【初中数学】简单的轴对称图形（第1课时）教学设计 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第二节简单的轴对称图形（第1课时）教学设计一、教学内容和内容解析（一）教学内容教材127～128页，《等腰三角形的性质》（二）教学内容解析本节课主要研究等腰三角形的性质和特征,是在学生感受了现实生活中的轴对称图形,探索并体验了轴对称图形的特征的基础上,进一步认识简单的轴对称图形-等腰三角形,本节课既是对前面知识的深化和应用,又是后续画图形的对称轴和画轴对称图形的基础,还是今后探究线段的垂直平分线、角的平分线、矩形、菱形、正方形等轴对称图形的性质的预备知识和方法指导.因此处于非常重要的位置,起着承上启下的作用。二、课程标准内容要求（一）知识与技能1.学生要理解等腰三角形的定义，明确等腰三角形是至少有两边相等的三角形，能准确识别等腰三角形的腰、底边、顶角和底角。2.掌握等腰三角形的性质，包括“等边对等角”，即等腰三角形的两个底角度数相等；“三线合一”，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。还要了解等腰三角形是轴对称图形，以及两腰上的中线、高和两底角的平分线分别相等。3.能够运用等腰三角形的性质进行简单的计算，如已知等腰三角形的一个角或一条边，求其他角的度数或边的长度；能运用性质进行相关的证明，解决一些简单的几何问题。（二）数学思考1.经历观察、折叠、测量等活动，从具体的等腰三角形实例中，抽象出等腰三角形的性质，发展数学抽象能力。2.在探究和证明等腰三角形性质的过程中，进行有条理的思考和推理，能清晰地阐述自己的思路和理由，提高逻辑推理能力。3.通过将实际问题转化为等腰三角形的数学模型，培养建立数学模型解决问题的意识和能力。（三）问题解决1.能从实际生活中发现与等腰三角形相关的问题，并将其转化为数学问题，运用等腰三角形的性质加以解决，如建筑设计、测量等领域中的问题。2.在解决问题的过程中，学会运用观察、实验、猜想、验证等方法，尝试从不同角度思考问题，形成解决问题的策略。3.在小组合作或与同学交流中，共同探讨解决问题的方法，分享自己的想法和经验，提高合作交流和解决问题的能力。（四）情感态度1.通过感受等腰三角形在生活中的广泛应用和其独特的对称美，激发学生学习数学的兴趣，增强对数学的好奇心和求知欲。2.在探究等腰三角形性质的过程中，培养严谨、认真、实事求是的学习态度，养成良好的数学学习习惯。3.体会数学知识之间的内在联系，以及数学在解决实际问题中的价值，培养学生的应用意识和创新精神，增强学习数学的自信心。三、教学目标和目标解析（一）教学目标1.数学抽象学生能从生活中具有等腰三角形形状的实物（如金字塔侧面、衣架等）或几何图形中，抽象出等腰三角形的概念，理解“有两边相等的三角形是等腰三角形”这一本质特征。同时，在探究等腰三角形性质的过程中，能够从具体的图形和操作中，抽象出等腰三角形两底角相等、三线合一等性质的数学表达，提升从具体到抽象的思维能力，为后续学习更复杂的几何知识奠定基础。2.逻辑推理在探索等腰三角形性质时，学生要经历观察、猜想、验证、证明的过程。通过折叠等腰三角形纸片等操作进行猜想，再运用全等三角形等知识进行演绎推理证明等腰三角形两底角相等、三线合一等性质，培养逻辑推理能力。并且能运用这些性质进行简单的几何证明和计算，在推理过程中做到有理有据，提升思维的严谨性和逻辑性。3.直观想象借助折纸、画图等直观操作活动，学生能直观感受等腰三角形的对称性，在头脑中构建等腰三角形的空间形象，想象其沿对称轴对折后的重合情况，增强空间观念。4.数学运算学生能根据等腰三角形的性质，结合已知条件进行角度和边长的计算。5.数学建模引导学生发现生活中与等腰三角形相关的实际问题，能够将这些实际问题转化为数学模型，运用等腰三角形的性质进行分析和解决。通过建立数学模型，让学生体会数学的应用价值，增强用数学解决实际问题的意识和能力。（二）目标解析《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：目标1的要求是：要求学生从具体实例中提炼出数学概念与规律。在探究其性质时，能从对具体等腰三角形的观察、操作中，舍去图形的颜色、大小等非本质属性，抽象出“等边对等角”“三线合一”等性质，用数学语言精确表述，提升从具体到抽象的思维转换能力，为后续学习复杂几何概念奠定基础。目标2的要求是：在探索等腰三角形性质过程中，学生要经历完整的推理过程。先通过观察、测量、折叠等腰三角形纸片，进行合情推理，提出“两底角相等”“三线合一”等猜想。通过严谨的演绎推理对猜想进行证明，如作辅助线构造全等三角形来证明性质。在证明过程中，学生需清晰阐述每一步的依据，做到逻辑严密、条理清晰，培养演绎推理能力和科学严谨的思维习惯，提升逻辑思维水平。目标3的要求是：借助直观操作活动，学生能增强对等腰三角形的空间想象和直观理解。在折纸、画图等操作中，学生直观感受等腰三角形的对称性，形成对等腰三角形的直观表象，想象其沿对称轴对折后各部分的重合情况，理解“三线合一”的直观意义。目标4的要求是：在等腰三角形性质的应用中，学生需进行角度和边长的计算。