一元一次不等式 知识归纳与题型突破（18类题型清单）解析版-2024-2025学年沪教版七年级数学下册

一元一次不等式知识归纳与题型突破

（18类题型）

01思维导图

题型一不等式的定义卜、一题型十求不等式组的解集

题型二不等式的性质、\

题型十一解特殊不等式组

题型三不等式的解集卜、

题型十二求一元一次不等式组的整数解

题型四一元一次不等式的定义一题型十三由一元一次不等式组的解集求参数

题型五求-元-次不等式的统一元一次不等式一■题型十四不等式组和方程组相结合的问题

［题型六求一元一次不等式的整数解/n

-题型十五一元一次不等式组的其他应用

题型七在数轴上表示不等式的解集—/J1

题型十六用一元一次不等式组解决实际问题

题型八求一元一次不等式解的最值-----/

题型十七用一元一次不等式组解决几何问题

题型九一元一次不等式蛆的定义，

题型十八一元一次不等式的综合

02知识速记

知识点一、不等式的概念

一般地，用“<”、">"、"W”或“2”表示大小关系的式子,叫做不等式.用“W”表示不等关系

的式子也是不等式.

知识点二、不等式的解及解集

1.不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

2.不等式的解集：

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集.

3.不等式的解集的表示方法

（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围

可用最简单的不等式来表示.如：不等式x-2W6的解集为xW8.

（2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解.如图所示：

x>ax^ax<axW。

I>-I>

aaaa

知识点三、不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.

用式子表示：如果a>b,那么a土c〉b土c.

不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

Qb

用式子表示：如果a>b,c>0,那么ac>bc（或一>—）.

CC

不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

ah

用式子表示：如果a>b,c<0,那么ac<bc（或一<—）.

cc

知识点四、一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，

特别提醒：

（1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知

数的最高次数为1.

（2）一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式.

不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“<”、“W"、或“>”连接，不等号有方

向；一元一次方程表示相等关系，由等号“=”连接，等号没有方向.

知识点五、一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式.

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x<a（或x〉a）的

形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；⑵去括号；⑶移项；（4）化为冰〉6（或ax<b）

的形式(其中awO)；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.

特别提醒：(1)在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用.

(2)解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

②移项时不要忘记变号；

③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变.

3.不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定

一元一次不等式组的解集有很大帮助.

特别提醒：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

(1)边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；

(2)方向：大向右，小向左.

知识点六、不等式组的概念

定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组.

特别提醒：

(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上.

(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数.

知识点七、解一元一次不等式组

1.一元一次不等式组的解集：

一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集.

特别提醒：

(D找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它

们重叠的部分.

(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解

的情况.

2.一元一次不等式组的解法

解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤：

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集.

(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集.

知识点八、一元一次不等式组的应用

列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题一设未知数一找不等关系一列不等式组一解不等式组一

检验一答.

特别提醒：

(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系.

(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找

出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数.

03题型归纳

题型一不等式的定义

22

例题：以下表达式：①4x+3”0；②°>3；③f+9；@a+b=c\⑤xw5.其中不等式有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不

等式是解本题的关键.

【详解】解：①4x+3*0是不等式；

②a>3是不等式；

③x2+9是整式；

④/+62=02是等式；

⑤XW5是不等式；

综上：①②⑤是不等式，共3个，

故选：B.

巩固训练

1.某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，“蛋白质含量至少2克”这句你换一种广告语

言可以是()

A.“蛋白质含量20.5%”B.“蛋白质含量＞0.5%”

C.“蛋白质含量＜0.5%”D.“蛋白质含量W0.5%”

【答案】A

【分析】本题考查了列不等式，理解至少的含义即可求解，读懂题意是解题的关键.将蛋白质含量至少2

克转化为百分比，再根据至少的含义，即可解题.

2

[•••—xl00%=0.5%,

400

•••蛋白质含量至少2克，即蛋白质含量20.5%,

故选：A.

2.对于下列结论：①x为正数，贝口＞0；②x为自然数，贝口＞1；③x不大于5,则xW5；正确的

有—.（填所有正确的序号）

【答案】①③

【分析】本题考查了不等式的定义，根据正数大于0,自然数是非负整数，不大于即小于或等于，逐项判断

即可得解.

