苏科版七年级数学下册常见几何模型专练：三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（解析版）

专题08三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模

型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1：高分线模型

条件：4D是高，AE是角平分线

例L（2023•江苏苏州•七年级校考期中）如图，0ABe中，A。是边上的高，AE是SBAC的平分线，0BAC

=50°,0ABe=60°,贝峋。AE=（）

A.5°B.4°C.8°D.6°

【答案】A

【分析】利用三角形内角和定理求出回C,利用直角三角形两个锐角互余求出SDAC,利用角平分线的定义求

出EIEAC,回£4C减去EIZMC即可求出EID4E.

【详解】解：0ABe中，0BAC=50°,0ABe=60。，ZC=180°-ABAC-ZABC=70°

是BC边上的高，:.ZADC=90°,ZDAC=90°-ZC=20°,

.AE是回BAC的平分线，0BAC=50",ZEAC=-ABAC=25°,

2

Z.DAE=ZEAC-ADAC=25°-20°=5°.故选A.

【点睛】此题考查三角形内的角度求解，解题的关键是熟知角平分线、高及三角形的内角和定理的性质.

例2.（2023春・江苏•七年级专题练习）如图，在A3C中，AE平分交BC于点E,过点A作ADI3C,

垂足为。，过点石作历,至，垂足为尸.若N3=30。，NAEF=52。，则/。LD的度数为（）

A.14°B.15°C.16°D.17°

【答案】C

【分析】根据三角形内角和定理求出/瓦归和ZE，谊的度数，再利用角平分线的定义得出

ZCAE=ZBAE=38°,再根据角的和差关系可得答案.

【详解】解：SEF±AB,^\ZBFE=90°,0ZB=3O°,0ZBEF=60°,

0ZA£B=60°+52°=112°,0ZBAE=18O°-3OO-112O=38°,N£AD=112°-90°=22°,

EIAE1平分N54C,^\ZCAE=ZBAE=3S°,SZCAD=ZCAE-ZEAD=38°-22°=16°,故选C.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成

两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键.

例3.（2023・安徽合肥•七年级统考期末）如图，已知A。、AE分别是RQABC的高和中线，AB^cm,AC

=12CMI,BC=15cm,试求：（1）4。的长度；（2）/XACE和△ABE的周长的差.

【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；（2）由于AE是中线，那么BE=CE,再表示国ACE

的周长和EIABE的周长，化简可得回ACE的周长-0ABE的周长=AC-AB即可.

【详解】解：（1）幽BAC=90°,AD是边BC上的高，I3SAACB=!AB・AC=gBJAD,

ABAC9x1236、口"上36

回AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,回AD=----------=--------=—（cm）,即AD的长度为一cm；

CB1555

(2)回AE为BC边上的中线，回BE=CE,

EHACE的周长-I3ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm),

即E1ACE和I3ABE的周长的差是3cm.

【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法.

例4.(2023•广东东莞•八年级校考阶段练习)如图，在ABC中，AD,AE分别是,A5c的高和角平分线,

若4=30。，NC=50。.⑴求—ZME的度数.⑵试写出N7ME与NC-/3关系式，并证明.⑶如图，F

为AE的延长线上的一点，F"BC于D,这时NAED与NC-NB的关系式是否变化，说明理由.

【答案】(l)10°(2)/ZME=g(NC-ZB)(3)不变，理由见解析

【分析】(1)根据三角形内角和求出/BAC,根据角平分线的定义得到N&比=50。，根据高线的性质得到

ZADE=90°,从而求出/区4。=60。，继而根据角的和差得到结果；(2)根据角平分线的定义得到

ZBAE=^ZBAC,根据三角形内角和求出ZEAC=90。-g/B-g/C,根据角的和差得到结果；(3)过A作

AGL3C于G,结合(2)知NB4G=；(NC-N8),证明网＞〃AG,得到N4FD=NMG,即可证明.

