山东省济南市天桥区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题(解析版)_第1页
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文档简介

2023-2024学年第一学期九年级期末考试数学试题注意事项:本试题共6页,满分为150分.考试时间为120分钟.答卷前,请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上,并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上.答选择题时,必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;答非选择题时,用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答.答案写在试卷上无效.第I卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.相反数是()A1 B. C. D.2.下列几何体中,主视图是三角形的为()A. B.C. D.3.抛物线的顶点坐标是()A. B. C. D.4.若两个相似三角形的面积比是,则它们的周长比是()A. B. C. D.5.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分且相等6.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长都是,的顶点都在这些小正方形的顶点上,则的值为()A. B. C. D.7.如图,为上三点,若,则的度数为()A. B. C. D.8.如图,在平面直角坐标系中,△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形,若,,,则点D的对应点B的坐标为()A. B. C. D.9.如图,在中,点P由点B出发沿方向向点A匀速运动,速度为,同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动,速度为,连接.设运动的时间为,其中.当t为何值时,与相似()A.3 B. C.或 D.3或10.对于任意的实数m、n,定义符号的含义为m,n之间的最大值,如,.定义一个新函数:,则时,x的取值范围为()A.或 B.或 C. D.或第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)11.若,则______.12.如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同,若某人向游戏板投掷飞镖一次(假设飞镖落在游戏板上),则飞镖落在阴影部分的概率是_____.13.关于x的一元二次方程有实数根,则a的值可以是_____(写出一个即可).14.如图,在等腰中,,以A为圆心,以长为半径作弧,交于点D,则阴影部分的面积___________________(结果保留π).15.如图,在Rt△AOB中,,,顶点A,B分别在反比例函数和反比例函数的图象上,则k的值为______.16.如图,矩形中,AB=2,,动点P从点A出发向终点D运动,连接BP,并过点C作CHBP,垂足为H.以下结论:①;②AH最小值为;③在运动过程中,BP扫过的面积等于;④在运动过程中,点H的运动路径的长为,其中正确的有(填写序号)__________________.三、解答题:(本大题共10个小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.计算:.18.解方程:19.如图,在菱形中,、分别是和的中点,连接、.求证:.20.随着科技的进步,购物支付方式日益增多,为了解某社区居民支付的常用方式(A微信,B支付宝,C现金,D其他),某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查,根据查结果,绘制成如图统计图.根据统计图表中的信息,解答下列问题:(1)______,______,在扇形统计图中C种支付方式所对应圆心角为______度;(2)本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性,其余都是女性,现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训,求恰好都是女性的概率.21.数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.如图所示,塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面,在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角,台阶长26米,台阶坡面的坡度,然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角,则(1)点B到的距离为多少米?(2)塔顶到地面的高度约为多少米?(参考数据:,,,)22.如图,点是直径延长线上一点,与相切于点,延长线于点,连接,.(1)求证:平分;(2)若,,求的半径长23.在我国,博物馆是最受欢迎的旅游景点之一,随着“博物馆热”持续升温,越来越多的人走进博物馆,了解文化历史、感受艺术魅力,某城市博物馆,今年5月份接待游客10万人,7月份接待游客增加到14.4万人.(1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率.(2)如果能保持这个月平均增长率,第三季度(7月~9月)该馆接待游客总量能否达到50万人?24.如图,直线与双曲线交于A(1,8),B(4,n)两点,与x轴,y轴分别交于点C,D.(1)求一次函数与反比例函数的表达式;(2)设点P是y轴上的一个动点,当△APB的周长最小时,请求出点P的坐标;(3)将直线向下平移t个单位后,与双曲线有唯一交点,t的值为.25.如图,在矩形中,,点,P分别在边,上(均不与端点重合),且,以AP和为邻边作矩形,连接,.(1)如图②,当时,与的数量关系为______.【类比探究】(2)如图③,当时,矩形绕点顺时针旋转,连接,则与之间数量关系与(1)是否发生变化?若变化,求出数量关系,若不变化,请说明理由.【拓展延伸】(3)在(2)的条件下,已知,,当矩形旋转至,,三点共线时,请直接写出线段的长.26.如图1,抛物线与x轴交于和两点,与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)P是抛物线上,位于直线上方的一个动点,过点P作于点D,求P坐标为何值时最大,并求出最大值;(3)如图②,将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线,与原抛物线相交于点M,点N为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点A,M,N,H为顶点的四边形为矩形,若存在,请直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由.

