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文档简介

公安三中级高一下学期3月考试数学试卷命题人:刘军85分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知,且为第二象限角,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据同角三角关系结合象限角的三角函数值的符号分析求解.【详解】因为,且为第二象限角,所以.故选:A.2.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小,?”其截面如图所示.用锯去锯这木材,若,,则图中弧与弦围成的弓形的面积为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知所求弓形的面积为扇形的面积减去等边三角形的面积,所以根据已知条件求出扇形的面积和等边三角形的面积即可.第1页/共18页【详解】因为,,所以为等边三角形,因为,所以,所以弧与弦围成的弓形的面积为.故选:B3.已知且,若,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据指数式对数式互化求出求解即可.【详解】由,得,即,所以,所以.故选:C.4.设,则有()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三角函数恒等变换化简可得,,.根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小.【详解】,第2页/共18页,,,,即有:.故选:D5.已知,且,则的值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以为整体,可得,根据展开计算得到答案.【详解】因为,则,且,可得,所以.故选:A.6.的终边逆时针旋转单位圆交点的纵坐标为,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】第3页/共18页【分析】有三角函数的定义得,然后利用二倍角的余弦公式求出,求解即可.【详解】将角终边逆时针旋转,与单位圆交点的纵坐标为,所以,所以,所以,故选:B.7.设函数,若的图象经过点,且在上恰有2个零点,则实数ω的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据的图象经过的点及范围求出,再根据x的范围得,结合正弦函数的性质,列出相应不等式,即可求得范围,即可得答案.【详解】因为的图象经过点,所以,又,所以,则函数,当时,,因为在上恰有2个零点,所以,所以,即实数ω的取值范围是.故选:B.8.已知函数恰有两个对称中心在区间上,且,则的所有可能取值之和是()第4页/共18页A.6B.C.D.16【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数,再利用正弦函数的性质结合对称中心个数分类求出的值.【详解】函数,其最小正周期,由函数在区间上恰有两个对称中心,得,即,解得,又,则当是函数图象对称轴时,,解得,此时或,或;当与为周期长的区间两个端点时,,解得,符合题意,所以的所有可能取值之和是.故选:D求出是关键.36分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分)9.下列各式中,计算结果为的是()A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用两角和的正弦公式可判断A选项;利用二倍角的余弦公式可判断B选项;利用两角差的正切公式可判断C选项;利用二倍角的正切公式可判断D选项.【详解】对于A选项,;第5页/共18页对于B选项,;对于C选项,;对于D选项,.故选:AC.10.已知函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是()A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根,则的取值范围是【答案】ABD【解析】ABC规律即可求得平移后的函数,化简进行比较;对于D,先判断出单调性,求出最值,进而求解.详解】由题图可得,,故,所以,第6页/共18页又,即,所以,,又,所以,所以.对于A:当时,,故A正确;对于B:当时,为最小值,故的图象关于直线对称,故B正确;对于C:将函数的图象向左平移个单位长度得到函数:的图象,故C错误;对于D:当时,,则当,即时,单调递减;当,即时,单调递增,因为,,,所以方程在上有两个不相等的实数根时,的取值范围是,故D正确.故选:ABD已知是定义在上的奇函数,为偶函数,且当时,,则()A.的周期为B.C.的所有零点之和为第7页/共18页D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题意由的奇偶性和对称性分析的周期判断A;结合已知结合对称性得,,,,进而利用周期性求和判断B;的零点可看作与的图象交点的横坐标,作出与的图象,根据中心对称即可判断C;结合与的函数值的符号,根据奇函数性质和周期性判断D.【详解】由为偶函数,得,即,函数的图象关于直线对称,由为奇函数,得,即,则,的图象关于点对称,因此函数是周期为的周期函数,A错误;由当时,,得,而,,,因此,B正确;的零点可看作与的图象交点的横坐标,作出与的图象,观察图形知,直线与的图象共有个交点,且它们关于点成中心对称,第8页/共18页所以所有零点之和为,C正确;当时,,,与均为奇函数,则当时,因此当时,,又与的周期都为,所以,D正确.