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文档简介
四川省射洪中学校2024-2025学年八年级上学期12月期末考试数学
试卷
学校:___________姓名:班级:考号:
一、单选题
1.下列说法不正确的是()
A.25的算术平方根是5B.-9是81的一个平方根
C.±2是8的立方根D.-27的立方根是-3
2.下列计算正确的是()
A.a4-a3-a1^B.asa4—a2C.a3+a3—2a6D.„=tz8
3.实数衿,0,-兀,而,0.101001000上..(相邻两个1之间依次多一个0),其中无理数有()
A.l个B.2个C.3个D.4个
4.下列从左边到右边的变形,属于因式分解的是()
A.6a2b2-3ab-2abB.(x+l)(x—1)=犬—1
C.x2-4x+4=(x-2)-D.x2-%-4=x(x-l)-2
5.在△ABC中=则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的
是()
A.ZA-AB—Z.CB.(«+/?)(«-/?)=c2
C.a:b:c=l:2:3D.ZA:ZB:ZC=3:4:7
6.下列各多项式中,能运用公式法分解因式的有()
(I)-%2+4y2
(2)9*-331
(3)-x2-2xy-y2
(4)-%2-y2.
A.l个B.2个C.3个D.4个
7.如图,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完
全一样的玻璃,那么最省事的办法是()
A.带①去B.带②去C带③去D.带①和②去
8.已知凡。是两个连续整数,a(次-1<仇则分别是()
A.1,2B.2,3C.3,4D.4,5
9.若关于x的二次三项式4/+(根-l)x+l是一个完全平方式,则机的值为().
A.m=-5B.m=-3C.m=5或机=-3D./"=-5或加=3
10.下列命题:①如果a>6,那么a+c>b+c;②如果aN0,Z?<0,那么"WO;③直角
三角形有两个锐角.
其中原命题与其逆命题都是真命题的有()
A.1个B.2个C.3个D.0个
1L如图,在已知AABC中,按以下步骤作图:①分别以AC为圆心,以大于品。的长为
半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AC于点E,交BC于点E连接A尸.若
■=4。,44。=120。,则445的大小为()
A.70°B.80°C.90°D.100°
12.若实数。、方满足6+/=1,则H+a+38的最小值为()
A.-3B.-2C.lD.3
13.已知实数加、〃满足Jm—2+(“-4)2=0,且加、〃恰好是等腰△ABC的两条边的边
长,则△ABC的周长是()
A.10B.8C.10或8D.6
14.如图,在四边形ABED中,点C在边AZ)上,连接已知△ABCZADfiM若
DE=3,AD=10.记H=S^BCD,邑=S*+SNBE,则\和52的大小关系是()
AC
D
BE
A.5,>S2B.S]=S2C.<S2D.无法确定
15.如图,在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中,如图从A点到3点
只能沿图中的线段走,那么从A点到3点的最短距离的走法共有()
A
A.1种B.2种C.3种D.4种
16.如图,A4BC中,的角平分线于。,E为AC的中点,则
图中两个阴影部分面积之差的最大值()
A.1.5B.3C.4.5D.9
17.勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理,是人类早期发现并证明的
重要数学定理之一,如图,在RtZVLBC中,ZBAC=9Q°,以各边为边向外
作正方形ABNG、正方形ACT,、正方形BCDE.连接G/、EF、DH,若EE=用,
DH=4,则这个六边形EDHZGF的面积为()
ED
A.28B.26C.32D.30
18.如图,任意画一个NA=60。的△ABC,再分别作△回(?的两条角平分线5E和
CD,3石和CD相交于点P,连接AP,有以下结论:
①NBPC=120。;
②AP平分4AC;
③AP=PC;
④BD+CE=BC;
:
⑤SAPCA=A3:AC,
正确的有()
20.如果y=Jx-2024+J2024-x-1,那么父=.
21.如图:△ABC的面积为8cm2,4。垂直N3的平分线旅于P,则△PfiC的面积为
22.如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若
AFJ=P\P?—P2p3—•••—二,则NA的度数是______.
