备战2025年中考数学真题题源解密（全国）专题02 整式与因式分解（解析版）

专题02整式与因式分解课标要求考点考向1.会把具体数代入代数式进行计算。2了解整数指数幂的意义和基本性质。理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则。能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算。5.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a²-b²，(a±b)²=a²±2ab+b²，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。6.能用提公因式法、公式法进行因式分解。整式考向一单项式与多项式考向二同类项考向三整式的加减考向四整式的乘除考向五整式的混合运算因式分解考向一提公因式法因式分解考向二公式法因式分解考点一整式►考向一单项式与多项式1．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是．【答案】【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【详解】单项式的次数是：，故答案为：．2．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为．【答案】【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可．【详解】解：∵a，，，，…，∴第n个单项式的系数是1；∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…，∴第n个式子是．∴第100个式子是．故答案为：．3．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；③满足条件的整式共有16个．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可．【详解】解：∵为自然数，为正整数，且，∴，当时，则，∴，，满足条件的整式有，当时，则，∴，，，，满足条件的整式有：，，，，当时，则，∴，，，，，，满足条件的整式有：，，，，，；当时，则，∴，，，，满足条件的整式有：，，，；当时，，满足条件的整式有：；∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意；不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意；满足条件的整式共有个．故③符合题意；故选D►考向二同类项易错易混提醒1.判断同类项标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。注意事项：同类项与系数的大小无关，与它们所含的字母顺序无关，所有常数项都是同类项。2.合并同类项要点：字母和字母的指数不变，只把系数相加减。考查角度1同类项的定义4．（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项：．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案．【详解】解：的一个同类项为，故答案为：考查角度2合并同类项5．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案．【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；B、，故原选项计算错误，不符合题意；C、，故原选项计算正确，符合题意；D、，故原选项计算错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．►考向三整式的加减6．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为．【答案】【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可．【详解】解：依题意这个多项式为．故答案为：7．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是．【答案】3456【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，再由可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，进而得到，根据是整数，得到是整数，即是整数，则是13的倍数，求出，再按照a从大到小的范围讨论求解即可．【详解】解：∵是一个“友谊数”，∴，又∵，∴，∴，∴这个数为；∵是一个“友谊数”，∴，∴，∴，∵是整数，∴是整数，即是整数，∴是13的倍数，∵都是不为0的正整数，且，∴，∴当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意；当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意；当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时，则此时，∵要使M最大，则一定要满足a最大，∴满足题意的M的最大值即为；故答案为：3456；．►考向四整式的乘除解题技巧/易错易混1.单项式与单项式相乘法则：将系数相乘作为积的系数，相同字母的幂相乘，单独在一个单项式里的字母连同它的指数作为积的一个因式。2.单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。3.多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。4.单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。5.多项式除以单项式法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。考查角度1幂的运算8．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算错误，不符合题意；D、，原式计算正确，符合题意；故选：D．9．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．【详解】解：由题意得：，∴，∴，故选：A．10．（2024·天津·中考真题）计算的结果为．【答案】【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．考查角度2单项式乘单项式11．（2024·湖北·中考真题）的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断．【详解】解：，故选：D．考查角度3单项式乘多项式12．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（

）A．a B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：故选：D．考查角度4多项式乘多项式13．（2024·山东威海·中考真题）因式分解：．【答案】【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：故答案为：．考查角度5平方差公式14．（2024·上海·中考真题）计算．【答案】【分析】根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．考查角度5完全平方公式15．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是．【答案】3【分析】根据，通过平方变形可以求得所求式子的值．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式．►考向五整式的混合运算16．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．【详解】解：．当时，原式．考点二因式分解►考向一提公因式法因式分解17．（2024·浙江·中考真题）因式分解：【答案】【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键．【详解】解：．故答案为：．18．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是．【答案】2【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．【详解】解：∵，，，故答案为：2．►考向二公式法因式分解19．（2024·西藏·中考真题）分解因式：．【答案】/【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．【详解】解：，故答案为：．20．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则．【答案】【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值．【详解】解：∵，∴，∵，∴．故答案为：．21．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，．【答案】，6【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解．【详解】解：；当，时，原式．22．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．(1)求证：为非负数；(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．【答案】(1)证明见解析；(2)不可能都为整数，理由见解析．【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．（1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解；（2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可．【详解】（1）解：因为，所以．则．因为是实数，所以，所以为非负数．（2）不可能都为整数．理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．①当都为奇数时，则必为偶数．又，所以．因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．又因为，所以．因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．综上所述，不可能都为整数．23．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：奇数的倍数表示结果一般结论

