离散数学复试试题及答案

离散数学复试试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.下列集合中，不是有限集的是（）

A.{1,2,3,4,5}

B.{1,2,3,...}

C.{a,b,c,d}

D.{1,2,3,...,100}

2.下列关系不是等价关系的是（）

A.相等关系

B.子集关系

C.包含关系

D.相似关系

3.在关系R中，如果R自反，那么R必然是（）

A.自反关系

B.反自反关系

C.对称关系

D.传递关系

4.下列命题中，等价的是（）

A.p∨q≡q∨p

B.p∧q≡q∧p

C.p∨q≡q∨p∧q

D.p∧q≡q∧p∧q

5.在下列命题中，正确的是（）

A.p∨q∧r≡p∨q∨r

B.p∧q∨r≡p∧q∨r

C.p∨q∧r≡p∨q∨r

D.p∧q∨r≡p∧q∨r

6.下列函数中，是单调递增函数的是（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x

D.f(x)=-x

7.在下列集合中，是有限集的是（）

A.{1,2,3,...,100}

B.{1,2,3,...,n}

C.{1,2,3,...,∞}

D.{1,2,3,...,n,∞}

8.下列命题中，是重言式的是（）

A.p∧q

B.p∨q

C.p∧¬p

D.p∨¬p

9.在下列命题中，是永真式的是（）

A.p∨q

B.p∧q

C.p∧¬p

D.p∨¬p

10.下列函数中，是奇函数的是（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=x

D.f(x)=-x

二、填空题（每题2分，共20分）

1.若集合A={1,2,3}，则A的幂集是________。

2.若关系R是等价关系，则R必然是________和________。

3.若p∨q为真，则p和q中至少有一个是________。

4.若p∧q为假，则p和q中至少有一个是________。

5.若f(x)=x^2在区间[0,1]上是单调递增函数，则f(0)________f(1)。

6.若集合A={1,2,3}，则A的补集是________。

7.若关系R是对称关系，则R必然是________和________。

8.若p∨q为假，则p和q中都是________。

9.若p∧q为真，则p和q中都是________。

10.若f(x)=x^2在区间[0,1]上是单调递减函数，则f(0)________f(1)。

四、简答题（每题5分，共25分）

1.简述集合的概念及其性质。

2.简述关系和函数的概念及其区别。

3.简述等价关系和偏序关系的概念及其性质。

4.简述命题逻辑的基本运算及其规则。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若集合A和B满足A∩B=∅，则A∪B=A∪(B-A)。

2.证明：若关系R是等价关系，则R的逆关系R^(-1)也是等价关系。

六、应用题（每题10分，共20分）

1.设集合A={1,2,3,4,5}，B={2,3,4,5,6}，求A∩B和A∪B。

2.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}，判断R是否是等价关系，并说明理由。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.B。无限集是不包含有限个元素的集合，选项B是无限集。

2.D。相似关系不满足反身性，即对于任何元素x，x不与自身相似。

3.A。自反关系是指对于任何元素x，x与自身具有该关系。

4.A。根据交换律，命题逻辑中的“或”运算满足交换律。

5.C。根据德摩根定律，p∨q∧r可以转化为p∨q∨r。

6.C。单调递增函数意味着随着自变量的增加，函数值也随之增加。

7.A。有限集是包含有限个元素的集合，选项A中的集合包含100个元素。

8.C。重言式是指在任何情况下都为真的命题，p∧¬p是一个矛盾命题，因此是重言式。

9.D。永真式是指在所有可能的真值赋值下都为真的命题，p∨¬p是一个永真式。

10.D。奇函数满足f(-x)=-f(x)，选项D中的函数满足这个条件。

二、填空题答案及解析：

1.{∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。幂集是包含原集合所有子集的集合。

2.自反关系，对称关系。等价关系必须是自反的、对称的和传递的。

3.真。根据“或”运算的定义，至少有一个命题为真时，整个命题为真。

4.假。根据“与”运算的定义，至少有一个命题为假时，整个命题为假。

5.小于。在单调递增函数中，较小的自变量对应的函数值较小。

6.{1,2,3}。补集是包含原集合中不包含的元素的集合。

7.自反关系，传递关系。对称关系必须是自反的和传递的。

8.假。根据“或”运算的定义，至少有一个命题为假时，整个命题为假。

9.真。根据“与”运算的定义，所有命题都为真时，整个命题为真。

10.大于。在单调递减函数中，较小的自变量对应的函数值较大。

四、简答题答案及解析：

1.集合是由若干个确定的、互不相同的元素组成的一个整体。集合的性质包括封闭性、确定性、互异性和无序性。

2.关系是集合与集合之间的对应关系，函数是特定类型的关系，它对于集合中的每一个元素，都有唯一的元素与之对应。

3.等价关系是指集合中元素间的关系，它满足自反性、对称性和传递性。偏序关系是指集合中元素间的关系，它满足自反性、反对称性和传递性。

4.命题逻辑的基本运算包括合取（∧）、析取（∨）、否定（¬）和蕴含（→）。规则包括交换律、结合律、分配律、德摩根定律等。

五、证明题答案及解析：

1.证明：由于A∩B=∅，即A和B没有共同元素。因此，对于任何元素x∈A，x一定不属于B。所以A∪B=A∪(B-A)。

2.证明：因为R是等价关系，所以R是自反的、对称的和传递的。R的逆关系R^(-1)的自反性、对