经济数学2考试题及答案

经济数学2考试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.设函数f(x)=x^3-3x+2，则f(x)的极值点为：

A.x=-1

B.x=0

C.x=1

D.x=2

2.若等差数列的前三项分别为a，b，c，且a+c=2b，则该数列的公差为：

A.1

B.2

C.3

D.4

3.已知直线y=2x+1与圆x^2+y^2=1相切，则该直线与圆的切点坐标为：

A.(0,1)

B.(1,3)

C.(-1,-1)

D.(-1,1)

4.设函数f(x)=e^x-x，则f(x)的单调递增区间为：

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,+∞)

D.(0,1)

5.若等比数列的前三项分别为a，b，c，且a*c=b^2，则该数列的公比为：

A.1

B.2

C.1/2

D.1/3

6.已知函数f(x)=ln(x)在区间(0,+∞)上的导数f'(x)为：

A.1/x

B.x

C.1

D.-1/x

7.设矩阵A=[23;45]，则A的行列式值为：

A.1

B.2

C.3

D.4

8.若函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值为2，则该函数在区间[1,3]上的最小值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

9.已知等差数列的前n项和为S_n，公差为d，首项为a_1，则S_n的表达式为：

A.S_n=n(a_1+a_n)/2

B.S_n=n(a_1+a_n)/2+d

C.S_n=n(a_1+a_n)/2-d

D.S_n=n(a_1+a_n)/2+2d

10.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，则f(x)的零点为：

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.x=4

二、填空题（每题2分，共20分）

1.设函数f(x)=e^x-x，则f'(x)=________。

2.等差数列的前三项分别为1，3，5，则该数列的公差为________。

3.已知直线y=2x+1与圆x^2+y^2=1相切，则该直线与圆的切点坐标为________。

4.设函数f(x)=ln(x)在区间(0,+∞)上的导数f'(x)为________。

5.设矩阵A=[23;45]，则A的行列式值为________。

6.若函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值为2，则该函数在区间[1,3]上的最小值为________。

7.已知等差数列的前n项和为S_n，公差为d，首项为a_1，则S_n的表达式为________。

8.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，则f(x)的零点为________。

9.设函数f(x)=e^x-x，则f(x)的单调递增区间为________。

10.若等比数列的前三项分别为a，b，c，且a*c=b^2，则该数列的公比为________。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的导数f'(x)。

2.设等差数列的前三项分别为1，3，5，求该数列的公差。

3.已知直线y=2x+1与圆x^2+y^2=1相切，求该直线与圆的切点坐标。

4.设函数f(x)=ln(x)在区间(0,+∞)上的导数f'(x)，求f'(x)的单调递增区间。

5.设矩阵A=[23;45]，求A的行列式值。

6.若函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值为2，求该函数在区间[1,3]上的最小值。

7.已知等差数列的前n项和为S_n，公差为d，首项为a_1，求S_n的表达式。

8.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的零点。

9.设函数f(x)=e^x-x，求f(x)的单调递增区间。

10.若等比数列的前三项分别为a，b，c，且a*c=b^2，求该数列的公比。

四、应用题（每题10分，共20分）

1.某公司计划投资100万元购买设备，预计设备使用年限为5年，年折旧率为20%，设备报废后的残值为10万元。若设备每年可带来利润15万元，求该设备投资回收期（不考虑资金的时间价值）。

2.一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。若甲乙合作做这项工程，每天可以完成工程总量的1/5，求甲乙合作完成这项工程所需的时间。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，则存在至少一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

2.证明：等差数列的任意两项之和与它们之间的项数成等比数列。

六、综合题（每题20分，共40分）

1.设函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。

2.已知等比数列的前三项分别为2，6，18，求该数列的前10项和S_10。

试卷答案如下：

一、选择题

1.B.x=0

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x^2-1=0，解得x=-1或x=1。通过判断f''(x)的符号，得知x=0为极值点。

2.B.2

解析思路：等差数列中，a_2=a_1+d，a_3=a_1+2d。由题意得a_1+a_3=2a_2，即a_1+a_1+2d=2(a_1+d)，解得d=2。

3.C.(-1,-1)

解析思路：将直线方程代入圆的方程，得2x+1+x^2=1，化简得x^2+2x=0，解得x=-1或x=0。将x=-1代入直线方程得y=-1。

4.A.1/x

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0得e^x=1，解得x=0。在x=0的左侧f'(x)<0，在右侧f'(x)>0，因此x=0是f(x)的极小值点。

5.A.1

解析思路：等比数列中，a_2=a_1*r，a_3=a_2*r。由题意得a_1*a_3=a_2^2，即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2，解得r=1。

6.A.1/x

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=1/x。由于x>0，f'(x)>0，因此f(x)在区间(0,+∞)上单调递增。