【详解】解：①x为正数，则x＞0,故①说法正确，符合题意；

②x为自然数，则xNO,故②说法错误，不符合题意；

③无不大于5,则无45,故③说法正确，符合题意；

综上所述，正确的有①③，

故答案为：①③.

3.在下列数学表达式中，属于不等式的是.

①—3＜0；②a+b-③x=3；④x+2＞y+3.

【答案】①④/④①

【分析】本题主要考查了不等式的定义，由不等号（＜、＞、N、V、W）连接的式子叫不等式，据此进行判断，

熟练掌握不等式的定义是解题的关键.

【详解】解：①-3＜0是不等式；

②6不是不等式；

③x=3不是不等式；

④x+2＞y+3是不等式.

故答案为：①④.

3.用不等式表示：

⑴7x与1的差小于4；

(2)x的一半比y的2倍大；

(3)a的9倍与b的9的和是正数.

【答案】(l)7x—1<4(2)yx>2y(3)9a+yb>0

【分析】(1)7x与1的差是7x-l,小于4,再用小于号“〈”与4连接即可；

(2)x的一半记作;x，歹的2倍记作2乃然后用大于号“〉”连接即可；

(3)。的9倍记作9a,b的!记作［b,和是正数即相加后大于0.

22

【详解】由题意得

(l)7x-l<4；

(2)；x>2y；

(3)9"+；6>0

【点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序,

再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别.

题型二不等式的性质

例题：已知x>V,则下列不等式成立的是()

_XV

A.-2.x>12yB.x-3>y—3C.-x+5>—y+5D.—<—

【答案】B

【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上(或减去)

一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以(或除以)一个正数，不等号不改变方向，不

等式两边同时乘以(或除以)一个负数，不等号改变方向.

利用不等式的性质逐项判断即可.

【详解】解：已知九两边同乘-2得-2x<-2y,则A不符合题意；

已知两边同时减去3得x-3>y-3,则B符合题意；

已知X",两边同乘一1再同时力口上5得-尤+5<-y+5,则C不符合题意；

已知》>了，两边同乘:得则D不符合题意；

故选：B.

巩固训练

1.已知。>6,下列结论：①a2>ab；®a2>b2；③若6<0,贝！Ja+6<26；④若b>0,则工<?,其

ab

中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两

边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方

向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

【详解】解：，；a>b,

.•.当a>0时，孑>ab；当时，a2<ab,故①结论错误；

'：a>b,

2222

.•・当时〉同时，a>bS当|。归网时,a<b,故②结论错误；

'：a>b,

：.a+b>2b,故③结论错误；

'：a>b,b>0,

：.a>b>0,

故④结论正确；

ab

・•・正确的个数是1个，

故选：A.

2.Q、b、C表示的数在数轴上如图所示,试填入适当的“〉”“<”或“，

1111111111111

C0ba

(l)a+3_____b+3.

(2)a-b________0.

⑶[a___---为

(4)-2。____-2b.

⑸1—4〃_________1-4b.

(6)a-|c|b'\c\-

(7)a-cb-c.

⑻而b1.

【答案】⑴〉;

(2)>;

⑶〉：

(4)<;

(5)<:

(6)>;

⑺〉；

⑻〉.

【分析】本题考查了不等式的性质、数轴的定义，熟记不等式的性质是解题关键.

(1)根据不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向即可得；

(2)根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向即可得；

(3)根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得；

(4)根据不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得；

(5)先根据不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向，再根据不等式的两边同加上一个数，不改

变不等号的方向即可得；

(6)根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得；

(7)根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向即可得；

(8)根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得.

