数学竞赛一试试题及答案

数学竞赛一试试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[25]分）

1.下列各数中，有理数是：（）

A.√2B.πC.-√2D.√3

2.已知方程x^2-4x+3=0的两个根分别为a和b，则a+b的值为：（）

A.1B.2C.3D.4

3.下列各函数中，奇函数是：（）

A.f(x)=x^2B.f(x)=|x|C.f(x)=x^3D.f(x)=x^4

4.若sinA=1/2，且A为锐角，则cosA的值为：（）

A.√3/2B.1/2C.1/√2D.√2/2

5.在直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴的对称点坐标为：（）

A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)

二、填空题（每题[5]分，共[25]分）

6.若a、b、c是等差数列的前三项，且a+b+c=12，则b=________。

7.已知等比数列的第三项是2，公比是3，则该数列的前5项之和为________。

8.函数y=kx^2在定义域内的单调递增区间是________。

9.在锐角三角形ABC中，若sinA=1/2，则cosB的值为________。

10.已知等差数列的前n项和为Sn，且S10=100，S20=200，则S15=________。

三、解答题（每题[10]分，共[30]分）

11.解方程组：{x+y=4,2x-y=1}。

12.求函数f(x)=x^2-2x+1在区间[0,3]上的最大值和最小值。

13.已知等差数列的前n项和为Sn，且S10=120，S20=360，求该等差数列的首项和公比。

四、证明题（每题[10]分，共[20]分）

14.证明：对于任意实数a和b，都有(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。

15.证明：对于任意实数x，都有x^2≥0。

五、应用题（每题[10]分，共[20]分）

16.一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度为2m/s^2，求5秒后汽车的速度和行驶的距离。

17.一批货物由甲地运往乙地，若每天运输50吨，则5天运完；若每天运输60吨，则4天运完。求甲乙两地之间的货物总量。

六、综合题（每题[20]分，共[40]分）

18.已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且f(1)=3，f(-1)=1，f(2)=7。求a、b、c的值。

19.在直角坐标系中，点A(-3,4)和点B(3,-4)关于原点对称，点C在x轴上，且AC=10。求点C的坐标。

试卷答案如下：

一、选择题（每题[5]分，共[25]分）

1.C

解析思路：有理数是可以表示为两个整数之比的数，因此-√2是有理数。

2.B

解析思路：根据二次方程的根与系数的关系，a+b=-b/a，代入a和b的值计算得到a+b=2。

3.C

解析思路：奇函数满足f(-x)=-f(x)，只有x^3满足这个条件。

4.A

解析思路：由于A为锐角，sinA和cosA都是正数，且sin^2A+cos^2A=1，代入sinA=1/2得到cosA=√3/2。

5.C

解析思路：点P(2,3)关于x轴对称，即y坐标取相反数，所以对称点坐标为(2,-3)。

二、填空题（每题[5]分，共[25]分）

6.4

解析思路：等差数列的前三项a,a+d,a+2d的和为3a+3d，等于12，所以a+d=4。

7.31

解析思路：等比数列的前n项和公式为S_n=a_1*(1-r^n)/(1-r)，代入a_1=2和r=3，计算得到S_5=31。

8.(-∞,0)和(0,+∞)

解析思路：函数y=kx^2的导数为2kx，当x<0或x>0时，导数为正，函数单调递增。

9.√3/2

解析思路：由于A为锐角，cosB=cos(180°-A-C)=-cos(A+C)，由正弦定理得sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB，所以cosB=√3/2。

10.150

解析思路：等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(a_1+a_n)，由于S_10=120，S_20=360，可得a_10=a_1+9d和a_20=a_1+19d，联立方程求解得到S_15=150。

三、解答题（每题[10]分，共[30]分）

11.解方程组：{x+y=4,2x-y=1}

解析思路：将第一个方程乘以2，然后与第二个方程相加消去y，得到4x=9，解得x=9/4，代入第一个方程解得y=7/4。

12.求函数f(x)=x^2-2x+1在区间[0,3]上的最大值和最小值。

解析思路：函数f(x)=(x-1)^2，在x=1时取得最小值0，在区间端点x=0和x=3时取得最大值1。

13.已知等差数列的前n项和为Sn，且S10=120，S20=360，求该等差数列的首项和公比。

解析思路：等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(a_1+a_n)，由于S_10=120，S_20=360，可得a_10=a_1+9d和a_20=a_1+19d，联立方程求解得到a_1=5，d=2。

四、证明题（每题[10]分，共[20]分）

14.证明：对于任意实数a和b，都有(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。

解析思路：展开(a+b)^2，得到a^2+2ab+b^2，与等式右边相同，证明成立。

15.证明：对于任意实数x，都有x^2≥0。

解析思路：x^2是非负数，因为平方后的结果不会是负数，所以对于任意实数x，都有x^2≥0。

五、应用题（每题[10]分，共[20]分）

16.一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度为2m/s^2，求5秒后汽车的速度和行驶的距离。

解析思路：使用公式v=u+at，其中u是初速度，a是加速度，t是时间。由于汽车从静止开始，u=0，代入a=2m/s^2和t=5s，得到v=10m/s。使用公式s=ut+1/2at^2，代入u=0，a=2m/s^2和t=5s，得到s=25m。

17.一批货物由甲地运往乙地，若每天运输50吨，则5天运完；若每天运输60吨，则4天运完。求甲乙两地之间的货物总量。

解析思路：设甲乙两地之间的货物总量为x吨。根据题意，5天运输50吨，所以总货物量是5*50=250吨。同理，4天运输60吨，总货物量是4*60=240吨。由于总货物量不变，所以250=240，解得x=250吨。

六、综合题（每题[20]分，共[40]分）

18.已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且f(1)=3，f(-1)=1，f(2)=7。求a、b、c的值。

解析思路：将x=1,-1,2分别代入函数f(x)，得到三个方程：a+b+c=3，a-b+c=1，4a+2b+c=7。解这个方程组，得到a=1，b=1，c=1。

19.在直角坐