7.B.2

解析思路：行列式计算公式得A的行列式值为2*5-3*4=10-12=-2。

8.A.0

解析思路：函数f(x)=x^2-4x+3可因式分解为f(x)=(x-1)(x-3)。在区间[1,3]上，x-1≥0，x-3≤0，因此f(x)≥0。又因为f(1)=0，所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为0。

9.A.S_n=n(a_1+a_n)/2

解析思路：等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。由于a_n=a_1+(n-1)d，代入得S_n=n/2*(2a_1+a_n)。

10.B.2

解析思路：等比数列中，a_2=a_1*r，a_3=a_2*r。由题意得a_1*a_3=a_2^2，即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2，解得r=2。

二、填空题

1.e^x-1

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=e^x-1。

2.2

解析思路：等差数列中，a_2=a_1+d，a_3=a_1+2d。由题意得a_1+a_3=2a_2，即a_1+a_1+2d=2(a_1+d)，解得d=2。

3.(-1,-1)

解析思路：将直线方程代入圆的方程，得2x+1+x^2=1，化简得x^2+2x=0，解得x=-1或x=0。将x=-1代入直线方程得y=-1。

4.1/x

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=1/x。

5.2

解析思路：行列式计算公式得A的行列式值为2*5-3*4=10-12=-2。

6.0

解析思路：函数f(x)=x^2-4x+3可因式分解为f(x)=(x-1)(x-3)。在区间[1,3]上，x-1≥0，x-3≤0，因此f(x)≥0。又因为f(1)=0，所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为0。

7.S_n=n(a_1+a_n)/2

解析思路：等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。由于a_n=a_1+(n-1)d，代入得S_n=n/2*(2a_1+a_n)。

8.B.2

解析思路：等比数列中，a_2=a_1*r，a_3=a_2*r。由题意得a_1*a_3=a_2^2，即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2，解得r=2。

9.1/x

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=1/x。

10.A.1

解析思路：等比数列中，a_2=a_1*r，a_3=a_2*r。由题意得a_1*a_3=a_2^2，即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2，解得r=1。

三、解答题

1.f'(x)=3x^2-6x+9

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=3x^2-6x+9。

2.d=2

解析思路：等差数列中，a_2=a_1+d，a_3=a_1+2d。由题意得a_1+a_3=2a_2，即a_1+a_1+2d=2(a_1+d)，解得d=2。

3.切点坐标为(-1,-1)

解析思路：将直线方程代入圆的方程，得2x+1+x^2=1，化简得x^2+2x=0，解得x=-1或x=0。将x=-1代入直线方程得y=-1。

4.f'(x)的单调递增区间为(0,+∞)

解析思路：对f'(x)求导得f''(x)=-1/x^2。由于x>0，f''(x)<0，因此f'(x)在区间(0,+∞)上单调递增。

5.行列式值为2

解析思路：行列式计算公式得A的行列式值为2*5-3*4=10-12=-2。

6.最小值为0

解析思路：函数f(x)=x^2-4x+3可因式分解为f(x)=(x-1)(x-3)。在区间[1,3]上，x-1≥0，x-3≤0，因此f(x)≥0。又因为f(1)=0，所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为0。

7.S_n=n(a_1+a_n)/2

解析思路：等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。由于a_n=a_1+(n-1)d，代入得S_n=n/2*(2a_1+a_n)。

8.零点为2

解析思路：函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1可因式分解为f(x)=(x-1)(x^2-2x+1)。由二次方程x^2-2x+1=0，解得x=1，因此f(x)的零点为2。

9.单调递增区间为(0,+∞)

解析思路：对f(x)求导得f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0得e^x=1，解得x=0。在x=0的左侧f'(x)<0，在右侧f'(x)>0，因此x=0是f(x)的极小值点。

10.公比为2

解析思路：等比数列中，a_2=a_1*r，a_3=a_2*r。由题意得a_1*a_3=a_2^2，即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2，解得r=2。

四、应用题

1.投资回收期为4.5年

解析思路：投资回收期=投资额/每年利润=100/15=6.67，向下取整得4年，实际回收期应为4.5年。

2.甲乙合作完成这项工程所需的时间为3天

解析思路：甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。甲乙合作每天完成工程总量的1/5，即每天完成工程总量的1/5+1/15=2/15。完成整个工程所需的时间为1/(2/15)=7.5天，向上取整得8天。但甲乙合作需要完成5/15=1/3的工程，所以实际所需时间为8/5=1.6天，向上取整得2天。甲乙合作完成这项工程所需的时间为3天。

五、证明题

1.证明：设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)。根据介值定理，存在c∈(a,b)，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。由于f(a)=f(b)，则f(c)=0。又因为f'(c)=lim(x→c)(f(x)-f(c))/(x-c)，代入f(c)=0得f'(c)=0。

2.证明：设等差数列的首项为a_1，公差为d。根据等差数列的通项公式，得a_n=a_1+(n-1)d。则a_n+a_m=a_1+(n-1)d+a_1+(m-1)d=2a_1+(n+m-2)d。设等差数列的任意两项之和为S