四川省泸县某中学2024-2025学年高二年级上册1月期末考试数学试题

四川省泸县第二中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线6x-3y-l=0的倾斜角为()

A.30°B.135°C.60°

2.已知空间向量2=(1,加,2),彼=(-2,4,〃)，若出区，贝！]%+〃=()

A.-4B.-6

3.已知等差数列｛%｝的前〃项和为5,且g+&+%«=18,贝l]Su=()

A.36

4.已知空间向量1=(0,1,2),B=(-1,2,2),则向量Z在向量B上的投影向量是()

5.已知月，工为双曲线C:3-4=1(°>0,6>0)的左、右焦点，点A在C上,若闺=2阮闻,

//4乃=30°,44片匕的面积为6内，则C的方程为(

6.已知抛物线C：­=8y的焦点为厂产是抛物线C上的一点，。为坐标原点，|。耳=46,

则|阳=()

D.10

22

7.已知《，月是椭圆C：5+斗=1(。>6>0)的左、右焦点，B是C的下顶点，直线B片与

ab

C的另一个交点为A,且满足其1，鼻后，则C的离心率为()

A.—B.—C.yD.—

5522

8.在长方体N8CD-44GA中，AB=AD=2,AAl=l,。是NC的中点，点P在线段4G

试卷第1页，共4页

上，若直线OP与平面/CA所成的角为e,贝hose的取值范围是（）

V2邪V2V6百万Vf互

A.B.C.T'TD."T'V

二、多选题

9.设£是公比为正数等比数列｛%｝的前〃项和，若出=!，%%=」，贝U（）

264

A.u=-B.S?=一

4834

C.a.+S“为常数D.电-2｝为等比数列

22

10.已知点P在双曲线土-匕=1的右支上，Fi，鸟是双曲线的左、右焦点，则下列说法

169

正确的是（）

A.|尸周一|尸阊=8B.离心率e=；

4

C.渐近线方程为y=±：xD.点片到渐近线的距离为3

11.已知正方体NBC。-44cA的棱长为1,则下列说法正确的是（）

A.直线8G与所成的角为90。

B.点8与平面NC4的距离为且

3

C.直线Bq与平面3BQQ所成的角为30。

D.平面与平面N8CD所成的角为45。

三、填空题

12.已知空间向量£=（-3,2,5）1=（l,x,T）,且£与否垂直，则x等于.

13.几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于

圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切

面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成45。角，则该椭圆的离心率为.

试卷第2页，共4页

14.数列｛与｝的前"项和为S,,，%=l,a2=2,an+2-an=1+eN"),则几。=

四、解答题

15.已知圆"一如=o(a>o)关于直线y=_2x对称，且过点尸(0,4).

⑴求证：圆C与直线x+2y-8=0相切；

⑵若直线/过点(-3,4)与圆C交于A、8两点，且|A8|=2,求此时直线/的方程.

16.设等差数列｛4｝的前〃项和为S.，且%=7,禺=3g+16.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若，=一求数列低｝的前〃项和

17.已知A为抛物线C:/=2px(p>0)上一点，点A到抛物线C的焦点厂的距离为12,点A

到y轴的距离为9.

⑴求。的值；

⑵若斜率为1的直线/经过抛物线C的焦点尸，且与抛物线C相交于N两点.求线段\MN\

的长.

18.如图，在三棱锥尸-/3C中，/3,3(7,加；"分别为/6,/8的中点，

PMLAB,AB=BC=2,BP=PM=3.

试卷第3页，共4页

(1)证明：ABLPN：

(2)求平面R0N和平面尸八四夹角a的正弦值;

(3)在线段尸C上是否存在点G,使得点G到平面的距离是等?若存在，求出票的值:

苦不存在，请说明理由.

221

19.如图，已知椭圆C*+方=l(a>6>0)过点尸(3,1),焦距为4正；斜率为-§的直线/

与椭圆C相交于异于点尸的M,N两点，且直线尸”，PN均不与x轴垂直.

(1)求椭圆C的方程；

⑵若=万，求AW的方程；

(3)记直线PW的斜率为勺，直线7W的斜率为自，证明：左色为定值.

试卷第4页，共4页

《四川省泸县第二中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABDBBBADACDABD

题号11

答案ABC

1.A

【分析】先求出直线的斜率，再由左=1211。3/90。）解出倾斜角即可.

【详解】因为该直线的斜率为左=",

3

所以它的倾斜角为30。.

