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经济数学2考试题及答案姓名:____________________
一、选择题(每题2分,共20分)
1.设函数f(x)=x^3-3x+2,则f(x)的极值点为:
A.x=-1
B.x=0
C.x=1
D.x=2
2.若等差数列的前三项分别为a,b,c,且a+c=2b,则该数列的公差为:
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知直线y=2x+1与圆x^2+y^2=1相切,则该直线与圆的切点坐标为:
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(-1,-1)
D.(-1,1)
4.设函数f(x)=e^x-x,则f(x)的单调递增区间为:
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.(0,1)
5.若等比数列的前三项分别为a,b,c,且a*c=b^2,则该数列的公比为:
A.1
B.2
C.1/2
D.1/3
6.已知函数f(x)=ln(x)在区间(0,+∞)上的导数f'(x)为:
A.1/x
B.x
C.1
D.-1/x
7.设矩阵A=[23;45],则A的行列式值为:
A.1
B.2
C.3
D.4
8.若函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值为2,则该函数在区间[1,3]上的最小值为:
A.0
B.1
C.2
D.3
9.已知等差数列的前n项和为S_n,公差为d,首项为a_1,则S_n的表达式为:
A.S_n=n(a_1+a_n)/2
B.S_n=n(a_1+a_n)/2+d
C.S_n=n(a_1+a_n)/2-d
D.S_n=n(a_1+a_n)/2+2d
10.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1,则f(x)的零点为:
A.x=1
B.x=2
C.x=3
D.x=4
二、填空题(每题2分,共20分)
1.设函数f(x)=e^x-x,则f'(x)=________。
2.等差数列的前三项分别为1,3,5,则该数列的公差为________。
3.已知直线y=2x+1与圆x^2+y^2=1相切,则该直线与圆的切点坐标为________。
4.设函数f(x)=ln(x)在区间(0,+∞)上的导数f'(x)为________。
5.设矩阵A=[23;45],则A的行列式值为________。
6.若函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值为2,则该函数在区间[1,3]上的最小值为________。
7.已知等差数列的前n项和为S_n,公差为d,首项为a_1,则S_n的表达式为________。
8.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1,则f(x)的零点为________。
9.设函数f(x)=e^x-x,则f(x)的单调递增区间为________。
10.若等比数列的前三项分别为a,b,c,且a*c=b^2,则该数列的公比为________。
三、解答题(每题10分,共30分)
1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1,求f(x)的导数f'(x)。
2.设等差数列的前三项分别为1,3,5,求该数列的公差。
3.已知直线y=2x+1与圆x^2+y^2=1相切,求该直线与圆的切点坐标。
4.设函数f(x)=ln(x)在区间(0,+∞)上的导数f'(x),求f'(x)的单调递增区间。
5.设矩阵A=[23;45],求A的行列式值。
6.若函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值为2,求该函数在区间[1,3]上的最小值。
7.已知等差数列的前n项和为S_n,公差为d,首项为a_1,求S_n的表达式。
8.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1,求f(x)的零点。
9.设函数f(x)=e^x-x,求f(x)的单调递增区间。
10.若等比数列的前三项分别为a,b,c,且a*c=b^2,求该数列的公比。
四、应用题(每题10分,共20分)
1.某公司计划投资100万元购买设备,预计设备使用年限为5年,年折旧率为20%,设备报废后的残值为10万元。若设备每年可带来利润15万元,求该设备投资回收期(不考虑资金的时间价值)。
2.一项工程,甲单独做需要10天完成,乙单独做需要15天完成。若甲乙合作做这项工程,每天可以完成工程总量的1/5,求甲乙合作完成这项工程所需的时间。
五、证明题(每题10分,共20分)
1.证明:若函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)=f(b),则存在至少一个点c∈(a,b),使得f'(c)=0。
2.证明:等差数列的任意两项之和与它们之间的项数成等比数列。
六、综合题(每题20分,共40分)
1.设函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1,求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。
2.已知等比数列的前三项分别为2,6,18,求该数列的前10项和S_10。
试卷答案如下:
一、选择题
1.B.x=0
解析思路:对f(x)求导得f'(x)=3x^2-3,令f'(x)=0得x^2-1=0,解得x=-1或x=1。通过判断f''(x)的符号,得知x=0为极值点。
2.B.2
解析思路:等差数列中,a_2=a_1+d,a_3=a_1+2d。由题意得a_1+a_3=2a_2,即a_1+a_1+2d=2(a_1+d),解得d=2。
3.C.(-1,-1)
解析思路:将直线方程代入圆的方程,得2x+1+x^2=1,化简得x^2+2x=0,解得x=-1或x=0。将x=-1代入直线方程得y=-1。
4.A.1/x
解析思路:对f(x)求导得f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0得e^x=1,解得x=0。在x=0的左侧f'(x)<0,在右侧f'(x)>0,因此x=0是f(x)的极小值点。
5.A.1
解析思路:等比数列中,a_2=a_1*r,a_3=a_2*r。由题意得a_1*a_3=a_2^2,即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2,解得r=1。
