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文档简介

PAGE1-第2课时组合的应用学习目标核心素养1.能应用组合学问解决有关组合的简洁实际问题.(重点)2.能解决有限制条件的组合问题.(难点)通过对组合应用的学习,培育“逻辑推理”、“数学建模”、“数学运算”的数学素养.1.组合与排列的异同点共同点:排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.不同点:排列与元素的依次有关,组合与元素的依次无关.2.应用组合学问解决实际问题的四个步骤(1)推断:推断实际问题是否是组合问题.(2)方法:选择利用干脆法还是间接法解题.(3)计算:利用组合数公式结合两个计数原理计算.(4)结论:依据计算结果写出方案个数.1.某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现在选择5名选手参与竞赛,种子选手必需在内,那么不同选法共有()A.26种 B.84种C.35种 D.21种C[从7名队员中选出3人有Ceq\o\al(3,7)=eq\f(7×6×5,3×2×1)=35(种)选法.]2.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张卡片,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有()A.12种B.18种C.36种D.54种B[由题意,不同的放法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)=3×eq\f(4×3,2)=18种.]3.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位挚友,每位挚友1本,则不同的赠送方法共有________种.(用数字作答)10[两种状况:①选2本画册,2本集邮册送给4位挚友,有Ceq\o\al(2,4)=6种方法;②选1本画册,3本集邮册送给4位挚友,有Ceq\o\al(1,4)=4种方法,所以不同的赠送方法共有6+4=10(种).]4.甲、乙、丙三位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有________种.96[甲选修2门,有Ceq\o\al(2,4)=6(种)不同方案.乙选修3门,有Ceq\o\al(3,4)=4(种)不同选修方案.丙选修3门,有Ceq\o\al(3,4)=4(种)不同选修方案.由分步乘法计数原理,不同的选修方案共有6×4×4=96(种).]无限制条件的组合问题【例1】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参与市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)随意选5人;(2)甲、乙、丙三人必需参与;(3)甲、乙、丙三人不能参与;(4)甲、乙、丙三人只能有1人参与.[解](1)从中任取5人是组合问题,共有Ceq\o\al(5,12)=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必需参与,则只须要从另外9人中选2人,是组合问题,共有Ceq\o\al(2,9)=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参与,则只需从另外的9人中选5人,共有Ceq\o\al(5,9)=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参与,可分两步:先从甲、乙、丙中选1人,有Ceq\o\al(1,3)=3种选法;再从另外9人中选4人,有Ceq\o\al(4,9)种选法.共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)=378种不同的选法.解答简洁的组合问题的思索方法1弄清要做的这件事是什么事.2选出的元素是否与依次有关,也就是看看是不是组合问题.3结合两个计数原理,利用组合数公式求出结果.1.现有10名老师,其中男老师6名,女老师4名.(1)现要从中选2名去参与会议,有多少种不同的选法?(2)选出2名男老师或2名女老师去外地学习的选法有多少种?[解](1)从10名老师中选2名去参与会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即Ceq\o\al(2,10)=eq\f(10×9,2×1)=45.(2)可把问题分两类:第1类,选出的2名是男老师有Ceq\o\al(2,6)种方法;第2类,选出的2名是女老师有Ceq\o\al(2,4)种方法,即Ceq\o\al(2,6)+Ceq\o\al(2,4)=21(种).有限制条件的组合问题【例2】高二(1)班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中选出3名同学参与活动.(1)其中某一女生必需在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一女生不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2名女生在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2名女生在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2名女生在内,不同的取法有多少种?[解](1)从余下的34名学生中选取2名,有Ceq\o\al(2,34)=561(种).∴不同的取法有561种.(2)从34名可选学生中选取3名,有Ceq\o\al(3,34)种.或者Ceq\o\al(3,35)-Ceq\o\al(2,34)=Ceq\o\al(3,34)=5984种.∴不同的取法有5984种.(3)从20名男生中选取1名,从15名女生中选取2名,有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)=2100种.∴不同的取法有2100种.(4)选取2名女生有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)种,选取3名女生有Ceq\o\al(3,15)种,共有选取方式N=Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)+Ceq\o\al(3,15)=2100+455=2555种.∴不同的取法有2555种.(5)选取3名的总数有Ceq\o\al(3,35),因此选取方式共有N=Ceq\o\al(3,35)-Ceq\o\al(3,15)=6545-455=6090种.∴不同的取法有6090种.常见的限制条件及解题方法1特别元素:若要选取的元素中有特别元素,则要以有无特别元素,特别元素的多少作为分类依据.2含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的状况,可以此作为分类依据,或采纳间接法求解.3分类探讨思想:解题的过程中要擅长利用分类探讨思想,将困难问题分类表达,逐类求解.2.现有5名男司机,4名女司机,需选派5人运货到某市.(1)假如派3名男司机、2名女司机,共有多少种不同的选派方法?(2)至少有两名男司机,共有多少种不同的选派方法?[解](1)从5名男司机中选派3名,有Ceq\o\al(3,5)种方法,从4名女司机中选派2名,有Ceq\o\al(2,4)种方法,依据分步乘法计数原理得所选派的方法总数为Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)=Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)=eq\f(5×4,2×1)·eq\f(4×3,2×1)=60种.(2)从9人中任选5人运货有Ceq\o\al(5,9)种方法.其中1名男司机,4名女司机有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)=5种选法.所以至少有两名男司机的选派方法为Ceq\o\al(5,9)-5=121种.1.无限制条件的组合应用题.其解题步骤为:(1)推断;(2)转化;(3)求值;(4)作答.2.有限制条件的组合应用题中“含”与“不含”问题:(1)这类问题的解题思路是将限制条件视为特别元素和特别位置,一般来讲,特别要先满意,其余则“一视同仁”.(2)若正面入手不易,则从反面入手,找寻问题的突破口,即采纳解除法.(3)解题时要留意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的准确含义,精确把握分类标准.1.圆上有10个点,过每三个点画一个圆内接三角形,则一共可以画的三角形个数为()A.720 B.360C.240 D.120D[确定三角形的个数为Ceq\o\al(3,10)=120.]2.从10名高校毕业生中选3人担当村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为()A.28 B.49C.56 D.85B[依题意,满意条件的不同选法的种数为Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)+Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)=49种.]3.由三个3和四个4可以组成________个不同的七位数.35[在七个位置上选出3个位置放入3,其余放入4,有Ceq\o\al(3,7)=Ceq\o\al(4,7)=35个不同的数.]4.某单位有15名成员,其中男性10人,女性5人,现须要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习,假如按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则此考察团的组成方法种数是________.2100[按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则需从10名男性中抽取4人,5名女性中抽取2人,共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)=2100种抽法.]5.某区有7条南北向街道,5条东西向街道.(如图)(1)图中有多少个矩形?(2)从A点走向B点最短的走法有多少种?[解](1)在7条南北向街道中任选2条,5条东西向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成

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