数列的概念与表示（九大题型+模拟练）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

专题22数列的概念与表示（九大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01数列的有关概念

♦题型02数列的周期性

♦题型03数列的单调性及应用

♦题型04求数列的通项公式一定义法

♦题型05求数列的通项公式一累加法

♦题型06求数列的通项公式一累乘法

♦题型07求数列的通项公式一an与Sn的关系

♦题型08求数列的通项公式一观察法

♦题型09求数列的通项公式一构造法

♦题型01数列的有关概念

1.（23-24高二上,山西•期末）下列说法中，正确的是（）

A.数列2,4,6,8可表示为集合｛2,4,6,8｝

B.数列1,2,3,4与数列4,3,2,1是相同的数列

C.数列｛/+"｝的第左项为公+左

D.数列01,2,3,4,…可记为｛科

【答案】C

【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解.

【解析】对于A,由数列的定义易知A错误；

对于B,两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；

对于C,数列｛〃?+“｝的第+项为第+左,故C正确;

对于D,因为OeN,所以〃eN,这与数列的定义不相符，故D错误.

故选：C.

2.（2024高三•全国•专题练习）下列三个结论中，正确结论的序号的是（）

①数列1,1,2,3,5,是无穷数列；

②任何数列都能写出它的通项公式；

③若数列｛1g%｝是等差数列，则数列｛%｝是等比数歹U.

A.①②B,①③C.②③D.①②③

【答案】B

【分析】根据无穷数列的定义判断①，根据数列的定义判断②，根据等比数列的定义判断③.

【解析】解：数列1,1,2,3,5,表示数列有无穷项，所以是无穷数列，故①正确；

不规则数列无法求出其通项，故②错误；

若数列｛1g4｝是等差数列，设公差为d,所以1g。.7%="（"22）,整理得电詈=",

Un-i

所以言=1。"（常数）（«>2）,故数列｛氏｝是等比数列，故③正确.

故选：B

3〃%

3.（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛%｝满足，若要使｛%｝为k项的有穷数列，则

W

A，1-31-3«U1_3M口.]_3«+2

【答案】B

【分析】只需"=左+1时分母有为。即可得解.

【解析】若要使｛%｝为k项的有穷数列，则〃=上+1时1+（3、1,=0,解得%=1'.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了数列的通项公式，数列分母不为0是解题的关键，属于基础题.

♦题型02数列的周期性

4.（23-24高二下•辽宁沈阳•阶段练习）在数列｛与｝中，-（«>2）,q=2,则沏您=（）

an-\

11

A.—1B.—C.—D.2

22

【答案】A

【分析】根据递推式写出数列前面几项得出数列周期，进一步即可求解.

【解析】由题意可得：%=2,%=1-；=；,。3=1-2=-1,。4=1+1=2/一，

由此可以发现数列｛%｝的周期是3,

从而〃2025=Q674x3+3=〃3=一1•

故选：A.

C1

2%,&，

2对仆

5.（23-24高二上•广东湛江•阶段练习）在数列｛%｝中，%=,,右q=不则〃2020=（）

4321

A.-B.一C.一D.-

5555

【答案】C

【分析】根据递推公式列出数列的前几项，找到规律，即可判断.

——〃，+?4

【解析】因为％讨=J且4="

2an~^an~~

、乙

4331

所以W=2%—l=2x——1=—,a3=2a2—l=2x——1=—,

c2c4=41=3

“4—2a3—,“5—244—,“6=2a5_12x1,....,

2

所以｛%｝是以4为周期的周期数列,所以a2020=%X504+4=4=1.

故选：C

6.（23-24高二下•四川•期中）已知数列｛%｝满足％=4,。向=*%,则数列｛%｝前2024项的积为（）

[~an

A.4B.1C.——D.—1

【答案】B

【分析】先找到数列｛册｝的周期，然后求得数列｛册｝前2024项的积.

1+匕生

【解析】因为4用=产，所以%+2=产吐=—^=一!，

1-%+111+%%

1

a

n+4=-----=%,所以数列｛。九｝的周期为4.

an+2

,513

由q=4,则出=一§,a3=――,a4=—,

所以数列｛&J前2024项的乘积为户6=1.

故选：B.