【详解】(1)解：0=30°,ZC=50°,0ZBAC=180°-50°-30°=100°,

EIAE平分NBAC,0ZBAE=ZCAE--ABAC=50°,

2

团AD是高，0ZADE=9O°,SZB=30°,SZBAD=60°,0Z.DAE=ZBAD-ZBAE=10°；

(2)ZDAE=1(ZC-ZB),

证明如下：EIAE平分/8AC,EINEAC=；N8AC,

0ABAC=180°-ZB-ZC,0ZE4C=1(18O0-ZB-ZC)=9O°-1zB-izC,

l?l/FAD=/FAC-/PAC.=90°-1zfi-|zC-(900-ZC)=1(ZC-ZB)；

(3)不变，理由是：如图，过A作AG_L3C于G,由(2)可知：Z£AG=1(ZC-ZB),

A

AG1BC,ZAGB=90°,FDLBC,:.ZFDC=90°,:.ZAGD=ZFDC,:.FD//AG,

:.ZAFD=ZEAG,ZAFD=^（ZC-ZB）.

【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质,

熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键.

模型2：双垂直模型

结论：①；®ZB=ZAFD=ZCFE；③AB-CD=AE-BC。

例1.（2023•河北保定•八年级校联考阶段练习）如图，AD,BE都是ABC的高，则与NC3E一定相等的角

是（）

/BADC.ZDACD.ZC

【答案】C

【分析】根据等量代换、三角形的高的性质、三角形内角和定理即可求得答案.

【详解】回/W,3E都是4ABe的高，EIZC+ZCBE=ZC+Z2MC=90o.SZCBE^ZDAC.

A、当AB=BC时，可得NCBE=NABE,该选项不符合题意;

B、当AS=AC时，可得NCBE=NBAD,该选项不符合题意;

C、根据题意可知NCBE=N/MC=90O-NC,该选项符合题意；

D、当AD=OC时，可得NCBE=NC,该选项不符合题意.故选：C.

【点睛】本题主要考查三角形的高的性质、三角形内角和定理，牢记三角形的高的性质、三角形内角和定

理是解题的关键.

例2.（2023•安徽宿州•八年级校考期中）如图，在，ABC中，8和BE分别是AB,AC边上的高，若8=12,

BE=16,则二7的值为（）.

【答案】B

【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可.

11Ar11?3

【详解】国SABC=—ARCO=—AC-BE,012AB=16AC,0—=一=—.故选B.

22AB164

【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题.根据三角形的面积公式得出4?-8=4。座是解题关键.

例3.（2023春・河南周口•七年级统考期末）如图，在BBC中，AB=8,3c=10,CFJ.AB于点、F,AD1BC

于点。，AD与CF交于点E,ZB=46°.

⑴求，AEC的度数.⑵若AD=6,求C/的长.

BDC

【答案】（1）134。（2）券

【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；

（2）利用等面积法，由SAABC=；4CAD=；.AB.CF代值求解即可得到答案.

【详解】（1）解：0CF7AB,EZCFB=90°,

团NB=46。，回N3CF=44。，^\AD1BC,0ZADC=9O°,

团ZAEC=ZADC+NBCF=90°+44。=134。；

(2)解：回CF-LAB,ADBC,团S/xABC=—•BC-AD=—■AB-CF,

ADBC6x1015

国AB=8,BC=10,AD=6,回

AB82

【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键.

模型3：子母型双垂直模型（射影定理模型）

结论：®ZB=ZCAD；②/C=/BAD；®AB-ACAD-BCo

例L（2023•江西鹰潭•七年级阶段练习）如图，ZACB=90°,CD±AB,垂足为O.求证：ZACD=ZB.

【答案】见解析

【分析】根据同角的余角相等即可解答.

证明：在RtABC中，ZA+ZB+ZACB=180°,

VZACB=90°,AZACD+ZBCD=90°,

VCDLAB,：.ZB+ZBCD=20°,/.ZACD=ZB.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理.

例2.（2023•山东泰安,七年级校考阶段练习）如图，AD,3尸分别是0ABC的高线与角平分线，BF,AD交于

点、E,01=02.求证：是直角三角形.

