5.1二次函数的概念

第五章二次函数5.1二次函数

生活中,存在着许多变化的量,函数是刻画变量与变量之间关系的一个有效的数学模型.知识回顾一般地，在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量.1.

什么叫函数?2.

我们学习哪几种函数？你能写出它们的表达式吗？一次函数：y=kx+b(k、b为常数，k≠0)反比例函数：

生活·数学1.水滴激起的波纹不断地向外扩展，形成的圆.圆的周长C与相应圆的半径r的关系式是________；圆的面积S与相应圆的半径r的关系式是_________.这两个函数表达式有何差异？

C=2πrS=πr2在这个问题中，设矩形的一边长为xm，则另一边长为_______m．生活·数学2.用长16m的篱笆围成矩形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大?(8-x)究竟怎样围可使小兔的活动范围比较大？矩形面积y与长x之间的函数关系为:y＝－x2＋8x生活·数学3.一面长比宽之比为2：1的矩形镜子，四周镶有边框.已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元.设镜面的宽为xm，则长为____m，镜面面积为_____m2，镜面费用为___________元，边框费用为______________元，总费用(元)与镜面宽长(m)之间的函数关系为___________________.2x

2x2120×2x230(2x+x+2x+x)xm2xm

y＝240x2＋180x＋45类比归纳S=πr2y＝－x2＋8xy＝240x2＋180x＋45

以上函数表达式有什么共同特征？

它们与一次函数、反比例函数的表达式有什么不同？类比一次函数的定义，你能归纳出二次函数的定义吗？概念学习二次函数的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数称为二次函数．其中x是自变量，y是x的函数.为什么要限制a≠0，b、c可以为零吗？思考：二次函数的一般形式新知巩固下列函数中y是x的二次函数吗？若是二次函数，指出a、b、c的值．(1)1－x2(2)y＝x(x－2)(3)y＝22+2x如何判断一个函数是否是二次函数？归纳总结（1）函数表达式是关于自变量的整式；（2）化简后自变量的最高次数是2

(可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项)；（3）二次项系数不为0.注意：先化简后判断二次函数的识别方法：讨论交流问题1函数y=ax2+bx+c中自变量x的取值范围是什么？任意实数问题2上述三个问题中自变量的取值范围还是任意实数吗？S=πr2y＝－x2＋8xy＝240x2＋180x＋45r＞00<x<8x＞0

解：由题意得：解得：m＝－3．当m=-3时，y=-6x2-2x+7例题讲解

－1例题讲解例2写出下列问题中y与x之间的函数的表达式,并写出自变量的取值范围:(1)如图，在长200m、宽140m的矩形绿地内修建等宽的十字形道路，设道路宽为x(m)，绿地面积为y(m2)；解：(1)y=(200-x)(140-x)0<x<140例题讲解(2)某化肥厂10月份生产某种化肥200t，设该厂11月、12月的月平均增长率为x，12月份化肥的产量为y(t)；解：(2)y=200(1+x)2x＞0(3)如图，用长50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x(m)，面积为y(m2).

0<x<50新知巩固

2.写出正方体的表面积S(cm2)与正方体的棱长a(cm)之间的函数表达式.

解：由题意得：解得：k＝－2．解：S=6a2a＞0新知巩固4.如图，矩形纸片长为30cm、宽为20cm，剪去一个边长为xcm的正方形，写出剩余部分的面积S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式.3.高为14cm的圆柱的体积V(cm3)与底面半径r(cm)之间的函数表达式.解：V=14πr2r＞0解：S=600-x20<x≤20课堂小结二次函数概念列二次函数表达式自变量的取值范围形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数称为二次函数．审清题意找出等量关系列二次函数表达式一般是任意实数实际问题有实际意义当堂检测

D2.若y＝(m－2)x2＋(m－1)x是关于x的二次函数，则m的取值范围是(

)

A.m≠2

B.m≠1

C.m≠2且m≠1

D.全体实数A当堂检测3.用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(

)A.一次函数关系、二次函数关系B.反比例函数关系、二次函数关系C.一次函数关系、反比例函数关系D.反比例函数关系、一次函数关系A4.已知函数y=3x2m-1－5

①当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；②当m=＿＿时，y是关于x的反比例函数；③当m=＿＿时，y是关于x的二次函数.当堂检测10

5.将y＝－(x＋2)2－3化为一般形式为_______________，其中二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______.y＝－x2－4x－7－1－4－7当堂检测6.函数y＝2x2＋3x＋7中，自变量x的取值范围为___________.全体实数7.已知二次函数y＝x2＋3x－5，当x＝2时，y＝________.58.若菱形的两条对角线的长的和为36cm，则菱形的面积S(cm2)与一条对角线的长x(cm)之间的函数表达式为________________，其中自变量x的取值范围是___________.

0＜x＜36当堂检测9.如图，学校准备围一个中间隔有一道篱笆且一面靠墙(墙长为