利用“等边对等角”性质，已知等腰三角形顶角可求底角，或已知底角求顶角；运用“三线合一”性质，结合勾股定理等知识，计算等腰三角形的高、边长等。目标5的要求是：课程标准强调数学知识的实际应用。在等腰三角形性质教学中，学生要学会将生活中的实际问题转化为数学模型。通过建立数学模型，学生体会数学与生活的紧密联系，增强应用数学知识解决实际问题的意识和能力，提升数学建模素养。四、学生学情分析（一）学生基础情况1.知识基础方面：学生在小学阶段已对三角形有了初步认识，了解三角形的基本概念和分类，知道等腰三角形是三角形的一种，且对等腰三角形有两条边相等这一特征有一定的认知。进入初中后，学生学习了三角形的内角和定理、全等三角形的判定等知识，这些都为探究等腰三角形的性质奠定了基础。同时，学生已经掌握了一些基本的几何语言和简单的推理方法，能够进行初步的几何证明。2.能力基础方面：七年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们具备一定的观察、操作和归纳能力。通过之前的学习，学生能够通过观察图形发现一些简单的规律，也能通过动手操作来验证自己的猜想。（二）学生学习难点1.性质的理解与推导：等腰三角形“等边对等角”“三线合一”性质的理解和推导对学生来说具有一定难度。尤其是“三线合一”性质，它涉及到等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线的重合关系，学生需要从图形和逻辑推理两个方面去理解，抽象思维要求较高。同时，在推导性质的过程中，需要运用全等三角形等知识进行证明，这对学生的逻辑推理能力是一个挑战。2.性质的应用与拓展：在实际应用中，学生可能难以灵活运用等腰三角形的性质解决问题。（三）学生学习需求1.直观与实践的需求：由于学生的思维特点，他们更倾向于通过直观的方式来学习新知识。因此，学生需要更多的直观演示和动手操作活动，如通过折纸、画图等方式来探索等腰三角形的性质，帮助他们更好地理解抽象的几何概念和性质。2.自主与合作学习的需求：七年级学生具有较强的好奇心和求知欲，他们渴望在学习中能够自主探索和发现新知识。同时，他们也希望能够与同伴进行合作交流，分享自己的想法和发现。因此，学生需要有足够的自主学习时间和空间，以及小组合作探究的机会，在相互学习和启发中提高自己的学习能力。五、教学策略分析（一）情境创设策略依据课程标准中让学生体会数学与生活紧密联系的理念，创设生动有趣且贴近生活的情境。比如展示一些含有等腰三角形的建筑图片，如埃及金字塔的侧面；或者展示生活中的物品，像晾衣架、三角板等，引导学生观察这些物体的形状特征，从而引出等腰三角形的概念。这样的情境创设能激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学在生活中的广泛应用，为后续学习奠定良好的基础。直观操作策略七年级学生的思维以形象思维为主，安排丰富的直观操作活动。让学生准备好等腰三角形纸片，通过折叠等腰三角形纸片，观察重合的部分，进而猜想等腰三角形的性质。小组合作探究策略在探究等腰三角形性质的证明过程中，采用小组合作探究的方式。通过小组合作，学生可以相互交流、启发，共同解决问题，不仅能培养学生的合作意识和团队精神，还能提高学生的逻辑推理能力和语言表达能力。数学思想渗透策略在教学过程中，注重数学思想的渗透。如在探究等腰三角形性质的过程中，渗透转化思想，将等腰三角形的问题转化为全等三角形的问题来解决；在归纳等腰三角形性质时，渗透从特殊到一般的思想。通过数学思想的渗透，让学生学会用数学的思维方式去分析和解决问题，提高学生的数学素养。六、教学重难点（一）重点：等腰三角形的性质。（二）难点：等腰三角形的性质及其探究过程。七、教学过程教学流程活动一：创设情境，新课导入【情境引入】请同学们观察下面几幅生活中的图片，你能从图中找出所熟悉的三角形吗？它的形状有什么特别之处呢？等腰三角形是生活中常见的图形。今天我们要通过对等腰三角形的有关特征的学习，进一步加强对轴对称的性质的理解。大家准备好了吗？设计意图：让学生欣赏生活中等腰三角形的图片，激发学习兴趣。活动二：交流合作，探究新知探究点1等腰三角形的性质问题1如图，等腰三角形中包含哪些元素？一个顶角、两个底角、两条腰、一条底边。操作把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把它展开，得到的△ABC有什么特点？△ABC的两条边AB与AC相等，它是等腰三角形。问题2上面的△ABC是轴对称图形吗？如果是，沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角？△ABC是轴对称图形，折痕AD即是它的对称轴。问题3等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线？你是如何描述的？沿对称轴折叠，可以把等腰三角形变为两个全等的直角三角形，对称轴既平分等腰三角形的顶角，也是等腰三角形底边上的中线或高所在的直线。问题4你认为等腰三角形有哪些特征？归纳总结：等腰三角形是轴对称图形。等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。