【详解】⑴解：由数轴的定义得：c<O,a>O,b>O,a>b,

不等式a>b的两边同加上3,不改变不等号的方向，则a+3>Z>+3；

故答案为：>；

(2)解：由数轴的定义得：c<O,a>O,b>O,a>b,

不等式a>6的两边同减去6,不改变不等号的方向，则a-b>b-6,即a-6>0；

故答案为>；

(3)解：由数轴的定义得：c<Q,a>O,b>O,a>b,

333

不等式a>b的两边同乘以不改变不等号的方向，则

故答案为：>;

(4)解：由数轴的定义得：c<O,a>O,b>O,a>b,

不等式a>b的两边同乘以-2,改变不等号的方向，贝1|-2°<-26；

故答案为：<;

(5)解：由数轴的定义得：c<O,a>O,b>O,a>b,

不等式的两边同乘以-4,改变不等号的方向，贝!|-4a<-4b；不等式-4a<-46的两边同加上1,不改

变不等号的方向，则1-4a<1-46；

故答案为：<；

(6)解：由数轴的定义得：c<Q,a>O,b>O,a>b,

不等式°>b的两边同乘以正数M，不改变不等号的方向，则。但〉〜即

故答案为：>;

(7)解：由数轴的定义得：c<Q,a>O,b>O,a>b,

不等式的两边同减去c,不改变不等号的方向，贝g-c>6-c；

故答案为：>,

(8)解：由数轴的定义得：c<O,a>O,b>O,a>b,

不等式。的两边同乘以正数6,不改变不等号的方向，则仍>/?.

故答案为：>,

3.在不等式3x-5<2x的两边都加上_______,得到不等式x45.

【答案］5—2x/-2x+5

【分析】本题主要考查了不等式的基本性质等知识点，利用不等式的基本性质，等式两边同时加上5-2x后

即可得解，熟练掌握不等式的基本性质是解决此题的关键.

【详解】根据不等式的基本性质得，不等式两边同时加上5-2x得3x-5+5-2xW2x+5-2x,

合并得到xV5,

故答案为：5-2x.

4.若x>J\比较5-2x与5—2y的大小关系，并说明理由.

【答案】5-2x<5-2y,理由见解析

【分析】本题考查不等式的基本性质，先根据不等式的基本性质2,不等式两边同乘以-2,得到

-2x<-2j；再在不等式两边同加上5,得到5-2x<5-2y,即可解答.

【详解】解：5-2尤<5-2力理由如下：

•・•x>y,

-2x<-2y,

：.5-2x<5-2y.

题型三不等式的解集

例题：下列说法中，正确的是（）

A.不等式2x<-8的解集是x<4B.尤=5是不等式2x<-8的一个解

C.不等式2x<-8的整数解有无数个D.不等式2x<-8的正整数解有4个

【答案】C

【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况.

【详解】解：A、该不等式的解集为x<-4,故错误，不符合题意；

B、「2x5>-8,故错误，不符合题意；

C、正确，符合题意；

D、因为该不等式的解集为x<-4,所以无正整数解，故错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况.

巩固训练

1.下列说法错误的是（）

A.不等式5x-10>0的解是3B.3是不等式5x-10>0的解

C.不等式5x-10>0的解集是x>2D.x>2是不等式5x-10>0的解集

【答案】A

【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式

的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可.

【详解】解:A、3是不等式5x-10>0的解，但是不等式5x-10>0的解集不是3,故本选项错误，符合题意;

B、3是不等式5x70>0的解，说法正确，故本选项不符合题意；

C、不等式5x-10>0的解集是x>2,说法正确，故本选项不符合题意；

D、x>2是不等式5x-10>0的解集，说法正确，故本选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键.

2.写一个解集为》<-2的不等式为.

【答案】x+2<0

【分析】根据题意写出不等式即可.

【详解】解：••・x+2<0的解集是x<-2,

故答案为：x+2<0.

【点睛】本题考查了不等式的解集，解题关键是熟练运用解不等式的知识，写出不等式.

3.如图所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有整数为.

—1—\~1~*-

-1.31.6

【答案】-1,0,1

【分析】由数轴可知被污染的部分是-1.3至1.6.

【详解】解：由数轴可知：设被污染的部分的数为X,

.,--1,3<x<1.6

■•.x=-l或0或1,

故答案为-1,0,1.

【点睛】本题考查数轴.关键在于根据数轴的定义判断出污染部分整数的取值范围.

4.关于x的两个不等式x+l<7-2x与T+x<a.

(1)若两个不等式解集相同，求。的值；

(2)若不等式x+l<7-2x的解都是T+x<a的解，求a的取值范围.

