一次方程（组）及其应用-2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第二单元方程(组)与不等式(组)

《第5讲一次方程(组)及其应用》

【知识梳理】

1.等式的概念和等式的性质

(1)等式:表示相等关系的式子，叫做等式.

⑵等式的性质：

①等式的两边都加上(或都减去)同一个数或式，所得结果仍是等式.用字母可以表示为:如果a

=b,那么<7±c=b+c.

②等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0),所得结果仍是等式.用字母可以表

示为:如果a=。，那么ac=be,或巴=(^0).

--------c~C-----c--------

2.方程的有关概念

(1)方程:含有未知数的等式叫做方程.

(2)方程的解:使方程左右两边的值的未知数的值叫做方程的解.

⑶解方程:通过运算将方程一步一步变形，最后变形成“x=a(a为已知数)”的形式，就求出

了未知数的值，即方程的解，这一过程叫做解方程.

(4)一元一次方程:两边都是整式，只含有一个未知数,并且未知数的指数是一次,这

样的方程叫做一元一次方程.

(5)二元一次方程:含有两个未知数,且含有未知数的项的次数都是次的方程叫做二

元一次方程.

(6)二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的

一个解•任何一个二元一次方程都有无数个解.

3.一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤：

(1)去分母:将方程的两边同乘各分母的最小公偌教，注意不要漏乘.

(2)”^^:注意括号前的系数与符号.

(3)移项：一般地,把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，通常把含有未知

数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边.

(4)合并同类项：把方程化成奴=。(存0)的形式.

(5)两边同除以未知数的系数:方程两边同除以x的系数a,得(存0)的形式

4.二元一次方程组的解法

(1)常用方法：代人消元法,加减消元法.

(2)二元一次方程组的解应写成『二处的形式.

ky=b

5.一次方程(组)的应用

列方程(组)解应用题的一般步骤：

(1)审:分析题意，找出题中的数量及其关系.

(2)设:选择适当的未知数，用字母表示.

(3)列:根据相等关系列出方程(组).

⑷解:解方程(组)，求出未知数的值.

(5)验:检验方程(组)的解是否正确和符合实际情形.

(6)答:写出答案(包括单位).

【考题探究】

类型一一次方程(组)的有关概念

【例1】若关于x的方程瞪+。=4的解是x=2,则a的值为3.

【解析】把x=2代入方程瞪+a=4,将W+a=4,解得a=3.

变式1已知关于元的一元一次方程2y一2+机=4的解为％=1,则加的值为(C)

A.9B.8

C.5D.4

【解析】由题意，得a—2=1,2+机=4,

解得〃=3,m=2,

/•a+zn=3+2=5.

【例2】已知是方程ax+勿=3的解，则代数式2a+40—5的值为1.

(y=2

JQ--1

'代入ax+》y=3,得。+2。=3,

(y=2

/.原式=2(。+2万)-5=2X3—5=6—5=1.

变式2已知["=3,是关于x,y的二元一次方程组『无+"=7,的解，则

ly=liax-by=33

类型二一次方程(组)的解法

【例3][2024•新疆]解方程:2(x—1)—3=%.

解:去括号，得2*—2—3=”.

移项，得2x—x=2+3.

合并同类项，得x=5.

变式3解下列方程：

(l)2(x+l)=l-(x+3).

解:去括号，得2x+2=l—x—3.

移项，合并同类项，＜3x=~4,

解:去分母，得2(5%—7)+12=3(3%—1).

去括号，得10%—14+12=9*—3.

移项，合并同类项，得*=-1.

【例4】［2024•浙江］解方程组:产—'=5，

I4x+3y=—10.

解：［2Ly=5,①

(4x+3y=-10.(5)

①X3+②，得10%=5,

1

斛得X=&.

把x=3代人①，得2义金-y=5)

斛得y=-4,

{x=-,

方程组的解是2

17=-4.

变式4解下列方程组：

(1)［2023•台州］［"+'―7'

12%—y=2.

①

解:(⑴x+'y=7,人

(2%—y=2.②

①+②，得3x=9,斛得x=3.

把x=3代人①，得3+y=7,解得y=4,

%—3

,

(y=4.

「u,,」2(2%+l)=y+2,

(2)［整体思想］'

L2(y+2)-3(2x+l)=3.

f2(2%+l)=y+2,①

解d尸\

(2(y+2)—3(2%+1)=3.②

把①代人②，得2［2(2x+l)］—3(2x+l)=3,解得x=L

把x=l代人①，得y=4,

(x=l,

二原方程组的斛为{

ly=4.

类型三一次方程(组)的应用

【例5】［2023•丽水］古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，

耗三斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何?”意思是:今有生丝30斤，干燥后耗损3斤

12两(古代中国1斤等于16两),今有干丝12斤，问原有生丝多少?则原有生丝为今—斤.

【解析】设原有生丝为X斤，则5=-—12,

1230—3—

16

故原有生丝为5斤.

变式5—1元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载:良马日行二百四十里，鸳马日行一百五十里，

鸳马先行一十二日，问良马几何追及之.其题意为:良马每天行240里，劣马每天行150里，

劣马先行12天，良马要几天追上劣马?答:良马追上劣马需要的天数是20.

【解析】设葭马需要x天迨上劣马，

由题意，得240x=150（x+12）,斛得x=20,

即葭马迨上劣马需要的天数是20.

变式5—2[2024•陕西]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次

大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h;若爸爸单独完成，需2h.当天，小峰先单独打扫了

一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一

共打扫了3h,求这次小峰打扫了多长时间.

解:设这次小峰打扫了x（h）,则爸爸打扫了（3—x）h,

由题意，得3+F=l,斛得x=2.

42

答:这次小峰打扫了2h.

【例6][2023•宁波]茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业.

某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食.

