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文档简介
专题22数列的概念与表示(九大题型+模拟精练)
01题型归纳
目录:
♦题型01数列的有关概念
♦题型02数列的周期性
♦题型03数列的单调性及应用
♦题型04求数列的通项公式一定义法
♦题型05求数列的通项公式一累加法
♦题型06求数列的通项公式一累乘法
♦题型07求数列的通项公式一an与Sn的关系
♦题型08求数列的通项公式一观察法
♦题型09求数列的通项公式一构造法
♦题型01数列的有关概念
1.(23-24高二上,山西•期末)下列说法中,正确的是()
A.数列2,4,6,8可表示为集合{2,4,6,8}
B.数列1,2,3,4与数列4,3,2,1是相同的数列
C.数列{/+"}的第左项为公+左
D.数列01,2,3,4,…可记为{科
【答案】C
【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解.
【解析】对于A,由数列的定义易知A错误;
对于B,两个数列排列次序不同,是不同的数列,故B错误;
对于C,数列{〃?+“}的第+项为第+左,故C正确;
对于D,因为OeN,所以〃eN,这与数列的定义不相符,故D错误.
故选:C.
2.(2024高三•全国•专题练习)下列三个结论中,正确结论的序号的是()
①数列1,1,2,3,5,是无穷数列;
②任何数列都能写出它的通项公式;
③若数列{1g%}是等差数列,则数列{%}是等比数歹U.
A.①②B,①③C.②③D.①②③
【答案】B
【分析】根据无穷数列的定义判断①,根据数列的定义判断②,根据等比数列的定义判断③.
【解析】解:数列1,1,2,3,5,表示数列有无穷项,所以是无穷数列,故①正确;
不规则数列无法求出其通项,故②错误;
若数列{1g4}是等差数列,设公差为d,所以1g。.7%="("22),整理得电詈=",
Un-i
所以言=1。"(常数)(«>2),故数列{氏}是等比数列,故③正确.
故选:B
3〃%
3.(2024高三•全国•专题练习)已知数列{%}满足,若要使{%}为k项的有穷数列,则
W
A,1-31-3«U1_3M口.]_3«+2
【答案】B
【分析】只需"=左+1时分母有为。即可得解.
【解析】若要使{%}为k项的有穷数列,则〃=上+1时1+(3、1,=0,解得%=1'.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了数列的通项公式,数列分母不为0是解题的关键,属于基础题.
♦题型02数列的周期性
4.(23-24高二下•辽宁沈阳•阶段练习)在数列{与}中,-(«>2),q=2,则沏您=()
an-\
11
A.—1B.—C.—D.2
22
【答案】A
【分析】根据递推式写出数列前面几项得出数列周期,进一步即可求解.
【解析】由题意可得:%=2,%=1-;=;,。3=1-2=-1,。4=1+1=2/一,
由此可以发现数列{%}的周期是3,
从而〃2025=Q674x3+3=〃3=一1•
故选:A.
C1
2%,&,
2对仆
5.(23-24高二上•广东湛江•阶段练习)在数列{%}中,%=,,右q=不则〃2020=()
4321
A.-B.一C.一D.-
5555
【答案】C
【分析】根据递推公式列出数列的前几项,找到规律,即可判断.
——〃,+?4
【解析】因为%讨=J且4="
2an~^an~~
、乙
4331
所以W=2%—l=2x——1=—,a3=2a2—l=2x——1=—,
c2c4=41=3
“4—2a3—,“5—244—,“6=2a5_12x1,....,
2
所以{%}是以4为周期的周期数列,所以a2020=%X504+4=4=1.
故选:C
6.(23-24高二下•四川•期中)已知数列{%}满足%=4,。向=*%,则数列{%}前2024项的积为()
[~an
A.4B.1C.——D.—1
【答案】B
【分析】先找到数列{册}的周期,然后求得数列{册}前2024项的积.
1+匕生
【解析】因为4用=产,所以%+2=产吐=—^=一!,
1-%+111+%%
1
a
n+4=-----=%,所以数列{。九}的周期为4.
an+2
,513
由q=4,则出=一§,a3=――,a4=—,
所以数列{&J前2024项的乘积为户6=1.
故选:B.