♦题型03数列的单调性及应用

7.（23-24高二下•青海海西,期中）设数列｛%｝的通项公式为%=向-（左-5）〃+1,若数列｛4｝是单调递增数

列，则实数后的取值范围为（）

A.（4,+co）B.（-<»,4）

C.（8,+oo）D.（—8,8）

【答案】D

【分析】根据题意有与<“用，解得上的取值范围；

【解析】由数列｛与｝是单调递增数列可得，对于〃eN*都有%+1>%成立，

即（〃+1）?—（左一5）（"+1）+1>n~—（k—5^n+\,k<2Tl+6对〃©N*者B成立，

所以左<（2〃+6）1nm=2x1+6=8.（或通过二次函数的对称性求解）

故选：D.

8.（23-24高二上•江苏南京•阶段练习）己知数列｛《｝满足：［3，”"7（"eN*）,且数列｛%｝是

［a,〃>7

递增数列，则实数。的取值范围是（）

A.B.C.（2,3）D.（1,3）

【答案】C

【分析】由数列的单调性求解.

3—a>0

【解析】由题意。>1,解得2<”3.

7（3-〃）-3</6

故选：C.

9.（24-25高三上•山西大同•期末）等比数列｛。"｝中，S,为其前"项和，％=1,且4%,2g吗成等差数列，

则,（”eN*）的最小值为（）

1416

A.—B.—C.—D.1

2925

【答案】D

【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前"项和公式求出S”，判断出数

列［2］的单调性即可得解.

【解析】设公比为4,

由4%,242M3成等差数列，得4a2=441+〃3,

又数列｛七｝为等比数列，所以得4%9=4%+//,解得9=2,

%(1-g"

所以之2n-l

n"(i-g)n

2〃一1

令，=

n

2"+1-12T_(”-l)2"+l

则b,+「b”=>0,

n+1n

所以数列，一｝递增数列，

所以当"=1时，2取得最小值1.

n

故选：D.

10.(2024・重庆•二模)记正项数列｛。,｝的前〃项和为S,,若s“=R+l),“N则叫+1

的最小值

为.

【答案】等

【分析】由s“=%(：+i),利用数列通项和前〃项和的关系求得%=%邑=吗”，再令

1OQ

/(x)=x2+-^,x>0,利用导数法求解.

【解析】当"=1时，…।)则％=i或％=。(舍去)，

当“22时，由§=♦"(.+1),得S-=%(""-+1),

22

两式相减得2。〃=片+%--%，得(%+一1-1)=。，

因为为>。，所以%-%一1=1，

所以数列｛%｝是等差数列，则%=%邑=当辿，

4/(x)=x2+—,x>0,则r(x)=2x—岑=2(x「4),

x')x2X2

当无e(0,4)时，/,(x)<0,当xe(4,+(»)时，/,(x)>0,

所以/（X）在（0,4）上单调递减，在（4,+8）上单调递增，

由S“=」---^随"的增大而增大，s,=——=3,S3=——=6,

"222

02128c128155c2128〃64172

贝超+三-=9+.=干&+『36+丁/-,

D,JJJJ

]28[55

所以s；+k的最小值为一.

故答案为：-

1TO

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是构造函数判断得其单调性，从而考虑邑，$3的情

况，从而得解.

11.（23-24高二下•辽宁・期末）设数列｛（｝满足%=l,a“=ln（%+|-l）+m,"eN*,若对一切〃eNq42,

则实数机的取值范围是（）

A.B.1<m<2C.m>3D.2<m<3

【答案】A

【分析】根据题意列不等式，结合函数的单调性求得”的取值范围.

【解析】因为6=1,an=In（a„+1-1）+m,«eN,,

设函数/（x）=e』+l,则<=/,“）.

fx<2/、

依题意有+注意到/（x）=e+1在区间（F，2]上为增函数，

故当x=2时，e-+l有最大值，即+1W2,解得仅N2.

故选：A.

♦题型04求数列的通项公式一定义法

12.（23-24高二下•云南昆明•阶段练习）已知数列满足：%=1,%="an+1=2an+x-an+2.

⑴证明：-%｝是等差数列，并求｛%｝的通项公式；

k

（2）设也,若数列｛"｝是递增数列，求实数上的取值范围.