已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷?设茶园的

面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（B）

fx+y=60,B°+y=54,

\y=2x—3\x=2y—3

c[%+y=60,fx+y=54,

\x=2y—3\y=2x~3

变式6[2024•安徽]乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承

包了一些田地，采用新技术种植A,3两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入

资金如下表：

农作物品种每公顷所需人数每公顷所需投入资金（万元）

A48

B39

已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A,B

这两种农作物的种植面积各多少公顷？

解:设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷，

,3y=24,x=3,

由题意;斛得

9y=60,,y=4.

答:A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷.

【课后作业】

1.对于二元一次方程组L2将①代入②，消去y可以得到(B)

晨+2y=7,②

A.x+2x—1=7B.x+2x—2=7

C.x+x—1=7D.x+2x+2=7

2.[2024•福建]今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一

季度社会消费品零售总额为120327亿元，比去年第一季度增长4.7%,求去年第一季度社会

消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是

(A)

A.(l+4.7%)^=120327

B.(l-4.7%)x=120327

V

仁乐=120327

RO327

3.某体育比赛的门票分A票和票两种，A票每张入兀，8票每张y兀.已知10张A票的总价

与19张3票的总价相差320元，贝C)

A.I—1=320B.|^|=320

119yl119x1

C.I10%—19yl=320D.|19x-10^1=320

4.[2024•湖北]《九章算术》中记载这样一道题:牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只

共值8金，问牛和羊各值多少金?设每头牛值％金，每只羊值y金，可列方程组为(A)

AC5x+2y=10,2%+5y=10,

B.

l2x+5y=85x+2y=8

D15久+2y=10,

C-l2%+5y=812%+2y=8

5.[2024•贵州]小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入

”“▲”三种物体，如图，天平都保持平衡.若设与“•”的质量分别为x,y,

则下列关系式正确的是（C）

\no/\QAZV\nA/\npo/

甲乙

第5题图

A.x=yB.x=2y

C.x=4yD.x=5y

【解析】设的质量为z.

根据甲天平，＜x+y=y+2z,即x=2z;

根据乙天平，得x+z=x+2y,即z=2y,

/.x=4j.

6.幻方是古老的数学游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方.将9个数填入幻方的空

格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图1就是一个幻方.

图2是一个未完成的幻方，则x与y的和是（D)

A.9B.10

C.11

第6题图

【解析】：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个教之和相等,

二最左下角的数为6+20—22=4,

**.最中间的数为x+6—4=x+2,或x+6+20—22—j=x—y+4,

二最右下角的数为6+20—（x+2）=24—x,或x+6—y,

(x2xy+4,x=10,

将得

124—x=x+6—y,.y=2,

：.x+y^l2.

7.［2023•南充］若关于x,y的方程组［次+'=2m—1,的解满足％+丁=1,则4-2〃的值是

\.x—y=n

(D)

A.lB.2

C.4D.8

【解析】产+尸加-L①

vx—y=n.®

①一②，得2x+2y=2m—n—l,

•I2m—n—1

・・x+y=---------.

又Tx+T，四*i=L

/.2m—n=3,

:.4/wv2w=22/W4-2W=22m~n=23=8.

y---2

是方程3x+2y=10的一个解，则m的值为2.

(y=m

%—2

'代入方程3x+2y=10,得3X2+2nz=10,斛得加=2.

(y=m

9.[2023•嘉兴、舟山]我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题:一只公鸡值5钱，一

只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡.若公鸡有8只，设母鸡有x只，

_(5x8+3x+-y=100,

小鸡有丁只，可列方程组为_3」

x+y+8=100

10.[2024•扬州]《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部.书中

第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为:速度快的人每分钟走100米,

速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他.问速度快的人

追上他需要2.5分钟.

【解析】设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人，

根据题意，得100+60x=100x,斛得x=2.5.

11.解下列方程(组)：

(1)—+—=4.

v723

解:去分母，＜3(x-3)+2(x-1)=24.

去括号，得3%—9+2*—2=24.

移项，得3x+2x=24+9+2.

合并同类项，得5x=35.

两边同除以5,得％=7.

%+2y=3,

(2)[2024•广西]

%—2y=l.

解『+2尸3,①

2y=1.②

①+②，得2%=4,斛得x=2.

①一②，得4y=2,解得

（x=2,

工方程组的将为1

y=

V2

12.小明将8个同样大小的小长方形拼成一个大长方形（如图1）,他发现还能拼成如图2所示

的大正方形（中间有一处空缺）.若图2正中间恰好是边长为2mm的小正方形，则一个小长方

形的面积为60mrr?.

【解析】设小长方形的长为x（mm）,宽为y（mm）,

(3x=5y,fx=10

由题意，得解得

I2y—x=2,ly=6,

2

/.xj=60＞即—个小长方形的面积为60mm.

13.[2024-吉林]钢琴素有“乐器之王”的美称.钢琴键盘（如图）上白色琴键和黑色琴键共有

88个，白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.

第13题图

解:设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个,

上fx+y=88,fx=52,

由题意，得解得

I%—y=16,ly=36.

答:白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个.

14.已知方程组+'=7’的解也是关于X,丁的方程ax+y=4的一个解，求。的值.

l%=y—1

解:「久+y=7'①

（%=y—1.②

把②代人①，得23-l）+y=7,解得y=3.

把y=3代人②，得x=2.

%—2

‘代入方程ax+y=4,

（y=3

1

得2a+3=4,解得a=,

15.[2024•苏州]某条城际铁路线共有A,B,C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站

驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停3站后到达C站，G1002次列车从A站始

发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对

列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示.

列车运行时刻表

A站B站C站

车次

发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻

D10018:009:309:5010:50

G10028:25途经3站，不停车10:30

请根据表格中的信息，解答下列问