山东省济南市天桥区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题（解析版）

2023-2024学年第一学期九年级期末考试数学试题注意事项：本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.相反数是（）A1 B. C. D.2.下列几何体中，主视图是三角形的为（）A. B.C. D.3.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.4.若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（）A. B. C. D.5.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分且相等6.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（）A. B. C. D.7.如图，为上三点，若，则的度数为（）A. B. C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的对应点B的坐标为（）A. B. C. D.9.如图，在中，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当t为何值时，与相似（）A.3 B. C.或 D.3或10.对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（）A.或 B.或 C. D.或第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11.若，则______．12.如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_____．13.关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是_____（写出一个即可）．14.如图，在等腰中，，以A为圆心，以长为半径作弧，交于点D，则阴影部分的面积___________________（结果保留π）．15.如图，在Rt△AOB中，，，顶点A，B分别在反比例函数和反比例函数的图象上，则k的值为______．16.如图，矩形中，AB=2，，动点P从点A出发向终点D运动，连接BP，并过点C作CHBP，垂足为H．以下结论：①；②AH最小值为；③在运动过程中，BP扫过的面积等于；④在运动过程中，点H的运动路径的长为，其中正确的有（填写序号）__________________．三、解答题:（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.计算：．18.解方程：19.如图，在菱形中，、分别是和的中点，连接、．求证：．20.随着科技的进步，购物支付方式日益增多，为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应圆心角为______度；（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．21.数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶长26米，台阶坡面的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则（1）点B到的距离为多少米？（2）塔顶到地面的高度约为多少米？（参考数据：，，，）22.如图，点是直径延长线上一点，与相切于点，延长线于点，连接，．（1）求证：平分；（2）若，，求的半径长23.在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人．（1）求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率．（2）如果能保持这个月平均增长率，第三季度（7月~9月）该馆接待游客总量能否达到50万人？24.如图，直线与双曲线交于A（1，8），B（4，n）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）设点P是y轴上的一个动点，当△APB的周长最小时，请求出点P的坐标；（3）将直线向下平移t个单位后，与双曲线有唯一交点，t的值为．25.如图，在矩形中，，点，P分别在边，上（均不与端点重合)，且，以AP和为邻边作矩形，连接，．（1）如图②，当时，与的数量关系为______．【类比探究】（2）如图③，当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间数量关系与（1）是否发生变化？若变化，求出数量关系，若不变化，请说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长．26.如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值；（3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

2023-2024学年第一学期九年级期末考试数学试题注意事项：本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.的相反数是（）A1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值以及相反数的定义即可求解．【详解】解：∵，∴的相反数是，故选：B．2.下列几何体中，主视图是三角形的为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案.【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意；B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意；C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意；D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键.3.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．【详解】解：∵抛物线，∴该抛物线的顶点坐标为，故选：B．4.若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形相似比，熟知相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】解：两个相似三角形的对应中线比是，两个相似三角形的相似比为，它们的周长比是．故选：B．5.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分且相等【答案】A【解析】【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．故选：A．【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．6.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．【详解】如图，过作于，则，AC＝＝5．．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．7.如图，为上三点，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，由圆周角定理求出，由等腰三角形的性质得到．【详解】解：∵，∴，∵，∴．故选：C．8.如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的对应点B的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点的坐标为，即，故选：A．9.如图，在中，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当t为何值时，与相似（）A.3 B. C.或 D.3或【答案】C【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，由勾股定理求出长，分两种情况，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分别列出关于的方程，求出，即可解决问题，关键是要分两种情况讨论．【详解】解：由勾股定理得：，由题意得：,，当时，∵，∴,此时,，当时,∵,∴,此时,∴当为或时,与相似，故选：．10.对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（）A.或 B.或 C. D.或【答案】A【解析】【分析】符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题．【详解】解：令，

如图所示，则的值为函数较大的值，∴比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值．

联立方程 解得∴时，解得，，当时，解得：∴当时，或

故选：A【点睛】本题主要考查函数比较大小的问题，正确画出函数图象是解答本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11.若，则______．【答案】【解析】【分析】由，设则再代入求值即可.【详解】解：，设则故答案为：【点睛】本题考查的是比例的性质，掌握设参数的方法解决比例问题是解本题的关键.12.如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_____．【答案】##【解析】【分析】此题考查几何概率，解题关键在于掌握运算法则．根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：∵总面积为，其中阴影部分面积为，∴飞镖落在阴影部分的概率是，故答案为：．13.关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是_____（写出一个即可）．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于a的不等式，解不等式就可以求出a的取值范围，即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，，