2

【答案】⑴证明见解析，an=n

⑵左<4

【分析】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到

«„+i-an=2n+\,再利用累加法，即可求出结果；

(2)由⑴得6“=1+与，再利用数列也｝是递增数列，得到左<(〃+1)2"2对〃eN*恒成立，即可求出结

n

果.

【解析】⑴因为4+2=2%+「%+2,所以。"+2-%+1-(。“+1-。")=2。”+]-。“+2-2%+1+。”=2为常数，

又出-%=3,所以数列｛%+「与｝是公差为2,首项为3的等差数列.

所以=3+(n-l)x2=2n+l,

_1

当〃22时，(对-%_J+_4-2)---n(a2-«1)=2(/7-1)+1+2(/7-2)+1H---l-2xl+l,

所以又％=1,所以%=/,又"=1,满足。"=",

所以数列｛。„｝的通项公式为%=n2.

(2)由⑴知，=/+与，因为数列也｝是递增数列，

n

kkk

所以b,,*「b=(«+l)2+---r-(«2+—)=(2"+1)[1----r^]>0,对〃eN*恒成立，

n(w+1)n(n+V)n

得到后<(力+1)2/对"eN*恒成立，所以％<4.

13.(2023•四川成都•模拟预测)数列｛对｝的前"项和为S"，且2s“=3a”-1.

⑴求｛。“｝的通项公式；

3〃

⑵若6”=7—忑-----也｝的前"项和为/明求/⑺(〃eN+)的最小值・

(见+1)(%+1+1)

【答案】⑴a“=3"T

⑵。

8

【分析】(1)由2s“=3%-1可知当"W2时，有2s两式作差可求出数列｛%｝为等比数列，计

算q即可求出通项公式.(2)裂项相消法求出前“项和/(〃)，根据数列的单调性以及极限的思想即可求出

最值.

【解析】(1)因为2s所以2sl=2%=3%-1,即％=1

当〃22时，2s=3a„_1-l,则2S“-2sl=2a.=3an-3%,

整理得2=3(〃22),

%

则数列｛4｝是以1为首项，3为公比的等比数列，故氏=1X3"T=3"\”=1

也满足所以%=3")

3〃311

(2)由(1)得b”=(3"、+1)(3“+1)=5(3"-|+]-3"+1)

所以/(")=|[($一占)+(占一占)+…+(E-占)_

2

223"+1，43"+1

显然/(〃)＜；3

3

又因为4＞0,〃〃)单调递增(〃N+),所以，⑺"(1)=、

O

3

所以加的最小值是3

O

14.(22-23高三上•天津滨海新•阶段练习)已知S”是正项数列｛”“｝的前〃项和电=2%=2,

%+2=ga"("eN*),S3，,5-6,必成等差数列.

⑴求｛4｝的通项公式;

(2)若％=(2〃-1)%,求上｝的前2〃项和凡;

,〃+2,、

(3)若c,,=,证明｛g｝的前“项和与＜1.

fl\jl十1)^*"2.n

77-1

22为奇

【答案】⑴《=”;

2。为偶

(2)弓=17+(⑵-17)2"；

⑶证明见解析.

【分析】⑴利用邑，$5-6,其成等差数列和%=2q=2,0"+2=眄,(”—*)即可求出4,即可求出奇偶

项数列；

(2)分奇偶项分别利用错位相减求和再相加即可求出答案;

(3)利用裂项相消即可得到答案.

【解析】（1）由S3,S5-6,见成等差数列得2区-6）=53+34

^-53+55-54-12=0

%+。4+—12=0

2

/.2a1q+a2q-12=0

*.*ciy—1,a?~2

2q?+2q-12=0

，9=2或”一3（舍）

n-\

凡的奇数项是以首项为1公比为2的等比数列，即°V

un=24

%的偶数项是以首项为2公比为2的等比数列，即0i

un=24

则

"n-1

2亏,〃为奇

«„=1"

2。为偶

fl-1

（2"-1）-2h,"为奇

⑵”=“

（2〃-1）2,〃为偶

T2n=丁奇+%

4=4+4+4+…+b2n-3+&T

=1+5x2*+9X22+---+（4M-7）-2,,^+（4»-3）-2^1

=2+5x2?+9x23+…+（4〃-7>2"T+（4"-3）2

一盘=l+4x2i+4x22+―+4x2"T+（3-4"）x2"

