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文档简介
浙教版中考数学第一轮专题复习讲义
第二单元方程(组)与不等式(组)
《第5讲一次方程(组)及其应用》
【知识梳理】
1.等式的概念和等式的性质
(1)等式:表示相等关系的式子,叫做等式.
⑵等式的性质:
①等式的两边都加上(或都减去)同一个数或式,所得结果仍是等式.用字母可以表示为:如果a
=b,那么<7±c=b+c.
②等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0),所得结果仍是等式.用字母可以表
示为:如果a=。,那么ac=be,或巴=(^0).
--------c~C-----c--------
2.方程的有关概念
(1)方程:含有未知数的等式叫做方程.
(2)方程的解:使方程左右两边的值的未知数的值叫做方程的解.
⑶解方程:通过运算将方程一步一步变形,最后变形成“x=a(a为已知数)”的形式,就求出
了未知数的值,即方程的解,这一过程叫做解方程.
(4)一元一次方程:两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的指数是一次,这
样的方程叫做一元一次方程.
(5)二元一次方程:含有两个未知数,且含有未知数的项的次数都是次的方程叫做二
元一次方程.
(6)二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的
一个解•任何一个二元一次方程都有无数个解.
3.一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤:
(1)去分母:将方程的两边同乘各分母的最小公偌教,注意不要漏乘.
(2)”^^:注意括号前的系数与符号.
(3)移项:一般地,把方程中的项改变符号后,从方程的一边移到另一边,通常把含有未知
数的项移到等号的左边,把常数项移到等号的右边.
(4)合并同类项:把方程化成奴=。(存0)的形式.
(5)两边同除以未知数的系数:方程两边同除以x的系数a,得(存0)的形式
4.二元一次方程组的解法
(1)常用方法:代人消元法,加减消元法.
(2)二元一次方程组的解应写成『二处的形式.
ky=b
5.一次方程(组)的应用
列方程(组)解应用题的一般步骤:
(1)审:分析题意,找出题中的数量及其关系.
(2)设:选择适当的未知数,用字母表示.
(3)列:根据相等关系列出方程(组).
⑷解:解方程(组),求出未知数的值.
(5)验:检验方程(组)的解是否正确和符合实际情形.
(6)答:写出答案(包括单位).
【考题探究】
类型一一次方程(组)的有关概念
【例1】若关于x的方程瞪+。=4的解是x=2,则a的值为3.
【解析】把x=2代入方程瞪+a=4,将W+a=4,解得a=3.
变式1已知关于元的一元一次方程2y一2+机=4的解为%=1,则加的值为(C)
A.9B.8
C.5D.4
【解析】由题意,得a—2=1,2+机=4,
解得〃=3,m=2,
/•a+zn=3+2=5.
【例2】已知是方程ax+勿=3的解,则代数式2a+40—5的值为1.
(y=2
JQ--1
'代入ax+》y=3,得。+2。=3,
(y=2
/.原式=2(。+2万)-5=2X3—5=6—5=1.
变式2已知["=3,是关于x,y的二元一次方程组『无+"=7,的解,则
ly=liax-by=33
类型二一次方程(组)的解法
【例3][2024•新疆]解方程:2(x—1)—3=%.
解:去括号,得2*—2—3=”.
移项,得2x—x=2+3.
合并同类项,得x=5.
变式3解下列方程:
(l)2(x+l)=l-(x+3).
解:去括号,得2x+2=l—x—3.
移项,合并同类项,<3x=~4,
解:去分母,得2(5%—7)+12=3(3%—1).
去括号,得10%—14+12=9*—3.
移项,合并同类项,得*=-1.
【例4】[2024•浙江]解方程组:产—'=5,
I4x+3y=—10.
解:[2Ly=5,①
(4x+3y=-10.(5)
①X3+②,得10%=5,
1
斛得X=&.
把x=3代人①,得2义金-y=5)
斛得y=-4,
{x=-,
方程组的解是2
17=-4.
变式4解下列方程组:
(1)[2023•台州]["+'―7'
12%—y=2.
①
解:(⑴x+'y=7,人
(2%—y=2.②
①+②,得3x=9,斛得x=3.
把x=3代人①,得3+y=7,解得y=4,
%—3
,
(y=4.
