2024年九年级数学下册 第30章 二次函数30.5二次函数与一元二次方程的关系 2用二次函数的图像解一元二次方程教学实录（新版）冀教版

2024年九年级数学下册第30章二次函数30.5二次函数与一元二次方程的关系2用二次函数的图像解一元二次方程教学实录（新版）冀教版主备人备课成员教学内容教材内容：冀教版九年级数学下册第30章二次函数30.5节，重点讲解二次函数与一元二次方程的关系，并运用二次函数图像解决一元二次方程问题。内容包括：二次函数的定义、性质，一元二次方程与二次函数的关系，以及如何利用二次函数图像求解一元二次方程。核心素养目标培养学生运用数学模型解决问题的能力，提升学生数据分析与几何直观素养。通过本节课的学习，使学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的联系，学会通过图像分析求解方程，提高数学思维和解决问题的能力。同时，培养学生的逻辑推理能力和数学应用意识，为后续学习打下坚实基础。教学难点与重点1.教学重点，

①理解二次函数与一元二次方程之间的对应关系，能够通过二次函数的图像识别一元二次方程的根的情况。

②掌握利用二次函数图像解一元二次方程的方法，包括交点法、对称轴法等。

③应用二次函数的性质来分析一元二次方程的解的情况，如根的判别、根的分布等。

2.教学难点，

①理解二次函数图像与一元二次方程根的关系，特别是当方程有两个相等的实根时，图像的顶点与方程的解的关系。

②准确判断二次函数图像与x轴的交点，尤其是在交点较难直接观察的情况下，如何利用函数性质和代数方法求解。

③将一元二次方程的解与二次函数的图像特征相结合，灵活运用几何直观和代数计算解决实际问题。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，包括冀教版九年级数学下册第30章的相关内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如二次函数图像的动画演示，以及一元二次方程解的实例分析。

3.实验器材：准备白板或投影仪，用于展示二次函数图像和一元二次方程的解的分布。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生合作学习；确保教室环境安静，以便学生集中注意力。教学过程设计（一）导入环节（5分钟）

1.教师通过提问：“同学们，你们在生活中有没有遇到过需要找两个数，使得它们的和为一个固定值，而它们的乘积也符合某个条件的情况？”来激发学生的思考。

2.学生分享生活中的例子，教师总结并提出：“这就是我们今天要学习的二次函数与一元二次方程的关系。”

3.教师展示二次函数的标准形式，引导学生回顾一元二次方程的解法。

（二）讲授新课（15分钟）

1.教师讲解二次函数的定义、性质，包括顶点坐标、对称轴等。

2.通过实例讲解一元二次方程与二次函数的关系，展示方程的解与函数图像的交点对应。

3.教师演示如何利用二次函数图像解一元二次方程，包括交点法和对称轴法。

4.学生跟随教师操作，理解并掌握解题步骤。

（三）巩固练习（10分钟）

1.学生独立完成课本中的练习题，教师巡视指导。

2.学生分组讨论，互相解答疑问。

3.教师选取典型题目，让学生展示解题过程，其他学生补充或纠正。

（四）课堂提问（5分钟）

1.教师提问：“如何判断一元二次方程的解是实数还是复数？”

2.学生回答，教师点评并总结。

3.教师提问：“如何利用二次函数图像判断一元二次方程的解的情况？”

4.学生回答，教师点评并总结。

（五）师生互动环节（5分钟）

1.教师提问：“同学们，通过今天的学习，你们觉得二次函数与一元二次方程的关系有什么意义？”

2.学生分享自己的理解，教师总结并提出：“这种关系可以帮助我们更直观地理解一元二次方程的解的情况，提高解题效率。”

3.教师提问：“如果一元二次方程的系数是分数，我们如何利用二次函数图像解题？”

4.学生讨论并回答，教师点评并总结。

（六）核心素养能力的拓展要求（5分钟）

1.教师提问：“如何将二次函数与一元二次方程的关系应用于实际问题中？”

2.学生举例说明，教师点评并总结。

3.教师引导学生思考：“在实际问题中，如何运用二次函数图像进行决策？”

4.学生讨论并回答，教师点评并总结。

（七）总结与作业布置（5分钟）

1.教师总结本节课的重点内容，强调二次函数与一元二次方程的关系及其应用。

2.学生回顾本节课所学内容，提出疑问。

3.教师布置作业，要求学生独立完成课本中的相关习题，并准备下节课的讨论话题。

教学双边互动，注重学生主体地位，充分发挥教师引导作用，关注学生个体差异，确保教学过程符合实际学情，紧扣教学重难点，培养学生数学思维能力和核心素养。教学资源拓展1.拓展资源：

-二次函数的性质与应用：介绍二次函数的图像特性，如顶点坐标、对称轴、开口方向等，以及这些性质在实际问题中的应用，如抛物线运动轨迹、物理中的运动规律等。

-一元二次方程的解法拓展：探讨一元二次方程的解法除了交点法和对称轴法之外的其他方法，如公式法、配方法等，以及不同方法在不同类型方程中的应用。

-二次函数与方程的综合应用：通过实例分析，展示二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题、工程问题等。