=1+——_^+（3-4〃）*2"

=-7+（7-4«）x2"

,

.•.7Lf=7+（4n-7）x2,

4禺=2+64+&+.•,+b2n-2+b2n

=3X21+7X22+---+(4/7-5)-2,'-1+(4?7-1)-2,,

23,!,,+1

27；S=3X2+7X2+---+(4«-5)-2+(477-1)-2

-7；^=3x21+4x22+---+4x2"-(4n-l)-2,,+1

4X22(1-2"-')

=6+------——-)+(l-4w)-2"+1

=-10+(5-4/7)x2,,+1

"0+(4"-5)X2"M

4*=0+.=7+(4〃-7)x2"+10+(4〃-5)x2"i=17+(12〃-17)2"

T2n=17+(1217)2"

n+2_〃+211

nn

⑶C"_n(n+V)a2n~n(n+l)2~{n+\)-2

_11111

D-+2++l

„-C1+c2+---e„-2x2>2x21-3x2"'n-2"-~(n+1)-2"

=1---------------

(n+1)-2"

-----\----->0

(77+1).2"

..凡<1.

♦题型05求数列的通项公式一累加法

15.（2023广西南宁模拟预测）数列｛。“｝满足2­=。21+&加3，咏=4（后eN*,q为正常数），且

a"

%=2%=2,aj=a2•a6,a1+a2+a3=a5.

⑴求数列｛见｝的通项公式;

（2）求数列｛%｝的前"项和S”.

即二L"为奇数

【答案】⑴%=J

2之〃为偶数

―+415+2等，〃为奇数

（2电=2_；2

包二士蛆+2=,〃为偶数

【分析】（1）由题意可得奇数项成等差数列，设公差为4,且偶数项成等比数列，公比为式4>0）,运用等

差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差，和公比q,即可得到所求通项公式；

（2）讨论〃为偶数和奇数，由等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.

【解析】（1）数列｛%｝满足2%国=出1+%+3,况=4，

a2k

可得出口，电小，出3成等差数列，即奇数项成等差数列，设公差为工

且偶数项成等比数列，公比为q（q>。）,且%=2%=2,al=a2-a6,q+%+%=%,

可得（l+d『=2.2/,3+l+d=l+2d,

解得d=3,q=2,

1+3（卓-1],"为奇数；叫二1,”为奇数

则（="I2），化为%=；2

2.2?:为偶数125,〃为偶数

（2）当〃为偶数时,

数列｛%｝的前”项和

Sn=(Q]+%+…+〃〃一1)+(。2+〃4+…)

21-27

1.41+3n-4

+——

22(21-2

-L

当“为奇数时（"23）,

3(«-1)2-2(«-1)

SS+a+22-2+^—

n=n-ln=82

尤也±1+2等.2

8

当"=1时S]也适合上式.

〃+1

3n2+4H-15+2亏，"为奇数

8

综上：S"="

3n2-2n-16n+2

+22，”为偶数

8

16.（23-24高二下•广东深圳•期末）设数列｛%｝满足%=3,。N=。“+8”+4

⑴求数列｛%｝的通项公式;

(2)求数列的前〃项和S,

【答案】(l)a“=4/-l/eN*

【分析】(1)利用累加法求解数列通项公式，再根据分组求和进行化简；

(2)利用裂项相消求解数列的前〃项和Sn；

【解析】(1)1•,«„+1=a„+8/7+4an+l-an=8n+4,

可知%=8(〃T)+4,

an-\~a.2=8(〃-2)+4,

an-2~an-3=8("-3)+4,

%—a[=8x2+4,

%—q=8x1+4,

ax=3,

上式相力口得见=8(〃一1)+4+8(〃-2)+4+8(〃-3)+4+・一+8、2+4+8+4+3

=8[(«-1)+(H-2)+(H-3)H----1-2+1]+4(〃-1)+3

=8x-+4(z?-1)+3=4/?2-1

所以数列｛an｝的通项公式a“=4/_l,"eN*

111111

(2)—=—Q=------------------——(-z-----------------)x,z?£N

2

an4H-1(2〃+l)(2〃—1)22H-12〃+l'

c11111

所以二—1—1---1--1--1—

%出的%%

—(1—)+—(-----)+—(-------)+•••+—(-------------------)+—(------------------

2323525722〃-32n-l22n-l2〃+1

^3■[-------------1-----------------------1---------------------1—•••~|-----------------------------------------------------1-------------------------------------------------

2335572”32n-l2n-l2n+l

n

2〃+1

所以数列P4的前“项和sn=-^~.