A

【答案】见解析

［分析】根据AD^ABC的高线,可得&8£。+回砂。=90°,根据角平分线的定义可得MBEREBO,观察贴四

与0AEF的位置，可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得0AEF+EABE=9O。，至此结合已知不难得到

0AF£+0ABE=9O°,由此解题.

【详解】证明：由题意得：AD^BC,8F平分0ABC,

fflBED+E£B£>=90°,SiABE=SEBD,00B££）+E1AB£=9O°,

又EHAEF=I3BED,SBAEF+^ABE=90",

0EL4EF=0AFE,0EL4F£+0ABE=9O°,00BAF=9O0,即AABC是直角三角形.

【点睛】本题考查了三角形高线、角平分线的定义，对顶角相等，熟记角平分线的定义与直角三角形的定

义是关键.

例3.（2023•北京通州•八年级统考期末）如图，在.ABC中，ZABC=90。，3。，AC,垂足为O.如果AC=6,

BC=3,则3D的长为（）

A.2B.-C.3gD.

272

【答案】D

【分析】先根据勾股定理求出A2,再利用三角形面积求出3。即可.

【详解】解：SZABC=90°,AC=6,BC=3,酬艮据勾股定理他=斤匚禧==，

05D±AC,SSAABC=-ABBC=-ACBD,即工x3/x3=」x6-8。，解得：BD=—.故选择D.

22222

【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理,

三角形面积等积式是解题关键.

例4.（2023春•江苏苏州•七年级苏州中学校考期中）已知，在..A5c中，ZACB=ZCDB=zn°（0<m<180）,

AE是角平分线，。是AB上的点，AE.CD相交于点足

A

k

CEB

⑴若m=90时，如图所示，求证：ZCFE=ZCEF；(2)若相片90时，试问NCFE=NCEF还成立吗？若成立

说明理由；若不成立，请比较NCEE和/CER的大小，并说明理由.

【答案】⑴见解析；⑵不成立；当机>90时，ZCFE>ZCEF；当机<90时，ZCFE<ZCEF；理由见解析.

【分析】(1)证明=由/ACB=/CDB=90。，证明NAC£>=N3,由二角形的外角的性质可

WZCFE=ZACD+ZCAE,ZCEF=ZB+ZBAE,从而可得结论.

(2)证明NCEE-NCEF=NACF-N3,结合三角形的内角和定理可得

NCFE-NCEF=m-NBCD-(180-/BCD)=2m-180,再分两种情况可得结论.

【详解】(1)证明：团AE是角平分线，^\ZCAE=ZBAE,

0ZACB=ZCDB=m°(O<m<18O),m=90,回ZACB=NCD3=90°,

0ZACD+ZBCD=90°=NBCD+NB,0ZACD=NB,

13ZCFE=ZACD+ZCAE,ZCEF=ZB+ZBAE,Z.CFE=Z.CEF.

(2)不成立.理由如下：

ZCFEZCAF+ZACF,ZCEF=ZB+ZEAB,NCAE=NBAE,0ZCFE-ZCEF=ZACF-ZB,

团ZACB=ZCDB=/77°(0<m<180),0ZCFE-ZCEF=m-Z.BCD-(180-m-ZBCD)=2m-180

当机>90时，ACFE-ACEF=2m-180>0,0ZCFE>ZCEF;

当〃z<90时，Z.CFE-Z.CEF=2m-180<0,国NCFEvNCEF.

【点睛】本题考查的是三角形的角平分线是含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，不

等式的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键.

课后专项训练

1.（2023春•江苏无锡七年级校联考期中）如图，在*ABC中，ZA=60°,ZABC=80°,是「ABC的高线,

3E是..ABC的角平分线，则ZD3E的度数是（）

A.10°B.12°C.15°D.18°

【答案】A

【分析】利用角平分线的定义可求出,ABE的度数，在△侬）中，利用三角形内角和定理可求出NASD的

度数，再结合NDBE=ZABE—ZABD,即可求出NDBE的度数.