-数学史上的二次函数与方程：介绍二次函数和一元二次方程在数学发展史上的地位和重要性，以及相关数学家的贡献。

2.拓展建议：

-学生可以通过网络资源或图书馆查阅相关书籍，深入学习二次函数和一元二次方程的数学原理和应用。

-鼓励学生参与数学竞赛或社团活动，通过解决实际问题来提高数学应用能力。

-建议学生尝试自己绘制二次函数的图像，并分析不同参数变化对图像的影响。

-通过数学软件如Mathematica、MATLAB等，学生可以模拟不同类型的二次函数图像，加深对函数性质的理解。

-学生可以尝试将二次函数与一元二次方程结合，解决实际问题，如设计最佳路径、优化资源分配等。

-组织学生进行小组讨论，探讨二次函数在自然界和社会生活中的应用，如建筑设计、经济学模型等。

-提供一些历史数学家的传记，让学生了解数学发展的历程，激发学生对数学的兴趣和探索精神。

-安排学生进行课后作业的拓展练习，如设计自己的数学问题，并尝试使用不同的方法来解决。教学反思与总结这节课下来，我感觉挺有收获的，但也发现了一些问题。首先，我觉得在导入环节，我通过生活中的例子来引入课题，这样的方式挺受欢迎的，学生们能够很快地进入学习状态。不过，我也发现有些学生对于生活中的数学问题理解得还不够深入，所以在讲解二次函数与一元二次方程的关系时，我可能需要更加具体地举例，让他们看到数学在生活中的应用。

在讲授新课的过程中，我尽量让同学们参与到课堂中来，通过互动提问和小组讨论，我发现学生们对于二次函数图像的识别和解题方法掌握得还不错。但是，我也发现有些学生对于复杂的一元二次方程的解法还是有些吃力，这说明我在讲解过程中可能需要更加细致地分解步骤，确保每个学生都能跟得上。

在巩固练习环节，我给了学生们一些练习题，让他们通过练习来巩固所学知识。这个过程我发现，有些学生对于题目中的关键词汇理解不够，导致解题时出现偏差。因此，我觉得在之后的课堂上，我需要加强对关键词汇的讲解和练习。

课堂提问环节，我尝试了让学生自己提出问题，这个环节我觉得挺有意思的，学生们提出的问题也很有创意。但是，我发现有些学生提出的问题并不符合教学目标，这说明我在设计问题时还需要更加精准。

在师生互动环节，我鼓励学生们积极参与讨论，他们的回答有时候让我很惊喜。但是，我也发现有些学生对于问题的理解不够深入，回答得不够全面。所以，我觉得在今后的教学中，我需要更加注重引导学生们深入思考，提高他们的分析问题和解决问题的能力。

教学总结的话，我觉得这节课整体上还是达到了预期的效果。学生们对于二次函数与一元二次方程的关系有了更深入的理解，解题能力也有所提高。但是，我也发现了一些不足之处。

比如，我在讲解时可能过于注重理论的推导，而忽视了实际应用。在今后的教学中，我需要更加注重将理论知识与实际问题相结合，让学生们能够更好地理解数学的应用价值。

另外，我在课堂管理上还需要加强。有些学生可能在课堂上分心，这影响了他们的学习效果。因此，我需要更加关注学生的课堂表现，及时调整教学节奏，确保每个学生都能集中注意力。

针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

1.在导入环节，设计更加贴近学生生活实际的问题，激发他们的学习兴趣。

2.在讲授新课环节，注重理论联系实际，通过实例分析帮助学生理解抽象的概念。

3.在巩固练习环节，提供更多样化的练习题目，满足不同层次学生的学习需求。

4.在课堂提问环节，引导学生提出有价值的问题，提高他们的思考深度。

5.在师生互动环节，关注学生的课堂表现，及时调整教学策略，确保教学质量。课后作业1.已知二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（-2，3），且该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为（1，0）和（4，0）。求该二次函数的解析式。

答案：设二次函数的解析式为y=a(x+2)^2+3。由于顶点坐标为（-2，3），代入得y=a(0)^2+3，即3=3，满足条件。又因为函数图像与x轴的交点为（1，0）和（4，0），代入得0=a(1+2)^2+3，解得a=-1/3。所以，二次函数的解析式为y=-1/3(x+2)^2+3。

2.设一元二次方程x^2-4x+3=0，求该方程的解，并画出对应的二次函数图像。

答案：解方程x^2-4x+3=0，可以通过因式分解或使用求根公式。因式分解得(x-1)(x-3)=0，所以x=1或x=3。对应的二次函数图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为（2，-1），与x轴的交点为（1，0）和（3，0）。

3.已知二次函数y=2x^2-8x+6的图像与x轴有一个交点，求该交点的坐标。

答案：令y=0，得到2x^2-8x+6=0。这是一个一元二次方程，可以通过求根公式求解。解得x=1或x=3。因此，二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）。

4.设一元二次方程x^2-6x+9=0，求该方程的解，并分析对应的二次函数图像的形状和位置。

答案：这是一