广西一模数学试题及答案

广西一模数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共30分）

1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，那么f(2)的值为：

A.1

B.3

C.5

D.7

2.在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点为：

A.(3,2)

B.(2,3)

C.(3,3)

D.(2,2)

3.若log2(3x-2)=1，则x的值为：

A.2

B.3

C.4

D.5

4.在等差数列{an}中，若a1=2，公差d=3，那么第10项an的值为：

A.29

B.28

C.27

D.26

5.若等比数列{bn}中，b1=3，公比q=2，那么第4项bn的值为：

A.24

B.12

C.6

D.3

二、填空题（每题5分，共20分）

6.已知函数f(x)=(x-1)^2+2，那么f(2)的值为______。

7.在直角坐标系中，点A(3,4)关于直线y=-x的对称点为______。

8.若log5(2x+1)=2，则x的值为______。

9.在等差数列{an}中，若a1=5，公差d=-2，那么第10项an的值为______。

10.若等比数列{bn}中，b1=4，公比q=1/2，那么第4项bn的值为______。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.（1）已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-6，求f(x)的极值。

（2）已知函数g(x)=x^2+2x+1，求g(x)的零点。

12.（1）在直角坐标系中，已知点A(2,3)和点B(5,6)，求线段AB的中点坐标。

（2）已知直线l：2x-3y+6=0，求直线l与x轴的交点坐标。

13.（1）若log2(x+1)=3，求x的值。

（2）若等差数列{an}中，a1=2，公差d=3，求第10项an的值。

四、解答题（每题10分，共30分）

14.（1）已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，求证：三角形ABC是直角三角形。

（2）已知等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，求前n项和Sn。

15.（1）在平面直角坐标系中，已知点P(2,3)和直线l：y=kx+1，求k的值，使得点P在直线l上。

（2）已知函数h(x)=x^2-4x+3，求h(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

16.（1）若等比数列{bn}中，b1=4，公比q=1/2，求前n项和Sn。

（2）若数列{cn}的通项公式为cn=n^2-n+1，求第10项cn的值。

五、证明题（每题10分，共10分）

17.证明：若a、b、c是等差数列的连续三项，那么a^2+b^2+c^2=3bc。

六、综合题（每题20分，共20分）

18.已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求：

（1）函数f(x)的单调区间；

（2）函数f(x)的极值点；

（3）函数f(x)的零点。

姓名：____________________

四、解答题（每题10分，共30分）

14.（1）证明：已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，求证：三角形ABC是直角三角形。

解：由勾股定理，若a^2+b^2=c^2，则三角形ABC满足直角三角形的条件，因此三角形ABC是直角三角形。

（2）已知等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，求前n项和Sn。

解：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2*(a1+an)，其中an=a1+(n-1)d。代入a1=1，d=2，得Sn=n/2*(1+1+2(n-1))=n/2*(2+2n-2)=n^2。

15.（1）在平面直角坐标系中，已知点P(2,3)和直线l：y=kx+1，求k的值，使得点P在直线l上。

解：将点P的坐标代入直线l的方程，得3=2k+1，解得k=1。

（2）已知函数h(x)=x^2-4x+3，求h(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

解：函数h(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值出现在端点或极值点。计算h(1)=1^2-4*1+3=0，h(3)=3^2-4*3+3=0，因此最大值和最小值都是0。

16.（1）若等比数列{bn}中，b1=4，公比q=1/2，求前n项和Sn。

解：等比数列的前n项和公式为Sn=b1*(1-q^n)/(1-q)。代入b1=4，q=1/2，得Sn=4*(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=8*(1-(1/2)^n)。

（2）若数列{cn}的通项公式为cn=n^2-n+1，求第10项cn的值。

解：代入n=10，得cn=10^2-10+1=100-10+1=91。

五、证明题（每题10分，共10分）

17.证明：若a、b、c是等差数列的连续三项，那么a^2+b^2+c^2=3bc。

证明：由等差数列的性质，有b=a+d，c=a+2d。将b和c代入a^2+b^2+c^2，得a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=3(a+d)(a+2d)。

六、综合题（每题20分，共20分）

18.已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求：

（1）函数f(x)的单调区间；

（2）函数f(x)的极值点；

（3）函数f(x)的零点。

解：（1）求导得f'(x)=3x^2-12x+11。令f'(x)=0，得x=1或x=11/3。通过判断f'(x)的符号，可得f(x)在(-∞,1)和(11/3,+∞)上单调递增，在(1,11/3)上单调递减。