【详解】解：回BE是，ABC的角平分线，0ZABE=ZCBE=|zABC=1x8Oo=4O°.

团3。是“ABC的高，0ZADfi=9O°.在△ABD中，ZADB=90°,ZA=60°,

0ZABD=18O°-ZADB-ZA=18OO-9OO-6OO=3O°,

0ZDBE=ZABE-ZABD=40°-30°=10°,0ZDBE的度数为10°故选A.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180。是解题的关键.

2.（2023上•湖北武汉•八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE是ZB4c的平

分线.ZBAC=60°,NABC=70。.则NO4E+NACD等于（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】B

【分析】本题考查了高的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据高的定义求出NR4D,再根据

角平分线的定义求出一及正，进而求出一ZME,结合三角形内角和定理求出/C的度数，问题即可得解.

【详解】解：回AD是8C边上的高，0ZAD5=9O°,

0ZABC=700,[2ABAD=90°-70°=20°,

I3AE是NBAC的平分线，44c=60。，0ZBAE=-ABAC=30°,

2

0ZBAE=ZBAD+ZE4D=3O°,0ZEAD=ZBAE-ZBAD=10°,

又/C=180。—/3AC—ZABC=50。，EIZZME+ZACD=10o+50o=60o,故选：B.

3.（2023下•陕西西安•七年级校考期中）如图，在“MC中，AD是8C边上的高，AE是254C的平分线,

/EAD=5°,ZB=50°,则/C的度数为（）

A.70°B.65°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出N5AD,然后可得NBAE,再根据角平分线的定义求出,BAC,

进而利用三角形内角和定理求出NC的度数即可.

【详解】解：回AD是BC边上的高，回NADB=90。，

13ZB=50o,0ZBAD=90°-50°=40°,0ZBAE=ZBAD-ZEAD=40°-5°=35°,

ElAE是一朋C的平分线，0ZBAC=2ZfiAE=7Oo,

0ZC=180°-ZB-ABAC=180°-50°-70°=60°,故选：C.

【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识别各角之间的

关系是解题的关键.

4.（2023下•重庆涪陵•八年级统考期末）如图，钝角中，N2为钝角，AD为8C边上的高，AE为NBAC

的平分线，则与Nl、N2之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发

现的是（）

Z2-Z1Z2Z1+N2

A.ZZM£=Z2-Z1B.NDAE=-------C.ZDAE=------Z1D.ZDAE=

222

【答案】B

【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论.

【详解】解：由三角形内角和知回54。=180°-132-回1,

0AE为回BAC的平分线，EHBAE=；［354C=g（180°-EI2-m）.

HAD为BC边上的高，00ADC=9O°=0DAB+0ABr）.

又回朋8。=180°-02,EBZMB=90°-（180°-回2）=02-90°,

00EA£>=0DAB+0BAE=02-9O°+（180°-02-01）（02-EI1）.故选：B

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义，

解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系.

5.（2023上•湖南长沙•八年级校考阶段练习）如图，在，ABC中，ZBAC=90°,AD是高，BE是中线，CF

是角平分线，CF交A。于点G,交BE于点H,给出以下结论：①S△皿=S^CE;©ZAFG-ZAGF；③

ZFAG=2ZACF；@BH=CH；（5）AC:AF=BC:BF.其中结论正确的有（）

【答案】C

【分析】①根据等底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据角平分线平分角以及等角的余角相等,

即可判断；③根据角平分线平分角以及同角的余角相等，即可判断；④根据等腰三角的判定方法即可判断；

⑤过点下作府，5。于点M,根据角平分线性质得出AT=同U，根据S^cF即可

作出判断.

