导学案数学第七章阶段提升课

阶段提升课题型一复数的概念1.问题类型:复数的相关概念,如虚数、纯虚数、复数的模、共轭复数、复数相等.2.解题关键:掌握复数的相关概念.3.核心素养:提升学生的数学抽象能力.【典例1】(1)已知复数z满足z2z=1+3i,其中i是虚数单位,z为z的共轭复数,则z=()A.1+i B.1iC.1+i D.1i【解析】选C.设z=a+bi(a,b∈R),则z=abi,由于z2z=1+3i,所以a+bi2(abi)=1+3i,整理得a+3bi=1+3i.所以由复数相等可知:a=1,b=1,所以z=1+i.(2)(2024·江门高一检测)已知m∈R,复数z=m(m+2)m-1+(①z是纯虚数?②z=12【解析】①因为z是纯虚数,所以m2+2m-3≠0m(m+2)m-1=0②因为z=124i,所以m2+2m-3=-4m(m+2【总结升华】处理复数概念问题的注意点(1)当复数不是a+bi(a,b∈R)的形式时,要通过变形化为a+bi的形式,以便确定其实部和虚部.(2)复数的分类,要弄清复数类型的充要条件,若复数a+bi是实数,则b=0;若复数a+bi是纯虚数,则a=0且b≠0;若复数a+bi为零,则a=0且b=0;若复数a+bi是虚数,则b≠0.(3)明确复数相等的条件、共轭复数的定义.【即学即练】1.(2024·安庆高一检测)已知a,b均为实数,复数:z=a2b+(b2a)i,其中i为虚数单位,若z<3,则a的取值范围为()A.(1,3)B.(∞,1)∪(3,+∞)C.(∞,3)∪(1,+∞)D.(3,1)【解析】选A.因为z=a2b+(b2a)i<3,所以z为实数,即b-则有a22a3<0,解得1<a<3,即a的取值范围为(1,3).2.(2024·张家口高一检测)已知复数z1=m22+(m+2)i(m∈R),z2=cos2θ+isinθ,若z1=z2,则实数m=__________.

答案:1或5【解析】若z1=z2,则m2又cos2θ=12sin2θ,则m22=12(m+2)2,解得m=1或m=53题型二复数及其运算的几何意义1.问题类型:复数、复数加减、复数差的模的几何意义.2.解题关键:掌握复数的代数形式与几何意义.3.核心素养:提升学生的直观想象能力.【典例2】(1)(2024·长春高一检测)在如图所示的复平面内,复数z1,z2,z3对应的向量分别是,,,则复数z32z1-3A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.根据题意z1=3+2i,z2=2+2i,z3=12i,故z32z1-3z2=1-2i则复数z32z1-3(2)已知复数z满足|z|=1,则|z+512i|(i为虚数单位)的最大值为__________.

答案:14【解析】|z+512i|=|z(5+12i)|,记z=a+bi(a,b∈R),对应点为P(a,b),5+12i对应点为Q(5,12),复平面原点为O(0,0),由|z|=1可知,点P在单位圆x2+y2=1上,由复数减法的几何意义可知,|z+512i|表示点P,Q的距离,易知,|OQ|1≤|PQ|≤|OQ|+1,因为|OQ|=(-5)2+122=13,所以12≤|【总结升华】复数及其运算的几何意义(1)复数的几何意义:复数z=a+bi(a,b∈R)对应复平面内的点Z(a,b)与向量=(a,b);(2)复数加、减运算的几何意义:对应向量的加、减运算;(3)复数模的几何意义:|z1z2|表示复数z1对应的点Z1和z2对应的点Z2之间的距离.【即学即练】复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,求|z1z2|的值.【解析】如图,设复数z1,z2所对应的点分别为Z1,Z2,=+;由已知,||=3+1=2=||=||,所以平行四边形OZ1PZ2为菱形,且△OPZ1,△OPZ2都是正三角形,所以∠Z1OZ2=120°,||2=||2+||22||||cos120°=22+222×2×2×12=12,所以|z1z2|=||=23.题型三复数的四则运算1.问题类型:复数的四则运算.2.解题关键:掌握运算法则与运算律.3.核心素养:提升学生的数学运算能力.【典例3】(2024·西安高一检测)计算下列各题:(1)(12+32i)(32(2)3+2i2-(3)1+i2023【解析】(1)原式=(3414i+34i+3=(32+12i)(1+i)=3232i+12i+12i2(2)原式=(=(6+9i+4i+6i2)(3)原式=1+i31-i+|3-【总结升华】复数的四则运算(1)方法:应用运算法则结合运算律进行计算;(2)注意:将含有虚数单位i的看作一类,不含i的看作另一类,分别合并同类项,最终要将i的幂化成最简形式.【即学即练】已知复数z1=15-5i(2+i)2,z2=a(1)若a=2,求z1·z2(2)若z=z1z2是纯虚数,求【解析】(1)由于z1=15-5i(2+i)2=15-当a=2时,z2=23i,所以z1·z2=(13i)(2+3i)=2+3i6i+9=113i(2)若z=z1z2=1-3ia-3i=(1-3i)(a题型四复数范围内一元二次方程的根1.问题类型:复数范围内解实系数一元二次方程.2.解题关键:掌握配方法与求根公式.3.核心素养:提升学生的逻辑推理能力.【典例4】(2024·长沙高一检测)已知关于x的方程3x22ax+a=0,a∈R.(1)当a=1时,在复数范围内求方程的解;(2)已知复数z=2a+i,若方程3x22ax+a=0有虚根,求z的模的取值范围.【解析】(1)当a=1时,方程为3x22x+1=0,配方可得,(x13)2=2两边开方可得,x13=±2所以,方程的解为x=13±23(2)要使方程3x22ax+a=0有虚根,则Δ=(2a)24×3a=4a212a<0,所以0<a<3,所以0<a2<9,又|z|2=4a2+1,所以1<|z|2<37,所以,1<|z|<37,所以|z|的取值范围为(1,37).【总结升华】若实系数一元二次方程无实数根,此时方程的两个虚数根互为共轭复数,可以利用根与系数的关系求解相关问题.【即学即练】已知关于x的方程x2px+25=0(p∈R)在复数范围内的两根分别为x1,x2.(1)若p=8,求x1,x2;(2)若x1=3+4i,求p的值.【解析】(1)由题意得,Δ=p2100=36<0,所以x=8±-(82所以x1=4+3i,x2=43i.(2)已知关于x的方程x2px+25=0(p∈R)的一个根为x1=3+4i,所以(3+4i)2p(3+4i)+25=(183p)+(244p)i=0,所以183p=0,244p=0,解得p=6.【真题1】(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i,则zzA.i B.i C.0 D.1【解析】选A.因为z=1-i2+2i=(1-i)(1-i)2(【溯源】(教材P95T7)已知(1+2i)z=4+3i,求z及zz解设z=a+bi(a,b∈R),则z=abi,所以(1+2i)(abi)=4+3i,所以(a+2b)+(2ab)i=4+3i,所以a+2所以a=2,b=1,所以z=2+i,所以z=2i,所以zz=2+i2-i=(2+i)[点评]教材习题是已知一个复数的共轭复数,求这个复数及这个复数与其共轭复数的除法运算;真题是已知一个复数,求这个复数与其共轭复数的减法运算;本质均在考查共轭复数的求法及复数的四则运算.【真题2】(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3i)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.因为(1+3i)(3i)=3+8i3i2=6+8i,则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.【溯源】(教材P95T1(3))当23<m<1时,复数m(3+i)(2+i)在复平面内对应的