2023-2024学年第一学期九年级期末考试数学试题注意事项:本试题共6页,满分为150分.考试时间为120分钟.答卷前,请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上,并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上.答选择题时,必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;答非选择题时,用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答.答案写在试卷上无效.第I卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.的相反数是()A1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相反数的定义,特殊角的三角函数值.根据特殊角的三角函数值以及相反数的定义即可求解.【详解】解:∵,∴的相反数是,故选:B.2.下列几何体中,主视图是三角形的为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图,即可得出答案.【详解】解:A、圆锥的主视图是三角形,故本选项符合题意;B、球的主视图是圆,故本选项不符合题意;C、长方体的主视图是长方形,故本选项不符合题意;D、三棱柱的主视图是长方形,故本选项不符合题意;故选:A.【点睛】本题考查了简单几何体的三视图,熟知常见几何体的主视图是解本题的关键.3.抛物线的顶点坐标是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质,关键是熟记:顶点式,顶点坐标是,对称轴是直线.根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标.【详解】解:∵抛物线,∴该抛物线的顶点坐标为,故选:B.4.若两个相似三角形的面积比是,则它们的周长比是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形相似比,熟知相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方是解题的关键.根据相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方进行解答即可.【详解】解:两个相似三角形的对应中线比是,两个相似三角形的相似比为,它们的周长比是.故选:B.5.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分且相等【答案】A【解析】【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质.【详解】解:平行四边形的对角线互相平分,而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立.故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是:对角线互相平分.故选:A.【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质,理解四个图形之间的关系是解题关键.6.如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长都是,的顶点都在这些小正方形的顶点上,则的值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过作于,首先根据勾股定理求出,然后在中即可求出的值.【详解】如图,过作于,则,AC==5..故选D.【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数,正确作出辅助线是解题的关键.7.如图,为上三点,若,则的度数为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆周角定理,等腰三角形的性质,由圆周角定理求出,由等腰三角形的性质得到.【详解】解:∵,∴,∵,∴.故选:C.8.如图,在平面直角坐标系中,△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形,若,,,则点D的对应点B的坐标为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是位似变换的性质,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为,那么位似图形对应点的坐标的比等于或.根据位似变换的性质计算,得到答案.【详解】解:与是以点为位似中心的位似图形,相似比为,点的坐标为,即,故选:A.9.如图,在中,点P由点B出发沿方向向点A匀速运动,速度为,同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动,速度为,连接.设运动的时间为,其中.当t为何值时,与相似()A.3 B. C.或 D.3或【答案】C【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定,由勾股定理求出长,分两种情况,由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,分别列出关于的方程,求出,即可解决问题,关键是要分两种情况讨论.【详解】解:由勾股定理得:,由题意得:,,当时,∵,∴,此时,,当时,∵,∴,此时,∴当为或时,与相似,故选:.10.对于任意的实数m、n,定义符号的含义为m,n之间的最大值,如,.定义一个新函数:,则时,x的取值范围为()A.或 B.或 C. D.或【答案】A【解析】【分析】符号的含义是取较大的值.则本题实为函数比较大小的问题.【详解】解:令,

如图所示,则的值为函数较大的值,∴比较两个函数的交点,较大的y值即为最大值.

联立方程 解得∴时,解得,,当时,解得:∴当时,或

故选:A【点睛】本题主要考查函数比较大小的问题,正确画出函数图象是解答本题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)11.若,则______.【答案】【解析】【分析】由,设则再代入求值即可.【详解】解:,设则故答案为:【点睛】本题考查的是比例的性质,掌握设参数的方法解决比例问题是解本题的关键.12.如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同,若某人向游戏板投掷飞镖一次(假设飞镖落在游戏板上),则飞镖落在阴影部分的概率是_____.【答案】##【解析】【分析】此题考查几何概率,解题关键在于掌握运算法则.根据几何概率的求法:飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.【详解】解:∵总面积为,其中阴影部分面积为,∴飞镖落在阴影部分的概率是,故答案为:.13.关于x的一元二次方程有实数根,则a的值可以是_____(写出一个即可).【答案】1(答案不唯一)【解析】【分析】本题考查根的判别式,解题的关键是熟练运用根的判别式,本题属于基础题型.由于方程有实数根,则其根的判别式,由此可以得到关于a的不等式,解不等式就可以求出a的取值范围,即可求解.【详解】解:∵关于x的一元二次方程有实数根,,