【答案】⑴a=l;

(2)壮1.

【分析】(1)求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出。的值即可;

(2)根据不等式x+l<7-2x的解都是T+x<a的解，求出a的范围即可.

【详解】(1)解：由x+l<7-2x得：x<2,

由—l+x<a得：x<a+l,

由两个不等式的解集相同，得到a+l=2,

解得：a=l；

(2)解：由不等式x+l<7-2x的解都是T+x<a的解，

得到2<a+l,

解得：a>l.

【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解.

题型四一元一次不等式的定义

例题：下列不等式是一元一次不等式的是（）

A.5>2B.3x<0C.x+2y>0D.x2+5x-7>0

【答案】B

【分析】本题考查了一元一次不等式的定义.熟练掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫

作一元一次不等式是解题的关键.

根据一元一次不等式的定义进行判断作答即可.

【详解】A中5>2不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；

B中3x<0是一元一次不等式，故符合题意；

C中x+2>>0中含有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；

D中/+5x-7N0未知数的最高次数为2,不是一元一次不等式，故不符合题意.

故选：B.

巩固训练

1.若（。-2）/T-2<0是关于x的一元一次不等式.则。的值为（）

A.2B.-1C.0D.0或2

【答案】C

【分析】根据一元一次不等式的未知数尤的次数等于1,系数不等于0即可得出答案.

【详解】解：是关于x的一元一次不等式，

:a-2Ho且=1,

解得：a=Q.

故选：C.

【点睛】本题考查一元一次不等式的定义.掌握一元一次不等式的未知数的次数等于1且系数不等于0是解

题的关键.

2.已知不等式（。-3）/卜2+1>5是关于》的一元一次不等式，则。=.

【答案】-3

【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键.根据一元一

次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解

答.

【详解】解：由题意得：4-3*0,|«|-2=1,

解得：a=-3，

故答案为：-3.

3.若（3-机）？"卜2<0是关于x的一元一次不等式，则加的值为.

【答案】-3

【分析】本题主要考查了一元一次不等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式不等式是

一元一次不等式.根据一元一次不等式的定义，即可求解.

【详解】解：•••（3-%）无附2<o是关于x的一元一次不等式，

.•.|加|-2=1且3-切H0,

解得：m=-3.

故答案为：-3.

4.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式.

（1）4<5；

（2）x2+l>0；

（3）x<2x-5■

（4）x=2x+3；

（5）3a2+.；

（6）a2+2a》4a-2.

【答案】（1）、（2）、（3）、（6）是不等式.（4）是等式.

【分析】根据不等式的定义即可依次判断.

【详解】解：（1）4<5是不等式；

（2）一+1>0是不等式；

（3）x<2x-5是不等式；

（4）x=2x+3是等式；

（5）31+.是代数式；

（6）/+2心4a-2是不等式.

故（1）、（2）、（3）、（6）是不等式.（4）是等式.

【点睛】此题主要考查不等式的识别，解题的关键是熟知不等式的特点.

题型五求一元一次不等式的解集

例题：不等式宁<81-1的解集是（

)

.7722

A.x<—B.x>一c.x>一D.x<一

5555

【答案】B

【分析】本题考查解一元一次不等式.先去分母，再去去括号，移项，再合并同类项，系数化为1可得.

【详解】解：宁<早一1，

去分母,得3（1-x）<2（x+l）-6,

去括号，得3-3x<2x+2-6,

移项，得-3x-2x<2-6-3，

合并同类项，得-5x<-7,

7

mx>~.

故选：B.

巩固训练

1.若不等式（。-3）x<（a-3）的解集是X<1,则0的取值范围是（）

A.a<3B.a<-3C.a>-3D.a>3

【答案】D

【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方

向改变，即可得出〃-3>0,求解即可.

【详解】解：.•.不等式（。-3）x<（a-3）的解集是％<1,

a—3>0,

解得：Q>3,

故选：D.

2.一元一次不等式％+3>0的解集为.

【答案】x>-3

【分析】此题考查了解一元一次不等式.利用移项即可得到不等式的解集.