♦题型03数列的单调性及应用
7.(23-24高二下•青海海西,期中)设数列{%}的通项公式为%=向-(左-5)〃+1,若数列{4}是单调递增数
列,则实数后的取值范围为()
A.(4,+co)B.(-<»,4)
C.(8,+oo)D.(—8,8)
【答案】D
【分析】根据题意有与<“用,解得上的取值范围;
【解析】由数列{与}是单调递增数列可得,对于〃eN*都有%+1>%成立,
即(〃+1)?—(左一5)("+1)+1>n~—(k—5^n+\,k<2Tl+6对〃©N*者B成立,
所以左<(2〃+6)1nm=2x1+6=8.(或通过二次函数的对称性求解)
故选:D.
8.(23-24高二上•江苏南京•阶段练习)己知数列{《}满足:[3,”"7("eN*),且数列{%}是
[a,〃>7
递增数列,则实数。的取值范围是()
A.B.C.(2,3)D.(1,3)
【答案】C
【分析】由数列的单调性求解.
3—a>0
【解析】由题意。>1,解得2<”3.
7(3-〃)-3</6
故选:C.
9.(24-25高三上•山西大同•期末)等比数列{。"}中,S,为其前"项和,%=1,且4%,2g吗成等差数列,
则,(”eN*)的最小值为()
1416
A.—B.—C.—D.1
2925
【答案】D
【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比,再根据等比数列的前"项和公式求出S”,判断出数
列[2]的单调性即可得解.
【解析】设公比为4,
由4%,242M3成等差数列,得4a2=441+〃3,
又数列{七}为等比数列,所以得4%9=4%+//,解得9=2,
%(1-g"
所以之2n-l
n"(i-g)n
2〃一1
令,=
n
2"+1-12T_(”-l)2"+l
则b,+「b”=>0,
n+1n
所以数列,一}递增数列,
所以当"=1时,2取得最小值1.
n
故选:D.
10.(2024・重庆•二模)记正项数列{。,}的前〃项和为S,,若s“=R+l),“N则叫+1
的最小值
为.
【答案】等
【分析】由s“=%(:+i),利用数列通项和前〃项和的关系求得%=%邑=吗”,再令
1OQ
/(x)=x2+-^,x>0,利用导数法求解.
【解析】当"=1时,…।)则%=i或%=。(舍去),
当“22时,由§=♦"(.+1),得S-=%(""-+1),
22
两式相减得2。〃=片+%--%,得(%+一1-1)=。,
因为为>。,所以%-%一1=1,
所以数列{%}是等差数列,则%=%邑=当辿,
4/(x)=x2+—,x>0,则r(x)=2x—岑=2(x「4),
x')x2X2
当无e(0,4)时,/,(x)<0,当xe(4,+(»)时,/,(x)>0,
所以/(X)在(0,4)上单调递减,在(4,+8)上单调递增,
由S“=」---^随"的增大而增大,s,=——=3,S3=——=6,
"222
02128c128155c2128〃64172
贝超+三-=9+.=干&+『36+丁/-,
D,JJJJ
]28[55
所以s;+k的最小值为一.
故答案为:-
1TO
【点睛】关键点点睛:本题解决的关键是构造函数判断得其单调性,从而考虑邑,$3的情
况,从而得解.
11.(23-24高二下•辽宁・期末)设数列{(}满足%=l,a“=ln(%+|-l)+m,"eN*,若对一切〃eNq42,
则实数机的取值范围是()
A.B.1<m<2C.m>3D.2<m<3
【答案】A
【分析】根据题意列不等式,结合函数的单调性求得”的取值范围.
【解析】因为6=1,an=In(a„+1-1)+m,«eN,,
设函数/(x)=e』+l,则<=/,“).
fx<2/、
依题意有+注意到/(x)=e+1在区间(F,2]上为增函数,
故当x=2时,e-+l有最大值,即+1W2,解得仅N2.
故选:A.
♦题型04求数列的通项公式一定义法
12.(23-24高二下•云南昆明•阶段练习)已知数列满足:%=1,%="an+1=2an+x-an+2.
⑴证明:-%}是等差数列,并求{%}的通项公式;
k
(2)设也,若数列{"}是递增数列,求实数上的取值范围.