等腰三角形的两个底角相等。例1（教材P127例1）已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数。解：设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角的度数为2x°。根据“三角形三个内角的和等于180°”，得x+2x+2x=180。解得x=36。2×36=72。所以，这个三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。思考如图，△ABC是一个等腰三角形，直线l是它的对称轴。请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形？【对应训练】教材P128随堂练习第2题。设计意图：探索等腰三角形的轴对称性及其有关特征，让学生动手折一折等腰三角形纸片，发现结论并由此归纳等腰三角形的有关特征，然后利用这些特征解题。探究点2等边三角形的性质问题1当等腰三角形的腰与底边相等时，它是什么三角形？等边三角形。问题2动手试一试，将一张等边三角形纸片对折，并使得折痕两旁的部分能完全重合，你能找到几条这样的折痕？这说明了什么？三条，说明了等边三角形有3条对称轴。问题3你能发现等边三角形的哪些特征？归纳总结：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，它们是等边三角形三条角平分线所在的直线，也是三条中线和三条高所在的直线。等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，并且每个内角都等于60°。例2如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，求∠ACE的度数。解：在等边三角形ABC中，∠ACB=60°。因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。又因为DE=DE，所以△BDE≌△CDE（SAS），所以∠EBD=∠ECD=45°，所以∠ACE=∠ACB-∠ECD=15°。【对应训练】教材P128随堂练习第1题。设计意图：探索等边三角形的轴对称性及其有关特征，让学生动手折一折等边三角形纸片，发现结论并由此归纳等边三角形的有关特征，然后利用这些特征解题。活动三：综合演练，巩固提升例如图，AB=AC，点D，E均在BC上，若AD=AE，试说明：BD=CE。解：如图，过点A作AG⊥BC于点G。由AB=AC，AD=AE，可知△ABC，△ADE均是等腰三角形。因为AG⊥BC，所以BG=CG，DG=EG，所以BG-DG=CG-EG，即BD=CE。【对应训练】如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AM⊥CD，垂足为M。试说明：CM=DM。解：如图，连接AC，AD。在△ABC和△AED中，因为AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，所以△ABC≌△AED(SAS)。所以AC=AD，所以△ACD是等腰三角形。又因为AM⊥CD，所以CM=DM。设计意图：通过边相等识别等腰三角形，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题，巩固本节课所学。活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.等腰三角形具备哪些性质？2.等边三角形具备哪些性质？【作业布置】1.教材P133～135习题5.2第1，5，6，7，11，12题。2.相应课时训练。八、板书设计2简单的轴对称图形第1课时等腰三角形的性质三角形内角和定理A三角形内角和定理AC猜想实践证明量一量、剪拼演绎推理转化九、教学反思（一）课前反思教学目标设定反思：依据2022版初中数学课程标准，需思考设定的关于等腰三角形性质的教学目标是否全面且合理。是否在知识与技能目标中，清晰界定了学生对等腰三角形“等边对等角”“三线合一”等性质的理解与掌握程度；在过程与方法目标里，明确了通过何种探究活动培养学生的逻辑推理、直观想象等能力；在情感态度与价值观目标上，考虑到激发学生对几何图形的兴趣以及培养严谨的科学态度。同时，要审视目标是否符合学生的实际认知水平与能力，是否具有可操作性与可评价性。教学内容处理反思：分析新北师大版教材中《等腰三角形的性质》内容，思考是否准确把握了教学的重点与难点。对于等腰三角形性质的推导过程，是否需要补充更多的实例或引导步骤，以帮助学生理解。教学内容的呈现顺序是否符合学生的认知规律，是否需要对教材内容进行适当的重组或拓展，比如结合生活中更多的等腰三角形应用实例，加深学生对知识的理解与应用能力。教学方法选择反思：反思所选用的教学方法能否有效达成教学目标。考虑是否需要多种教学方法相结合，以满足不同学生的学习需求。学生学情分析反思：重新审视对学生已有知识基础和学习能力的分析是否准确。学生在之前学习过三角形的基本概念和全等三角形的知识，但对于等腰三角形性质的理解可能仍存在困难。思考是否充分考虑了学生在逻辑推理、空间想象等方