山西省2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题2

2024~2025学年第一学期高三期末质量检测卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A B. C. D.2.已知，，且，其中i是虚数单位，则（）A10 B. C.2 D.3.已知，，则（）A. B. C. D.4.将单词“”的7个字母填入编号从1到12的一排方格中，每个方格至多填入1个字母，且6号方格填字母“”，则得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有（）A.400种 B.350种 C.200种 D.150种5.天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（）A. B. C. D.6.在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.7.已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（）A.或 B.或 C. D.8.已知点在抛物线：（）上，是上不同的两点（异于点），若直线，被圆：截得的弦长都为，则直线的方程为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C若，，则 D.若，，，则10.已知函数（），对任意，恒有，且在上单调递增，则（）A.B.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到C.为奇函数D.在上的最大值为11.已知定义域为的函数满足，且，，则（）A. B.为偶函数C D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为_________.13.在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为_________.14.若，，则_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.数列的前项和为，，当时，.（1）求证：数列是等差数列，并求的表达式；（2）设，求数列的最大项的值.16.近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022―2025年）》.某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区1000个家庭中随机抽取了100个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这100个家庭一个月的燃气使用量（单位：），得到如下频数分布表：燃气使用量(单位：)频数614183016124（1）若采用分层抽样的方法从燃气使用量在和这两组的家庭中随机抽取8个家庭，市政府决定从这8个家庭中抽取4个跟踪调查其使用情况，记随机变量表示这4个家庭中燃气使用量在内的家庭个数，求的分布列和数学期望；（2）将这一个月燃气使用量超过22的家庭定为“超标”家庭.若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布，其中近似为100个样本家庭的平均值，估计该社区中“超标”家庭的户数.（结果四舍五入取整数）附：若X服从正态分布，则，，.17.如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置.（1）求三棱锥外接球的表面积；（2）当平面平面时，证明：，并求二面角的余弦值.18.如图，在平面直角坐标系中，双曲线E：（，）两条渐近线的方程分别为，，直线l是E的切线，l分别交直线，于A，B两点（A，B分别在第一，四象限），且时，的面积为8.（1）若E的离心率为，求E的方程；（2）试探究：是否存在双曲线E，使的面积恒为8？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.19.一般地，对于给定的两条直线：和：，把方程（（）为不全为0的实数）表示由和决定的直线系，当与相交时，是以与的交点为中心的中心直线系，当与平行时，该直线系称为平行直线系.在数学中把这种具有某种共同性质的直线的全体叫做直线系（或直线族）.记直线族（）为，直线族（）为.（1）分别判断点，是否在直线族中的某条直线上，说明理由；（