【详解】解：团BE是中线，^AE=CE,

05AAB£=SABC£（等底等高的两个三角形面积相等），故①正确；

EICF是角平分线，0ZACB=2ZBCF=2ZACF,田力。是高，回NADS=NADC=90°,

0ZBAC=90°,ZAFG=90°-ZACF,ZAGF=ZDGC=90°-ZBCF,

SZAFG=ZAGF,故②正确；［2ZFAG=90°-ZABC,ZACB=90°-ZABC,

0ZFAG=ZACB=2ZACF,故③正确；回连接DE,如图，

I3OE为RtADC的斜边AC的中线，0DE=EC,0ZEDC=ZACD=2ZHCD,

0ZEDC=ZDBE+ZDEB,团只有当小=可时，ZDBE=ZDEB,此时4KB=/HSC,

但AC=2DE=2DB,回条件中不能确定AC=203,回3"=C"不成立，故④错误；

⑤过点尸作9,3。于点M,如图所示：

EICF平分NACB,ZCAF=90°,^AF=FM,

EIS=-BCFM=-BF-AC,^BC-AF=BF-AC,

BRCF22

^AC-.AF=BC-.BF,故⑤正确；综上分析可知，正确的个数为4个.故选：C.

【点睛】此题考查了三角形的角平分线，中线和高性质，三角形内角和定理，角平分线性质等知识，解题

的关键是熟练掌握三角形的角平分线，中线和高性质，三角形内角和定理.

6.（2023下•湖北襄阳•八年级统考开学考试）如图，在ABC中，AD是高，AE是角平分线，8尸是中线，AE

与砥相交于。，（/C>NABC）以下结论正确的有（）

①ABAD+ZABD=ZCAD+ZC-②S^F=S^CBF；③ZEAD=|（ZC-ZABC）；④S^E:S^ACE=AB■.AC;

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】解：由高的定义，ZBAD+ZABD=ZCAD+ZC=90°,①正确；由中线得AF=b,两三角形

等底同高，于是②正确；根据直角三角形两锐角互余及外角知识，得

/E4D=90O-(/A5C+/BAE),结合角平分线定义可判断③正确；如图，过点E作E8，，AC,垂

足为“，/，根据角平分线性质，得组"可证得S.：U别皿七―AC.④

正确.

【详解】解：回AD是高，EZAD5=ZADC=90°.0ZBAD+ZABD=ZCAD+ZC=90°,①正确；

团3尸是中线，SAF=CF.令；.ABC中AC边上的高为/?,ElS”^=：4尸―/2=3。/・/2=5左.,②正确；

0ZEAD+ZAED=90°,ZAED=ZABC+ZBAE回ZEAD=90°-(ZABC+NBAE).

EIAE是角平分线，0ZBAE=-ABAC=-(180°-ZABC-ZACB)=90°--ZABC--ZACB.

2222

0NEAD=90°-(ZABC+90°-1ZABC-；ZACB)=1(ZC-ZABC),③正确；

如图，过点E作£7/_LA5£7_LAC,垂足为H,I,I3AE是角平分线，0EH=EI.

5加巴一(加国中。"—.④正确.故选：D.

【点睛】本题考查三角形角平分线，中线，高的定义，直角三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性

质；熟练掌握相关定义是解题的关键.

7.（2023上•山东滨州•八年级统考期末）如图所示，在中，CD、BE分别是A3、AC边上的高，并

且CO、BE交于点、P,若NA=50。，则等于（）

A.110°B.120°C.130°D.160°

【答案】C

【分析】首先根据BELAC,ZA=50。可得—ABE的度数，然后根据CDLAB可得—CD3的度数，最后根

据三角形外角的性质可得结论.

【详解】解：BE±AC,ZA=50°,ZABE=90°-ZA=90°-50°=40°

CDLAB,:.ZCDB=90°,ZBPC=ZPDB+ZDBP=90°+40°=130°,故选：C.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180。、三角形外角的性质是解题的关键.

8.（2023上•河南漫河•八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，B瓦C尸分别是AC,A8边上的高，则图中

与N1相等的角有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】由分别是AC,A5边上的高，可得NBEA=NCFA=90。，从而得出

Zl+ZA=90°,ZACF+ZA=90°,最后得出NACF=/1.

