导学案数学第八章85852第2课时直线与平面平行的性质定理

第2课时直线与平面平行的性质定理【学习目标】1.理解直线和平面平行的性质定理.2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系.3.能够综合应用直线和平面平行的判定和性质定理进行线线、线面平行的转化.【素养达成】数学抽象、直观想象逻辑推理直观想象、逻辑推理直线与平面平行的性质定理1.定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.2.符号表示:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.【教材挖掘】(P138)1.若直线a∥平面α,如何在平面α内找一条直线与a平行?提示:根据直线与平面平行的性质定理,只需过a作一平面与平面α相交,则交线与a平行.2.若a∥α,过a与α相交的平面有多少个?提示:过a与平面α相交的平面有无数个.【版本交融】(苏教P178)三个平面两两相交,如果三条交线中两条直线平行,那么第三条直线与它们具有怎样的位置关系?如果三条交线中有两条相交呢?提示:三个平面两两相交,如果三条交线中两条直线平行,那么第三条直线也与它们平行;如果三条交线中有两条相交,那么第三条直线也与它们相交.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与该平面内的任意一条直线都平行.(×)提示:这条直线与该平面内的直线可能是异面直线.(2)若直线a∥平面α,则平面α内有唯一一条直线与直线a平行.(×)提示:平面α内有无数条直线与直线a平行,这些直线都是相互平行的.(3)如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线平行.(×)提示:这两条直线也可能相交或异面.(4)若直线a∥平面α,则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点.(√)类型一直线与平面平行性质定理的应用(逻辑推理、数学运算)角度1证明问题【典例1】如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.【证明】因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB⊂平面ABC,所以由线面平行的性质定理可知AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形.【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤【即学即练】如图所示,E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且EH∥FG.求证:EH∥BD.【证明】因为EH∥FG,EH⊄平面BCD,FG⊂平面BCD,所以EH∥平面BCD.又因为EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD.角度2求值问题【典例2】如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是菱形,点E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且SFSC=λ,SA∥平面BEF.求实数λ的值【解析】如图,连接AC,设AC∩BE=G,连接FG,则平面SAC∩平面EFB=FG.因为SA∥平面BEF,SA⊂平面SAC,平面SAC∩平面EFB=FG,所以SA∥FG,所以SFFC=AG因为AE∥BC,所以△GEA∽△GBC,所以AGCG=AECB=所以SFFC=AGGC=即SF=13SC,所以λ=1【总结升华】求值问题的三个关键点(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系;(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系;(3)利用所得关系计算求值.【即学即练】如图,在三棱锥PABC中,点D,E分别为棱PB,BC的中点,点G为CD,PE的交点,若点F在线段AC上,且满足AD∥平面PEF,则AFFC的值为(A.1 B.2 C.12 D.【解析】选C.由于AD∥平面PEF,AD⊂平面ACD,平面ACD∩平面PEF=FG,根据线面平行的性质定理可知AD∥FG.由于点D,E分别为棱PB,BC的中点,点G为CD,PE的交点,所以G是△PBC的重心,所以AFFC=DGGC=类型二线面平行关系的综合应用(逻辑推理)【典例3】如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,N,M,Q分别为PB,PD,PC的中点.(1)求证:QN∥平面PAD;(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l,试判断直线l与平面PBD的位置关系,并证明.【解析】(1)因为N,Q分别为PB,PC的中点,所以QN∥BC.因为底面ABCD是菱形,所以BC∥AD,所以QN∥AD,因为QN⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以QN∥平面PAD.(2)直线l与平面PBD平行,证明如下:因为N,M分别为PB,PD的中点,所以MN∥BD,因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.因为平面CMN与底面ABCD的交线为l,MN⊂平面CMN,由线面平行的性质定理可得MN∥l.又因为MN⊂平面PBD,l⊄平面PBD,所以直线l∥平面PBD.【总结升华】线面平行关系的综合应用(1)逻辑关系:(2)应用:由线线平行判定线面平行,由线面平行可以推出线线平行,解题过程实质是这两种平行关系的相互转化.【补偿训练】如图,在四棱锥PABCD中,已知底面ABCD为平行四边形,点E为棱PD的中点.(1)求证:BC∥平面PAD;(2)设平面EBC∩平面PAD=EF,点F在PA上,求证:F为PA的中点.【证明】(1)因为底面ABCD为平行四边形,所以BC∥AD,因为AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所