高等数学教程 下册（第4版）课件：重积分

重积分11.1二重积分的概念与性质11.1.1二重积分的概念柱体体积

=底面积×高

平顶柱体问题11.1求曲顶柱体的体积曲顶柱体体积=?D曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).x0z

yDSS:z=f(x,y)1.任意分割区域

D,化整为零2.以平代曲

ix0z

yDS:z=f(x,y)3.积零为整2.

以平代曲1.任意分割区域

D,化整为零

ix0z

yDS:z=f(x,y)4.取极限

i2.

以平代曲1.任意分割区域

D,化整为零V=3.积零为整x0z

yS:z=f(x,y)4.取极限V2.以平代曲V=1.任意分割区域

D,化整为零3.积零为整也表示它的面积,定义(1)将闭区域

D任意分成n个小闭区域

(2)作乘积

(3)并作和D设是有界闭区域

D的有界函数,积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素若和式则称函零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值

趋近于的极限存在,记为即(4)数在区域D上可积，在闭区域D上的二重积分,此极限为函数曲顶柱体体积曲顶

即在底D上的二重积分,二重积分的几何意义当被积函数小于零时,柱体体积,又可看成是D的面积.数值上既可看成是以D为底,以1为高的二重积分是柱体的体积的负值．特别地例1

设D为圆域二重积分=解

上述积分等于由二重积分的几何意义可知，是上半球面上半球体的体积:RD2.在直角坐标系下用平行于坐二重积分可写为注定积分中1.重积分与定积分的区别:重积分中可正可负.则面积元素为D标轴的直线网来划分区域D,性质1(二重积分的线性性质)二重积分与定积分有类似的性质11.1.2二重积分的性质性质2(积分对区域的可加性)

oxyD1D2D1与D2除分界线外无公共点.D性质3(保号性)

例的值=().(A)为正(B)为负(C)等于0(D)不能确定为负B进而有性质4(积分估值定理)性质5(积分中值定理)则设

,分别是

在有界闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积.则在D上至少存在一点使得

为D的设函数在有界闭区域D上连续,面积,解区域D的面积例2

不作计算,估计的值,其中D是椭圆闭区域：在D上，由性质5知解故于是

三角形斜边方程例3

比较积分与的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).因此

在D内有

(B)(C)(D)因B练习设是有界闭区域D:上的连续函数,极限(A)不存在由函数的连续性知,11.2二重积分的计算11.2.1直角坐标系下二重积分的计算

二重积分的计算方法是:将二重积分化为二次1.矩形区域上的二重积分积分区域D为矩形在D上连续.设积分(累次积分)来计算.

的值等于以区域D为底,曲面z=f(x,y)把柱体切割成平行于xOz平面的薄片,对应薄片又有于是

为顶的曲顶柱体的体积,现用定积分计算这个体积.

如果先把柱体做平行于yOz平面的切割,则得到另一个次序相反的二次积分习惯上,通常把记成

即表示先对

x积分,再对y积分.

同理例1计算其中D为矩形区域解先对x积分

即等于两个定积分的乘积.注:如在矩形区域D上,则2.横向区域:这样的区域上通常可以先对x积分,再对y积分

则例2计算其中D是由直线

先对x积分

所围平面闭区域.解3.纵向区域这样的区域上通常可以先对y积分,再对x积分

则例3计算其中D如图所示.

解先对y积分

D2D14.复杂区域

对于一般的平面区域,可以用平行于坐标轴的例4计算其中D如图所示.

解积分区域D可以划分成

直线将其分成若干个横向区域或纵向区域,然后利用二重积分对积分区域的可加性进行计算.于是D1D2例5交换积分次序:解积分区域:原式=解先交换积分次序例6计算二次积分而且又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,凡遇如下形式积分:等,一定要放在后面积分.例7

求证证对于左边的累次积分,先交换积分次序.积分区域:可表为:11.2.2在极坐标系下计算二重积分二重积分在极坐标下的表达式为极坐标系中的面积元素θθ在极坐标系下,一般化成1.极点在区域D的外面2.极点在区域D的边界上

(曲边扇形)极坐标系下区域的面积θ3.极点在区域D的内部

直角坐标与极坐标的关系为2.积分区域D是由圆弧、或圆弧与直线所围成.

常用极坐标计算因此

在极坐标下1.若被积函数形如解先画出区域的图形

例8将积分化为极坐标形式的二次积分.

