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文档简介

重庆高等数学试题及答案姓名:____________________

一、选择题(每题5分,共20分)

1.下列函数中,在x=0处连续的是()

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=sin(x)

D.f(x)=1/x

2.设函数f(x)=x^3-3x+1,则f'(1)=()

A.-2

B.0

C.2

D.3

3.若lim(x→0)(sin(x)-x)=()

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

4.设函数f(x)=x^2+2x+1,则f(x)在x=1处的导数为()

A.2

B.3

C.4

D.5

5.设函数f(x)=e^x,则f'(x)=()

A.e^x

B.e^x+x

C.e^x-x

D.e^x+1

二、填空题(每题5分,共20分)

6.若lim(x→0)(1-cos(x))/x^2=()

7.设函数f(x)=x^3-3x+1,则f''(x)=()

8.设函数f(x)=sin(x)/x,则f'(0)=()

9.设函数f(x)=e^x,则f(x)的反函数为()

10.若lim(x→0)(sin(x)/x)=()

三、解答题(每题10分,共30分)

11.求函数f(x)=x^2-2x+1的导数。

12.求函数f(x)=e^x*sin(x)的导数。

13.求函数f(x)=ln(x)的反函数。

四、证明题(每题10分,共20分)

14.证明:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点c∈(a,b),使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

15.证明:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在开区间(a,b)内可导,则存在一点c∈(a,b),使得f''(c)=0。

五、应用题(每题15分,共30分)

16.一物体以初速度v0=5m/s从原点沿直线运动,其加速度a=-2m/s^2,求该物体运动t秒后距离原点的距离。

17.一公司每月的营业额y(单位:万元)与投入的广告费x(单位:万元)之间的关系为y=-x^2+2x+1。若公司决定在当月投入广告费10万元,求最大营业额及相应的广告费投入。

六、综合题(每题20分,共40分)

18.求函数f(x)=x^3-3x+1在区间[0,3]上的最大值和最小值。

19.设函数f(x)=e^x*sin(x)的导数为f'(x),求f'(x)的导数f''(x),并求出f''(x)的反函数。

试卷答案如下:

一、选择题答案及解析:

1.答案:C

解析:函数f(x)=sin(x)在x=0处连续,因为其极限为0,且函数值为0。

2.答案:D

解析:对函数f(x)=x^3-3x+1求导得f'(x)=3x^2-3,将x=1代入得f'(1)=3*1^2-3=3-3=0。

3.答案:A

解析:利用等价无穷小替换,当x→0时,sin(x)≈x,所以lim(x→0)(sin(x)-x)=lim(x→0)x-x=0。

4.答案:C

解析:对函数f(x)=x^2+2x+1求导得f'(x)=2x+2,将x=1代入得f'(1)=2*1+2=2+2=4。

5.答案:A

解析:对函数f(x)=e^x求导得f'(x)=e^x,因此f'(x)的表达式即为e^x。

二、填空题答案及解析:

6.答案:1/2

解析:利用泰勒展开,当x→0时,1-cos(x)≈(1/2)x^2,所以lim(x→0)(1-cos(x))/x^2=1/2。

7.答案:2x-3

解析:对函数f(x)=x^3-3x+1求二阶导数得f''(x)=6x-3。

8.答案:1

解析:利用洛必达法则,因为当x→0时,分子和分母均趋近于0,所以lim(x→0)(sin(x)/x)=lim(x→0)(cos(x))/(1)=1。

9.答案:e^(-x)

解析:由函数f(x)=e^x,令y=e^(-x),则x=-ln(y),因此反函数为y=e^(-x)。

10.答案:1

解析:利用等价无穷小替换,当x→0时,sin(x)≈x,所以lim(x→0)(sin(x)/x)=lim(x→0)x/x=1。

三、解答题答案及解析:

11.答案:f'(x)=2x-2

解析:对函数f(x)=x^2-2x+1求导得f'(x)=2x-2。

12.答案:f'(x)=e^x*(cos(x)+sin(x))

解析:对函数f(x)=e^x*sin(x)求导,使用乘积法则得f'(x)=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)=e^x*(sin(x)+cos(x))。

13.答案:f^(-1)(x)=e^(-x)

解析:由函数f(x)=ln(x),令y=e^(-x),则x=-ln(y),因此反函数为f^(-1)(x)=e^(-x)。

四、证明题答案及解析:

14.答案:证明如下

解析:利用拉格朗日中值定理,存在c∈(a,b),使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

15.答案:证明如下

解析:利用罗尔定理,存在c∈(a,b),使得f'(c)=0。

五、应用题答案及解析:

16.答案:s=v0t+(1/2)at^2=5t-t^2

解析:由匀加速直线运动公式s=v0t+(1/2)at^2,代入v0=5m/s和a=-2m/s^2,得s=5t-t^2。

17.答案:最大营业额为6万元,相应的广告费投入为1万元。

解析:将x=10代入函数y=-x^2+2x+1,得y=-10^2+2*10+1=-100+20+1=-79,所以最大营业额为6万元。对函数求导得y'=-2x+2,令y'=0解得x=1,即广告费投入为1万元。

六、综合题答案及解析:

18.答案:最大值为2,最小值为-2。

解析:对函数f(x)=x^3-3x+1求导得f'(x)=3x^2-3,令f'(x)=0解得x=±1。在x=1时,f(1)=1^3-3*1+1=-1;在x=-1时,f(-1)=(-1)^3-3*(-1)+1=3。因此,最大值为2,最小值

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