故选:BCD【点睛】结论点睛:解决抽象函数的求值、性质判断等问题,常见结论:(1关于直线关于点中心对称,则,反之也成立;(2的周期为.三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共分)12.已知角为第二象限角,且满足,则的值为_____.【答案】##【解析】【分析】利用和的关系,先求出的值,再利用和的关系,开方时结合角的范围检验,即可求得结果.【详解】由题意得,所以,因为,所以可得,所以,又因为是第二象限角,则,可得第9页/共18页所以.故答案为:.13.已知函数,则函数的值域为___________.【答案】【解析】【分析】利用平方关系降幂,再利用二倍角公式化简后,结合正弦函数值域与二次函数性质得值域.详解】,又,所以,故答案为:.14.设函数,若恒成立,求的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】设,,问题转化为这两个函数在定义域内同正同负或同为0,结合函数图象得出它们的图象与轴交点重合,从而得出关系,代入,再由基本不等式得最小值.【详解】由已知的定义域是,设,,显然它们在定义域内都是增函数,因此恒成立,则与在定义域内同正同负或同为0,作出的图象,要求,只要它们的图象与轴的交点重合,如图所示,由,由,所以,,第10页/共18页所以,当且仅当,即时等号成立,故答案为:四、解答题(本题共5小题,共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知.(1)化简;(2)若,且满足,求的值.【答案】(1)(2)【解析】1)根据诱导公式直接化简即可;(2)由(1)可得,解得,再利用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简代入计算即可.【小问1详解】由题意可知.第11页/共18页【小问2详解】由(1)可知,则,即,可得,且,可得,所以.16.已知函数,.(Ⅰ)求函数的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)若为锐角且,满足,求.【答案】(Ⅰ),,.(Ⅱ)【解析】使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数,然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间.用两角差的正弦公式代入计算即可..所以的最小正周期,第12页/共18页令,,解得,,所以函数的单调递增区间为,.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,因为为锐角,所以,,又因为,所以,所以.【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式,中档题.17.已知函数,.(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;(2)求函数在区间上的最小值和最大值,并求出取得最值时的值;(3)求不等式的解集.【答案】(1);单调递减区间是,(2),;,(3)【解析】第13页/共18页1)由的性质求周期,结合余弦函数单调性得减区间;(2)求出的范围,再结合余弦函数的性质得最值;(3)由余弦函数的性质解不等式.【小问1详解】的最小正周期,当,即,时,单调递减,∴单调递减区间是,.【小问2详解】∵,则,故,∴,此时,即,,此时,即.【小问3详解】,即,所以或,,即或,,所以不等式的解集为.18.已知函数(,,)是定义在上的奇函数.(1)求和实数b的值;第14页/共18页(2)当时,若满足,求实数t的取值范围;(3)若,问是否存在实数m,使得对定义域内的一切t,都有恒成立?【答案】(1),(2)(3)存在【解析】1)直接代入计算出,由奇函数的定义求出值;(2)利用奇函数的性质变形不等式,再由单调性化简后求解;(3)假定存在实数m,对定义域内的一切恒成立,利用奇偶性单调性变【小问1详解】依题意,,又是上的奇函数,则,即,亦即,整理得,于是,而,所以.【小问2详解】由(1)知,,显然函数在上单调递减,由奇函数性质及,得,当时,函数在上单调递增,则在上单调递减,不等式化为,解得,【小问3详解】假定存在实数m,对定义域内的一切,都有恒成立,即恒成立,第15页/共18页当时,由(2)知函数在上单调递增,不等式化为,整理得,于是有对任意恒成立,则,当时,,因此;有对任意恒成立,设,①当时,函数的图象开口向上,对称轴,(i)当,即时,必有,则;(ii)当,即时,在上恒成立,则;(iii)当,即时,在上恒成立,则;②当时,,不满足在上恒成立,综上得且,所以存在使得对定义域内的一切,都有恒成立.19.已知函数,其中t为常数.(1)当时,若,求x的值;(2)设函数在上有两个零点m,n,①求t取值范围;②证明:.【答案】(1)答案见解析第16页/共18页(2)①;②证明见解析【解析】1)将代入后可得,结合范围计算即可得解;(2)①借助换元法,结合二次函数的性质计算即可得;②由韦达定理可得,,结合三角函数在上的单调性与①中所得计算有,即可得,即可得证.【小问1详解】时,即为,,或所以或,,【小问2详解】①令,因为,所以,则,则,由在上单调递增,故关

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