一元二次方程的解法（因式分解法）（2个知识点+5个考点+易错分析）原卷版

第04讲一元二次方程的解法（因式分解法）（2个知识点+5

个考点+易错分析）

T模块导航AT素养目标A

模块一思维导图串知识1.认识用因式分解法解方程的依据.

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

6樟块一思堆导图用知识-

适典理论___

费藤二::因式分解法一一娱6_4）.一彷=0＞再=012=6}^^{若@6=0,则

知识点1：因式分解法（重难点）

（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

要点诠释：

（I）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式

的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于

0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含

有未知数的代数式.

知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）

（1）在一元二次方程的四种解法中，优先选取顺序依次为直接开平方法一因式分解一公式法一配方法,若没有

特别说明,一般不采用配方法.

（2）对于复杂的一元二次方程，一般不急于化为一般形式，应先观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解

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法,若不能，再化为一般形式用公式法求解。

O：模块三核心考点举一反三------------

考点1:利用提公因式法分解因式解一元二次方程

【例1］用因式分解法解下列方程：

(1)/+5*=0；(2)(x—5)(x—6)=x—5.

【变式1-1](23-24九年级上•山东聊城•期末)方程x(x+l)=x的解是()

A.x=-\B.x=l

C.x=0D.x=l或x=0

【变式1-2](23-24九年级上•辽宁丹东•阶段练习)一元二次方程/一6x=0的根是()

A.X1=X2=6B.Xj=x2=-6

C.X]=6,%2=0D.X]=-6,x?~0

【变式1-3]解关于x的方程(因式分解方法)：

(1)3x2-氐=0；(2)7Mx-3)=3x-9.

考点2：利用公式法分解因式解一元二次方程

【例2】用因式分解法解下列方程：

(1)第一6矛=一9；(2)4(X-3)2—25(X—2)2=0.

【例2-1】用因式分解法解下列方程：(2X+3)2-25=0.

【变式2-2］解下列一元二次方程：(2X+1)2+4(2X+1)+4=0；

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【变式2-3](23-24九年级上•四川成都•阶段练习)一个菱形的边长是方程x2-9x+18=0的一个根其中一

条对角线长为6,则该菱形的面积为.

【变式2-4].(23-24九年级上•广西南宁•阶段练习)解方程：X2-5X+6=0.

【变式2-5]解下列关于尤的方程：

(1)(l+V2)x2-(3+V2)x+^2=0；(2)(3x+5)2-5(3x+5)+4=0；

考点3：选择合适的方法解一元二次方程

【例3】用适当的方法解下列方程：

(1)(x+>/2)2=(1-72)2；(2)x2=x;

(3)(x+3)(x—1)=5；(4)(b-a)x2+(a-c)x+c-b=0(ab).

【变式3-1].解关于x的方程(合适的方法)：

1122

(1)-x-\---=0；(2)(x+V2)=(1+A/2).

464

【变式3-2］解关于x的方程(合适的方法)：

(1)36X2+X-35=0；(2)(4X-1)2+10(1-4X)-24=0.

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【变式3-3]（23-24九年级上•河南许昌•阶段练习）用合适的方法解下列方程:

(1)2X2-9X+8=0(2)X2-2X-99=0

(3)x2—4x+l=0(4)2尤2-3X+1=0

考点4:用因式分解法解决问题

【例4】若a、b、c为△/比1的三边，且a、b、c满足，一ac-a6+6c=0,试判断△4%的形状.

【变式4-1]（23-24九年级上•重庆江津•期中）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程/-5x+6=0

的两根，则此直角三角形的面积为（）

A.2B.3C.V13D.6

【变式4-2].（23-24九年级上•新疆昌吉•阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程

--7x+12=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）

A.V3B.3C.5D.9

【变式4-3】.（23-24九年级上•四川成都•阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程

/一5x+4=0的两根，则该等腰三角形的周长为（）

A.9B.6C.1或4D.9或6

【变式4-4】.（23-24九年级上•江苏扬州•阶段练习）若菱形两条对角线的长度是方程Y一%+20=0的两根,

则该菱形的面积为.