______按上表规律，完成下列问题：（）（

）（

）；（）______；(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析：若均为偶数，设，，其中均为自然数，则为的倍数．而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．若均为奇数，设，，其中均为自然数，则______为的倍数．而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．由可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．【答案】(1)（），；（）；(2)【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解；（）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．【详解】（1）（）由规律可得，，故答案为：，；（）由规律可得，，故答案为：；（2）解：假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析：若均为偶数，设，，其中均为自然数，则为的倍数．而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．若均为奇数，设，，其中均为自然数，则为的倍数．而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．由可知，猜测正确．故答案为：．一、选择题1．（2024·广西·模拟预测）若，则括号中应填入（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号，据此求解即可．【详解】解：，故选：C．2．（2024·河南郑州·模拟预测）给出下列判断：在数轴上，原点两旁的两个点所表示的数都互为相反数；多项式是三次三项式；任何正数都大于它的倒数；变为利用了等式的基本性质．其中正确的说法有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】本题主要考查相反数的概念、数轴的基本概念、等式的基本性质、单项式与多项式的基本概念以及倒数的概念。根据相反数，可判断，根据多项式的项、次数，可判断，根据有理数的大小比较，可判断，根据等式的性质，可判断④．【详解】解；只有符号不同的两个数互为相反数，故错误；多项式是四次三项式，故错误；小于的正数小于它的倒数，故错误；变为利用了等式的基本性质，故正确；故选：B．3．（2024·河南·一模）在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查代数式的分类，根据多项式的定义求解即可．【详解】A.是分式，故A选项不符合题意；B.是多项式，故B选项符合题意；C.是无理式，故C选项不符合题意；D是单项式，故D选项不符合题意；故选：B．4．（2024·云南·模拟预测）观察下列按一定规律排列的n个数：x，，，，……，按照上述规律，第9个单项式是（）A． B． C．17 D．【答案】B【分析】本题考查单项式中的规律问题，观察已有单项式，得到第个单项式为：，进而求出第9个单项式即可．【详解】解：观察已有单项式可知：第个单项式为：，∴第9个单项式是：；故选B．5．（2024·云南·模拟预测）下列命题正确的是（

）A．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形B．“水涨船高”是随机事件C．单项式的次数是2D．一元二次方程有两个不相等的实数根【答案】A【分析】本题考查了正方形的判断定理，随机事件与必然事件，单项式的次数，根的判别式，运用相关知识定理一一判断即可．【详解】解：A、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，正确，符合题意；B、“水涨船高”是随机事件，错误，“水涨船高”是必然事件，选项不符合题意；C、单项式的次数是2，错误，单项式的次数是3，选项不符合题意；D、一元二次方程有两个不相等的实数根，，错误，选项不符合题意；故选：A．6．（2024·河北唐山·三模）与相等的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案．【详解】解：，故选：C．7．（2024·河北·模拟预测）下列运算中，与运算结果相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方，根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：，A、，故A符合题意；B、和不是同类项，故不能直接相加，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D不符合题意；故选：A．8．（2024·浙江·模拟预测）小江去超市购物，打算购买一件商品，在结账时遇到了问题（如图），你选择的办法是（

）A．先打折，再用券 B．先用券，再打折C．都一样 D．无法确定，取决于商品价格高低【答案】A【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用．设商品标价为元，分别得到先打折，再用券以及先用券，再打折需要支付的费用，再比较即可求解．【详解】解：设商品标价为元，先打折，再用券需要支付元，先用券，再打折需要支付元，，即先打折，再用券比先用券，再打折更省钱，故选：A．9．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数、都有，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】该题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出等式．原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：，故选：B．10．（2024·重庆·模拟预测）有n个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①；②若第6项与第5项之差为4057，则；③当时，；其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索，整式的加减计算，根据所给计算方式，依次求出第1项，第2项，第3项，…，及，，，…，发现规律即可解决问题．【详解】解：由题知，第1项为：，第2项为：，∴，∴，∴第3项为：，，第4项为：，…，以此类推，第n项为：，（n为正整数）．当时，．故①正确．第6项与第5项之差可表示为：，∴，解得．故②正确．当时，．故③正确．故选：D．11．（2024·湖南·模拟预测）下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可．【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；B、，原选项计算错误，不符合题意；C、，原选项计算正确，符合题意；D、不能合并，原选项计算错误，不符合题意；故选C．12．（2024·重庆·一模）在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法：①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果；②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等；③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按照所提供的运算，将所有存在的结果计算，即可解题．【详解】解：对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算，，故①正确；对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，，对多项式的“数1”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，或对多项式的“数2”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，或对多项式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，，综上共4种结果，故③错误；其中存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等，故②错误．故选：B．二、填空题13．（2024·甘肃·三模）如果与是同类项，那么．【答案】2【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此解答即可．【详解】解：根据题意得：，，故答案为：2．14．（2024·福建厦门·二模）已知，则的值为．【答案】2【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键．先根据得出，然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可．【详解】解：∵，∴，．15．（2024·湖北·一模）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．当代数式的值为8时，则的值为．【答案】5【分析】此题考查了多项式中乘法规律问题．观察题中的图表，表示出，根据已知代数式的值为8，确定出的值即可．【详解】解：根据题意得：，，，开立方得：，解得：．故答案为：5．16．（2024·湖南·模拟预测）某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为本．【答案】9【分析】本题主要考查了整式加减的意义，设一开始三名同学各有x本图书，则甲、丙借完图书给乙后乙有图书本，而甲、丙剩余图书之和为，再根据题意列式求解即可．【详解】解：设一开始三名同学各有x本图书，由题意得，乙同学手上剩余图书的数量为本，故答案为：9．三、解答题17．（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的．(1)求m与n的关系；(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是解答的关键．（1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根