解上式得.∴的任意实数.∴a的值可以是1(答案不唯一).故答案为:1(答案不唯一).14.如图,在等腰中,,以A为圆心,以长为半径作弧,交于点D,则阴影部分的面积___________________(结果保留π).【答案】##【解析】【分析】此题考查了求不规则图形的的面积,利用三角形面积减去扇形面积即可得到答案.【详解】解:∵在等腰中,,∴,∴,故答案为:15.如图,在Rt△AOB中,,,顶点A,B分别在反比例函数和反比例函数的图象上,则k的值为______.【答案】-12【解析】【分析】过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,然后结合相似三角形的性质、三角函数以及k的几何意义,即可求解.【详解】解:过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,如图,∴∠BDO=∠OCA=90°,∴∠OBD+∠BOD=90°,∵,∴∠BOD+∠COA=90°,∴∠OBD=∠COA,∴,∴,∵,∴,∵,∴,解得,∵反比例函数的图象位于第二象限,∴k<0,∴k=-12.故答案为;-12.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的性质以及三角函数,解题时注意掌握数形结合的应用,注意掌握辅助线的作法.16.如图,矩形中,AB=2,,动点P从点A出发向终点D运动,连接BP,并过点C作CHBP,垂足为H.以下结论:①;②AH的最小值为;③在运动过程中,BP扫过的面积等于;④在运动过程中,点H的运动路径的长为,其中正确的有(填写序号)__________________.【答案】①②③④【解析】【分析】由四边形是矩形,,得,则,即可证明,可判断①正确;取的中点,连接,,可求得,由勾股定理求得,因为,所以,则,即可求得的最小值是,可判断②正确;当点与点重合时,则与矩形的对角线重合,可求得扫过的面积为,可判断③正确;可求得,则点的运动路径的长为,可判断④正确,于是得到问题的答案.【详解】解:∵四边形是矩形,,∴,∴,∴,故①正确;如图1,取的中点,连接,,∴,,∴,∴,∵,∴,∴,∴的最小值是,故②正确;如图,点的运动路径为以的中点为圆心,半径长为的一段圆弧,当点与点重合时,则为与矩形的对角线重合,∴扫过的面积为,故③正确;∵由勾股定理得,∴,∴,∴,∴点的运动路径的长为,故④正确,故答案为:①②③④.【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定、旋转的性质、两点之间线段最短、勾股定理的应用、三角形的面积公式、弧长公式等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.三、解答题:(本大题共10个小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.计算:.【答案】【解析】【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后,再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案.【详解】解:.【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式加减运算,熟练掌握相关运算法则是解本题的关键.18.解方程:【答案】,【解析】【分析】利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解,然后解方程.【详解】解:由原方程,得:(x+1)(x﹣2)=0,解得:x1=2,x2=﹣1.【点睛】本题考查了解一元二次方程.因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).19.如图,在菱形中,、分别是和的中点,连接、.求证:.【答案】见解析【解析】【分析】根据已知和菱形的性质证明,即可得出.【详解】证明:四边形是菱形,,、分别是和的中点,,,,又,,.【点睛】此题主要考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.20.随着科技的进步,购物支付方式日益增多,为了解某社区居民支付的常用方式(A微信,B支付宝,C现金,D其他),某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查,根据查结果,绘制成如图统计图.根据统计图表中的信息,解答下列问题:(1)______,______,在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度;(2)本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性,其余都是女性,现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训,求恰好都是女性的概率.【答案】(1)20,18,36(2)【解析】【分析】本题考查了统计图,列表法与树状图法.(1)根据统计图中的信息列式计算即可;(2)首先根据列出表格,然后由表格求得所有等可能的结果与恰好抽到恰好都是女性的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.解决问题的关键在于利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果,再从中选出符合事件或的结果数目,然后利用概率公式计算事件或事件的概率.【小问1详解】解:本次调查的总人数为:,,在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为,故答案为:20,18,36;【小问2详解】由题意可知用现金支付方式共有5人,设男生为,,女生为,,,列表得:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,∵共有20种等可能的结果,恰好抽到都是女性的有6种情况,∴恰好都是女性的概率.21.数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.如图所示,塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面,在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角,台阶长26米,台阶坡面的坡度,然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角,则(1)点B到的距离为多少米?(2)塔顶到地面的高度约为多少米?(参考数据:,,,)【答案】(1)10米(2)47米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用,准确理解题意,熟练掌握知识点是解题的关键.(1)过点B作于点P,依据坡度的定义并结合勾股定理解直角三角形即可.(2)延长交于点H,可证四边形为矩形,设米,在直角三角形中可表示米,即,于是可得,,再在中得到,可解得米,从而得解.【小问1详解】解如图,过点B作于点P,∴为直角三角形.由,可设,则,由可得,解得或(舍去),∴米∴点B到的距离为10米.【小问2详解】延长交于点H,则,则四边形矩形,∴,由(1)可知,设米,在中,,即∴米,在中,,即:解得(米).答:塔顶到地面的高度约为47米.22.如图,点是直径延长线上一点,与相切于点,延长线于点,连接,.(1)求证:平分;(2)若,,求的半径长【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)连接,则,得到,由切线的性质得,而,则,所以,则,即可得证;(2)根据是的直径,得,根据,即可证明,得,则,根据勾股定理可得,继而得到,即可得解.【小问1详解】证明:如图,连接,则,∴,∵与相切于点,∴,∵,∴,∴,∴,∴平分;【小问2详解】解:∵是的直径,,∴,∵,∴,∴,∴,∵,,,∴,∴,∴,∴的半径长是.【点睛】本题考查切线性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识,证明及是解题的关键.23.在我国,博物馆是最受欢迎的旅游景点之一,随着“博物馆热”持续升温,越来越多的人走进博物馆,了解文化历史、感受艺术魅力,某城市博物馆,今年5月份接待游客10万人,7月份接待游客增加到14.4万人.(1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率.(2)如果能保持这个月平均增长率,第三季度(7月~9月)该馆接待游客总量能否达到50万人?【答案】(1)(2)能达到50万人【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.(1)设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x,可列出关于x的一元二次方程,解之取其符合题意的值,即可得出结论;(2)求出第三季度接待游客的总人数,则可得出答案.【小问1详解】解:设这两个月接待游客人数的月平均增长率为,依题意,得:,解得:(舍去);答:这两个月接待游客人数的月平均增长率为.【小问2详解】解:8月份接待游客人数:(万人)9月份接待游客人数:(万人)第三季度接待游客总人数为:(万人)答:第三季度(7月~9月)该馆接待游客总量能达到50万人.24.如图,直线与双曲线交于A(1,8),B(4,n)两点,与x轴,y轴分别交于点C,D.(1)求一次函数与反比例函数的表达式;(2)设点P是y轴上的一个动点,当△APB的周长最小时,请求出点P的坐标;(3)将直线向下平移t个单位后,与双曲线有唯一交点,t的值为.【答案】(1),(2)(3)或;【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题,一次函数的平移,求函数的解析式,根的判别式等知识;(1)先把点代入求出m的值,然后求出n的值,再利用待定系数法,即可求出k的值;(2)作点关于轴的对称点,连接交轴于点,连接,此时,的周长最小,得出,求得直线的解析式为,令,即可求解;(3)由题意,得到平移后的解析式为,然后联合方程,利用根的判别式,即可求出答案.【小问1详解】解:根据题意,把点代入,则,解得;∴,把代入,则,∴;把点、代入,则,解得,∴;【小问2详解】作点关于轴的对称点,连接交轴于点,连接,

