一次函数的应用-2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第三单元函数及其图象

《第11讲一次函数的应用》

【知识梳理】

1.用一次函数的性质解决实际问题

(1)一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽

象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，再利用一次函数的图象与性质

求解，同时要注意自变量的取值范围.

(2)常见类型:①求一次函数的表达式.②利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如求最值等.

2.用一次函数的图象解决实际问题

一次函数图象的应用题是指用一次函数的图象来表示题中数量关系的应用题.解这类题的关键在

于弄清横轴、纵轴各表示什么量，图象上的每一点表示什么实际意义，以及图象的变化趋势、

倾斜度大小各有什么含义等.

【考题探究】

类型一“一条直线”类应用题

【例11一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻

的水位高度，其中x表示进水用时(单位:时)，y表示水位高度(单位:米).

x00.511.52

y11.522.53

为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择:丁=日+伙®0),y=ax2

+陵+。(存0),尸泌4).

⑴在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函

数表达式，并画出这个函数的图象.

(2)当水位高度达到5米时，求进水用时.

♦y（米）

6

5

4

3

2

1

（/—1—2―3—V~5一打（时）

例1图

解:⑴描点如答图.

由描点可知，函数的图象为一条直线，故选择函数y=Ax+/存0),把点(0,1),(1,2)的金标分

别代人,

b=l,k=l,

得斛得

k+b-2,b=l,

，曲教的表达式为y=x+l(0WxW5),函数图象如答图中线段所示.

（2）当y=5时，x+l=5,'.x=4.

答:当水位嵩度达到5米时，进水用时为4小时.

变式1:2024•吉林］综合与实践

某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究.第一小组负责调查板凳的历史及

结构特点;第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识;第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组

汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题.

［背景调查］

图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其梯卯结构体现了古人含蓄内敛的审美

观.梯眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同

的长度确定梯眼的位置，如图2所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.

［收集数据］

小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取的相同长度为x(mm),凳面的

宽度为y(mm),记录如下：

所取长度x(mm)16.519.823.126.429.7

凳面的宽度y(mm)115.5132148.5165181.5

［分析数据］

如图3,小组根据表中x,y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点.

［建立模型］

请你帮助小组解决下列问题：

(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上?如果在同一条直线上，求出这条直线所

对应的函数表达式;如果不在同一条直线上，说明理由.

(2)当凳面宽度为213mm时，%的值是多少?

样眼

产

—1-

一口口」一

图2

义(mm)

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

1।।»

0204060久(mm)

图3

解:⑴它们在同一条直线上,

设7=左*+/>,

fl6.5/c+b=115.5,

则

(23.1k+b=148.5,

k=5,

解得

力=33,

•'•这条直线所对应的函数表达式为y=5x+33,代入其他值验证，均符合.

(2)当y=213mm时，213=5x+33,

斛得x=36,

•••当凳面宽度为213mm时，x的值是36.

类型二“两条直线相交”类应用题

[例2][2023•丽水]我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生

产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合

同.看图解答下列问题：

(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多.

(2)求方案二y关于x的函数表达式.

(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案？

解:⑴30件.

(2)设方案二的函数表达式为把(0,600),(30,1200)代入,

彳*=600,k=20,

解得

[30k+b=l200,6=600,

二方嗓二的四数表达式为j=20x+600.

(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方嚏■二;

若每月生产产品件数就是30件，则两种方案报酬相同，可以任选一种;

若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一.

变式2某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动.大巴出发1小时后，学校因

事派人乘坐轿车沿相同路线追赶.已知大巴行驶的速度是40千米4寸，轿车行驶的速度是60千米

/0寸.

(1)轿车出发后多少小时追上大巴?此时两车与学校相距多少千米？

(2)如图，图中A3分别表示大巴、轿车离开学校的路程s(千米)与大巴行驶的时间/(时)的函

数关系的图象.试求点3的坐标和A3所在直线的函数表达式.

(3)假设大巴出发。小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求。的值.

解：(1)设轿车行3史的时间是x小时，则大巴行驶的时间是(x+1)小时.