「u,,」2(2%+l)=y+2,
(2)[整体思想]'
L2(y+2)-3(2x+l)=3.
f2(2%+l)=y+2,①
解d尸\
(2(y+2)—3(2%+1)=3.②
把①代人②,得2[2(2x+l)]—3(2x+l)=3,解得x=L
把x=l代人①,得y=4,
(x=l,
二原方程组的斛为{
ly=4.
类型三一次方程(组)的应用
【例5】[2023•丽水]古代中国的数学专著《九章算术》中有一题:“今有生丝三十斤,干之,
耗三斤十二两.今有干丝一十二斤,问生丝几何?”意思是:今有生丝30斤,干燥后耗损3斤
12两(古代中国1斤等于16两),今有干丝12斤,问原有生丝多少?则原有生丝为今—斤.
【解析】设原有生丝为X斤,则5=-—12,
1230—3—
16
故原有生丝为5斤.
变式5—1元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载:良马日行二百四十里,鸳马日行一百五十里,
鸳马先行一十二日,问良马几何追及之.其题意为:良马每天行240里,劣马每天行150里,
劣马先行12天,良马要几天追上劣马?答:良马追上劣马需要的天数是20.
【解析】设葭马需要x天迨上劣马,
由题意,得240x=150(x+12),斛得x=20,
即葭马迨上劣马需要的天数是20.
变式5—2[2024•陕西]星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次
大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4h;若爸爸单独完成,需2h.当天,小峰先单独打扫了
一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一
共打扫了3h,求这次小峰打扫了多长时间.
解:设这次小峰打扫了x(h),则爸爸打扫了(3—x)h,
由题意,得3+F=l,斛得x=2.
42
答:这次小峰打扫了2h.
【例6][2023•宁波]茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一,是助力乡村振兴的民生产业.
某村有土地60公顷,计划将其中10%的土地种植蔬菜,其余的土地开辟为茶园和种植粮食.
已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷,问茶园和种粮食的面积各多少公顷?设茶园的
面积为x公顷,种粮食的面积为y公顷,可列方程组为(B)
fx+y=60,B°+y=54,
\y=2x—3\x=2y—3
c[%+y=60,fx+y=54,
\x=2y—3\y=2x~3
变式6[2024•安徽]乡村振兴战略实施以来,很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承
包了一些田地,采用新技术种植A,3两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入
资金如下表:
农作物品种每公顷所需人数每公顷所需投入资金(万元)
A48
B39
已知农作物种植人员共24位,且每人只参与一种农作物种植,投入资金共60万元,问A,B
这两种农作物的种植面积各多少公顷?
解:设A种农作物的种植面积是x公顷,B种农作物的种植面积是y公顷,
,3y=24,x=3,
由题意;斛得
9y=60,,y=4.
答:A种农作物的种植面积是3公顷,B种农作物的种植面积是4公顷.
【课后作业】
1.对于二元一次方程组L2将①代入②,消去y可以得到(B)
晨+2y=7,②
A.x+2x—1=7B.x+2x—2=7
C.x+x—1=7D.x+2x+2=7
2.[2024•福建]今年我国国民经济开局良好,市场销售稳定增长,社会消费增长较快,第一
季度社会消费品零售总额为120327亿元,比去年第一季度增长4.7%,求去年第一季度社会
消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元,则符合题意的方程是
(A)
A.(l+4.7%)^=120327
B.(l-4.7%)x=120327
V
仁乐=120327
RO327
3.某体育比赛的门票分A票和票两种,A票每张入兀,8票每张y兀.已知10张A票的总价
与19张3票的总价相差320元,贝C)
A.I—1=320B.|^|=320
119yl119x1
C.I10%—19yl=320D.|19x-10^1=320
4.[2024•湖北]《九章算术》中记载这样一道题:牛5头和羊2只共值10金,牛2头和羊5只
共值8金,问牛和羊各值多少金?设每头牛值%金,每只羊值y金,可列方程组为(A)
AC5x+2y=10,2%+5y=10,
B.
l2x+5y=85x+2y=8
D15久+2y=10,
C-l2%+5y=812%+2y=8
5.[2024•贵州]小红学习了等式的性质后,在甲、乙两台天平的左右两边分别放入
”“▲”三种物体,如图,天平都保持平衡.若设与“•”的质量分别为x,y,
则下列关系式正确的是(C)
\no/\QAZV\nA/\npo/
甲乙
第5题图
A.x=yB.x=2y
C.x=4yD.x=5y
【解析】设的质量为z.