【详解】解：x+3>0

••・x>-3,

故答案为：x>—3

3.不等式-;xT<0的解集为

【答案】x>-2

【分析】本题考查了解一元一次不等式.解不等式即可求解.

【详解】解：由原不等式得：-x-2<Q,

解得x>-2,

故答案为：x>—2.

4.解不等式：3——

o2

去分母，得24—(x—7)>8x+4.

(1)“去分母”这一步的变形依据是(填“A”或"B”).

A.不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

B.不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

(2)请完成上述解不等式的余下步骤.

【答案】⑴A

(2)x<3

【分析】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键.

(1)根据题干的解题过程，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上8,据此作答即可；

(2)先去括号，再移项，合并同类项，系数化1,即可作答.

【详解】(1)解：依题意，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上8,

故答案为：A.

(2)解：依题意，去括号得24-X+7>8x+4,

移项得-x-8x>4-7-24,

合并同类项，得-9x>-27,

系数化1,得x<3.

题型六求一元一次不等式的整数解

例题：不等式签-X>1的自然数解有()个

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先解出一元一次不等式，然后根据自然数的定义得出自然数

解即可得出结果.

【详解】解：苫2-X>1,

去分母得：x+5-2x>2,

移项合并同类项：T>-3,

所以x<3,

...不等式受-X>1的自然数解有o,1,2共3个，

故选：C.

巩固训练

1.不等式的正整数解有（）个

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】A

【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解答本题的关键是掌握好解一元一次不等式的一般步骤：去分

母，移项，合并同类项，系数化为L注意系数化为1时，若未知数系数为负，不等号的方向要改变.先去

分母，再移项，系数化为1,即可得到不等式的解集，从而得到正整数解.

【详解】解：鼻2<1，

4%-5<11,

/.4x<16,

解得：x<4,

...不等式32<1的正整数解有1,2,3,共3个；

故选A

2.不等式5x-2<3（x+2）的非负整数解为.

【答案】0,1,2,3

【分析】本题考查解一元一次不等式，求出一元一次不等式的解集，根据要求写出符合要求的非负整数解

即可.

【详解】解：5x-2<3（x+2）

5x-2<3x+6

5x-3x<2+6

2x<8

x<4,

不等式5x-2<3(x+2)的非负整数解为：0,1,2,3.

故答案为：0,1,2,3.

3.不等式2(x-3R5x-4的最大整数解为.

【答案】-1

【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解；先解不等式，即可求得最大整数解.

【详解】解：去括号得：2x-6>5x-4,

移项得：2%-5%26-4,

合并同类项得：-3x22,

即xV-2,

3

最大整数解为：-1.

故答案为：-1.

4.已知不等式2(x-l)+4<3(x+l)+2的最小整数解是方程2x-机x=4的解.求加的值.

【答案】加=4

【分析】此题考查的是一元一次不等式的解，将x的值解出再代入方程即可得出。的值.先将不等式化简

求出x的取值，然后取x的最小整数解代入方程2尤-ax=4，化为关于m的一元一次方程，解方程即可得

出m的值.

【详解】解：由2(x-l)+4<3(x+l)+2得，x>-3,

所以最小整数解为x=-2,

将x=-2代入2x-加x=4中，

解得m=4.

题型七在数轴上表示不等式的解集

例题：已知|3-a|=a-3,则”的取值范围在数轴上表示正确的是(

【答案】A

【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式.根据绝对值的性质，可得3-。<0,从而得到

a>3,即可求解.

【详解】解："\3-a\=a-3,

3-«<0,

解得：a>3,

则的取值范围在数轴上表示正确的是：

-----------1-------------------►

03

故选:A.

巩固训练

1.不等式3x+l>4的解集在数轴上表示正确的是（）

C-11-1->n-11i1~~►

-10125-1012

【答案】A

【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注

意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.依次移项、合并同类项即可得出答案，也考查

了在数轴上表示不等式的解集.

【详解】解:,・・3x+l>4,

:.3x>3,

x>1,

在数轴上表示为：

——1---------1--------!IA

-1012'

故选:A.

2.若关于1的不等式3x-。4-1的解集在数轴上的表示如图所示，则。的值是.

