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文档简介
重庆高等数学试题及答案姓名:____________________
一、选择题(每题5分,共20分)
1.下列函数中,在x=0处连续的是()
A.f(x)=|x|
B.f(x)=x^2
C.f(x)=sin(x)
D.f(x)=1/x
2.设函数f(x)=x^3-3x+1,则f'(1)=()
A.-2
B.0
C.2
D.3
3.若lim(x→0)(sin(x)-x)=()
A.0
B.1
C.-1
D.不存在
4.设函数f(x)=x^2+2x+1,则f(x)在x=1处的导数为()
A.2
B.3
C.4
D.5
5.设函数f(x)=e^x,则f'(x)=()
A.e^x
B.e^x+x
C.e^x-x
D.e^x+1
二、填空题(每题5分,共20分)
6.若lim(x→0)(1-cos(x))/x^2=()
7.设函数f(x)=x^3-3x+1,则f''(x)=()
8.设函数f(x)=sin(x)/x,则f'(0)=()
9.设函数f(x)=e^x,则f(x)的反函数为()
10.若lim(x→0)(sin(x)/x)=()
三、解答题(每题10分,共30分)
11.求函数f(x)=x^2-2x+1的导数。
12.求函数f(x)=e^x*sin(x)的导数。
13.求函数f(x)=ln(x)的反函数。
四、证明题(每题10分,共20分)
14.证明:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点c∈(a,b),使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
15.证明:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在开区间(a,b)内可导,则存在一点c∈(a,b),使得f''(c)=0。
五、应用题(每题15分,共30分)
16.一物体以初速度v0=5m/s从原点沿直线运动,其加速度a=-2m/s^2,求该物体运动t秒后距离原点的距离。
17.一公司每月的营业额y(单位:万元)与投入的广告费x(单位:万元)之间的关系为y=-x^2+2x+1。若公司决定在当月投入广告费10万元,求最大营业额及相应的广告费投入。
六、综合题(每题20分,共40分)
18.求函数f(x)=x^3-3x+1在区间[0,3]上的最大值和最小值。
19.设函数f(x)=e^x*sin(x)的导数为f'(x),求f'(x)的导数f''(x),并求出f''(x)的反函数。
试卷答案如下:
一、选择题答案及解析:
1.答案:C
解析:函数f(x)=sin(x)在x=0处连续,因为其极限为0,且函数值为0。
2.答案:D
解析:对函数f(x)=x^3-3x+1求导得f'(x)=3x^2-3,将x=1代入得f'(1)=3*1^2-3=3-3=0。
3.答案:A
解析:利用等价无穷小替换,当x→0时,sin(x)≈x,所以lim(x→0)(sin(x)-x)=lim(x→0)x-x=0。
4.答案:C
解析:对函数f(x)=x^2+2x+1求导得f'(x)=2x+2,将x=1代入得f'(1)=2*1+2=2+2=4。
5.答案:A
解析:对函数f(x)=e^x求导得f'(x)=e^x,因此f'(x)的表达式即为e^x。
二、填空题答案及解析:
6.答案:1/2
解析:利用泰勒展开,当x→0时,1-cos(x)≈(1/2)x^2,所以lim(x→0)(1-cos(x))/x^2=1/2。
7.答案:2x-3
解析:对函数f(x)=x^3-3x+1求二阶导数得f''(x)=6x-3。
8.答案:1
解析:利用洛必达法则,因为当x→0时,分子和分母均趋近于0,所以lim(x→0)(sin(x)/x)=lim(x→0)(cos(x))/(1)=1。
9.答案:e^(-x)
解析:由函数f(x)=e^x,令y=e^(-x),则x=-ln(y),因此反函数为y=e^(-x)。
10.答案:1
解析:利用等价无穷小替换,当x→0时,sin(x)≈x,所以lim(x→0)(sin(x)/x)=lim(x→0)x/x=1。
三、解答题答案及解析:
11.答案:f'(x)=2x-2
解析:对函数f(x)=x^2-2x+1求导得f'(x)=2x-2。
12.答案:f'(x)=e^x*(cos(x)+sin(x))
解析:对函数f(x)=e^x*sin(x)求导,使用乘积法则得f'(x)=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)=e^x*(sin(x)+cos(x))。
13.答案:f^(-1)(x)=e^(-x)
解析:由函数f(x)=ln(x),令y=e^(-x),则x=-ln(y),因此反函数为f^(-1)(x)=e^(-x)。
四、证明题答案及解析:
14.答案:证明如下
解析:利用拉格朗日中值定理,存在c∈(a,b),使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
15.答案:证明如下
解析:利用罗尔定理,存在c∈(a,b),使得f'(c)=0。
五、应用题答案及解析:
16.答案:s=v0t+(1/2)at^2=5t-t^2
解析:由匀加速直线运动公式s=v0t+(1/2)at^2,代入v0=5m/s和a=-2m/s^2,得s=5t-t^2。
17.答案:最大营业额为6万元,相应的广告费投入为1万元。
解析:将x=10代入函数y=-x^2+2x+1,得y=-10^2+2*10+1=-100+20+1=-79,所以最大营业额为6万元。对函数求导得y'=-2x+2,令y'=0解得x=1,即广告费投入为1万元。
六、综合题答案及解析:
18.答案:最大值为2,最小值为-2。
解析:对函数f(x)=x^3-3x+1求导得f'(x)=3x^2-3,令f'(x)=0解得x=±1。在x=1时,f(1)=1^3-3*1+1=-1;在x=-1时,f(-1)=(-1)^3-3*(-1)+1=3。因此,最大值为2,最小值
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