重庆高等数学试题及答案

重庆高等数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处连续的是（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=sin(x)

D.f(x)=1/x

2.设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(1)=（）

A.-2

B.0

C.2

D.3

3.若lim(x→0)(sin(x)-x)=（）

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

4.设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(x)在x=1处的导数为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

5.设函数f(x)=e^x，则f'(x)=（）

A.e^x

B.e^x+x

C.e^x-x

D.e^x+1

二、填空题（每题5分，共20分）

6.若lim(x→0)(1-cos(x))/x^2=（）

7.设函数f(x)=x^3-3x+1，则f''(x)=（）

8.设函数f(x)=sin(x)/x，则f'(0)=（）

9.设函数f(x)=e^x，则f(x)的反函数为（）

10.若lim(x→0)(sin(x)/x)=（）

三、解答题（每题10分，共30分）

11.求函数f(x)=x^2-2x+1的导数。

12.求函数f(x)=e^x*sin(x)的导数。

13.求函数f(x)=ln(x)的反函数。

四、证明题（每题10分，共20分）

14.证明：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

15.证明：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，则存在一点c∈(a,b)，使得f''(c)=0。

五、应用题（每题15分，共30分）

16.一物体以初速度v0=5m/s从原点沿直线运动，其加速度a=-2m/s^2，求该物体运动t秒后距离原点的距离。

17.一公司每月的营业额y（单位：万元）与投入的广告费x（单位：万元）之间的关系为y=-x^2+2x+1。若公司决定在当月投入广告费10万元，求最大营业额及相应的广告费投入。

六、综合题（每题20分，共40分）

18.求函数f(x)=x^3-3x+1在区间[0,3]上的最大值和最小值。

19.设函数f(x)=e^x*sin(x)的导数为f'(x)，求f'(x)的导数f''(x)，并求出f''(x)的反函数。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.答案：C

解析：函数f(x)=sin(x)在x=0处连续，因为其极限为0，且函数值为0。

2.答案：D

解析：对函数f(x)=x^3-3x+1求导得f'(x)=3x^2-3，将x=1代入得f'(1)=3*1^2-3=3-3=0。

3.答案：A

解析：利用等价无穷小替换，当x→0时，sin(x)≈x，所以lim(x→0)(sin(x)-x)=lim(x→0)x-x=0。

4.答案：C

解析：对函数f(x)=x^2+2x+1求导得f'(x)=2x+2，将x=1代入得f'(1)=2*1+2=2+2=4。

5.答案：A

解析：对函数f(x)=e^x求导得f'(x)=e^x，因此f'(x)的表达式即为e^x。

二、填空题答案及解析：

6.答案：1/2

解析：利用泰勒展开，当x→0时，1-cos(x)≈(1/2)x^2，所以lim(x→0)(1-cos(x))/x^2=1/2。

7.答案：2x-3

解析：对函数f(x)=x^3-3x+1求二阶导数得f''(x)=6x-3。

8.答案：1

解析：利用洛必达法则，因为当x→0时，分子和分母均趋近于0，所以lim(x→0)(sin(x)/x)=lim(x→0)(cos(x))/(1)=1。

9.答案：e^(-x)

解析：由函数f(x)=e^x，令y=e^(-x)，则x=-ln(y)，因此反函数为y=e^(-x)。

10.答案：1

解析：利用等价无穷小替换，当x→0时，sin(x)≈x，所以lim(x→0)(sin(x)/x)=lim(x→0)x/x=1。

三、解答题答案及解析：

11.答案：f'(x)=2x-2

解析：对函数f(x)=x^2-2x+1求导得f'(x)=2x-2。

12.答案：f'(x)=e^x*(cos(x)+sin(x))

解析：对函数f(x)=e^x*sin(x)求导，使用乘积法则得f'(x)=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)=e^x*(sin(x)+cos(x))。

13.答案：f^(-1)(x)=e^(-x)

解析：由函数f(x)=ln(x)，令y=e^(-x)，则x=-ln(y)，因此反函数为f^(-1)(x)=e^(-x)。

四、证明题答案及解析：

14.答案：证明如下

解析：利用拉格朗日中值定理，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

15.答案：证明如下

解析：利用罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

五、应用题答案及解析：

16.答案：s=v0t+(1/2)at^2=5t-t^2

解析：由匀加速直线运动公式s=v0t+(1/2)at^2，代入v0=5m/s和a=-2m/s^2，得s=5t-t^2。

17.答案：最大营业额为6万元，相应的广告费投入为1万元。

解析：将x=10代入函数y=-x^2+2x+1，得y=-10^2+2*10+1=-100+20+1=-79，所以最大营业额为6万元。对函数求导得y'=-2x+2，令y'=0解得x=1，即广告费投入为1万元。

六、综合题答案及解析：

18.答案：最大值为2，最小值为-2。

解析：对函数f(x)=x^3-3x+1求导得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0解得x=±1。在x=1时，f(1)=1^3-3*1+1=-1；在x=-1时，f(-1)=(-1)^3-3*(-1)+1=3。因此，最大值为2，最小值