故选：A.

2.B

【分析】根据向量平行，可得向量存在倍数关系，设。=根据坐标相等即可进行求解.

【详解】由3〃不，知maeR,使得@=丸3，

即（1,冽,2）=2（-2,47）,

'1=-222=

所以3"=42,解得<"7=-2,所以〃7+〃=-6.

2=An〃=-4

故选：B

3.D

【分析】根据等差数列性质及求和公式进行计算即可.

【详解】由的+&+%。=18,得3&=18,得牝=6,配11牝=66.

故选：D

4.B

【分析】根据已知求出7B，W，进而即可根据投影向量求出答案.

【详解】由已知可得，鼠加=6，W=3,

a-bb2-<244、

所以，向量方在向量B上的投影向量是下「忖=§6=[-5'§'§,

故选：B.

答案第1页，共13页

5.B

【分析】先根据双曲线的定义求出内a，闺a，在△/片月中，利用正弦定理求出〃再

根据三角形的面积公式求出/,利用勾股定理可求得,2,进而可求出答案.

【详解】因为寓J=2国4所以解］＞因4

又因为点A在C上,所以为/卜内、=2°,

即2内闻-优旬=2a,所以因为|=2a,闺旬=4a,

在月中，由正弦定理得

.13片.

smNZ2csinZAF2Fi

用sin30。_

所以sinN/g片=

l^21'

又0。＜441耳＜180。，所以44乙片=90。，故/月4月=60。，

则邑知人=1|sin60°=2^a2=673,所以/=3,

则山£「=（2c『=|/耳|2-|/乃「=16/-4/=12/=36,所以0?=9,

所以廿=，一/=6,

22

所以C的方程为匕-匕=1.

36

【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设P（见〃）（加20）,结合|。尸|=46与抛物线方程,

得到〃=4,由焦半径公式得到答案.

【详解】抛物线C:/=81的焦点为尸（0,2）,准线方程为了=-2,

Im2=8n,

设尸（加,〃）（加20）,则解得〃=4或〃=-12（舍去）,

[Jm2+/=4A/3,

答案第2页，共13页

贝“尸口=〃+2=6.

故选：B.

7.A

【分析】先利用椭圆的定义及勾股定理用。表示出M耳|,|/闾，在放△/与2中求出cos/,

再在△/月名中，通过余弦定理得到阳巴「与力的关系，即可求出离心率.

【详解】由题意得，忸周=忸闯=明令|/阊=加,则防=2”加

'：F\ALF\B,.*.以同2=|/耳『+忸片「，

即(〃?+a)2=(2a—mJ+/,二=/片=^.,

4。

A.F,o4

在△AF,B中，cosA=-----=————,

AB包5

T

在中，|《闻2/用2-2|4GH/4|COS/,

a5

故选：A.

8.D

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得sine的取值范围，由此求得sin。，即可得

解.

【详解】以。为原点，分别以。4。口。2所在直线为弘力2轴，建立空间直角坐标系，如

图所示

答案第3页，共13页

则。(0,0,0),/(2,0,0),C(0,2,0),0(1,1,0),口(0,0,1),

LILUL1UULULO

设尸(a,2-a,l)(OVaS2),则OP=(q(-2,0,1),/C=12,2,0),

设平面NCR的法向量为3=(x,y,z)

n-AD,=-2x+z=0人/一/、

则加就=-2x+2y=0'j=1，倚〃="，2)

ruur

nOPQ—1+1—Q+2

所以sin。=

一国"六（一）2+f

由于0W。W2,/,«-l)2+le[1,间

2122]_7

二.sin。==G/.sin20e,1-sin20e

I2+295339

由于TV,所以cos0=V1-sin20e出a

0e0,1V,-T

9.ACD

【分析】根据等比数列的性质可得公比,进而可得通项公式与S,,,再逐个选项判断即可.

【详解】设｛。“｝公比为%（4>0）,则出个的r=」；，解得4=:，故%=/广、二，

6422

1-F=2-4.

则q=1,Sn=

1--

2

对A,"4=*=:，故A正确；

17

对B,S3=2--=jf故B错误;

答案第4页，共13页

对C,a.+S〃=』~+2-$丁=2为常数，故C正确；

1S—21

对D,S„-2=-^,-^—=-,n>2,故｛S〃-2｝为等比数列，故D正确；

故选：ACD

10.ABD

【分析】由双曲线方程得。，瓦。，根据双曲线的定义可判断A；由离心率公式可判断B；求

出渐近线方程可判断C；根据点到直线的距离公式可判断D.

