苏科版八年级数学上册 第3章 勾股定理（A卷知识通关练）解析版

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第3章勾股定理（A卷•知识通关练）

核心知识1.勾股定理的简单计算

1.把一个直角三角形的两条直角边都扩大到原来的2倍，那么斜边将（）

A.扩大到原来的2倍B.扩大到原来的4倍

C.扩大到原来的3倍D.不能确定

【答案】A

【解析】解：设直角三角形的直角边为。、b,斜边为c,

直角边扩大2倍后为2a,2b,

那么据勾股定理得：

原来的斜边长的平方为：

现在的斜边长为：（2a）2+（2b）2=2（/+〃），

即斜边扩大到原来的2倍.

故本题选：A.

2.在△ABC中，NC=90。，AB=3,则的值为（）

A.24B.18C.12D.9

【答案】B

【解析】解：在R3ABC中，AC2+B（^=AB2=32=9,

：.AB2+AC2+BC2=32+9=18.

故本题选：B.

3.己知R3ABC的直角边分别为3和4,则斜边上的高为（）

A.5B.6C.19D.2§4

55

【答案】c

【解析】解：如图，作COLAB于。，

'：AC=3,BC=4,

，由勾股定理得：AB=5,

11

•・•SAABC=^BC=^CD^AB,

••，x3x4==x5・CZ),

22

12

・・・CD=E

5

故本题选：c.

核心知识2.勾股定理的证明及有关计算

4.数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角二角形和一个

小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6,大正方形的边长为10,则小正方形的边

长为.

【答案】2

【解析】解：如图,

•.•若直角三角形较短直角边长为6,大正方形的边长为10,

：.AB=10,BC=AD=6,

在RtZkABC中，AC=8,

；.C£）=AC-AO=8-6=2.

故本题答案为：2.

5.勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，如所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定

理的是（）

SLh

【答案】B

22222

【解析】解：A.根据图形可知：S大正方彩=4x；R>+(b-a)=2ab+b-2ab+a=a+b,S大正方形=/,

^.cr+b1=c1-,故A选项不合题意；

B.不能用于证明勾股定理，故8选项符合题意；

2=

C.根据图形可知：S大正方形S大正方形=(a+b)cr+2ab+b^>

lab+c2—a2+2ab+b2,a2+b2—c2,故C选项不合题意；

=22

D.根据图形可知：S大正方形=，，S大正方形=g(b+b+a)x》+；(a+b+a)x-a-2'x^aba+b>

.•./+〃=/,故。选项不合题意.

故本题选：B.

核心知识3.直角三角形有关的分类讨论问题

6.在RtAABC中，AB2=10,AC2=6.则8c2=()

A.8B.16或64C.4D.4或16

【答案】D

【解析】解：当NC=90。时，BC1=AB--AC2=10-6=4,

当NA=90°时，BC2=AB2+AC2=10+6=16.

故本题答案为：D.

7.△ABC中，42=15,AC=20,BC边上的高AO=12,则BC的长为.

【答案】7或25

【解析】解：如图（1）,

△ABC中，AB^15,AC=20,BC边上高AO=12,

在RtZkABO中A8=15,AD=12,

由勾股定理得：B£）2=AB2-AD2=81,即2£）=9,

在RtAAOC中AC=20,AD=12,

由勾股定理得，0c2=4。2_A£）2=256,即。c=16,

.•.BC的长为：BO+£>C=9+16=25；

如图（2）,同（1）的作法相同，

（2）

；.BC的长为:DC-BD=16-9=7；

综上，BC的长为：7或25.

故本题答案为：7或25.

8.直角三角形的两条边长分别为3和4,则这个直角三角形斜边上的高的平方为（）【提示：V7的平

方是7】

Aun12c3an3V7_p.12

A.5B.-C.—D.丁或可

【答案】D

【解析】解：设直角三角形斜边上的高为〃，

①当长为4的边是直角边时，斜边长=5,

11

贝与x3x4=5x5x7?,

解得：h=老;

□

②当长为4的边是斜边时，另一条直角边长的平方=42-32=7,即另一条直角边长=77,

^X3XV7=^X4X/Z,

解得:h=*;

综上，直角三角形斜边上的高为：?或乎.