由题意，得60x=40(x+l),将得x=2,

.*.60x=120.

答:轿车出发后2小时迨上大巴，此时两车与学校相距120千米.

(2)易知点5的坐标为(3,120).

设A5所在直线的函数表达式为s=kt+b,

把点4(1,0),5(3,120)的金标分别代人,

得力=0,k=60,

斛得

(3/c+h=120,b=-60,

所在直线的函数表达式为s=60r—60.

(3)由题意，得40(a+1.5)=60X1.5,

将得a=0.75.

类型三方案选择

[例3][2024•广安]某小区物管中心计划采购A,B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A

种花卉和3株3种花卉共需要21元;购买4株A种花卉和5株3种花卉共需要37元.

(1)求A,5两种花卉的单价.

(2)该物管中心计划采购A,3两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过5种花

卉株数的4倍，当A,3两种花卉分别采购多少株时，总费用最少?请求出最少总费用.

解:(1)设A种花卉的单价为x元/株，5种花卉的单价为y元/株.

(2%+3y=21,(x=3,

由题意，得斛得

(4%+5y=37,ly=5.

答:A种花卉的单价为3元/株，5种花卉的单价为5元/株.

(2)设条购A种花卉7〃株，则5种花卉(10000—m)株，总点用为zv元.

由题意，得w=3nz+5(10000—m)——2m+50000.

Vnz^4(10000-nz),斛得mW8000.

在w=—2m+50000中，

*.*—2V0,...4随机的增大而减小，

m=8000时zv的值最小，

w<,j=-2X8000+50000=34000,

此时10000—»?=2000.

答:当贿选A种花卉8000株，5种花卉2000株时，总点用最少，最少总费用为34000元.

变式3[2023•遂宁]端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华

民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.

经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与

用1200元购进乙种粽子的个数相同.

(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？

(2)该超市计划购进这两种粽子共200个(两种都有)，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的

2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子机个，两种粽子全

部售完时获得的利润为加元.

①求如关于机的函数表达式，并求出机的取值范围.

②超市应如何进货才能获得最大利润?最大利润是多少元？

解:⑴设每个甲种粽子的选价为x元，则每个乙种粽子的选价为(x+2)元.

由题意，得理=管，

x%+2

解得x=10.

经检验，x=10是原方程的解，且符合题意,

x+2=12.

答:每个甲种推子的进价为10元，每个乙种推子的选价为12元.

(2)①设购进甲种鞋子7〃个，则购进,乙种推子(200—M个.

由题意，得w=(12—10)m+(15—12)(200—»1)=2/«+600—3»1:=—/«+600,

/.w关于用的函数表达式为w=-m+600.

,/甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2伯，

:.m三2(200—ni),

越，a>40°

5LV»z<200,且用为正整教，

.•.134</«<200.

②由①知，w=一m+600.

V-l<0,

.,.当初=134时，u;有最大值，最大值为466,

此时200-134=66,

.,.购进.甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元.

类型四分段函数

【例4][2024•浙江]小浙和小江在跑步机上慢跑锻炼.小浙先跑，10分钟后小江才开始跑，小

江跑步时中间休息了两次.跑步机上C档比3档快40米/分，3档比A档快40米/分.小浙与小江

跑步的相关信息如下表所示，跑步累计里程s(米)与小浙跑步时间/(分)的函数关系如图所示.

时间里程分段速度档跑步里程

小浙16:00-16:50不分段A档4000米

第一段3档1800米

第一次休息

小江16:10-16:50第二段3档1200米

第二次休息

第三段C档1600米

(1)求A,B,C各档速度.

(2)求小江两次休息时间的总和.

(3)小江第二次休息后，在。分钟时两人跑步累计里程相等，求。的值.

解:(1)由表可知小浙用A档跑4000米需50分钟，

：.A档的速度为詈=80(米/分).

又。档比5档快40米/分，5档比A档快40米/分，

：.B档速度为120米/分，C档速度为160米/分.

(2)•.•小江三段跑步共用时———十一■=35(分)，

±ZUloU

•二小江两次休息时间的总和为40—35=5(分).

