整式的乘除（压轴题特训）原卷版-2024-2025学年北师大版七年级数学下册

整式的乘除压轴题特训

一、单选题

1.下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）

A.（—2a—/?）（/?—2d）B.（—2a—b）（2a+b）

C.（—3a+2b）（3a+2力）D.（3a+2b）（3a—2b）

2.如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（Q+2）的小正方形（a>2）,将剩余部分剪开密铺成

一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）

3.若％3•xmy2n=x9y8,则m+九的值为（）

A.6B.10C.9D.7

4.若多项式—3与2/+2%+3的乘积展开式中不含x的二次项，则Q的值为（）

A.3B.-2C.2D.0

5.若谈=5,07=2,则a2A3y的值为（)

、…c25-25c8

A.21B.-CTD・元

6.若a—b=3,%—y=2,则代数式小—2ab+炉一%+y+2024的值是()

A.2024B.2029C.2031D.2035

7.已知小+岳=13,ab=6,则(a+b)2=()

A.25B.19C.9D.6

8.已知5a=2匕=10,那么隽值为（）

A.1B.2C.-1D.3

9.若方程久2+mx+4=。的左边是一个完全平方式，则加的值是（）

A.-4B.4C.4或一4D.2或一2

10.“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境，已知长方形空地的面积为（3ab+b）

平方米，宽为b米，则这块空地的长为（）

A.3a米B.(3a+1)米C.(3a+26)米D.©。板+2房)米

11.已知久2+久一3=0,那么代数式久（X-2）+（x+2）2+5值是（）

A.14B.15C.16D.17

12.计算（一5）2013+（—5）2014的结果是（）

A.4x52013B.-5C.-4x52013口.-4

13.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章

算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三

角”.根据“杨辉三角”请计算（a+6）1。的展开式中第三项的系数为（）

3+6)。..............①

(。+9.................①①

(。+6)2...................①②①

"3………①③③①

(a+")……①④⑥④①

(a+好…①⑤⑩⑩⑤①

A.28B.36C.45D.55

14.已知小+b2=ab+1,则代数式M+b2+ab的值可能是（)

A.-1B-c1D.4

15.已知，a=255,b=344,c=433,则a、b、c的大小关系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>b>c

16.若(X+2)(%-1)=K2+小比+几，则m+n=()

A.1B.-2C.-1D.2

17.若6%=3,6、=4,贝1J6A2y的值为（）

33

A.-oB.l—oC.-13D.-5

18.沙棘果富含多种维生素、氨基酸等营养成分，被誉为“神奇之果”.朔州市当地沙棘种植不仅改善了生态

环境，还带动了当地经济发展.某果农租了两块地种植沙棘，第一块地是边长为（a+2）m的正方形，第

二块地是长为（a+10）m,宽为am的长方形，则第二块地比第一块地的面积（单位：m?）多（）

A.2a之+14a+4B.14a—4C.6a+4D.6a—4

19.如图，通过计算，比较图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的算式是（）

A.a(b—x)=ab—axB.(a—x)(b—x)=ab—ax—bx+x2

C.(a—x)(b—x')=ab—ax—bxD.b(a—%)—ab—bx

20.若4a=2,4b=3,且4.+28-1=18,则X的值是()

A.1B.2C.3D.4

21.如果9%2+(机+l)xy+y2是一个完全平方式，那么根的值是()

A.5B.±5C.7D.5或一7

二、填空题

22.已知a=233,b=418,c=8i°,则a、b、c的大小关系是.

23.如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24,则图中阴影部分的面积是.

24.若a?—5a+l=0,则。2+1=.

25.有若干张如图所示的正方形/类、3类卡片和长方形C类卡片.如果要拼成一个长为（2a+b）,宽为

26.在长方形4BCD内，将两张边长分别为。和6（a〉6）的正方形纸片分别按图1、图2两种方式放置

（图1、图2中两张正方形纸片均有重叠部分），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表

示，设图1中的阴影部分的面积为Si，图2中的阴影部分的面积为S2，当4。-48=2时，S2—Si=

(用字母表示)

图1图2

若满足南士弘式，则式子必的值为

27.X,y4/—9

28.若a+6=5,ab=6,贝!J(Q+l)(h+1)的值是.