【详解】解：回3及5分别是43,43边上的高，回N3EA=NCE4=90°,

0Zl+ZA=90°,ZACF+ZA=90°,0ZACF=Z1,回与N1相等的角有1个，故选：B

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两个锐角互余.

9.（2023下•重庆江北•七年级校考期中）如图，在一ABC中，ZACB>ZB,AD,AE分别是高和角平分线,

A.ZDAE^ZFB.ZAEF=-(ZACF+ZB)C.ZF=^(ZACB-ZB)D.ZAGH=/CAE+/B

【答案】C

【分析】先根据垂直的定义可得NAMG=/FDG=90。，然后根据同角的余角相等即可判定A；根据角平分

线的定义可得=由三角形外角的性质可得

ZAEF=ZBAE+ZB,ZACF=NBAC+NB=2NBAE+NB,然后运用角的和差即可判定B；先根据三角形外

角的性质可得ND4E=NACB-4—/D4E,再结合44£>=/厂可判定C；先说明NAGa=/3+/3AE,然

后根据等量代换即可解答.

【详解】解：B1AD±BC,FHLAE,回NAMG=NFDG=90°,

0ZAGH=ZFGD,0ZZME=ZF,故A正确；

回AD、AE分别是高和角平分线，0ZBAE=|ZBAC,

^ZAEF=ZBAE+ZB,ZACF=ABAC+ZB=2ZBAE+ZB,

0/BAE=1(ZACF-ZB),0ZAEF=|(ZACF-ZB)+ZB,

ElZAEF=1(ZACF+ZB)；故B正确；ElZCW=90°-ZAC5,

回ZDAE=ZCAE-ZCAD=ZCAE-900+ZACB=ZBAD-ZDAE-900+ZACB,

0ZBA£>=90°-ZB,ZDAE=ZACB-ZB-ZDAE,

由A得：ZEAD=ZF,BlZF=ZACB-ZB-ZDAE,故C错误;

^ZAGH+ZGAE=ZAEC+ZDAE^90°,SZAGE=ZAEF,SZAGH=ZB+ZBAE,

SZBAE=ZCAE,SZAGH=ZCAE+ZB,故D正确.故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、垂直的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角

形内角和定理是解题的关键.

10.（2023下•广东深圳,八年级统考开学考试）如图，在ABC中，44c=90。，AD是BC边上的高，BE是

/ABC的平分线，BE交AD于点F,下面说法：①NBA£）=NC；②AE=AF；③NCAD=2NCBE；④

SABCE=^BC-AE.

其中正确的说法有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据余角的性质可判断①，根据角平分线的定义可判断③，证明/4£B=NAFE,根据等角对等

边推出AE=AF可判断②，过点E作EPL3C于尸，根据角平分线的性质定理可得钻=EP,利用三角形的

面积可判断④.

【详解】解：BE是NABC的平分线，=

ABAC=90°,AD是BC边上的高，

:.ZABC+ZC=90°,ZCAD+ZC=90°,ZABD+ZBAD=90°

:.ZABC=ZCAD,AC=ABAD,;.NCAD=2NCBE.故①③符合题意.

ZBAC=90°,AD是BC边上的高，ZABE+ZAEB=90°,NCBE+ZBFD=90°,

.BE是，ABC的平分线，：.ZABE=ZCBE,

ZBFD=ZAFE,:.ZAEB=ZAFE,:.AE=AF.故②符合题意.

如图，过点E作3c于P,

BDPC

ABAC=90°,BE是，ABC的平分线，.•.回=",

S^BCE=^BCEP=^BCAE,故④符合题意•选：D.

【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，三角形的高，余角的性质，掌握角平分线的性质定理是解题

关键.

11.（2023下•山东东营七年级校考阶段练习）如图在ABC中，是BC边上的高，AE,8尸分别是—54C

和/ABC的平分线，它们相交于点。，ZAOB=125°,则/C4D的度数是。.