(3)小江在第二次休息后，共用时180：；：200+5=30(分),跑步1800+1200=3000(米).

此时小浙共跑步用时30+10=40(分)，跑步80X40=3200(米)，

...小江跑步累讨里程与小浙相等还需用^3—~3—­=2.5(分)，

160—80

/.a=40+2.5=42.5.

变式4—1[2023•宁波]某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7:00,部队官兵乘坐军车

从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路(如图1)到爱国主义教育基地进行研学.

上午8:00,军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取

研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s(km)

与所用时间/(h)的函数关系如图2所示.

(1)求大巴离营地的路程s关于所用时间t的函数表达式及a的值.

(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间.

图2

变式4—1图

解：(1)设大巴富营地的路程s与所用时间t的法数表达式为s=&+久存0),

将(1,60),(0,20)两点的生标代入,

(60=k+b,k=40,

得斛得

(20=5,%=20,

工大巴离营地的路程s关于所用时间/的曲数表达式为s=40/+20.

将点(a,100)的金标代人曲教表达式s=40/+20,

得100=40a+20,将得a=2.

(2)易知军车的速度为60km/h,

部队官兵不领取物密直接到达基地所用的时间为100+60=|(时)，

51

2-『(时).

答:部队官兵在仓库领取物密所用的时间鸡小时.

变式4—2[2023•金华]兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家.哥哥步行

先出发，途中速度保持不变;妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分.图2中的图象分别表示两人

离学校的路程s(米)与哥哥离开学校的时间/(分)的函数关系.

(1)求哥哥步行的速度.

(2)已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧.

①求图中a的值.

②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥?若能，求

追上时兄妹俩离家还有多远;若不能，说明理由.

变式4—2图

解:⑴由点4(8,800),<v=—=100,

8

二哥哥步行速度为100米/分.

(2)①设。E所在直线的表达式为$=200/+方，将点(10,800)代入,

得800=200X10+4斛得力=一1200,

所在直线的表达式为s=200^—l200.

当s=0时，200/—1200=0,解得f=6,

a—6.

②能迨上.

如答图，设5c所在直线的表达式为si=100f+优，将点5(17,800)代入,

得800=100X17+优，斛得历=一900,

/.si=100/-900.

•.,妹妹的速度是160米/分，

.,.设FG所在直线的表达式为S2=160/+岳，将点F(20,800)代入，

得800=160X20+历，斛得历=一2400,

.*.s2=160f-2400.

s=100t—900,

1t=25,

联立s=160t-2400,斛得

2Si=S2=l600,

51=S2,

.*.1900-1600=300(^),即迨上时兄妹俩禽彖300未逐

变式4-2答图

【课后作业】

1.某物体在力R的作用下，沿力的方向移动的距离为s,力对物体所做的功W与s的对应关系如

图所示，则下列结论正确的是(

A1B.W=20s

c160

C.W=SsD.s=—w

【解析】由图象得，W与s之间满足正比例困教关系，

可设W=ks(k^0).

把s=20,W=160代入，得160=20左，斛得左=8,

：.W=8s.

2.[2024,山西]生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函

数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为(A)

尾长(cm)6810

体长y(cm)45.560.575.5

Aj=7.5x+0.5B.y=7.5x—0.5

C.y=15xD.y=15x+45.5

【解析】设尸

把x=6,j=45.5;x=8,y=60.5分别代人,

(6k+b=45.5,k=7.5,

解得

(8fc+b=60.5,b=0.5,

.♦.y与x之间的关东尤为j=7.5x+0.5.

3.12023•山西］如图，一种弹簧秤最大能称10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm,每挂

重1kg物体，弹簧伸长0.5cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)关于所挂物体的质量x(kg)

的函数表达式为(B)

第3题图

A.y=12—0.5%B.y=12+0.5尤

C.y=10+0.5%D.y=0.5x

4.［2024•上海］某种商品的销售额y(万元)与广告投入4万元)成一次函数关系.当投入为10万元

时，销售额为1000万元，当投入为90万元时，销售额为5000万元.则投入80万元时，销售额

为4500万元.