2
【答案】⑴证明见解析,an=n
⑵左<4
【分析】(1)根据条件,利用等差数列定义,即可证明结果,利用等差数列的通项公式得到
«„+i-an=2n+\,再利用累加法,即可求出结果;
(2)由⑴得6“=1+与,再利用数列也}是递增数列,得到左<(〃+1)2"2对〃eN*恒成立,即可求出结
n
果.
【解析】⑴因为4+2=2%+「%+2,所以。"+2-%+1-(。“+1-。")=2。”+]-。“+2-2%+1+。”=2为常数,
又出-%=3,所以数列{%+「与}是公差为2,首项为3的等差数列.
所以=3+(n-l)x2=2n+l,
_1
当〃22时,(对-%_J+_4-2)---n(a2-«1)=2(/7-1)+1+2(/7-2)+1H---l-2xl+l,
所以又%=1,所以%=/,又"=1,满足。"=",
所以数列{。„}的通项公式为%=n2.
(2)由⑴知,=/+与,因为数列也}是递增数列,
n
kkk
所以b,,*「b=(«+l)2+---r-(«2+—)=(2"+1)[1----r^]>0,对〃eN*恒成立,
n(w+1)n(n+V)n
得到后<(力+1)2/对"eN*恒成立,所以%<4.
13.(2023•四川成都•模拟预测)数列{对}的前"项和为S",且2s“=3a”-1.
⑴求{。“}的通项公式;
3〃
⑵若6”=7—忑-----也}的前"项和为/明求/⑺(〃eN+)的最小值・
(见+1)(%+1+1)
【答案】⑴a“=3"T
⑵。
8
【分析】(1)由2s“=3%-1可知当"W2时,有2s两式作差可求出数列{%}为等比数列,计
算q即可求出通项公式.(2)裂项相消法求出前“项和/(〃),根据数列的单调性以及极限的思想即可求出
最值.
【解析】(1)因为2s所以2sl=2%=3%-1,即%=1
当〃22时,2s=3a„_1-l,则2S“-2sl=2a.=3an-3%,
整理得2=3(〃22),
%
则数列{4}是以1为首项,3为公比的等比数列,故氏=1X3"T=3"\”=1
也满足所以%=3")
3〃311
(2)由(1)得b”=(3"、+1)(3“+1)=5(3"-|+]-3"+1)
所以/(")=|[($一占)+(占一占)+…+(E-占)_
2
223"+1,43"+1
显然/(〃)<;3
3
又因为4>0,〃〃)单调递增(〃N+),所以,⑺"(1)=、
O
3
所以加的最小值是3
O
14.(22-23高三上•天津滨海新•阶段练习)已知S”是正项数列{”“}的前〃项和电=2%=2,
%+2=ga"("eN*),S3,,5-6,必成等差数列.
⑴求{4}的通项公式;
(2)若%=(2〃-1)%,求上}的前2〃项和凡;
,〃+2,、
(3)若c,,=,证明{g}的前“项和与<1.
fl\jl十1)^*"2.n
77-1
22为奇
【答案】⑴《=”;
2。为偶
(2)弓=17+(⑵-17)2";
⑶证明见解析.
【分析】⑴利用邑,$5-6,其成等差数列和%=2q=2,0"+2=眄,(”—*)即可求出4,即可求出奇偶
项数列;
(2)分奇偶项分别利用错位相减求和再相加即可求出答案;
(3)利用裂项相消即可得到答案.