解上式得．∴的任意实数．∴a的值可以是1（答案不唯一）．故答案为：1（答案不唯一）．14.如图，在等腰中，，以A为圆心，以长为半径作弧，交于点D，则阴影部分的面积___________________（结果保留π）．【答案】##【解析】【分析】此题考查了求不规则图形的的面积，利用三角形面积减去扇形面积即可得到答案．【详解】解：∵在等腰中，，∴，∴，故答案为：15.如图，在Rt△AOB中，，，顶点A，B分别在反比例函数和反比例函数的图象上，则k的值为______．【答案】-12【解析】【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，然后结合相似三角形的性质、三角函数以及k的几何意义，即可求解．【详解】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，如图，∴∠BDO=∠OCA=90°，∴∠OBD+∠BOD=90°，∵，∴∠BOD+∠COA=90°，∴∠OBD=∠COA，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∵反比例函数的图象位于第二象限，∴k<0，∴k=-12．故答案为；-12．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的性质以及三角函数，解题时注意掌握数形结合的应用，注意掌握辅助线的作法．16.如图，矩形中，AB=2，，动点P从点A出发向终点D运动，连接BP，并过点C作CHBP，垂足为H．以下结论：①；②AH的最小值为；③在运动过程中，BP扫过的面积等于；④在运动过程中，点H的运动路径的长为，其中正确的有（填写序号）__________________．【答案】①②③④【解析】【分析】由四边形是矩形，，得，则，即可证明，可判断①正确；取的中点，连接，，可求得，由勾股定理求得，因为，所以，则，即可求得的最小值是，可判断②正确；当点与点重合时，则与矩形的对角线重合，可求得扫过的面积为，可判断③正确；可求得，则点的运动路径的长为，可判断④正确，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，∴，∴，故①正确；如图1，取的中点，连接，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的最小值是，故②正确；如图，点的运动路径为以的中点为圆心，半径长为的一段圆弧，当点与点重合时，则为与矩形的对角线重合，∴扫过的面积为，故③正确；∵由勾股定理得，∴，∴，∴，∴点的运动路径的长为，故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定、旋转的性质、两点之间线段最短、勾股定理的应用、三角形的面积公式、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题:（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.计算：．【答案】【解析】【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．【详解】解：．【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．18.解方程：【答案】，【解析】【分析】利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程．【详解】解：由原方程，得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=2，x2=﹣1．【点睛】本题考查了解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．19.如图，在菱形中，、分别是和的中点，连接、．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知和菱形的性质证明，即可得出．【详解】证明：四边形是菱形，，、分别是和的中点，，，，又，，．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20.随着科技的进步，购物支付方式日益增多，为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度；（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．【答案】（1）20，18，36（2）【解析】【分析】本题考查了统计图，列表法与树状图法．（1）根据统计图中的信息列式计算即可；（2）首先根据列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好抽到恰好都是女性的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解决问题的关键在于利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．【小问1详解】解：本次调查的总人数为：，，在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为，故答案为：20，18，36；【小问2详解】由题意可知用现金支付方式共有5人，设男生为，，女生为，，，列表得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，∵共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，∴恰好都是女性的概率．21.数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶长26米，台阶坡面的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则（1）点B到的距离为多少米？（2）塔顶到地面的高度约为多少米？（参考数据：，，，）【答案】（1）10米（2）47米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）过点B作于点P，依据坡度的定义并结合勾股定理解直角三角形即可．（2）延长交于点H，可证四边形为矩形，设米，在直角三角形中可表示米，即，于是可得，，再在中得到，可解得米，从而得解．【小问1详解】解如图，过点B作于点P，∴为直角三角形．由，可设，则，由可得，解得或（舍去），∴米∴点B到的距离为10米．【小问2详解】延长交于点H，则，则四边形矩形，∴，由（1）可知，设米，在中，，即∴米，在中，，即：解得（米）．答：塔顶到地面的高度约为47米．22.如图，点是直径延长线上一点，与相切于点，延长线于点，连接，．（1）求证：平分；（2）若，，求的半径长【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，则，得到，由切线的性质得，而，则，所以，则，即可得证；（2）根据是的直径，得，根据，即可证明，得，则，根据勾股定理可得，继而得到，即可得解．【小问1详解】证明：如图，连接，则，∴，∵与相切于点，∴，∵，∴，∴，∴，∴平分；【小问2详解】解：∵是的直径，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴的半径长是．【点睛】本题考查切线性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键．23.在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人．（1）求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率．（2）如果能保持这个月平均增长率，第三季度（7月~9月）该馆接待游客总量能否达到50万人？【答案】（1）（2）能达到50万人【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）求出第三季度接待游客的总人数，则可得出答案．【小问1详解】解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为，依题意，得：，解得：（舍去）；答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为．【小问2详解】解：8月份接待游客人数：（万人）9月份接待游客人数：（万人）第三季度接待游客总人数为：（万人）答：第三季度（7月～9月）该馆接待游客总量能达到50万人．24.如图，直线与双曲线交于A（1，8），B（4，n）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）设点P是y轴上的一个动点，当△APB的周长最小时，请求出点P的坐标；（3）将直线向下平移t个单位后，与双曲线有唯一交点，t的值为．【答案】（1），（2）（3）或；【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，一次函数的平移，求函数的解析式，根的判别式等知识；（1）先把点代入求出m的值，然后求出n的值，再利用待定系数法，即可求出k的值；（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，得出，求得直线的解析式为，令，即可求解；（3）由题意，得到平移后的解析式为，然后联合方程，利用根的判别式，即可求出答案．【小问1详解】解：根据题意，把点代入，则，解得；∴，把代入，则，∴；把点、代入，则，解得，∴；【小问2详解】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，

∴，∴，此时，的周长最小，∵，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴，当时，，∴．【小问3详解】解：根据题意，把向下平移t个单位，则，联合与，则，整理得：，∵与有唯一交点，∴，解得：或．25.如图，在矩形中，，点，P分别在边，上（均不与端点重合)，且，以AP和为邻边作矩形，连接，．（1）如图②，当时，与的数量关系为______．【类比探究】（2）如图③，当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系与（1）是否发生变化？若变化，求出数量关系，若不变化，请说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长．【答案】（1）（2）变化，（3）或．【解析】【分析】（1）根据题意得出，，即可推出，根据矩形的性质得出，，，则，，即可求解，（2）根据题意得出，，进而得出，，则，连接，通过证明，即可求解，（3）当点在线段上时，根据勾股定理求出、的长度，即可得出，则可求出，当点在线段上时，同理可求，则，同理可求出．本题考查了矩形的性质，正方形的，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练应用相关性质定理，分情况讨论．【小问1详解】解：当，则，，，，四边形是矩形，四边形是矩