[a„\2??+l

♦题型06求数列的通项公式一累乘法

17.（23-24高二下•黑龙江大庆•期末）记数列｛4｝的前”项和为S"，已知q=1且2S”=（〃+1）%.

⑴求｛对｝的通项公式；

（2）记6“=F求数列低｝的前2"项和凡

为偶数

【答案】（1）%="

枕+1Q

2

（2）4“=-3—+n+n

【分析】（1）由S”与。“的关系式可得数列｛即｝的递推公式区=7A（"»2,"eN*）,利用累乘法可求通项

15—

公式；

（2"〃为奇数

（2）由⑴知，%=〃所以"='工;f，利用分组求和法求心〃.

[〃，〃为偶数

【解析】（1）根据题意，%=1,2Sn=（n+l）an9贝！|2S〃T=〃％,

两式相减得2。,=(/?+l)a„-na^(«>2,77eN,),

即亡=而（"22，"，'）’

aa”」a.nn-12r

所以“'=二n口…丁'

故｛册｝的通项公式为an=n；

2",〃为奇数

(2)由(1)知，a=n,所以b〃=

n小几为偶数

故石“=4+仇+4+…+篇,=(4+&+…+62"T)+(4+d+…+仇”)，

(2+2、…+2?"T)+(2+4+…+2〃)=S+UL空二+"".

1-423

18.（23-24高二下•山东日照,期末）己知等差数列｛《｝的前"项和为S“，且%=2。“+1,S5^4S2.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列｛2｝的前〃项和为北，且々=2,令。,以=4+2也M，求7；的最小值.

【答案［

(2)2

【分析】(1)由等差数列及其前"项和基本量的计算即可列方程组求解首项、公差，进而得解;

(2)由(1)中结论结合累乘法得数列｛"｝的通项公式，通过裂项法得北的表达式说明月单调递增，或由

7田-<=6同>0也可说明北单调递增，进而得解.

【解析】(1)设等差数列｛(｝的首项为《，公差为d.

5al+1Od=8q+4d

由S5=4S2M2/=2%+1,得

6Z|+(2〃—1)d=2〃］+2(〃-1)d+1

解得:ax=-2,d=-\,所以=

(2)方法一：由(1)得a“=-〃一1(〃eN*),

"+ia-n-1n+\(_

由题意—n=------=-----HGNT；

H

b“an+2--3"+3

bb,nn-1n-2432.

b“=口一义士-义一.x且xb1=----x----x-----x---x—x—x—x2

如b„-24n+2n+\n------654

=7----------r=12f-------匚］(«>2,neN*),

而4=12x(〈-；］=2,从而”=12(-—-M

<23J\n+ln+2/

_J_£_1…+J_____

-+

~33~4n+1n+2)

而义关于〃单调递减，从而-一二关于〃单调递增,

n+2n+2

所以北=12"--］关于"也是单调递增，

［2n+2)

所以当〃=1时，7；的最小值为工

方法二：由(1)得％一1(〃£N*),

b%二fT〃+1

由题意彳£N*)

%+2-〃-3〃+3

b='xZx…x%x4=-x3x*x432

n•X—X—X—X2

bn_xbn_2bxn+2n+1n654

7~~r=n[—-----k;>2,neN*

11

而a=i2x2,从而〃=12>0neN*,

n+1n+2

又T〃+m，所以北单调递增,

所以北的最小值为4=4=2.

♦题型07求数列的通项公式一an与Sn的关系

19.(23-24高二下•江西萍乡•期中)己知数列｛%｝("eN*)的前"项和为S“，且满足％=2,a“=高S”.

⑴求生,%的值;

⑵试猜想｛%｝的通项公式，并证明.

【答案】⑴%=4,4=6

⑵a“=2〃(〃eN*),证明见解析

【分析】(1)由数列的递推式，分别令”=1和"=2,计算可得所求值;

(2)猜想%=2"(〃eN*),由数列的递推式和数列的恒等式，可得证明.

