-3B.±3C.9D.±9

3.（23-24七年级下•福建漳州•阶段练习）计算：（一x+3y）2=

题型十二完全平方公式及几何意义

【典例12］（23-24七年级下•全国•单元测试）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，4种纸

片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为6的正方形，C种纸片是长为b,宽为a的长方形.并用4种纸片

一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：,

⑵观察图2,请你写出代数式：（a+b）2,a2+b2,ab之间的等量关系；

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b=5,a2+b2-13,求ab的值；

②已知(2020-a)2+(a—2019)2=5,求(2020-a)(a-2019)的值;

巩固训练

1.（22-23七年级下•河南郑州•期中）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一

个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：rn（a+b+c）=ma+mb+me（如图1）,多项式

乘多项式的运算法则：（a+b）（c+d）=ac+ad+be+6d（如图2）以及完全平方公式：（a+b）2=a2

+2ab+b2（如图3）.

.。1。*A,ab

立］±1ffl®

ba

mi网2网3HU

把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的

一种常用方法.

（1）观察图4请你写出（a+6）2、（a—匕尸、之间的等量关系是；

Q

（2）根据（1）中的结论，若久+y=5,x-y=-,则x—y=；

（3）拓展应用：若（2020—6）2+（6一2023）2=7,则（2020—爪）（机一2023）的值.

2.（23-24七年级下•广东河源•期末）阅读理解:

若x满足(30—x)(x—20)=16,求(30-7)2+。-20)2的值.

解：设30—x=a,x—20=b,

则(30-x)(x-20)=ab=16,a+6=(30—x)+(比一20)=10,

22

Z.(30-x)+(x-20)2=a2+b2=(-a+6)2—2ab=10-2X16=68

(1)【类比探究】若x满足(280—x)Q—250)=200.求(280—久尸+Q—2507的值；

(2)【联系拓展】若久满足(2024—久)(2020—%)=5,则(2024—乂/+(2020—支下=；(直接写

出结论，不用说明理由.)

(3)【解决问题】如图，在长方形2BCD中，AB=20,BC=12,点E、F是BC、CD上的点，且

BE=DF=X,分别以FC、CE为边在长方形48CD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN,若长方形CEPF

的面积为180平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？

3.(23-24七年级下•宁夏银川•期中)数学活动

【知识生成】

数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题.

(1)如图1是一个边长为a+b的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的

边长分别为a和6;图2是一个边长为。的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正

方形的边长分别为a—b和6,请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式:

图1：;图2：

【拓展探