在极坐标系下,圆的方程为直线的方程为解a例9计算其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下注例10计算解(1)在极坐标系下

其中(2)因被积函数是偶函数,所以

又

所以解练习交换积分次序:(1)设积分区域D关于x轴对称,如果函数

f(x,y)关于变量

y为偶函数.oxyD1则D1为D在x轴上方的部分,则如果

f(x,y)关于变量y为奇函数,

利用被积函数的奇、偶性和积分区域的对称性即11.2.3对称性与二重积分可简化二重积分的计算.如果函数

f(x,y)关于变量x为奇函数oxyD1如果函数

f(x,y)关于变量x为偶函数,

则即则(2)设积分区域D关于y轴对称,D1为D在

y轴的右侧部分,即00D1为上半圆域D2为右半圆域例如,设D为圆域(如图)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,(A)(B)(C)(D)0A则练习设D1D2D3D4记

则I=I1+

I2,其中而

I1=D1与D2关于y轴对称D3与D4关于x轴对称xy关于x和关于y都是奇函数而

是关于x的偶函数,关于y的奇函数.

所以

D1D2D3D4(3)设积分区域D关于直线对称,则D1为D在(4)设积分区域D关于直线对称,直线的上方部分,D1为上方部分且则证所以,例如,设为[0,1]上的正值连续函数,证明其中a,b为常数,由区域关于直线对称,得故,﹡11.2.4二重积分的变量替换

变换且满足:具有一阶连续偏导数,(2)且雅可比行列式定理

设f(x,y)在xOy平面上的闭区域上连续,则基本要求:变换后定限简便,求积分容易.注意2.J的性质:1.作什么变换主要取决于积分区域D的形状,同时与要兼顾被积函数

f(x,y)

的形式.解作广义极坐标变换所围成的闭区域.在这变换下例11计算其中D为椭圆故解令则即例11计算其中D是由x轴、y轴和直线所围成的闭区域.故11.3三重积分11.3.1三重积分的概念问题11.2求非均匀密度的物体的质量(1)分割设某物体占有空间区域求物体的质量M.其体积记为V,

物体将空间区域任意分成n个小闭区域质量为

记的体积为上连续,

(2)近似(3)

求和在上任取一点(4)取极限

如果函数,定义将空间区域任意分成n个小闭区域记小闭区域的体积为在上任取一点存在,则称函数在

上可积,设是空间有界闭区域

上的有界体积元素三重积分的几何意义设被积函数则区域V的体积为非均匀密度物体的质量可表示为

三重积分的计算一般是先化为一个定积分记和一个二重积分,最后化为三次定积分.相应的体积元素为在直角坐标系下三重积分可表为在空间直角坐标系中,用平行于三个坐标面的平面的来划分积分区域11.3.2空间直角坐标系下三重积分的计算得到的小闭区域为长方体,1.投影法(先一后二法,先对积分)设积分区域面上的投影为闭区域过点作直线,的函数,于是则再计算在闭区域上的二重积分面x=0,y=0,z=0及平面

x+y+z=1所围成的四面体.Dxy:x=0,y=0,x+y=1围成例1计算三重积分其中

是由坐标解Oyx11x+y+z=1所围成的四面体.思考题:设

是由坐标面x=0,y=0,z=0及平面解由对称性于是柱面以及抛物面围成.例2计算其中

是由坐标面z=0解

在xOy面投影为

Oyx11由积分区域和被积分函数的对称性,有解

的原函数不是初等函数,应先

x对积分一定要交换积分次序.例3计算球面

及抛物面所围成.先求两个曲面的交线

例4计算三重积分其中

是由上半

解由解得故,

在xOy面投影为

规定:称为点M的柱面坐标.设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为则这样的三个数注:直角坐标与柱面坐标的关系为

在柱面坐标下2.积分区域

是由柱面、锥面、旋转抛物面、平

常用柱面坐标计算1.若被积函数形如三重积分在柱面坐标系下的表达式为通常化为先对z、再对r、后对的三次积分.面或球面所围成.2.截面法(先二后一法，后对积分)(红色部分)得投影区间(3)计算二重积分(4)最后计算定积分即(1)把积分区域