2?

【解析】（1）由题知，%=§02=w（%+。2），解得。2=4,

2?

同理，%=^邑=]（%+。2+。3），解得。3=6；

（2）由（1）可猜想%=2拉（几£m），证明如下：

22

已知〃〃=­rs〃，当〃之2时，有s〃—Si=一

n+ln+1

/、/\S”〃+1

化简得（〃—i）s，=（〃+i）Si,BP-^-=-

dH-ln—1

圃有工=旦.也.晓S2yi+1nn-1…54+

3华S]Sn_xSn_2Sn_3……S3S2S1n-1n-2n—332?2

又％=S]=2,故S〃=〃（〃+l）,

2

则氏=--S=2H（H>2）,

77+1n

当〃=1时，上式仍成立，则a“=2〃（"eN*）.

20.(2024•辽宁,模拟预测)已知数列｛%｝的前〃项和为S,，且4,=5a“-2.

⑴证明：｛七｝是等比数列，并求其通项公式；

(2)设b„=(-iy-log5号,求数列低｝的前100项和4。.

【答案】⑴证明见解析，%=2x5"。

(2)100.

【分析】(1)利用给定的递推公式，结合4=5“22)及等比数列定义推理得证，再求出通项公式.

(2)利用(1)的结论求出“，再利用分组求和法计算即得.

【解析】(1)数列｛%｝中，4S,,=5a0-2,当“22时，4sl=5%_「2,两式相减得。“=5%-,

而4=百解得q=2,所以｛〃“｝是首项为2,公比为5的等比数列，

通项公式为%=2X5”T.

a2x52M+1

n

(2)由(1)知，bn=(-1)".log5=(-1)"-log5=(-l)-(2n+1),

所以Moo=3+4)+(a+4)+…+(怎+狐0)=(-3+5)+(-7+9)+…+

(-199+201)=2+2+2+…+2=2x50=100.

♦题型08求数列的通项公式一观察法

21.(23-24高二下•四川成都•期中)数列｛%｝满足an+l=—^—(〃eN*).

⑴计算出，%，猜想数列｛%｝的通项公式并证明；

(2)求数列,“("+1)3"｝的前〃项和；

【答案】(1)%=2，4=：，猜测2=3,证明见解析

3477+1

⑵(2〃-1)3角+3

4

【分析】(1)直接通过递推公式计算，然后猜测。“=—;并证明；

n+1

(2)使用错位相减法即可.

1_1_2_1_1_3

【解析】（1）=广=§,=广

1z—//—

23

猜测=」r一j，下面用数学归纳法证明：

当〃=1时，由弓=知结论成立；

_1_1_k+1_k+l

假设结论对〃=左成立，即冬=工，贝！；―底=2左+2-1171,故结论对〃=左+1成立.

左+1k~~7

k+\

ri

综上，有%=---7成立.

〃+1

（2）设数列,“5+1）3"｝的前"项和为S"，则S“=£%优+1）3尢=£>3、

k=Yk=\

nn+1nnn&〃+l_o

所以3s,=£左-3"1=£（左一1）・3=£（左一1>3%+小3向=».3后一£3无+小3〃+1=1一三^+止3〃+1.

k=lk=2k=\k=\k=\2

(2w-l)3"+l+3

4

22.（2023•山东荷泽二模）已知各项为正数的等比数列｛%｝满足aja“M=16",”eN*.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

a,,n为奇数

(2)设4=1,求数列低｝的前2〃项和$2,.

-6.+〃,〃为偶数

【答案】⑴氏=22"；〃eN；

432

(2)S2„=2"-+«-M+l,neN*.

a｛-a2=16

【分析】（1）设｛%｝首项为q,公比为q,由%•。"+I=16",〃€"可得<见",包=16",化简后可得用,4,

4+/%+2=16"i

即可得答案;

21

（2）由题可得当力为奇数时，bn+1^2-,当〃为偶数时，6“+自用=".后由分组求和法可得答案.

【解析】（1）设｛%｝首项为4,公比为必

%•%=16a；q=16

因=16",〃eN",贝i]yq+i=16"n<

如=q2=16.