□4

故本题选：D.

核心知识4.勾股定理的逆定理

9.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（

A.4,5,6B.2,3,4C.5,11,12D.8,15,17

【答案】D

【解析】解：A.V42+52=16+25=41,62=36,：.42+52^,

.•.以4,5,6为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；

B.=22+32=4+9=13,42=16,：.22+32^42,

...以2,3,4为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；

C.V52+ll2=25+121=146,122=144,.'.52+112^122,

.•.以5,11,12为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；

D.V82+152=64+225=289,172=289,82+152=172,

...以8,15,17为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；

故本题选：D.

10.已知a,b,c是某三角形的三边，满足|12-a|+|6-5|+|c-13|=0,则此三角形的面积为（）

A.30B.60C.78D.32.5

【答案】A

【解析】解:V|12-a]+|fe-5|+k-13|=0,

12-a=0,b-5=0,c-13=0,

解得：a=12,b=5,c=13,

.•.4Z2+Z?2=122+52=132=C2,

・・・该三角形是直角三角形，

二此三角形的面积为：等=30,

故本题选：A.

11.在下列条件中：①/A+/B=/C；②/A：ZB：ZC=1：2：3；③A8：BC-.AC=3：4：5；④NA=

/B=NC,能确定△ABC是直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】解：①•.,/A+NB=NC,

ZA+ZB+ZC=2ZC=180°,

.*.ZC=90°,.♦.△ABC是直角三角形；

@VZA：ZB：ZC=1：2：3,

设NA=无，则/B=2x,ZC=3x,

.,.x+2x+3x=180,

解得：x=30。，

.,,ZC=30°x3=90°,.♦.△ABC是直角三角形；

@'：AB：BCzAC=3：4：5,

设AB=3%,贝!|BC=44，AC=5k,

:.AB2+BC2=AC2,

：.△ABC是直角三角形；

®VZA=ZB=ZC,

ZA+ZB+ZC=3ZA=180,

解得：NA=60。,

.".ZB=ZC=60°,

△ABC不是直角三角形；

综上，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③共3个，

故本题选：C.

核心知识5.勾股定理的应用——面积问题

12.如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144,225,那么正方形A的

面积是（)

225

144

A

A.225B.144C.81D.无法确定

【答案】C

【解析】解：由图可得：三个正方形围成的三角形是直角三角形，

•.•其中两个正方形的面积为144,225,

二正方形A边长的平方为：225-144=81,

即正方形A的面积是81,

故本题选：C.

13.如图，在RSA8C中，ZBCA=90°,AC=10,8c=24,分别以它的三边为直径作三个半圆，则阴影

部分面积为.

【答案】120

【解析】解：：NACB=90°,AC=10,BC=24,

.\AB2=AC2+BC2=262,即AB=26,

.c1(、21,口口、217m4厂1,□□、21z10x21z24xo1c/ic1/26、o

・・5阴影=/、(—)2+-7lX(—)2+-XBCXAC--71X(—)2=/X(—)2+/X(—)2+-X24xlO-^71(万)2=

120.

故本题答案为：120.

14.某小区有一块四边形空地ABC。(如图所示)，为了美化小区环境.现计划在空地上铺上草坪.经测量

ZA=90°,AB=20米，BC=24米，CD=7米,4。=15米，若铺一平方米草坪需要20元，铺这块空地需

要投入多少钱?

【答案】铺这块空地需要投入4680元钱

【解析】解：如图，连接3D,

在RtAABD中，ZABC=90°,AB=20米，AD=15米，

BD1=AB2+AD2=202+152=252（平方米）,即80=25米，

在AAOB中，cr>=7米，8C=24米，08=25米，

BC^+CD1=242+72=252（平方米）=DB?,

...△BOC为直角三角形，ZDCB=90°,

11

•••StswfiABCD=S^ADB+5ADBC=2X15X20+-X7X24=234（平方米）,

.••四边形ABCD的面积为234平方米，

•••铺一平方米草坪需要20元，

.•.234x20=4680（元），

答：铺这块空地需要投入4680元钱.