∴,∴,此时,的周长最小,∵,∴,设直线的解析式为,∴,解得,∴,当时,,∴.【小问3详解】解:根据题意,把向下平移t个单位,则,联合与,则,整理得:,∵与有唯一交点,∴,解得:或.25.如图,在矩形中,,点,P分别在边,上(均不与端点重合),且,以AP和为邻边作矩形,连接,.(1)如图②,当时,与的数量关系为______.【类比探究】(2)如图③,当时,矩形绕点顺时针旋转,连接,则与之间的数量关系与(1)是否发生变化?若变化,求出数量关系,若不变化,请说明理由.【拓展延伸】(3)在(2)的条件下,已知,,当矩形旋转至,,三点共线时,请直接写出线段的长.【答案】(1)(2)变化,(3)或.【解析】【分析】(1)根据题意得出,,即可推出,根据矩形的性质得出,,,则,,即可求解,(2)根据题意得出,,进而得出,,则,连接,通过证明,即可求解,(3)当点在线段上时,根据勾股定理求出、的长度,即可得出,则可求出,当点在线段上时,同理可求,则,同理可求出.本题考查了矩形的性质,正方形的,旋转的性质,相似三角形的性质与判定,勾股定理,解题的关键是:熟练应用相关性质定理,分情况讨论.【小问1详解】解:当,则,,,,四边形是矩形,四边形是矩

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