尸】2~一
APlP13尸3尸9R
23.数形结合是数学的重要思想和解题方法,如:"当0<x<12时,求代数式
VZM+7(12-X)2+9的最小值”,其中疗N可看作两直角边分别为x和2的
RtAACP的斜边长,J(12-4+9可看作两直角边分别是12-%和3的R3BDP的斜
边长.于是将问题转化为求AP+3P的最小值,如图所示,当AP与5P共线时,
AP+BP为最小.请你解决问题:当0<%<4时,则代数式+1+J(4-x)2+4的最小
24.如图,在四边形ABCD中,47=班>,4。_15£),44£>=105。,旬=4点,。>=13,则
AB=.
三、解答题
25.计算:2―2卜行+(—2/—死.
26.先化简,再求值:[(2a—3)y+(4a+3))(4a—3万)一5a(7o—4))]+a,其中八6满足
\a-2\+y/b+l=0.
27.如图所示,在△回(7中,回=4。,44。=90。,/1=/2,5,5£交84的延长线于
点F,CE=1,
(2)求30的长度.
28.某中学为了充分提高学生积极参与体育活动的积极性举办了“大课间”的活动,让学
生自主选择各类活动,校体育组采取抽样调查的方法,从跳绳、呼啦圈、篮球、排球等四
个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计
图(如图1,图2要求每位同学只能选择一种自己喜欢的活动;图中用跳绳、呼啦圈、篮
球、排球代表喜欢这四种活动中的某一种活动的学生人数),请你根据图中提供的信息解
平啦圈跳绳
篮球'排球
40°o
图2
⑴在这次研究中,一共调查了多少名学生?
(2)喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度?
(3)补全频数分布折线统计图.
29.(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式㈤:2+Zzx+c(awO)分解因式
呢?我们已经知道:
(平+。1)(%%+。2)=4%*+年2%+。2。/+。1。2=勾的/+(空2+)%+.反过来,就得
2
到:01a2X+(%;2+a^cl^x+clc2=(%x+cJ(a,x+C2).我们发现,二次三项式
axr+/?%+c(a^0)的二次项的系数。分解成卬劣,常数项c分解成。凸拼且把aiM‘Ci,Q,
如图1所示摆放,按对角线交叉相乘再相加,就得到01c2+gq,如果a,+a2cl的值正好等
于ax2+bx+c的一次项系数。,那么ax2+fcr+c就可以分解为(qx+qXojX+Cz)淇中
%,q位于图的上一行位于下一行•像这种借助画十字交叉图分解系数,从而帮助我
们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做“十字相乘法”.
例如,将式子f—x—6分解因式的具体步骤为:首先把二次项的系数1分解为两个因数
的积,即1=1x1,把常数项—6也分解为两个因数的积,即-6=2x(-3);然后把1,1,2,-3按
图2所示的摆放,按对角线交叉相乘再相加的方法,得到1x(-3)+lx2=-l,恰好等于一次
项的系数-1,于是V—x—6就可以分解为(x+2)(x-3).
请同学们认真观察和思考,尝试在图3的虚线方框内填入适当的数,并用“十字相乘法”分
解因式:x2+x-6=.
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式:
①2/+5X-7=;
②6x2-7xy+2y2.
(3)【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x,y的二元二次多项式也可以用“十字相乘
法”来分解,如图4.将a分解成机〃乘积作为一列,。分解成pq乘积作为第二列,f分解成
jk乘积作为第三列,如果+,pk+pj—e,〃求+可=d,即第1,2歹!J、第2,3列和第
1,3列都满足十字相乘规则,则原式=(m+py+/)W+G+Z),请你认真阅读上述材料并
尝试挑战下列问题:
①分解因式3x?+5xy-2y~+x+9y-4=;
②若关于的二元二次式f+7q-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积,
求m的值.