22

【详解】由双曲线方程土-匕=1得，a=4*=3,c=V7I?=5，

169

..•点尸在双曲线的右支上，...IWH尸闾=2。=8,故A正确；

c5.

离心率e=—=一,故B正确；

a4

渐近线方程为y=±2x=±=x,故C错误；

a4

3

渐近线方程为了=耳尤，即3无±4y=0,

|3x5|

则点用(5,0)到渐近线的距离为d=/2+(+4『=3,故D正确.

故选：ABD.

11.ABC

【详解】建立空间直角坐标系，利用空间向量相关公式求解线线角，点到平面的距离，面面

角和线面角的大小.

【分析】以A为坐标原点，以。4，。4,4。所在直线分别为工/*轴，建立空间直角坐标

系，

A选项,则3(1,1,1)6(0,1,0),C(0,l,1),4(1,0,0),4(1,1,0),40,0,1),

故所=(0,1,0)-(U,I)=(T,O,-])/=<I,O,(H(MJW1,-1,-)-

西方(-1,0,-1)-(1,-1,-1)

故cosBG,C4=

KI-IK4IVi+ixVi+i+i

故直线8G与所成的角为90。;

答案第5页，共13页

B选项，设平面ZCB]的法向量为万=(xj,z),

五•/C=(x,y,2)•(-1,1,0)=—x+y=0

五•AB1=(x,z)-(0,1,-1)=-z=0

令歹=1得，x=l,z=l,故元=(1,1,1),

故点3到平面4CB、的距离为d=J"'?.，"。"—>B正确;

同V1+1+13

C选项，因为_L平面ABCD,ACI平面ABCD,

所以

因为四边形48c。为正方形，所以/C工80,

因为8DClDDl=D,BD,DD}u平面BB、D、D,

所以/C_L平面班QD,

故平面网2。的一个法向量为元=(0,1,1)-(1,0,1)=(-1,1,0),

设直线BG与平面郎QQ所成的角大小为

I西.就I_|（一1,0,一1）.（一1,1,0）|_1

显然sin。=辰(西，码

西,就「Vi+ixVi+T-2

故直线8G与平面所成的角为30。，正确.

D选项，设平面/。口的法向量为历=（再,如4）,

m-AC=—x；+yi—0

而=（%,M,z，（-l,0,-l）=-X]-Zi=0

令Xi=l,则％=1,Z]=T,故石=

答案第6页，共13页

平面ABCD的法向量为彳=(0,0,1),

\fh'u\-1),(0,0,1)|百

故kos(而㈤|

阿.同V1+1+13,

故平面ACDX与平面ABCD所成的角不为45。，

故选:ABC

12.4

【分析】由［与B垂直，得到£*=0，由此能求出工的值.

【详解】因为"=(-3,2,5)1=(1,%,-1),且Z与J垂直,

所以Q•6=—3+2x—5=0,角星得％=4,

故答案为：4

13.^/-V2

22

【分析】作出辅助线，根据二面角的大小得到2a=2扬,26=2r,从而求出。二万万=厂，

得到离心率.

【详解】如图所示：切面与底面的二面角的平面角为

故4/M=45。，

设圆半径为r,则AM=2r,CD=2r,AB=AM=2日,

sin45°

设椭圆的长轴长及短轴长分别为2a,2b,故24=2V2r,2b=2r,

【详解】q=1,

答案第7页，共13页

=2,

a3—at=1—1=0,%=1,

a4—a2=1+1=2,&=4,

a$——0,a$—1

4—%=2,&=6,

S100=l+2+l+4+l+6+……+l+100=50+y（2+100）=50+2550=2600.

【点睛】提供一个数列，有时提供通项公式，有时提供递推公式，有通项公式求数列的和可

根据通项公式采用相应的方法求和，求和方法主要有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、

分组求和法等，当有提供递推公式时，一般化为特殊数列（等差或等比）后再求和，也有时

时根据数列的递推公式，借助前2项的值，推出后面的项的值，求数列的和时要观察数列各

项的值的性，有时具有周期性，有时奇数项、偶数项分别具有一定的规律，然后再求和.

15.（1）证明见解析

（2）x=_3或y=4.