【解析】(1)由S3,S5-6,见成等差数列得2区-6)=53+34
^-53+55-54-12=0
%+。4+—12=0
2
/.2a1q+a2q-12=0
*.*ciy—1,a?~2
2q?+2q-12=0
,9=2或”一3(舍)
n-\
凡的奇数项是以首项为1公比为2的等比数列,即°V
un=24
%的偶数项是以首项为2公比为2的等比数列,即0i
un=24
则
"n-1
2亏,〃为奇
«„=1"
2。为偶
fl-1
(2"-1)-2h,"为奇
⑵”=“
(2〃-1)2,〃为偶
T2n=丁奇+%
4=4+4+4+…+b2n-3+&T
=1+5x2*+9X22+---+(4M-7)-2,,^+(4»-3)-2^1
=2+5x2?+9x23+…+(4〃-7>2"T+(4"-3)2
一盘=l+4x2i+4x22+―+4x2"T+(3-4")x2"
=1+——_^+(3-4〃)*2"
=-7+(7-4«)x2"
,
.•.7Lf=7+(4n-7)x2,
4禺=2+64+&+.•,+b2n-2+b2n
=3X21+7X22+---+(4/7-5)-2,'-1+(4?7-1)-2,,
23,!,,+1
27;S=3X2+7X2+---+(4«-5)-2+(477-1)-2
-7;^=3x21+4x22+---+4x2"-(4n-l)-2,,+1
4X22(1-2"-')
=6+------——-)+(l-4w)-2"+1
=-10+(5-4/7)x2,,+1
"0+(4"-5)X2"M
4*=0+.=7+(4〃-7)x2"+10+(4〃-5)x2"i=17+(12〃-17)2"
T2n=17+(1217)2"
n+2_〃+211
nn
⑶C"_n(n+V)a2n~n(n+l)2~{n+\)-2
_11111
D-+2++l
„-C1+c2+---e„-2x2>2x21-3x2"'n-2"-~(n+1)-2"
=1---------------
(n+1)-2"
-----\----->0
(77+1).2"
..凡<1.
♦题型05求数列的通项公式一累加法
15.(2023广西南宁模拟预测)数列{。“}满足2=。21+&加3,咏=4(后eN*,q为正常数),且
a"
%=2%=2,aj=a2•a6,a1+a2+a3=a5.
⑴求数列{见}的通项公式;
(2)求数列{%}的前"项和S”.
即二L"为奇数
【答案】⑴%=J
2之〃为偶数
―+415+2等,〃为奇数
(2电=2_;2
包二士蛆+2=,〃为偶数
【分析】(1)由题意可得奇数项成等差数列,设公差为4,且偶数项成等比数列,公比为式4>0),运用等
差数列和等比数列的通项公式,解方程可得公差,和公比q,即可得到所求通项公式;
(2)讨论〃为偶数和奇数,由等差数列和等比数列的求和公式,计算可得所求和.
【解析】(1)数列{%}满足2%国=出1+%+3,况=4,
a2k
可得出口,电小,出3成等差数列,即奇数项成等差数列,设公差为工
且偶数项成等比数列,公比为q(q>。),且%=2%=2,al=a2-a6,q+%+%=%,
可得(l+d『=2.2/,3+l+d=l+2d,
解得d=3,q=2,
1+3(卓-1],"为奇数;叫二1,”为奇数
则(="I2),化为%=;2
2.2?:为偶数125,〃为偶数
(2)当〃为偶数时,
数列{%}的前”项和
Sn=(Q]+%+…+〃〃一1)+(。2+〃4+…)
21-27
1.41+3n-4
+——
22(21-2
-L
当“为奇数时("23),
3(«-1)2-2(«-1)
SS+a+22-2+^—
n=n-ln=82
尤也±1+2等.2
8
当"=1时S]也适合上式.
〃+1
3n2+4H-15+2亏,"为奇数
8
综上:S"="
3n2-2n-16n+2
+22,”为偶数
8
16.(23-24高二下•广东深圳•期末)设数列{%}满足%=3,。N=。“+8”+4
⑴求数列{%}的通项公式;
(2)求数列的前〃项和S,
【答案】(l)a“=4/-l/eN*
【分析】(1)利用累加法求解数列通项公式,再根据分组求和进行化简;
(2)利用裂项相消求解数列的前〃项和Sn;
【解析】(1)1•,«„+1=a„+8/7+4an+l-an=8n+4,
可知%=8(〃T)+4,
an-\~a.2=8(〃-2)+4,
an-2~an-3=8("-3)+4,
%—a[=8x2+4,
%—q=8x1+4,
ax=3,
上式相力口得见=8(〃一1)+4+8(〃-2)+4+8(〃-3)+4+・一+8、2+4+8+4+3
=8[(«-1)+(H-2)+(H-3)H----1-2+1]+4(〃-1)+3
=8x-+4(z?-1)+3=4/?2-1
所以数列{an}的通项公式a“=4/_l,"eN*
111111
(2)—=—Q=------------------——(-z-----------------)x,z?£N
2
an4H-1(2〃+l)(2〃—1)22H-12〃+l'
c11111
所以二—1—1---1--1--1—
%出的%%
—(1—)+—(-----)+—(-------)+•••+—(-------------------)+—(------------------
2323525722〃-32n-l22n-l2〃+1
^3■[-------------1-----------------------1---------------------1—•••~|-----------------------------------------------------1-------------------------------------------------
2335572”32n-l2n-l2n+l
n
2〃+1
所以数列P4的前“项和sn=-^~.