根据甲天平,<x+y=y+2z,即x=2z;
根据乙天平,得x+z=x+2y,即z=2y,
/.x=4j.
6.幻方是古老的数学游戏,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方.将9个数填入幻方的空
格中,要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等,如图1就是一个幻方.
图2是一个未完成的幻方,则x与y的和是(D)
A.9B.10
C.11
第6题图
【解析】:每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个教之和相等,
二最左下角的数为6+20—22=4,
**.最中间的数为x+6—4=x+2,或x+6+20—22—j=x—y+4,
二最右下角的数为6+20—(x+2)=24—x,或x+6—y,
(x2xy+4,x=10,
将得
124—x=x+6—y,.y=2,
:.x+y^l2.
7.[2023•南充]若关于x,y的方程组[次+'=2m—1,的解满足%+丁=1,则4-2〃的值是
\.x—y=n
(D)
A.lB.2
C.4D.8
【解析】产+尸加-L①
vx—y=n.®
①一②,得2x+2y=2m—n—l,
•I2m—n—1
・・x+y=---------.
又Tx+T,四*i=L
/.2m—n=3,
:.4/wv2w=22/W4-2W=22m~n=23=8.
y---2
是方程3x+2y=10的一个解,则m的值为2.
(y=m
%—2
'代入方程3x+2y=10,得3X2+2nz=10,斛得加=2.
(y=m
9.[2023•嘉兴、舟山]我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题:一只公鸡值5钱,一
只母鸡值3钱,3只小鸡值1钱,现花100钱买了100只鸡.若公鸡有8只,设母鸡有x只,
_(5x8+3x+-y=100,
小鸡有丁只,可列方程组为_3」
x+y+8=100
10.[2024•扬州]《九章算术》是中国古代的数学专著,是《算经十书》中最重要的一部.书中
第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题,可理解为:速度快的人每分钟走100米,
速度慢的人每分钟走60米,现在速度慢的人先走100米,速度快的人去追他.问速度快的人
追上他需要2.5分钟.
【解析】设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人,
根据题意,得100+60x=100x,斛得x=2.5.
11.解下列方程(组):
(1)—+—=4.
v723
解:去分母,<3(x-3)+2(x-1)=24.
去括号,得3%—9+2*—2=24.
移项,得3x+2x=24+9+2.
合并同类项,得5x=35.
两边同除以5,得%=7.
%+2y=3,
(2)[2024•广西]
%—2y=l.
解『+2尸3,①
2y=1.②
①+②,得2%=4,斛得x=2.
①一②,得4y=2,解得
(x=2,
工方程组的将为1
y=
V2
12.小明将8个同样大小的小长方形拼成一个大长方形(如图1),他发现还能拼成如图2所示
的大正方形(中间有一处空缺).若图2正中间恰好是边长为2mm的小正方形,则一个小长方
形的面积为60mrr?.
【解析】设小长方形的长为x(mm),宽为y(mm),
(3x=5y,fx=10
由题意,得解得
I2y—x=2,ly=6,
2
/.xj=60>即—个小长方形的面积为60mm.
13.[2024-吉林]钢琴素有“乐器之王”的美称.钢琴键盘(如图)上白色琴键和黑色琴键共有
88个,白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
第13题图
解:设白色琴键的个数为x个,黑色琴键的个数为y个,
上fx+y=88,fx=52,
由题意,得解得
I%—y=16,ly=36.
答:白色琴键的个数为52个,黑色琴键的个数为36个.
14.已知方程组+'=7’的解也是关于X,丁的方程ax+y=4的一个解,求。的值.
l%=y—1
解:「久+y=7'①
(%=y—1.②
把②代人①,得23-l)+y=7,解得y=3.
把y=3代人②,得x=2.
%—2
‘代入方程ax+y=4,
(y=3
1
得2a+3=4,解得a=,
15.[2024•苏州]某条城际铁路线共有A,B,C三个车站,每日上午均有两班次列车从A站
驶往C站,其中D1001次列车从A站始发,经停3站后到达C站,G1002次列车从A站始
发,直达C站,两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对
列车运行情况进行研究,收集到列车运行信息如下表所示.
列车运行时刻表
A站B站C站
车次
发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻
D10018:009:309:5010:50
G10028:25途经3站,不停车10:30
请根据表格中的信息,解答下列问
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