导学案数学第八章85853第2课时平面与平面平行的性质定理

第2课时平面与平面平行的性质定理【学习目标】1.理解并能证明平面与平面平行的性质定理.2.能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题.【素养达成】数学抽象、直观想象直观想象、逻辑推理平面与平面平行的性质定理1.性质定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.2.符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.【教材挖掘】(P141)如果α∥β,a⊂α,那么如何在平面β内作出与a平行的直线?提示:利用面面平行的性质定理,可在平面β内任取一点A,然后作出A和直线a所确定的平面γ,确定平面β和γ的交线b,则a∥b.【版本交融】(人BP106尝试与发现)当α∥β时,α与β没有公共点,此时,若l⊂α,m⊂β,则l∩m=__________.这就是说,l与m的位置关系是__________.那么,什么情况下,l与m平行呢?

提示:l∩m=⌀.l与m平行或异面.当l与m共面时,l与m平行.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定与另一个平面平行.(√)(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面.(×)提示:平行或异面.(3)若平面α,β都与平面γ相交,且交线平行,则α∥β.(×)提示:这两个平面平行或相交.(4)夹在两个平行平面之间的线段一定相等.(×)提示:夹在两个平行平面之间的平行线段一定相等.类型一面面平行性质定理的理解(数学抽象)【典例1】给出三种说法:①若平面α∥平面β,平面β∥平面γ,则平面α∥平面γ;②若平面α∥平面β,直线a与α相交,则a与β相交;③若平面α∥平面β,P∈α,PQ∥β,则PQ⊂α.其中正确说法的序号是________.

答案:①②③【解析】①正确.证明如下:如图(1),在平面α内取两条相交直线a,b,分别过a,b作平面φ,δ,使它们分别与平面β交于两相交直线a',b',因为α∥β,所以a∥a',b∥b'.又因为β∥γ,同理在平面γ内存在两相交直线a″,b″,使得a'∥a″,b'∥b″,所以a∥a″,b∥b″,所以α∥γ.②正确.若直线a与平面β平行或直线a⊂β,则由平面α∥平面β知a与α无公共点或a⊂α,这与直线a与α相交矛盾,所以a与β相交.③正确.如图(2),过直线PQ作平面γ,γ∩α=a,γ∩β=b,由α∥β得a∥b.因为PQ∥β,PQ⊂γ,所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以直线a与直线PQ重合.因为a⊂α,所以PQ⊂α.【总结升华】面面平行的性质定理的关注点(1)一种思路:由面面平行证明线线平行.(2)两条交线:把要证明的直线看作是平面的交线.(3)三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面.【即学即练】与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.在这两个平面内C.都相交D.至少与其中一个平面平行【解析】选D.当直线在其中一个平面内时,直线与另一平面平行,当直线不属于任一平面内时,直线与两个平面都平行.类型二面面平行性质定理的应用(逻辑推理)角度1证明问题【典例2】如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.求证:EC∥A1D.【证明】因为BE∥AA1,AA1⊂平面AA1D,BE⊄平面AA1D,所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD,AD⊂平面AA1D,BC⊄平面AA1D,所以BC∥平面AA1D.因为BE∩BC=B,BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,所以平面BCE∥平面AA1D.又因为平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,所以EC∥A1D.【总结升华】应用面面平行的性质定理证明问题的步骤【即学即练】如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为____________.

答案:平行四边形【解析】因为平面ABFE∥平面DCGH,平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,所以EF∥HG.同理,EH∥FG.所以四边形EFGH是平行四边形.角度2求值问题【典例3】(易错·对对碰)已知平面α∥β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8.(1)若点P在平面α,β之间(如图),则BD的长为__________;

(2)若点P不在平面α,β之间(如图),则BD的长为__________.

答案:(1)24(2)24【解析】因为AC∩BD=P,所以经过直线AC与BD可确定平面PCD,因为α∥β,α∩平面PAB=AB,β∩平面PCD=CD,所以AB∥CD.(1)所以PAPC=PBPD,即63=BD-(2)所以PAAC=PBBD,即69=8-BDBD【总结升华】面面平行性质定理求值问题的步骤(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行;(2)利用平行线分线段成比例定理求值.【即学即练】如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C'.若PA'A'A=2【解析】因为平面α∥平面ABC,平面PAB∩平面α=A'B',平面PAB∩平面ABC=AB,所以A'B'∥AB.同理可证B'C'∥BC,A'C'∥AC.所以∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,∠A'C'B'=∠ACB.所以△A'B'C'∽△ABC.又因为PA'∶A'A=2∶3,所以PA'∶PA=2∶5.所以A'B'∶AB=2∶5.所以S△A'类型三平行关系的综合应用(逻辑推理)【典例4】如图所示,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,点D1分别为AC,A1C1上的点.(1)当A1D1D1C1等于何值时,BC1(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求ADDC的值【解析】(1)当A1D1D1C1=1时,BC1∥平面AB1D1.证明如下:连接A1B,交AB由棱柱的性质可知,四边形A1ABB1为平行四边形.所以点O为A1B的中点,在△A1BC1中,点O,点D1分别为A1B,A1C1的中点,所以OD1∥BC1.又因为OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,所以BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,得BC1∥D1O,所以A1D1=D1C1.因为A1C1∥AC,平面BC1D∥平面AB1D1,所以D1C1=AD,所以AD=DC,即ADDC=1【总结升华】空间中各种平行关系相互转化的示意图【即学即练】已知M,N分别是底面为平行四边形的四棱锥PABCD的棱AB,PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)MN∥PE.【证明】(1)如图,取DC的中点Q,连接MQ,NQ.因为NQ是△PDC的中位线,所以NQ∥PD.因为NQ⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以NQ∥平面PAD.因为M是AB的中点,四边形ABCD是平行四边形,所以MQ∥AD.因为MQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以MQ∥平面PAD.因为MQ∩NQ=Q,MQ,NQ⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD.因为MN⊂平面MNQ,所以MN∥平面PAD.(2)因为平面MNQ∥平面PAD,平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE,所以MN∥PE.【补偿训练】在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB,G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.【证明】如图,取FC的中点I,连接GI,HI,则有GI∥EF,HI∥BC.因为EF∥DB,所以GI∥BD.因为GI∩HI=I,BD∩BC=B,GI,HI⊂平面GHI,BD,BC⊂平面ABC,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.教材深一度平行平面分线段成比例(源于教材P144T13)一组平行平面被两条直线所截,截得的线段对应成比例.已知两条异面直线与三个平行平面α,β,γ分别交于A,B,C和D,E,F,求证:ABBC=DE【证明】如图,连接AF交平面β于点M.连接MB,ME,BE,AD,CF,因