[a„\2??+l
♦题型06求数列的通项公式一累乘法
17.(23-24高二下•黑龙江大庆•期末)记数列{4}的前”项和为S",已知q=1且2S”=(〃+1)%.
⑴求{对}的通项公式;
(2)记6“=F求数列低}的前2"项和凡
为偶数
【答案】(1)%="
枕+1Q
2
(2)4“=-3—+n+n
【分析】(1)由S”与。“的关系式可得数列{即}的递推公式区=7A("»2,"eN*),利用累乘法可求通项
15—
公式;
(2"〃为奇数
(2)由⑴知,%=〃所以"='工;f,利用分组求和法求心〃.
[〃,〃为偶数
【解析】(1)根据题意,%=1,2Sn=(n+l)an9贝!|2S〃T=〃%,
两式相减得2。,=(/?+l)a„-na^(«>2,77eN,),
即亡=而("22,",')’
aa”」a.nn-12r
所以“'=二n口…丁'
故{册}的通项公式为an=n;
2",〃为奇数
(2)由(1)知,a=n,所以b〃=
n小几为偶数
故石“=4+仇+4+…+篇,=(4+&+…+62"T)+(4+d+…+仇”),
(2+2、…+2?"T)+(2+4+…+2〃)=S+UL空二+"".
1-423
18.(23-24高二下•山东日照,期末)己知等差数列{《}的前"项和为S“,且%=2。“+1,S5^4S2.
⑴求数列{%}的通项公式;
(2)设数列{2}的前〃项和为北,且々=2,令。,以=4+2也M,求7;的最小值.
【答案[
(2)2
【分析】(1)由等差数列及其前"项和基本量的计算即可列方程组求解首项、公差,进而得解;
(2)由(1)中结论结合累乘法得数列{"}的通项公式,通过裂项法得北的表达式说明月单调递增,或由
7田-<=6同>0也可说明北单调递增,进而得解.
【解析】(1)设等差数列{(}的首项为《,公差为d.
5al+1Od=8q+4d
由S5=4S2M2/=2%+1,得
6Z|+(2〃—1)d=2〃]+2(〃-1)d+1
解得:ax=-2,d=-\,所以=
(2)方法一:由(1)得a“=-〃一1(〃eN*),
"+ia-n-1n+\(_
由题意—n=------=-----HGNT;
H
b“an+2--3"+3
bb,nn-1n-2432.
b“=口一义士-义一.x且xb1=----x----x-----x---x—x—x—x2
如b„-24n+2n+\n------654
=7----------r=12f-------匚](«>2,neN*),
而4=12x(〈-;]=2,从而”=12(-—-M
<23J\n+ln+2/
_J_£_1…+J_____
-+
~33~4n+1n+2)
而义关于〃单调递减,从而-一二关于〃单调递增,
n+2n+2
所以北=12"--]关于"也是单调递增,
[2n+2)
所以当〃=1时,7;的最小值为工
方法二:由(1)得%一1(〃£N*),
b%二fT〃+1
由题意彳£N*)
%+2-〃-3〃+3
b='xZx…x%x4=-x3x*x432
n•X—X—X—X2
bn_xbn_2bxn+2n+1n654
7~~r=n[—-----k;>2,neN*
11
而a=i2x2,从而〃=12>0neN*,
n+1n+2
又T〃+m,所以北单调递增,
所以北的最小值为4=4=2.
♦题型07求数列的通项公式一an与Sn的关系
19.(23-24高二下•江西萍乡•期中)己知数列{%}("eN*)的前"项和为S“,且满足%=2,a“=高S”.
⑴求生,%的值;
⑵试猜想{%}的通项公式,并证明.