15.某中学在校园一角开辟了一块四边形的试验田，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课

堂上学习理论之余，还可以到试验田实际操练.如图，四边形A8C。是规划好的试验田，经过测量得知：

ZA£）C=90°,CD=3m,AD=4m,AB=l3m,BC=12m.求试验田ABCD的面积.

【答案】试验田ABCD的面积为24m2

【解析】解：如图，连接AC,

VZADC=90°,AO=4,CD=3,

.•.AC2=AZ)2+C£)2=42+32=25,即AC=5,

又；BC=12,AB=13,

.".AC2+BC2=52+122=169=AB2,

ZACB=90°,

110

:・S四边形AB。。=&ABC-ADC—2X5X12--x3x4=30-6=24m2,

即试验田ABCD的面积为24m2.

核心知识6.勾股定理的应用——最值问题

16.如图，已知△ABC中，NC=90。，AB=10,BC=6,若点。为A2边上任意一点，则线段C。的取值

范围是.

【答案】4.8WC7把8

【解析】解：如图，过点C作。」于。,

由垂线段最短可知，当CDLAB时，C。最短，即点。在点。的位置时，C。最短,

由勾股定理得：AC2=Ag2-BC2=82,即AC=8,

11

SAABC=^ABXCD'=^BCXAC,

/.4.8<CZ)<8,

故本题答案为：4.8<CD<8.

17.如图，将一根长12c%的筷子置于底面半径为3c/n,高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的

长度人的取值范围为-.

【答案】2ctnWfi*cm

【解析】解：如图，

当筷子的底端在。点时，筷子露在杯子外面的长度最长,

：.h=12-8=4Cem)；

当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短,

在RtAABO中，A£)=6a«,BD=8cm,

.".AB2=AD2+BD2=62+82=102(cm2),BPAB=10cm,

,此时/i=12-10=2(cm),

，的取值范围是：2cm<h<4cm.

故本题答案为：2cm4cm.

18.如图是长A8=4aw、宽BC=3cm、高BE=12cm的长方体容器.

(1)求底面矩形ABC。的对角线的长；

(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？

【答案】(1)底面矩形ABC。的对角线的长为5cm；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是13cm

【解析】解：(1),：AB=4cm,BC=3cin,

：.BD2=AB2+BC2=32+42=52(cm2),即BD=5cm,

答：底面矩形ABCD的对角线的长为5cm；

(2)V122+52=132,

长方体容器内可完全放入的棍子最长是13cm

答：长方体容器内可完全放入的棍子最长是13cH.

核心知识7.勾股定理的应用——动点问题

19.如图，NA0B=6O。，点C是80延长线上一点，0c=6c%,动点尸从点C出发沿射线C8以2cm/s的

速度移动，动点。从点O出发沿射线04以lcm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(5)表示移动

的时间，当1=—s时，AP。。是等腰三角形.

A

【答案】2或6

【解答】解：分两种情况：

(1)当点尸在线段0c上时，

设t时后△POQ是等腰三角形,

有OP=OC-CP=OQ,

即6-2t=t,

解得：t=2；

(2)当点尸在CO的延长线上时，经过点。时，已用时3s,

设t时后△POQ是等腰三角形，

*.•zpog=60°,

...△P。。是等边三角形，

：.OP=OQ,

即2(7-3)—t,

解得：f=6,

故本题答案为：2或6.

20.如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,AC=5,8c=12,点P从B点出发沿射线8C方向以每秒2

个单位的速度向左运动.设点尸的运动时间为人连结AP.

(1)当t=4.5秒时，求4尸；

(2)当AABP为等腰三角形时，求f的值.