【答案】20

【分析】先根据三角形内角和定理求出NOW+NOB4=55。，进而根据角平分线的定义求出

ZABC+ZBAC=110°,再利用三角形内角和定理求出NC的度数进而求出NC4D的度数即可.

【详解】解：SZAOB=125°,ZOAB+ZOBA=1800-ZAOB=55°,

BAE,8尸分别是一区4c和/ABC的平分线，SZBAC=2ZOAB,ZABC=2ZOBA,

0ZABC+ZBAC=2ZOAB+2ZOBA=110°,E1NC=18O°-ZABC—NS4C=7O°,

EIAZ）是8C边上的高，0ZADC=9O°,0ZC4D=180°-ZADC-ZC=20°,故答案为：20.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形三个内角的度数之和为180。是

解题的关键.

12.（2023上•甘肃兰州•八年级校联考期末）如图，在ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点厂在C4

的延长线上，ZBAC>ZC,FH_L3E交3。于G,交BC于H,下列结论：®ZDBE=ZF②

2ZBEF=ZBAF+ZC；（3）ZBGH=ZABE+Z.C.其中正确的是.

【答案】①②③

【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，正确运用三角形的高、

中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键.根据三角形内角和定理和对顶角相等，可证

明①结论正确；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出2ZBEF=NASC+2NC,ZBAF=ZABC+Z.C,

可证明②结论正确；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得到=再根据三角形

内角和定理和对顶角相等，得出NBGH=AEB,可证明③结论正确.

【详解】解:设BE交FH于点J.

①ElZFGD+ZF=90°31FH±BE,ZBGJ+ZDBE=90°,

0/FGD=NBGJ,0NDBE=NF,①结论正确；

②回班平分/ABC,SZABE=ZCBE,

SZBEF=ZCBE+ZC,国2NBEF=2（ZCBE+ZC）=ZABC+2NC,

^ZBAF=ZABC+ZC,E2ABEF=ZBAF+ZC,②结论正确；

（3）0ZAEB=ZEBC+ZC,ZABE=ZCBE,BZAEB=ZABE+ZC,

^BDIAC,FHBE,0ZFGD+ZF=90°,ZDBE+ZAEB=90°,

国NDBE=NF,田NFGD=ZAEB,0NFGD=/BGH,

SZBGH=AEB=ZABE+ZC,③结论正确，故答案为：①②③.

13.（2023下•山西大同•八年级校考开学考试）如图，在ABC中，AC=8,BC=6,AD,8E分别是边8C,

AC上的高，且AD=6.5,则BE的长为.

【分析】要求出BE的长，利用,ABC的面积公式：=求出.

22

【详解】解：SBcn:BC-AOngAC-BE因此=="故答案为：言.

22ACooo

【点睛】本题考查了三角形的面积计算，运用不同的底和高计算一个三角形的面积，关键要注意选取三角

形底边时，要准确找到底边所对应的高.

14.（2023下•湖南永州,九年级统考期中）如图所示，在锐角AABC中，AD,BE分别是边BC,AC上的高,

【分析】利用三角形面积公式可得

【详解】证明：AD,BE分别是边BC,AC上的高

||Ar）AC

^S^c=-BC-AD=-AC-BE.=

【点睛】本题考查求三角形的高，根据三角形面积公式列出等式是解题的关键.

15.（2023上•河北廊坊•八年级校考期中）如图，在一ABC中，/3AC为钝角，AD是8c边上的高，AE是

/BAC的平分线.

⑴画出」1BC边AB上的高CF；（2）若48=32。，ZC=52°,求ZE4D的度数；

⑶若AD=4,BC=9,AB=7,求高CV的长.

【答案】⑴画图见解析；⑵io°⑶T

【分析】本题考查的三角形的高，三角形的角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用；

（1）利用三角尺画上的高即可；

（2）先求解一胡C,ZDAC,再利用角平分线的定义可得NE4C,再结合角的和差关系可得答案;

（3）先求解S.ABC=18,再把A3作底边，再列方程求解高CF即可.