【答案】⑴%=4,4=6
⑵a“=2〃(〃eN*),证明见解析
【分析】(1)由数列的递推式,分别令”=1和"=2,计算可得所求值;
(2)猜想%=2"(〃eN*),由数列的递推式和数列的恒等式,可得证明.
2?
【解析】(1)由题知,%=§02=w(%+。2),解得。2=4,
2?
同理,%=^邑=](%+。2+。3),解得。3=6;
(2)由(1)可猜想%=2拉(几£m),证明如下:
22
已知〃〃=rs〃,当〃之2时,有s〃—Si=一
n+ln+1
/、/\S”〃+1
化简得(〃—i)s,=(〃+i)Si,BP-^-=-
dH-ln—1
圃有工=旦.也.晓S2yi+1nn-1…54+
3华S]Sn_xSn_2Sn_3……S3S2S1n-1n-2n—332?2
又%=S]=2,故S〃=〃(〃+l),
2
则氏=--S=2H(H>2),
77+1n
当〃=1时,上式仍成立,则a“=2〃("eN*).
20.(2024•辽宁,模拟预测)已知数列{%}的前〃项和为S,,且4,=5a“-2.
⑴证明:{七}是等比数列,并求其通项公式;
(2)设b„=(-iy-log5号,求数列低}的前100项和4。.
【答案】⑴证明见解析,%=2x5"。
(2)100.
【分析】(1)利用给定的递推公式,结合4=5“22)及等比数列定义推理得证,再求出通项公式.
(2)利用(1)的结论求出“,再利用分组求和法计算即得.
【解析】(1)数列{%}中,4S,,=5a0-2,当“22时,4sl=5%_「2,两式相减得。“=5%-,
而4=百解得q=2,所以{〃“}是首项为2,公比为5的等比数列,
通项公式为%=2X5”T.
a2x52M+1
n
(2)由(1)知,bn=(-1)".log5=(-1)"-log5=(-l)-(2n+1),
所以Moo=3+4)+(a+4)+…+(怎+狐0)=(-3+5)+(-7+9)+…+
(-199+201)=2+2+2+…+2=2x50=100.
♦题型08求数列的通项公式一观察法
21.(23-24高二下•四川成都•期中)数列{%}满足an+l=—^—(〃eN*).
⑴计算出,%,猜想数列{%}的通项公式并证明;
(2)求数列,“("+1)3"}的前〃项和;
【答案】(1)%=2,4=:,猜测2=3,证明见解析
3477+1
⑵(2〃-1)3角+3
4
【分析】(1)直接通过递推公式计算,然后猜测。“=—;并证明;
n+1
(2)使用错位相减法即可.
1_1_2_1_1_3
【解析】(1)=广=§,=广
1z—//—
23
猜测=」r一j,下面用数学归纳法证明:
当〃=1时,由弓=知结论成立;
_1_1_k+1_k+l
假设结论对〃=左成立,即冬=工,贝!;―底=2左+2-1171,故结论对〃=左+1成立.
左+1k~~7
k+\
ri
综上,有%=---7成立.
〃+1
(2)设数列,“5+1)3"}的前"项和为S",则S“=£%优+1)3尢=£>3、
k=Yk=\
nn+1nnn&〃+l_o
所以3s,=£左-3"1=£(左一1)・3=£(左一1>3%+小3向=».3后一£3无+小3〃+1=1一三^+止3〃+1.
k=lk=2k=\k=\k=\2
(2w-l)3"+l+3
4
22.(2023•山东荷泽二模)已知各项为正数的等比数列{%}满足aja“M=16",”eN*.
⑴求数列{%}的通项公式;
a,,n为奇数
(2)设4=1,求数列低}的前2〃项和$2,.
-6.+〃,〃为偶数
【答案】⑴氏=22";〃eN;
432
(2)S2„=2"-+«-M+l,neN*.
a{-a2=16
【分析】(1)设{%}首项为q,公比为q,由%•。"+I=16",〃€"可得<见",包=16",化简后可得用,4,
4+/%+2=16"i
即可得答案;
21
(2)由题可得当力为奇数时,bn+1^2-,当〃为偶数时,6“+自用=".后由分组求和法可得答案.
【解析】(1)设{%}首项为4,公比为必
%•%=16a;q=16
因=16",〃eN",贝i]yq+i=16"n<
如=q2=16.