【答案】(1)AP2=34；(2)当AABP为等腰三角形时，f=6.5秒或12秒或嘿秒

4o

【解答】解：(1)由题意得：BP=2t,

：.当f=4.5秒时，8尸=2x45=9,

VBC=12,

；.PC=BC-BP=12-9=3,

由勾股定理得：AJuACZ+PCZuSZ+sZMSd；

(2)在R34BC中，AC=5,BC=U,

：.AB2=AC2+BC2=52+122=132,

①当BP=AB=13时，t=13+2=6.5秒；

②当AP=A3时，BP=2BC=24,则t=24+2=12秒；

③当B4=PB=2/时，

在RtAAPC中，APZ^PC~+AC2,即(2力2=(12-2z)2+52

解得：秒；

4o

综上，当AABP为等腰三角形时，t=6.5秒或12秒或警秒.

48

核心知识8.勾股定理的应用——实际问题

21.某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙。E时，梯子底端A到左墙的距离AE为

0.7m，梯子顶端。到地面的距离。E为24w,若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶

端C到地面的距离CB为2m,则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为—m.

【解答】解：在RS4DE中，VZA£D=90°,AE=0.7米，OE=2.4米，

.,.AD2=0.72+2.42=6.25（米,

在RtZkABC中，VZABC=90°,8c=2米，AB2+BC2=AC2,

：.AB2+22=6.25,

.'.AB=1.5米，

：.BE=AE+AB=0.1+1.5=2.2米，

答：小巷的宽度8E为2.2米，

故本题答案为：2.2.

22.如图，一架长2.5%的梯子斜靠在一竖直的墙AO上，这时A。为2m.设梯子顶端到水平地面的距

离为P，底端到垂直墙面的距离为q,若?=a,根据经验可知：当2.7<a<5.6时，梯子最稳定，使用时最

q

安全.若梯子的底端5向墙脚内移0.8根到。点，请问这时使用是否安全.

ODB

【答案】这时使用安全，理由详见解析

【解答】解：使用安全，理由如下：

在R3AOB中，根据勾股定理得：082=482-402=2.52-22=1.52(m2),

'：BD=0.8m,

：.OD=1.5-0.8=0.7/71,即q=0.1m,

在RtZkCO。中，根据勾股定理得：OC2=C£)2-。/)2=2,52-0.72=2.42(w2),BPp=2Am,

.p

・・〃=一=—2.4=一24，

q0.77

又：2.7＜兰＜5.6,

7

.•.这时使用安全.

答：这时使用安全.

23.在一条东西走向的河流一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因，

由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点。(4D、8在同一条直

线上)，并新修一条路CD,测得C8=6.5千米，CZ)=6千米，80=2.5千米.

(1)求证：CD±AB；

(2)求原来的路线AC的长；

【答案】(1)证明过程详见解析；(2)原来的路线AC的长为8.45千米

【解答】解：(1)证明：：C2=6.5千米，CD=6千米，2。=2.5千米，62+2.52=6.52,

ACD2+BD2=CB2,

•••△cr归为直角三角形，

：.CD±AB；

(2)解：设AC=x千米，贝!]A3=x千米，AD=(x-2.5)千米.

VCDXAB,ZADC=90°,

：.CD2+AD2=AC2,即6?+(x-2.5)2=f,

角窣得：x=8.45.

答：原来的路线AC的长为8.45千米.

24.古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹

子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，间折处高几尺？即：如图，A3+AC=9尺，3。=3尺,

贝IAC=尺.

A

【答案】5

【解答】解：设AC=x尺，贝！JAB=(9-x)尺，

根据勾股定理得：4=32+(9-x)2,

解得：x=5,.♦.AC=5尺，

故本题答案为：5.

25.某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从42两地发出求救信号.于是,

第一艘搜救艇以20海里/时的速度离开港口。沿北偏东40。的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港

口。出发，以15海里/时的速度向8地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置.此时，他们相距

50海里.

(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？(求/80。的大小)

(2)由于2地需要救援的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前

往到8地的过程中，与港口O最近的距离是多少？

【答案】（1）第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度；（2）与港口。最近的距离是24海里

【解答】解：（1）由题得：04=20x2=40（海里），02=15x2=30（海里），

OB^+OA2=402+302=2500（海里2）,AB2=502=2