【解析】设)=履+方，

JlO/c+^lOOO,fc=50,

由题意,解得•

190/c+b=5000,力=500.

/.j=50x+500,

当x=80时，)=50X80+500=4500,

即投入80万元时，销售额为4500万元.

5.星期天，小明上午8:00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家.他离家的距离y(km)

与时间f(min)的关系如图所示，则上午8:45小明离家的距离是」Jkm.

0104060/(min)

第5题图

【解析】设当40W/W60时，小明离彖的距离y(km)关于时间t(min)的函数表达式为y=A/+瓦

,图象经过点(40,2),(60,0),

(2=40k+b,(k=—0.1,

斛得

l.0=60/c+b,1b=6,

Aj关于/的函数表达式为j=—0.1/+6.

当f=45时，J=—0.1X45+6=1.5.

6.[2023•陕西]经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)

越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数.

已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20m;这种树的胸径为0.28m时，树高为22m.

(1)求y与x之间的函数表达式.

(2)当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少？

解(1)设久存0),

k=2S,

由题意，得

Q.28k+b=22,力=15,

(2)当x=0.3时,《=25X0.3+15=22.5,

当这种树的胸彳至为0.3m时，其树嵩为22.5m.

7.[2024•温州模拟]小乐和小嘉同时从学校出发，分别骑自行车沿同一条路线到体育馆进行锻炼,

图中折线。一A—3—C和线段。。分别表示小乐和小嘉离学校的距离y(米)与时间x(分)的函数关

系的图象，且两人骑车速度均保持不变.根据图中信息，解答下列问题：

(1)求出小嘉离学校的距离y(米)与时间x(分)的函数表达式，并直接写出图中a的值.

(2)出发后经过15分钟，小乐和小嘉相距多少米？

解:（1）设小嘉禹学校的距离y（米）与时间x（分）的曲教表达式为y=kx,

把（6,1200）代入，得64=1200,

斛得左=200,

,小嘉离学校的距离y（米）与时间x（分）的曲教表达式为j=200x.

由图象知，小乐的速度为现=300（米/分），

4

.•.小乐重新出发到到达体育稔所用时间为36。：；；200=8（分）,

."=20—8=12.

（2）15X200-1200-300X（15-12）=900（米）.

答:出发后经过15分钟，小乐和小嘉相距900米.

8.[2023•随州]甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往5城，在整个行程中，汽车离开A城的

距离y（km）与时亥”的对应关系如图所示，有下列结论:①A,B两城相距300km;②甲车的平均速

度是60km/h,乙车的平均速度是100km/h;③乙车先出发，先到达3城;④甲车在9:30追上乙车.

其中正确的是（D）

A.①②B.①③

C.②④D.①④

【解析】由图象可知，A,5两城相距300kln,乙车先出发，甲车先到达5城，①符合题意,

③不符合题意.

甲车的平均速度是300+3=100（km/h）,乙车的平均速度是300+5=60（km/h）,②不符合题意.

设甲车出发后x小时迨上乙车，

则100x=60(x+l),斛得*=1.5,

•,•甲车出发L5小时追上乙车.

又,甲车8:00出发，

，甲车在9:30迨上乙车，④符合题意.

综上所述，正确的有①④.

9.[2023•绍兴]一条笔直的路上依次有M,P,N三地，其中M,N两地相距1000米.甲、乙两

机器人分别从M,N两地同时出发，去目的地N,M,匀速而行.图中5c分别表示甲、乙

两机器人离加地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象.

⑴求所在直线的表达式.

(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？

(3)甲机器人到尸地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P,〃两地间的距离.

解,点。(0,0),A(5,1000),

：.OA所在直线的表达式为j=200x.

(2)设BC所在直线的表达式为y=kx-\~b.

•.•点5(0,1000),0(10,0),

fl000=/7,f/c=—100,

•••努得

l0=10fc+&,l/?=l000,

.•.j=-100x+1000.

1n

甲、乙两机器人相遇时，即