湖北省荆州市公安县第三中学2024-2025学年高一下学期3月考试数学试卷

公安三中级高一下学期3月考试数学试卷命题人：刘军85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，且为第二象限角，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据同角三角关系结合象限角的三角函数值的符号分析求解.【详解】因为，且为第二象限角，所以.故选：A.2.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，?”其截面如图所示.用锯去锯这木材，若，，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知所求弓形的面积为扇形的面积减去等边三角形的面积，所以根据已知条件求出扇形的面积和等边三角形的面积即可.第1页/共18页【详解】因为，，所以为等边三角形，因为，所以，所以弧与弦围成的弓形的面积为.故选：B3.已知且，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据指数式对数式互化求出求解即可.【详解】由，得，即，所以，所以.故选:C.4.设，则有（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三角函数恒等变换化简可得，，.根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小.【详解】，第2页/共18页，，，，即有：.故选：D5.已知，且，则的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案.【详解】因为，则，且，可得，所以.故选：A.6.的终边逆时针旋转单位圆交点的纵坐标为，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第3页/共18页【分析】有三角函数的定义得，然后利用二倍角的余弦公式求出，求解即可.【详解】将角终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，所以，所以，所以，故选：B.7.设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据x的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案.【详解】因为的图象经过点，所以，又，所以，则函数，当时，，因为在上恰有2个零点，所以，所以，即实数ω的取值范围是.故选：B.8.已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则的所有可能取值之和是（）第4页/共18页A.6B.C.D.16【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质结合对称中心个数分类求出的值.【详解】函数，其最小正周期，由函数在区间上恰有两个对称中心，得，即，解得，又，则当是函数图象对称轴时，，解得，此时或，或；当与为周期长的区间两个端点时，，解得，符合题意，所以的所有可能取值之和是.故选：D求出是关键.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分）9.下列各式中，计算结果为的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用两角和的正弦公式可判断A选项；利用二倍角的余弦公式可判断B选项；利用两角差的正切公式可判断C选项；利用二倍角的正切公式可判断D选项.【详解】对于A选项，；第5页/共18页对于B选项，；对于C选项，；对于D选项，.故选：AC.10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是【答案】ABD【解析】ABC规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，进而求解.详解】由题图可得，，故，所以，第6页/共18页又，即，所以，，又，所以，所以．对于A：当时，，故A正确；对于B：当时，为最小值，故的图象关于直线对称，故B正确；对于C：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数：的图象，故C错误；对于D：当时，，则当，即时，单调递减；当，即时，单调递增，因为，，，所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D正确．故选：ABD已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A.的周期为B.C.的所有零点之和为第7页/共18页D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题意由的奇偶性和对称性分析的周期判断A；结合已知结合对称性得，，，，进而利用周期性求和判断B；的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，根据中心对称即可判断C；结合与的函数值的符号，根据奇函数性质和周期性判断D.【详解】由为偶函数，得，即，函数的图象关于直线对称，由为奇函数，得，即，则，的图象关于点对称，因此函数是周期为的周期函数，A错误；由当时，，得，而，，，因此，B正确；的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，观察图形知，直线与的图象共有个交点，且它们关于点成中心对称，第8页/共18页所以所有零点之和为，C正确；当时，，，与均为奇函数，则当时，因此当时，，又与的周期都为，所以，D正确．故选：BCD【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1关于直线关于点中心对称，则，反之也成立；（2的周期为.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共分）12.已知角为第二象限角，且满足，则的值为_____.【答案】##【解析】【分析】利用和的关系，先求出的值，再利用和的关系，开方时结合角的范围检验，即可求得结果.【详解】由题意得，所以，因为，所以可得，所以，又因为是第二象限角，则，可得第9页/共18页所以.故答案为：.13.已知函数，则函数的值域为___________．【答案】【解析】【分析】利用平方关系降幂，再利用二倍角公式化简后，结合正弦函数值域与二次函数性质得值域．详解】，又，所以，故答案为：．14.设函数，若恒成立，求的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】设，，问题转化为这两个函数在定义域内同正同负或同为0，结合函数图象得出它们的图象与轴交点重合，从而得出关系，代入，再由基本不等式得最小值．【详解】由已知的定义域是，设，，显然它们在定义域内都是增函数，因此恒成立，则与在定义域内同正同负或同为0，作出的图象，要求，只要它们的图象与轴的交点重合，如图所示，由，由，所以，，第10页/共18页所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：四、解答题（本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知.（1）化简；（2）若，且满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】1）根据诱导公式直接化简即可；（2）由（1）可得，解得，再利用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简代入计算即可.【小问1详解】由题意可知.第11页/共18页【小问2详解】由（1）可知，则，即，可得，且，可得，所以.16.已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若为锐角且，满足，求．【答案】（Ⅰ），，．（Ⅱ）【解析】使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间.用两角差的正弦公式代入计算即可.．所以的最小正周期，第12页/共18页令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为为锐角，所以，，又因为，所以，所以．【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式，中档题．17.已知函数，．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值；（3）求不等式的解集．【答案】（1）；单调递减区间是，（2），；，（3）【解析】第13页/共18页1）由的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间；（2）求出的范围，再结合余弦函数的性质得最值；（3）由余弦函数的性质解不等式．【小问1详解】的最小正周期，当，即，时，单调递减，∴单调递减区间是，.【小问2详解】∵，则，故，∴，此时，即，，此时，即．【小问3详解】，即，所以或，，即或，，所以不等式的解集为．18.已知函数（，，）是定义在上的奇函数.（1）求和实数b的值；第14页/共18页（2）当时，若满足，求实数t的取值范围；（3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？【答案】（1），（2）（3）存在【解析】1）直接代入计算出，由奇函数的定义求出值；（2）利用奇函数的性质变形不等式，再由单调性化简后求解；（3）假定存在实数m，对定义域内的一切恒成立，利用奇偶性单调性变【小问1详解】依题意，，又是上的奇函数，则，即，亦即，整理得，于是，而，所以.【小问2详解】由（1）知，，显然函数在上单调递减，由奇函数性质及，得，当时，函数在上单调递增，则在上单调递减，不等式化为，解得，【小问3详解】假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立，即恒成立，第15页/共18页当时，由（2）知函数在上单调递增，不等式化为，整理得，于是有对任意恒成立，则，当时，，因此；有对任意恒成立，设，①当时，函数的图象开口向上，对称轴，（i）当，即时，必有，则；（ii）当，即时，在上恒成立，则；（iii）当，即时，在上恒成立，则；②当时，，不满足在上恒成立，综上得且，所以存在使得对定义域内的一切，都有恒成立.19.已知函数，其中t为常数.（1）当时，若，求x的值；（2）设函数在上有两个零点m，n，①求t取值范围；②证明：.【答案】（1）答案见解析第16页/共18页（2）①；②证明见解析【解析】1）将代入后可得，结合范围计算即可得解；（2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得，，结合三角函数在上的单调性与①中所得计算有，即可得，即可得证.【小问1详解】时，即为，，或所以或，，【小问2详解】①令，因为，所以，则，则，由在上单调递增，故关