。用q+2=ia

又｛%｝各项为正数，则4，4>0,故。me=22"T,〃eN*；

(2)由(1)及题意可得，4=1；

21

当〃为奇数时，bn+l=an=2"-；

则当〃为偶数时，bn+b〃+、=n.

§2〃=4+打+…+优〃

=31+&〃)+(4+()+(4+&)…+(&-2+3〃一1)

=1+〃2〃-1+2+4+…+(2〃-2)

♦题型09求数列的通项公式一构造法

23.（2024•内蒙古包头•三模）已知数列｛〃/的前〃项和为S“，4=3,Sfl=l+an+l.

⑴证明：数列｛8-1｝是等比数列，并求

⑵求数列,5卜勺前〃项和1.

【答案】⑴证明见解析，S“=2"+l

【分析】（1）根据题意S“=l+a用及%M=S"+「S",整理可得，即可得证；

（2）根据⑴中S,可求出％分类讨论求出工的通项公式，再根据等比数列前n项和可求得却

an

【解析】（1）因为5“=1+。“+1，又。“+i=S〃+i-S”，

所以S,+「2S.+l=0,整理得S,+「1=2（S"一1）.

由题意得S「l=/T=2,

所以数列｛s“-1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，故5"-1=2",

即S"2"+l.

3/=1

(2)由(1)可%=

2〃一,〃22'

"=1时,看=?1

当

3

1n—\

当〃22时，—

%2

2n—1

所以[=;+111

++•••+

222

n-\

1_1

1-

n-\

12241

=-+

332

4n-l

当〃=1,代入北=3一=工满足公式,

〃33

综上，

3

24.(23-24高二下•辽宁锦州•期末)已知数列｛氏｝满足%=-13(°角+1)(%+1)=。“一%+1,贝I]4.

【分析】依题意可得3(«„+1+1)(%+1)=(%+l)-k+1+1),两边同除(。用+1)(。“+1)得到-^-7--L=3,

"及+1十,a〃十工

即可得到;是以4为首项，3为公差的等差数列，即可求出」7的通项，即可得解.

U+1J%+1

【解析】因为q=-1,3(%+i+l)(a“+l)=a“-a"+],

则3(%,+i+1乂4,+1)=(%+1)-(%+1),

因为%+1=(,显然4+1*0,

1

所以----二3

a

n+\+1%+1

所以」7是以2=4为首项，3为公差的等差数列,

%+1

1c,

所以----7=3〃+1，

«„+1

1则%=T+/i-3H

所以4+1=

3n+l3〃+l

-3n

故答案为:

3〃+l

n

25.（23-24高二下•湖南郴州•期末）己知数列｛%｝满足：%=1,"4+「（“+1）%=认〃+1).若a=(

〃+l)Q”，

则数列也｝的前〃项和S〃=.

ri

【答案】

n+\

【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出乙,再利用裂项相消法求和即得.

【解析】数列｛4｝中，由“+「(〃+1)%="(〃+1),得9-2=1,

n+1n

因此数列户4是以?=1为首项，1为公差的等差数列，%=",即%=/,

n1n

口7〃111

于是包=一(一、一二一(।》=------，

(n+l)ann(n+1)nn+1

所以S”=(l--)+(---)+(i--)+---+(----)=1---,

”22334nn+1n+1n+1

n

故答案为：Q

26.（23-24高二下•山东烟台•期末）已知数列｛叫是等差数列，且出=T，数列抄J满足22,

〃eN*),且4=4=1.

⑴求数列也｝的通项公式;

（2）将数列｛%｝,｛，｝的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列卜“｝，求数列｛q,｝的通项公式;

⑶设数列的前"项和为证明：?；＜|.

【答案】（1也=/一4〃+4

⑵c“=（2〃-l）2

⑶证明过程见解析

【分析】（1）首先求得。“=2〃-5,由累加法即可求解;

（2）不妨设%分"=2左，（左eN"）,〃=2左-1,（左eN*）两种情况讨论即可求解;

（3）当"=1时，结论显然成立，当〃22时，通过放缩法以及裂项即可得证.

【解析】（1）由题意可知仇—4=。2，即4-1=11,故62=。，

由“一打二生，可得%=1，

所以数列｛%｝的公差d=2,所以。“=一