导学案数学专题突破课二三角形中的范围与最值问题

专题突破课二三角形中的范围与最值问题——寸辖制轮寻专题,纲举目张谋突破三角形中的范围与最值问题是高考的热点问题,常见题型有根据已知条件求角、边、面积、周长的最值与范围等,解题思路是建立目标对象的表达式,利用基本不等式求解或者转化为函数的值域问题求解.常见以下四种类型的题目:(1)角的范围问题;(2)边的范围问题;(3)面积的范围问题;(4)周长的范围问题.类型一角的范围问题【典例1】(2024·重庆高一检测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=1,b=2,则B+C的取值范围是()A.[2π3,5π6] B.[C.[5π6,π) D.(π2,【解析】选C.根据三角形三边关系可得|ab|<c<a+b,即1<c<3,又cosA=b2+c2-a2因为函数y=3x+x在(1,3)上单调递减,在(3所以(c+3c)min=又1+31=4,3+33=4,所以c+所以32≤cosA<1,又A所以0<A≤π6所以5π6≤B+C<π【总结升华】关于角的范围问题(1)利用正弦定理或余弦定理表示出所求角的正弦或余弦;(2)利用基本不等式或三角函数的知识得到所求角的正弦或余弦的范围;(3)结合正、余弦函数的单调性求出对应角的范围.【即学即练】(2024·邢台高一检测)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2asinC3c=0.(1)求A;(2)求4sinB4sinC的取值范围.【解析】(1)2asinC3c=0,由正弦定理得2sinAsinC3sinC=0.因为sinC≠0,所以sinA=32.因为△ABC为锐角三角形,所以A=π(2)因为A=π3,所以B+C=23因为△ABC为锐角三角形,所以0<B<π2,0<2因为4sinB4sinC=4sinB4sin(A+B)=4sinB4(sinAcosB+cosAsinB)=2sinB23cosB=4sin(Bπ3由Bπ3∈(π6,得sin(Bπ3)∈(12,所以4sinB4sinC∈(2,2).即4sinB4sinC的取值范围为(2,2).类型二边长、周长的范围问题【典例2】(1)(2024·广州高一检测)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2,C=π3,则c的取值范围为(A.(2,23) B.(23,+∞)C.(3,23) D.(2,+∞)【解析】选C.在锐角△ABC中,b=2,C=π3故A=2π3B,则0<B<π20<2π3-B<由正弦定理可得c=bsinCsinB=2×32sinB=(2)(2024·北京高一检测)在锐角△ABC中,sin2B=3cosB,b=1.①求∠B;②求△ABC周长的最大值.【解析】①因为锐角△ABC,B∈(0,π2所以cosB>0,所以sin2B=2sinBcosB=3cosB,所以sinB=32,B=π②由余弦定理可得b2=a2+c22accosB,代入得a2+c2ac=1,所以(a+c)21=3ac,因为(a+c2)2≥ac,所以(a+c)21≤34(a+c)2,当且仅当a=c=1时等号成立,所以(a+b+c)max=3.【总结升华】关于周长的最值(范围)问题(1)基本不等式法:若已知一边及其对角,根据余弦定理列出关于另两边的关系式,利用基本不等式求另外两边和的最值,从而求出周长的最值.变形举例:a2=b2+c22bccosA=(b+c)22bc2bccosA=(b+c)22(1+cosA)bc≥(b+c)22(1+cosA)b+(2)三角函数性质法:根据正弦定理用角表示边,将周长表示成关于三角形某个角的三角函数,利用三角函数的性质求最值.【即学即练】(2024·哈尔滨高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A2=c(1)证明:△ABC为直角三角形;(2)当c=1时,求△ABC周长的最大值.【解析】(1)因为sin2A2=1-cosA2=c-b2c=12b2c,即cosA=bc,由余弦定理cosA=b2+c2-(2)由(1)可得c为直角三角形的斜边,所以两直角边长分别为sinA,cosA,设周长为l,则l=1+sinA+cosA=1+2sin(A+π4),因为0<A<π2,π4<A+π4<34π,所以当sin(A+π4)=1,即类型三面积的范围问题【典例3】在△ABC中,∠A,∠ABC,∠C的对边分别为a,b,c,∠ABC=2π3,BD平分∠ABC交AC于点D,BD=2,则△ABC【解析】因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD=12∠ABC=π因为S△ABC=S△ABD+S△DBC,所以12acsin2π3=12×2asinπ3+12整理得ac=2(a+c)≥4ac,解得ac≥16,当且仅当a=c=4时等号成立,所以(S△ABC)min=1【总结升华】关于面积的最值(1)根据面积公式,利用余弦定理、基本不等式求两边乘积的最值;(2)根据面积公式,利用正弦定理把面积表示成关于某个角的三角函数求最值.【即学即练】(2024·武汉高一检测)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,cosC=2b(1)求角A;(2)若b=8,求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)在锐角△ABC中,cosC=2b由余弦定理得a2+b2-c22ab=2b-c2即b2+c2a2=bc,可得cosA=b2+c又0<A<π2,得A=π(2)S△ABC=12bcsinA=12×8c×32=2由正弦定理bsinB=csinC,得c=bsinCsin在锐角△ABC中,0<B<π2,0<C<π2,B+C=2π3,可得π6<则有tanB>33,0<1tanB<3,0<4即c∈(4,16),得S△ABC=23c∈(83,323),所以△ABC面积的取值范围为(83,323).【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,2bsinC=3acosB+3bcosA.(1)求角B;(2)若角A为钝角,求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)因为2bsinC=3acosB+3bcosA,A+B+C=π,所以由正弦定理可得,2sinBsinC=3(sinAcosB+cosAsinB)=3sin(A+B)=3sinC,又因为C∈(0,π),所以sinC>0,所以2sinB=3,即sinB=3