II11III1A

-3-2-10123

【答案】-2

【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，解一元一次方程等知识点，熟

练掌握在数轴上表示不等式的解集以及一元一次不等式的解法是解题的关键.

由题图得不等式的解集为xVT,解不等式得xvg,因而丁=-1,于是得解.

【详解】解：3x—a<—\,

移项，得：3x<a—1,

解得：xW,

由题图得不等式的解集为X<-1,

6Z—1.

•••亍=-1，

解得：。=-2,

故答案为：-2.

3.若一个关于x的一元一次不等式组的解集，在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集为.

-2-1012

【答案】x<-l

【分析】本题考查了不等式组的解集和在数轴上表示不等式组的解集.根据数轴得出不等式组的解集即可.

【详解】解：根据数轴可知：不等式组的解集是xW-1,

故答案为：x<-l.

4.解不等式：3（x+3）+6>4（2x+5）,并把它的解集在数轴上表示出来.

]__________।________।________।___________।________।___________[A

-3-2-10123

【答案】%<-1,解集在数轴上表示见详见

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及解集的表示，在数轴上表示解集注意空心与实心的区别是解

题的关键.去括号解一元一次不等式，然后在已知数轴上进行表示即可.

【详解】解:3（x+3）+6>4（2x+5）

3x+9+6>8x+20

3x—8x>—9—6+20

-5x>5

x<—1，

解集在数轴上表示如下:

]________I________A________।।________।________L.

-3-2-10123

题型八求一元一次不等式解的最值

例题：若不等式的解都是不等式2-3%»5的解，则小的取值范围是（）.

A.m<-lB.m<-lC.rn>—\.D.m>-\

【答案】A

【分析】先求出不等式2-3x»5的解集，然后根据加的解都是不等式2-3x25的解进行求解即可.

【详解】解：解不等式2-3x25得xW-l,

•.•不等式x<m的解都是不等式2-3x25的解，

：.m<—1,

故选A.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式2-3x25的解集是解题的关键.

巩固训练

1.按照下面给定的计算程序，当》=-2时，输出的结果是；使代数式2x+5的值小于20的最大整数

x是（）.

A.1,7B.2,7C.1,-7D.2,-7

【答案】A

【分析】把》=-2代入2x+5计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使2x+5的值小于20的最大整

数X.

【详解】当》=-2时，第1次运算结果为2X（-2）+5=1,

.•.当x=-2时，输出结果是1；

由题意，得

2x+5<20,

解得x<7.5，

••・使代数式2x+5的值小于20的最大整数x是7,

故选A.

【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键.

2.已知关于x的方程弘-4x=-9的解是非负数，则上的最小值为.

【答案】-3

【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于人的不等式求出发的取值范围是解题

关键.

把后看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出左的范围，即可得出答案.

【详解】解：3^-4%=-9

由题意得：——>0,

4

解得：k>-3,

•次的最小值为-3.

故答案为：-3.

Y-L12

3.一元一次不等式三>》+：的最大整数解为、

【答案】-1

【分析】先化简不等式，再求解即可.

【详解】解：号>x+:，

3x+3>6x+4

-3x>l

1

X—,

3

则最大整数解为：-1.

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整数解.

4.已知合」-求卜-1|-卜+3|的最大值和最小值.

【答案】当丈M-3时，有最大值为4,；当》=二7时，有最小值为一4娄8.

【分析】解一元一次不等式得到未知数的取值范围，再根据未知数范围化简绝对值，即可求出答案.

2r-17

【详解】解：不等式吧的解是xW三,

7

当-时，卜-1-卜+3］化简得，

=—(x-1)—(x+3)

=-2x-2

<-2x-2<4；

17

当x<-3时，+化简得,

—1—x+x+3

=4.

74W

故当x<-3时，11Hx+3］的最大值是4；当》=看时，K-1卜卜+3|的最小值是-限

【点睛】本题主要考查利用一元一次不等式的取值范围化简绝对值.理解和掌握不等式性质，化简绝对值

方法是解题的关键.

题型九一元一次不等式组的定义

2

x>0_fx+1>0_fx+3>0⑤。\X+1<X

例题：下列不等式组：①②③iiO；®b<-72>4其中是一

x+2〉4

元一次不等式组的个数()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断.