向某轴(如z轴)投影,截面法(先二后一法)解例5计算三重积分其中

为三个原式坐标面及平面所围成的闭区域.解与平面所围成的锥台体.可看出如先对z积分,

积不出来.这里应先对

积分,最后对z积分.例6计算其中

是由锥面三重积分对称性质:若f关于变量z是奇函数,即1.设积分区域

关于xOy坐标面对称.为

在xOy坐标面的上半部分区域.则若f关于变量z是偶函数,即则类似地,若f关于变量

x是奇函数,即2.设积分区域

关于yOz坐标面对称.为

在

yOz坐标面的前半部分区域.则若f关于变量

x是偶函数,即则若f关于变量

y是奇函数,即3.设积分区域

关于xOz坐标面对称.为

在

yOz坐标面的右半部分区域.则若f关于变量

y是偶函数,即则例设

为则则必有()设空间区域C记投影向量与x轴正方向的规定:正方向间的夹角为设M(x,y,z)为空间内一点,向xOy平面投影,夹角为11.3.3利用球坐标系计算三重积分称为点M的球面坐标.直角坐标与球面坐标的关系为2.积分区域

是由球面、锥面或平面所围成.

常用球面坐标计算因此

在球面坐标下1.若被积函数形如SρM

yz

x0ρ=常数:

=常数:球面S动点M(ρ,

,

)球面坐标下的三坐标面分别为

Cρ=常数:球面S

=常数::S半平面P动点M(ρ,

,

)M

yz

x0

P

=常数:锥面Cρ

dρd

ρsin

xz

y0圆锥面

ρd

球面ρ圆锥面+d

球面ρ+dρ元素区域由六个坐标面围成：d

ρsin

d

球面坐标下的体积元素半平面

及+d

；

半径为ρ及ρ+dρ的球面圆锥面

及+d

ρ

dρd

xz

y0d

ρd

元素区域由六个坐标面围成：ρsin

d

ρ2sin

dρd

d

dVdV=半平面

及+d

；

半径为ρ及ρ+dρ的球面；圆锥面

及+d

三重积分在球面坐标系下的表达式为通常化为先对再对

后对

的三次积分.例7计算其中

是由锥面

与平面所围的立体.解采用球面坐标所以例8求其中

由半球面

解与锥面所围成.因

由关于yOz面对称,同理,因

由关于xOz面对称,所以,利用球面坐标计算11.4

重积分的应用11.4.1几何应用1.求体积

由二重积分的几何意义,xOy面上的闭区域D为底的以连续曲面

曲顶柱体的体积为为顶,由三重积分的性质知,

占有空间区域

的立体的体积为axz

y0例1求圆柱面所围立体体积.Dy=0x

=0aaaaxoyDxz

y0解解例2

求区域与的公共部分的体积.由

由锥面和球面围成,采用球面坐标所求体积

(1)设光滑曲面Σ的方程为:设小区域作母线平行于z轴的小柱面,2.求曲面的面积它在xOy面上的投影区域为,——曲面Σ的面积元素曲面面积为则有而(3)设曲面Σ的方程为：曲面面积为(2)设曲面Σ的方程为：曲面面积为它在yOz面上的投影区域为

,它在xOz面上的投影区域为解于是

表面积

例3

求球面

的表面积.上半球面方程为

axz

y0解设圆柱面为考虑第一卦限例4两相同正圆柱面的轴互相直交,圆柱的底半径为a,求一柱面被另一柱面所割出部分的面积.Daaxz

y0aaxoyD则该质点系的重心的坐标为设有n个质点组成的一个平面质点系,它们分别质量分别为1.重心(质心)11.4.2物理应用其中为质点系的总质量.

类似地,空间质点系的重心坐标公式为当薄片是均匀的,重心称为D的形心.设有一平面薄片,为xOy面上的闭区域D,

在点(x,y)处的面密度为在D上连续,则平面薄片的重心坐标为其中S是闭区域D的面积其体质量密度为

类似地,若

是空间几何体,

的体积为V,则

的重心坐标为其中为体积的重量.

其中为物体的体积.

的形心坐标为例5求位于两圆之间的均匀薄片的质心.解薄片关于x轴对称.则质心Oy

x112x+y=1x+y>1由重积分的性质I1<

I2二重积分习题课解例1比较与的大小,其中D由所围.Oyx

D:x+y=1,x–y=1，x=0所围.11–1先对

y积分y=1–xy=x–1例2将二重积分化成二次积分解Oy

x11–1先对

x积分D1D2x=1–yx=y+1D:Oy

xaax=y例3将二次积分换序解2R区域边界:x=0Oy

x

即

r=2Rsin

r=2Rsin

例4将变为极坐标形式.解或例5计算其中D由围成.解例6计算其中解先去掉绝对值,如图

证例7证明例8

计算二次积分

解oxy解R由对称性例9设D为圆域求C解积分区域D:例10设是连续函数,则C解积分区域关于坐标轴对称.1例11设则二重积分可以化为()因被函数是偶