29.若％—y=7,且(5—%)(5+y)=1,贝!y2=

30.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释.现有如图①所示的三种类型卡片4

B,C,想要拼成如图②所示的长方形，则需要C类型卡片张.

31.如图是杨辉三角.

3

46

结合图形，观察下列等式：

(a+b)1—a+b；

(a+b)2=a2+2ab+b2；

(a+=a3+3a2b+3ab2+b3；

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

根据前面各式规律，写出(a+b)6的展开式的第4项：.

32.如图，有两个正方形4B,现将8放在4的内部得图①，将4,B并列放置后构造新的正方形得图②，若

图①和图②中阴影部分的面积分别为6和18,则正方形4B的面积之和为

2

33.如果a?+ma+36是一个完全平方式，那么m的值____.

34.(mx+3)(2—3%)展开后不含x的一次项，m的值___.

35.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.例如，16=52-32,

16就是一个智慧数.在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是

三、解答题

36.某广场有一块长为(5a+36)米，宽为(4a+2b)米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两

边长都为(2a+b)米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为(3a+2b)米的正方形花坛，其

余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示.

2a+b

(1)用含0、6的式子表示绿化地带的面积(结果要化简);

(2)若a—5,b=20,请求出绿化地带的面积.

37.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，4种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b

的正方形，C种纸片是长为b,宽为a的长方形，并用4种纸片一张，8种纸片一张，C种纸片两张拼成如

图2的大正方形.

(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：:

(2)观察图2,请你写出代数式：(a+6)2,a2+b2,ab之间的等量关系；

⑶根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+6=5,a2+/?2=13,求ab的值；

②已知(2024—a)2+(a—2023)2=5,求(2024—a)(a—2023)的值.

38.阅读：若x满足(80—x)(x—30)=20,求(80—久尸+(久一30尸的值.

解：设80—x=a,x—30—b,

则(80—x)(%—30)=ab=20,

a+/?=(80-x)+(x-30)=50,

所以(80—x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=502-2X20=2460

请仿照上例解决下面的问题：

(1)若x满足(70—％)Q—50)=-40,求(70—久尸+(x—50)2的值.

(2)若x满足(2025-x)2+(2024—x)2=2023,求(2025—久)(2024-x)的值.

(3)如图，正方形4BCD的边长为=50,FB=80,长方形AFNP的面积是1000,四边形NGQP与APME

都是正方形，四边形PQHM是长方形，求图中阴影部分的面积之和(结果必须是一个具体数值).

39.用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形.

(1)根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式(a+6)2,a2b2,2ab之间的数量关系:

(2)根据完全平方公式的变形，解决下列问题.

①已知m+n=5,mn=4,求^^+声的值.

②已知(无一98)2+(100—％)2=34,求(％-98)(100-x)的值.

40.阅读材料:

对于多项式/+2x+2,虽然不能写成完全平方形式，但是可以写成/+2x+1+1=(x+l)2+1,更

一般的，对于二次项系数不为1的二次三项式a/+6x+c(a*0),它总是可以化为a(x+h)2+k的形式,

例如：2/+4x—3=2(/+2%+1)—5=2(x+l)2—5.将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等

变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这就是一个配方的过程.这种配方法常被用到代数式的

变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.

根据以上内容回答下列问题：

(1)代数式3%2+12x-1经配方可化为；

⑵已知△ABC的三边长分别为a,b,c且满足a?+扶—8a—106+41=0,求边c的取值范围；

(3)已知P=根2+4n+13,Q=—m2—n2+8m—1,试比较P与Q的大小.

41.如图，边长为。的大正方形有一个边长为6的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2

(1)上述操作能验证的等式是:

(2)请利用你根据(1)中的等式，完成下列各题:

①已知9a2—房=36,3a+b=9,贝！|3a—6=

②计算:(D.a—3)•a—9・a——嬴)•

42.已知2a=10,5b=10,2c=5

(1)求的值.