（2）极值点出现在f'(x)=0的位置，即x=1或x=11/3。计算f(1)=0，f(11/3)=0，因此极值点为x=1和x=11/3。

（3）由于f(x)是一个三次多项式，且f(1)=0，f(2)=0，f(3)=0，因此f(x)的零点为x=1，x=2，x=3。

试卷答案如下：

一、选择题（每题5分，共30分）

1.B.3

解析思路：代入x=2，计算f(2)=(2-1)^2+2=1+2=3。

2.A.(3,2)

解析思路：点A(2,3)关于直线y=x的对称点坐标交换x和y，得(3,2)。

3.C.4

解析思路：根据对数定义，2^1=3x-2，解得x=4。

4.A.29

解析思路：等差数列第n项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得an=2+9*3=29。

5.A.24

解析思路：等比数列第n项公式an=b1*q^(n-1)，代入b1=3，q=2，n=4，得an=3*2^(4-1)=3*8=24。

二、填空题（每题5分，共20分）

6.5

解析思路：代入x=2，计算f(2)=(2-1)^2+2=1+2=5。

7.(3,2)

解析思路：点A(3,4)关于直线y=-x的对称点坐标交换x和y，得(2,3)。

8.1

解析思路：根据对数定义，5^1=2x+1，解得x=1。

9.29

解析思路：等差数列第n项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=5，d=-2，n=10，得an=5+9*(-2)=5-18=-13。

10.3

解析思路：等比数列第n项公式an=b1*q^(n-1)，代入b1=4，q=1/2，n=4，得an=4*(1/2)^(4-1)=4*(1/2)^3=4*1/8=1/2。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.（1）极值点为x=1，极小值为f(1)=0。

解析思路：求导得f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，得x=1或x=2/3。通过判断f'(x)的符号，可得f(x)在(-∞,2/3)和(1,+∞)上单调递增，在(2/3,1)上单调递减。因此x=1是极小值点，f(1)=0。

（2）零点为x=1，x=2，x=3。

解析思路：由于f(x)是一个三次多项式，且f(1)=0，f(2)=0，f(3)=0，因此f(x)的零点为x=1，x=2，x=3。

12.（1）中点坐标为(7/2,5/2)。

解析思路：线段AB的中点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入A(2,3)和B(5,6)，得中点坐标为((2+5)/2,(3+6)/2)=(7/2,5/2)。

（2）交点坐标为(-3,0)。

解析思路：令y=0，代入直线l的方程2x-3y+6=0，得2x+6=0，解得x=-3，因此交点坐标为(-3,0)。

13.（1）x=7。

解析思路：根据对数定义，2^3=3x+1，解得x=7。

（2）an=29。

解析思路：等差数列第n项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得an=2+9*3=29。

四、解答题（每题10分，共30分）

14.（1）证明：已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，求证：三角形ABC是直角三角形。

证明：由勾股定理，若a^2+b^2=c^2，则三角形ABC满足直角三角形的条件，因此三角形ABC是直角三角形。

（2）Sn=n^2。

解析思路：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2*(a1+an)，其中an=a1+(n-1)d。代入a1=1，d=2，得Sn=n/2*(1+1+2(n-1))=n/2*(2+2n-2)=n^2。

15.（1）k=1。

解析思路：将点P的坐标代入直线l的方程，得3=2k+1，解得k=1。

（2）最大值和最小值都是0。

解析思路：函数h(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值出现在端点或极值点。计算h(1)=1^2-4*1+3=0，h(3)=3^2-4*3+3=0，因此最大值和最小值都是0。

16.（1）Sn=8*(1-(1/2)^n)。

解析思路：等比数列的前n项和公式为Sn=b1*(1-q^n)/(1-q)。代入b1=4，q=1/2，得Sn=4*(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=8*(1-(1/2)^n)。

（2）cn=91。

解析思路：代入n=10，得cn=10^2-10+1=100-10+1=91。

五、证明题（每题10分，共10分）

17.证明：若a、b、c是等差数列的连续三项，那么a^2+b^2+c^2=3bc。

证明：由等差数列的性质，有b=a+d，c=a+2d。将b和c代入a^2+b^2+c^2，得a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=3(a+d)(a+2d)。

六、综合题（每题20分，共20分）

18.（1）单调递增区间为(-∞,2/3)和(1,+∞)，单调递减区间为(2/3,1)。

解析思路：求导得f'(x)=3x^2-6x+11，令f'(x)=0，得x=1或x=11/3。通过判断