6.A.1/x
解析思路:对f(x)求导得f'(x)=1/x。由于x>0,f'(x)>0,因此f(x)在区间(0,+∞)上单调递增。
7.B.2
解析思路:行列式计算公式得A的行列式值为2*5-3*4=10-12=-2。
8.A.0
解析思路:函数f(x)=x^2-4x+3可因式分解为f(x)=(x-1)(x-3)。在区间[1,3]上,x-1≥0,x-3≤0,因此f(x)≥0。又因为f(1)=0,所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为0。
9.A.S_n=n(a_1+a_n)/2
解析思路:等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。由于a_n=a_1+(n-1)d,代入得S_n=n/2*(2a_1+a_n)。
10.B.2
解析思路:等比数列中,a_2=a_1*r,a_3=a_2*r。由题意得a_1*a_3=a_2^2,即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2,解得r=2。
二、填空题
1.e^x-1
解析思路:对f(x)求导得f'(x)=e^x-1。
2.2
解析思路:等差数列中,a_2=a_1+d,a_3=a_1+2d。由题意得a_1+a_3=2a_2,即a_1+a_1+2d=2(a_1+d),解得d=2。
3.(-1,-1)
解析思路:将直线方程代入圆的方程,得2x+1+x^2=1,化简得x^2+2x=0,解得x=-1或x=0。将x=-1代入直线方程得y=-1。
4.1/x
解析思路:对f(x)求导得f'(x)=1/x。
5.2
解析思路:行列式计算公式得A的行列式值为2*5-3*4=10-12=-2。
6.0
解析思路:函数f(x)=x^2-4x+3可因式分解为f(x)=(x-1)(x-3)。在区间[1,3]上,x-1≥0,x-3≤0,因此f(x)≥0。又因为f(1)=0,所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为0。
7.S_n=n(a_1+a_n)/2
解析思路:等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。由于a_n=a_1+(n-1)d,代入得S_n=n/2*(2a_1+a_n)。
8.B.2
解析思路:等比数列中,a_2=a_1*r,a_3=a_2*r。由题意得a_1*a_3=a_2^2,即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2,解得r=2。
9.1/x
解析思路:对f(x)求导得f'(x)=1/x。
10.A.1
解析思路:等比数列中,a_2=a_1*r,a_3=a_2*r。由题意得a_1*a_3=a_2^2,即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2,解得r=1。
三、解答题
1.f'(x)=3x^2-6x+9
解析思路:对f(x)求导得f'(x)=3x^2-6x+9。
2.d=2
解析思路:等差数列中,a_2=a_1+d,a_3=a_1+2d。由题意得a_1+a_3=2a_2,即a_1+a_1+2d=2(a_1+d),解得d=2。
3.切点坐标为(-1,-1)
解析思路:将直线方程代入圆的方程,得2x+1+x^2=1,化简得x^2+2x=0,解得x=-1或x=0。将x=-1代入直线方程得y=-1。
4.f'(x)的单调递增区间为(0,+∞)
解析思路:对f'(x)求导得f''(x)=-1/x^2。由于x>0,f''(x)<0,因此f'(x)在区间(0,+∞)上单调递增。
5.行列式值为2
解析思路:行列式计算公式得A的行列式值为2*5-3*4=10-12=-2。
6.最小值为0
解析思路:函数f(x)=x^2-4x+3可因式分解为f(x)=(x-1)(x-3)。在区间[1,3]上,x-1≥0,x-3≤0,因此f(x)≥0。又因为f(1)=0,所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为0。
7.S_n=n(a_1+a_n)/2
解析思路:等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)。由于a_n=a_1+(n-1)d,代入得S_n=n/2*(2a_1+a_n)。
8.零点为2
解析思路:函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1可因式分解为f(x)=(x-1)(x^2-2x+1)。由二次方程x^2-2x+1=0,解得x=1,因此f(x)的零点为2。
9.单调递增区间为(0,+∞)
解析思路:对f(x)求导得f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0得e^x=1,解得x=0。在x=0的左侧f'(x)<0,在右侧f'(x)>0,因此x=0是f(x)的极小值点。
10.公比为2
解析思路:等比数列中,a_2=a_1*r,a_3=a_2*r。由题意得a_1*a_3=a_2^2,即a_1*a_1*r^2=(a_1*r)^2,解得r=2。
四、应用题
1.投资回收期为4.5年
解析思路:投资回收期=投资额/每年利润=100/15=6.67,向下取整得4年,实际回收期应为4.5年。
2.甲乙合作完成这项工程所需的时间为3天
解析思路:甲单独做需要10天完成,乙单独做需要15天完成。甲乙合作每天完成工程总量的1/5,即每天完成工程总量的1/5+1/15=2/15。完成整个工程所需的时间为1/(2/15)=7.5天,向上取整得8天。但甲乙合作需要完成5/15=1/3的工程,所以实际所需时间为8/5=1.6天,向上取整得2天。甲乙合作完成这项工程所需的时间为3天。
五、证明题
1.证明:设f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)=f(b)。根据介值定理,存在c∈(a,b),使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。由于f(a)=f(b),则f(c)=0。又因为f'(c)=lim(x→c)(f(x)-f(c))/(x-c),代入f(c)=0得f'(c)=0。
2.证明:设等差数列的首项为a_1,公差为d。根据等差数列的通项公式,得a_n=a_1+(n-1)d。则a_n+a_m=a_1+(n-1)d+a_1+(m-1)d=2a_1+(n+m-2)d。设等差数列的任意两项之和为S
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