(2)若x=5ft,y=(125*+3,用含x的代数式表示y值.

43.(1)【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问

题.图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为

(2)【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为小6的长方形拼摆成一个如图3的正方形.

①通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式(a+b)2,(a-。/，ab之间的等量关系.

②若a—6=10,ab=11,求a+b的值.

(3)【解决问题】如图4,C是线段4B上的一点，分别以AC,BC为边向两边作正方形4CDE和8CFG,

设2B=6,两正方形的面积和为20,求△4FC的面积.

44.【知识生成】我们知道：对于一个图形，通过不同的方法计算几何图形的面积可以得到一个数学等式,

请结合图形解答下列问题:

图①图②图③

(1)如图①是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②

的形状拼成一个正方形，用两种不同的方法求阴影部分的面积，得到的数学等式是;

【知识应用】

(2)若x+y=7,xy=7，求久一y的值；

【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式.

(3)如图③是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比(1),用不同的方法表示这

个大正方体的体积，得到的数学等式是；

(4)已知a+b=7,a2b=50,而2=20,利用⑶中所得等式，求代数式+a的值.

45.我国著名数学家华罗庚曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事

休.数形结合思想是解决问题的有效途径.请阅读以下材料:若(％+4)(x—1)=6,求Q+4/+(x-1)2

的值.

解：设x+4=a,x—l=b,

则ab=(x+4)(%—1)=6,cz—b=(%+4)—(x—1)=5,

(x+4)2+(x—l)2=a2+b2=Qa—b)2+2ab=52+2x6=37

根据以上材料，解决下列问题：

(1)若(x—1)(4—%)=-1,求(x—I)2+(4-x)2的值；

(2)如图，已知数轴上4C,8三点表示的数分别是小，5,9.分别以4B,AC为边作正方形4BDE、正

方形2CFG,延长GF交BD于点儿若长方形2BHG的面积为8.求正方形力BDE与正方形力CFG面积的和.

46.数形结合是我们解决数学问题常用到的思想方法.如图2,我们通过两种不同的方法计算阴影部分的面

积，可以得到一个数学公式.

图1图2

【操作】图1是一个长为2血、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2

的形状拼成一个正方形.

【计算】（1）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积.

方法1：;

方法2：.

【总结】（2）观察图2并结合前面的计算，我们可以得出（爪+兀）2,（m-n）2,nm三个代数式之间的

等量关系为;

【应用】（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：若a—%=7,ab=4,求（a+6）2的值.

47.通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大.此结论可以利用图形的割补

加以说明.

图3

(1)【方法理解】

已知长方形的周长是12,设长方形的一边长是无，则相邻一边长是(6—%).

①当0<x<3时，如图1,将此长方形进行如下割补.如图2,长方形B的一边长是x,相邻一边长是

.如图3,将长方形B割补到长方形力的右侧，阴影部分是一个边长为的正方形(以上两

空，均用含x的代数式表示).通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积

之差，所以代数式x(6—幻、9、(3—x)2满足的等量关系是；

②当3<x<6时，类似上述过程进行割补；

③当x=3时，该长方形即为正方形；

综上分析，周长是12的长方形的最大面积是；

(2)【方法迁移】

当一2<久<6时，仿照上述割补过程，求代数式(6-x)(4+2支)的最大值.

48.综合与探究

【阅读理解】

图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能

巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法一数形结合.

某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中,

甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为外宽为x的长方形,

并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.

yx

图1图2

（1）观察图2,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式:

（2）利用（1）中的等式解决问题：若x+y=10,xy=19,则必+必的值为.

【拓展探究】

该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解.

例：若x满足（20—久）（％—30）=10,求（（20—久了+（久一30）2的值.

解：设a=20—%,b—x—30,

则(20—久)(x—30)=ab=10,a+b=(20-x)+(x-30)=20-30=-10.

22

(20-x)+(x-30)2=a2+b2=5+b)2-2ab=(-10)-2x10=80.

（3）如图3,将正方形EFG”叠放在正方形4BCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL=2,

CK=6.沿着LD,KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELOV和四边