【详解】（1）解：如图，C/为A3上的高;

(2)团NN=32。，ZC=52°,回NBA。=180。一N3—ZACS=96。，

^\AD±BC,团NZMC=900—NC=38。，

团A石是284。的平分线，0Z£^C=1ZBAC=48°,

团ZEAD=ZEAC-ZDAC=48°-38°=10°；

(3)回M=4,BC=9,AD1BC,[?]SAA5C=1x9x4=18,

I3AB=7,CF1AB,0-x7CF=18,0CF=—.

27

16.(2023下•山东淄博•七年级校考阶段练习)如图，在，ABC中，AD是8C边上的高，AE是一胡C平

分线.⑴若/B=38。，NC=70。，求—ZME的度数.

(2)若NC>4,试探求//ME、/B、NC之间的数量关系.

【答案】（DZZM£=160（2）Na4E=：（NC-NB）

【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出上BAD,根据三角形的内角和等于180。，求出—A4C的度数，

然后根据角平分线的定义求出入ME,再求解即可；

（2）根据AE是ZBAC平分线，即可得到NEAC=1（180°-ZB-ZC）,再根据RtAACD中，ZDAC=90。-NC,

代入NDAE=NEAC-NDAC,即可得到N7ME、NB、NC之间的数量关系.

【详解】（1）解：回/3=38°,ZC=70°,0ZBAC=18O°-ZS-ZC=72°,

I3AE是—BAC平分线，SZBAE=36°,

EIAD是BC边上的高，ZB=38°,ZBAD=52°,

BZDAE=ZBAD-ZBAE=16°；

（2）解：/DAE=g（NC-/B）,易知NBAC=180O—/B-NC,

团AE是ZBAC平分线，国NEAC=|ABAC=1（180°-ZB-ZC）,

又闻R△ACD中，ZZMC=90°-ZC,

0ZZ）AE=ZE4C-ZDAC=1（18Oo-ZB-ZC）-（9O°-ZC）=1（ZC-ZB）,

故NZME、/B、NC之间的数量关系为/ZME=g（NC-/B）.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形的高线，准确识图是解题的关键.

17.（2023下•河南新乡•七年级统考期末）如图，在一ABC中，AD和CE分别是ABC的边3C,A3上的高,

AD,CE相交于点尸，已知sABD—CFD.

⑴若/&W=30。，求,ACE的度数；（2）若ED=6,AD=8,AB=10,求政的长.

【答案】（1）NACE=15。；（2）EF=g.

【分析】（1）根据三角形的高的定义得出NAEC=NADC=90。，根据全等三角形的性质得出AD=CD,那

么，ACD是等腰直角三角形，ZCAD=ZACD=45°,再求出NEAC=NMD+NC4T>=75。，然后根据直角

三角形两锐角互余即可求解；（2）连接防，利用以钻尸=gaBxE尸=即可求解.

【详解】（1）解：回AD和CE分别是ABC的边3C,AB上的高，回NAEC=NADC=90。，

0ABD^CFD,^AD=CD,EUACD是等腰直角三角形，团NC4£>=NACD=45。，

0ZR4D=3O°,®N£AC=N<B4D+NC4D=75°,回ZACE=90°—N£4C=15°；

（2）解：连接5F,SAABD^^CFD,FD=6,AD=8,AB=W,

EIBD=ED=6,AF=AD-FD^2.

EIE/是△"£)的边AB上的高，0SAABF=^ABxEF=^AFxBD,

即工xlOEF=^x2x6,EEF=-.

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【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，求出N6D=45。是解第（1）小题的关

键；利用面积法是解第（2）小题的关键.

18.（2023下•浙江杭州•八年级期末）如图，在Rt_ABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足为。.

（2）若AF平分分别交CD,BC于点,E,F,求证：CE=CF.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【分析】（1）根据/ACB=90。，CDLAB,列出等量关系，通过等量代换即可得到NACD=/3；

（2）根据角平分线可得回CAFWBAF,再根据三角形的外角的性质即可证得.

【详解】解：（1）0ZACB=90°,CD±A