【分析】（1）根据圆心在直线y=-2x以及点（0,4）在圆上，即可求解6=4,。=2,进而根

据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解，

（2）利用圆的弦长公式可得1=2,结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方

程.

【详解】（1）圆C:/+/+办一切=0化为标准方程，即+

则因为圆C关于直线y=-2x对称，所以。=一2（十）所以b=2a,

因为圆C过点（0,4）,所以42-6x4=0,所以6=4,

得。=2,所以圆C方程为C:/+/+2x-4y=0,

圆心坐标为（-1,2）,半径为追，

.1-1+4-81广

故点C到直线x+2y-8=0的距离为J——=也,

45

所以C与直线x+2y—8=0相切，

答案第8页，共13页

(2)设圆心C到直线/的距离为d,贝0=J(")、亨I2,

当直线/的斜率不存在时，即/:尤=-3,满足题意，

当直线/的斜率存在时，设直线/方程为＞-4"(x+3),即丘-y+3左+4=0,

所以|2左扁+2|=2

解得k=0,

所以直线/的方程为x=-3或歹=4.

即％=-3或y=4.

16.(l)tz„=2n-l

7

⑵2n+l

【分析】(1)利用等差数列的通项公式及前几项和公式即可求解;

(2)根据(1)的结论，再利用数列求和中的裂项相消法即可求解.

【详解】(1)设等差数列｛%｝的公差为d,

16+3d=7=1

依题意得k+10d=3(%+d)+16,解得。=2

故数列｛叫的通项公式是a“=%+(〃T)d=2"l

(2〃一1；2〃+1)T-1q

2〃-12〃+1J

2n+l)_

17.(1)6

(2)24

【分析】(1)结合抛物线的定义，结合距离公式，即可求解;

(2)直线与抛物线方程联立，得到韦达定理，再根据焦点弦长公式，即可求解.

【详解】(1)设工(x,y),且_/=2/(p>0),

则/尸=9+勺12,­=6.

答案第9页，共13页

（2）由⑴知抛物线C:必=12x,焦点尸（3,0）,直线/：y=x-3,.

..、y=12x。°

联立■{/,#x2-18x+9=0,A=182-4x9>0,

[尸尤-3

设Af（再,％）川（%丹）,

贝！lx】+x2=18,

:.\MN\^\MF]+\NF\=W+W+7?=1846=24.

18.（1）证明见解析

⑵亚

17

⑶存在，0叵

PC8

【分析】（1）根据题设中的边的关系可证明再结合线面垂直的判定和性质可得

AB1PN；

（2）结合（1）中结果可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面法向量后可求夹角的正

弦值；

（2）设讫=2左，利用点到平面的距离公式可求彳的值.

【详解】（1）因为为中点，WMN/IBC,而故切，

而尸PMcMN=M,PM,MNu平面PMN,

故48_L平面PAW,而尸Nu平面PMN,故AB工PN.

（2）因为尸5=3,BN=；48=1,结合（1）中_LPN可得印=2应，

而跖V=l,^IPN2+NM2=PM2,故PNLMN,

结合（1）中NBLPN及48,九W可建立如图所示的空间直角坐标系，

答案第10页，共13页

则N(0,0,0),/(-1,0,0),5(1,0,0@0,2。)四(),1,0)C(,2,0),

故平面PMN的法向量为万=（1,0,0）,

设平面尸MS的法向量为所=（尤）/）,^W=（-l,l,0）,PM=（0,l,-2V2）,

mBM=Qj-2^-0,取了=2后，则应=（2夜,2后,1）,

则_.即

m-PM=0

m-n2a713历

故cosa=，而a£0)—,故sina=

同同|lx-y/17217

（3）设所=21=卜,23一2历），其中0WXW1,

由（2）可得平面尸”8的法向量为应=（2夜,2后,1）,

\PG-m\4、54亚2叵

故G到平面PMB的距离为L半X,由题设有当X=—

阿V17V172

故人近，故生=姮

8PC8

22

19.(1卢+匕=1

124

1.

(2)y=--x-2

（3）证明见解析

【分析】（1）根据条件列方程组求解即可;

（2）设直线/的方程为〉=-：x+%,与椭圆联立，由弦长公式求得的方程;

（3）将韦达定理代入后芯中计算结果为定值.

22

【详解】（1）由椭圆C:「+<=l（a>b>0）过点*3,1）,焦距为4夜，

ab

答案第11页，共13页

=b2+c2

a=2-\/3

9

得/+解得b=2

Jjc=242