考点5：新定义问题

【例5】.（23-24九年级上•广东汕头・期末）对于两个不相等的实数.、b,我们规定符号min{a,6}表示°、

台中的较小值.如：min{2,-3}=-3,按照这个规定，方程〃加=/-3的解为

【变式5-1].（23-24九年级上•山东聊城•期末）若规定两数。，b,通过运算“A”可得3",BPaNb=3ab,

如2A6=3x2x6=36,若xAr+2Ax-2A4=0,贝!Jx的值为.

、、—Ia-b（a>b）

【变式5-2].（23-24九年级上•山东枣庄•期末）对于实数a,b,定义运算“※”：。※方=»\（例

vlb-a^a<b）

如4X2,因为4〉2,所以俅2=4-2=2.若为，巧是一元二次方程-—5x+6=0的两个根，贝U

网※X?=.

【变式5-3].（23-24九年级上•河北保定•期末）新定义：如果关于X的一元二次方程a/+6x+c=0有两

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个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.

（1）方程--6x+8=0"倍根方程”（填“是”或“不是”）；

（2）若（x-8）（尤一“）=0是“倍根方程"，贝|〃=.

易错点1:在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。

【例6】解关于x的方程：

(1)x~—2ax+—b~—0；(2)(a2-b2)x2-4abx-(a2-b2)=Q

(3)m2x2—mx1+x—2mx+1=0.

易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错

【例7】如果（/+/）（/+/—2）=3,请你求出一+好的值.

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一、单选题

1.（23-24九年级上•山东济宁・期末）方程（》-3乂2》-4）=0的根是（）

A.巧=-3,超=-2B.%=3,刍=2

C.再=3,々=—2D.玉=—3,—2

2.（23-24九年级上•江苏南京・期末）一元二次方程一一3%=0的解是（）

A.x=3B.x=0

C.再=3,x?—0D.再=—3,%2=。

3.（23・24九年级上•云南昭通•阶段练习）方程x（x-3）=6（x-3）的根是（）

A.x=3B.x=6C.X[=3,X2=6D.=-3,x2=-6

4.（23・24九年级上•四川泸州•阶段练习）如果方程V—以+3=0的两个根分别是Rt△力3C的两条边的长,

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那么AASC的面积为（）

A.yB.-C.；或；D.彳或也

22222

5.（23-24九年级上•山东济宁•阶段练习）已知3是关于x的方程加+l）x+2加=0的一个实数根，并且

这个方程的两个实数根恰好是等腰小3C的两条边的边长，则“3C的周长为（）

A.7B.10C.IID.10或11

6.（23-24九年级上•河南许昌•阶段练习）若a+c=6,则关于x的方程依2+乐+。=0（°片0）必有一根是（）

A.x=2B.x=1C.x=-lD.x=0

二、填空题

7.（23-24九年级上•重庆沙坪坝•期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第步开始

出错.（填序号）

解方程：2f+8x=-4-x

解：2x（x+4）=-（x+4）…①

2x=-l…②

“一^…③

8.（23-24九年级上•辽宁盘锦•阶段练习）方程x（x-l）=2的两个根是.

9.（23-24九年级上•云南昭通•阶段练习）关于x的一元二次方程（加-3）尤2+5》+疗-4m+3=0的常数项为

0,则冽等于.

10.（23-24九年级上•四川凉山•阶段练习）已知等腰三角形的一边长是7,另一边长是方程f-8x+16=0的

根，则该等腰三角形的周长为.

11.（23-24九年级上•宁夏吴忠•阶段练习）规定运算。伍-1）,即l*2=lx（2-l）,若/*（/-1）=0则

y=.

12.（22-23九年级上•黑龙江•期中）实数x满足方程（f+4一（/+力-2=0,则f+x的值等于.

三、解答题

13.（23-24九年级上•广东揭阳•期末）解方程：X2-X-12=0.

14.（23-24九年级上•湖北