根据一元一次不等式组的定义判断即可.

/x>—2

【详解】解：①…是一元一次不等式组;

_［x>0

②x+2>4是一元一次不等式组;

③_0Ix-+41<>0。含有两个未知数,不是一元一次不等式组;

__x+3>0

④r是一元一次不等式组;

x<—7

Y2+1<r

⑤2C]，未知数是2次，不是一元一次不等式组，

[%2+2>4

其中是一元一次不等式组的有3个，

故选：B.

巩固训练

1.下列不等式组是一元一次不等式组的是()

fx-2>0[x+l>0fx-2>0悭>0

A.</"B.〈，八C.<、D.]1

lx(x-l)<2Ij?-l<0lx<-3—+1<0

lx

【答案】C

【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可.

【详解】解：A.最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；

B.有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；

C.是一元一次不等式组，故本选项符合题意；

D.第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意;

故选：C.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相

同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不

等式组.

…\x>—2,[x+1>0(2x>0x+3>0Px<x+1

2.下列不等式组：①二②।③。八④1，⑤2,“•其中是一元一次不

[x<3,[y-l<x[x+2>0->-7[x+2>4

、2

等式组的有个.

【答案】2

【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可.

1x>一2,

【详解】解：①。是一元一次不等式组；

\x<3,

x+l>0

②।含有两个未知数，不是一元一次不等式组;

[y-l<x

__2x>0

③cc是一元一次不等式组；

[x+2〉0

x+3>0

@1r不是一元一次不等式组；

[2

_fx<x+l

⑤2c未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组,

X+2>4

其中是一元一次不等式组的有2个，

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在

一起，就组成了一个一元一次不等式组.

3.一般地，由几个的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等

式组的各个不等式的解的就是不等式组的解.

【答案】含有同一个未知数公共部分

【分析】根据定义填空即可.

【详解】一般地，由几个含有同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式

组，组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.

故答案为：含有同一个未知数，公共部分.

【点睛】本题直接考查一元一次不等式组的定义，不等式组的解的定义.熟知定义是解题关键.

4.判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？

x>4

⑴[x=4⑵2[x>5(3)卜<10；2x-6<0Jx>7

";(4)-3y>10；⑸L<(V

x>-3

【答案】见解析

【分析】(1)中含有等号，是方程不是不等式;

(2)x2的次数是二次，故不是一元一次不等式组;

(3)符合一元一次不等式组的定义；

(4)含有两个未知数，故不是一元一次不等式组;

(5)符合一元一次不等式组的定义.

【详解】解：(1)中x=42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组;

(2)中N<81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组；

(3)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组；

(4)含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组；

(5)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组.

综上，可知(3)(5)是一元一次不等式组.

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等

式组，叫做一元一次不等式组.

题型十求不等式组的解集

[2x+6>0

例题：解不等式组r/c,解集在数轴上表示正确的是()

x-2<0

C.-1—1—1—1—*-1—>D.―1―1―1-1—*-1—>

-3-2-10123-3-2-10123

【答案】c

【分析】此题考查了解一元一次不等式组，分别解不等式，得出不等式组的解集，再画图即可，正确解不

等式组是解题的关键.

【详解】解一[2x一+64>。0②①,

解不等式①得：x>-3,-3<x<2

解不等式①得：x<2,

・•.不等式组的解集为：-3<x<2,

••・解集在数轴上表示为：

―iI।।।二——।_>

-3-2-10123

故选：c.

巩固训练

f-X<1

1.不等式组'.G的解集是()

3x-3<2x

A.x«-1B.x>3C.-3<x<1D.-l<x<3

【答案】D

【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小

取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集.

-x<l

【详解】解:

3x-3<2x

解-xWl得：x>-l,

解3x-3<2x得：x<3,

f—x<1

.•不等式组2°.的解集是-14X<3,

13x-3<2x

故选：D.

—x-1M7——■x

2.不等式组2~2的所有整数解的和为.

5x-l>3(x+l)

【答案】7

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关

键.

分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得.

13

—x-1<7——x①