。用q+2=ia
又{%}各项为正数,则4,4>0,故。me=22"T,〃eN*;
(2)由(1)及题意可得,4=1;
21
当〃为奇数时,bn+l=an=2"-;
则当〃为偶数时,bn+b〃+、=n.
§2〃=4+打+…+优〃
=31+&〃)+(4+()+(4+&)…+(&-2+3〃一1)
=1+〃2〃-1+2+4+…+(2〃-2)
♦题型09求数列的通项公式一构造法
23.(2024•内蒙古包头•三模)已知数列{〃/的前〃项和为S“,4=3,Sfl=l+an+l.
⑴证明:数列{8-1}是等比数列,并求
⑵求数列,5卜勺前〃项和1.
【答案】⑴证明见解析,S“=2"+l
【分析】(1)根据题意S“=l+a用及%M=S"+「S",整理可得,即可得证;
(2)根据⑴中S,可求出%分类讨论求出工的通项公式,再根据等比数列前n项和可求得却
an
【解析】(1)因为5“=1+。“+1,又。“+i=S〃+i-S”,
所以S,+「2S.+l=0,整理得S,+「1=2(S"一1).
由题意得S「l=/T=2,
所以数列{s“-1}是以2为首项,2为公比的等比数列,故5"-1=2",
即S"2"+l.
3/=1
(2)由(1)可%=
2〃一,〃22'
"=1时,看=?1
当
3
1n—\
当〃22时,—
%2
2n—1
所以[=;+111
++•••+
222
n-\
1_1
1-
n-\
12241
=-+
332
4n-l
当〃=1,代入北=3一=工满足公式,
〃33
综上,
3
24.(23-24高二下•辽宁锦州•期末)已知数列{氏}满足%=-13(°角+1)(%+1)=。“一%+1,贝I]4.
【分析】依题意可得3(«„+1+1)(%+1)=(%+l)-k+1+1),两边同除(。用+1)(。“+1)得到-^-7--L=3,
"及+1十,a〃十工
即可得到;是以4为首项,3为公差的等差数列,即可求出」7的通项,即可得解.
U+1J%+1
【解析】因为q=-1,3(%+i+l)(a“+l)=a“-a"+],
则3(%,+i+1乂4,+1)=(%+1)-(%+1),
因为%+1=(,显然4+1*0,
1
所以----二3
a
n+\+1%+1
所以」7是以2=4为首项,3为公差的等差数列,
%+1
1c,
所以----7=3〃+1,
«„+1
1则%=T+/i-3H
所以4+1=
3n+l3〃+l
-3n
故答案为:
3〃+l
n
25.(23-24高二下•湖南郴州•期末)己知数列{%}满足:%=1,"4+「(“+1)%=认〃+1).若a=(
〃+l)Q”,
则数列也}的前〃项和S〃=.
ri
【答案】
n+\
【分析】根据给定的递推公式,利用构造法求出乙,再利用裂项相消法求和即得.
【解析】数列{4}中,由“+「(〃+1)%="(〃+1),得9-2=1,
n+1n
因此数列户4是以?=1为首项,1为公差的等差数列,%=",即%=/,
n1n
口7〃111
于是包=一(一、一二一(।》=------,
(n+l)ann(n+1)nn+1
所以S”=(l--)+(---)+(i--)+---+(----)=1---,
”22334nn+1n+1n+1
n
故答案为:Q
26.(23-24高二下•山东烟台•期末)已知数列{叫是等差数列,且出=T,数列抄J满足22,
〃eN*),且4=4=1.
⑴求数列也}的通项公式;
(2)将数列{%},{,}的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列卜“},求数列{q,}的通项公式;
⑶设数列的前"项和为证明:?;<|.
【答案】(1也=/一4〃+4
⑵c“=(2〃-l)2
⑶证明过程见解析
【分析】(1)首先求得。“=2〃-5,由累加法即可求解;
(2)不妨设%分"=2左,(左eN"),〃=2左-1,(左eN*)两种情况讨论即可求解;
(3)当"=1时,结论显然成立,当〃22时,通过放缩法以及裂项即可得证.
【解析】(1)由题意可知仇—4=。2,即4-1=11,故62=。,
由“一打二生,可得%=1,
所以数列{%}的公差d=2,所以。“=一
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