30.⑴问题:如图1,在Rt^ABC中,44。=90。,回=4。,。为5。边上一点(不与点
3,C重合),连接AD,过点A作AE1.,并满足AE=,连接CE.则线段30和线段CE
的数量关系是,位置关系是.
E
A
BDC
图1
(2)探索:如图2,当。点为BC边上一点(不与点3,C重合),与RtA4£>£均为等
腰直角三角形,ABAC=ZDAE=90。,AB=AC,AD=AE.试探索BD~,CD2,AD~之间满
足的等量关系,并证明你的结论;
图2
(3)拓展:如图3,在四边形ABCD中,/45。=24。=/4。。=45。,若皮)=3,。£)=1,请
求出线段AO的长.
图3
参考答案
1.答案:C
解析:根据题意得:
A、25的算术平方根是5,说法正确,故本选项不符合题意;
B、-9是81的一个平方根,说法正确,故本选项不符合题意;
C、2是8的立方根,选项说法不正确,故本选项符合题意;
D、-27的立方根是-3,说法正确,故本选项不符合题意,
故选:C.
2.答案:D
解析:A、力"2,故此选项不符合题意;
B、“8+44=a4故此选项不符合题意;
C、+万=2"3/2*故此选项不符合题意;
,、4
D、(/)=/,故此选项符合题意;
故选:D.
3.答案:C
解析:卷为无理数,0为有理数,
-Ji为无理数,716=4为有理数,
0.1010010001…为无理数,
二无理数有3个,
故选:C.
4.答案:C
解析:A、6储从=3..2仍不是对多项式进行变形,故选:项错误,不符合题意;
B、(x+l)(x-=是整式的乘法,不是因式分解,故选:项错误,不符合题意;
C、%2_4x+4=(x-2)2是因式分解,故选:项正确,符合题意;
D、》一4=%(%-1)-2等式右边不是整式的积的形式,故选:项错误,不符合题
思;
故选:C.
5.答案:C
解析:A、=NC,NA+NB+NC=180o,,NB=NA+NC=90。,能判定
△ABC是直角三角形,故不符合题意;
B、•••(。+5)(。—加=c2,/一/=°2,即4=02+根据勾股定理逆定理可判定△.c
是直角三角形,故不符合题意;
C、由a:Z?:c=l:2:3可设。=x,Z?=2x,c=3x则有a+/?=3x=c,所以不能构成三角形,更
不能判定△ABC是直角三角形,故符合题意;
D、由ZA:NB:NC=3:4:7可设NA=3左,/5=4七NC=7Z,所以弘+4左+7左=180。,解
得7k=90。,能判定△ABC是直角三角形,故不符合题意;
故选:C.
6.答案:B
解析:-%2+4y2=4y2-x2=(2y+x)(2y-x),故(1)符合题意;
9a2b2-3ab+l不能运用公式法分解因式,故⑵不符合题意;
-%2-2xy—V=—(/+2xy+/)=—(%+y)(x+y),故(3)符合题意;
T2—/+,2人不能运用公式法分解因式,故(4)不符合题意;
所以能运用公式法分解因式的有(1)和(3),
故选:B.
7.答案:C
解析:第一块,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不符合任何判定方法;
第二块,仅保留了原三角形的一部分边,所以该块不行;
第三块,不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边,所以符合ASA判定,所以应
该拿这块去.
故选:C.
8.答案:A
解析:VV4<V8<79,
2<V8<3,
A1<A/8-1<2,
':a,b是两个连续整数,a〈胡-l〈b,
••a=l,b=2,
故选A.
9.答案:C
解析:•.•4必+(根_i)x+i是一个完全平方式,
m-1=±4,
解得:/〃=5或m=一3.
故选:C.
10.答案:A
解析:①:原命题“如果那么a+c>/?+c”是真命题;逆命题“如果a+c>b+c,那
么a>Z?”是真命题.
②:原命题“如果a»0,Z?<0,那么必WO”是真命题;逆命题“如果"WO,那么
a>Q,b<0”是假命题,可能还存在a>O,/?WO,或a<O,Z?»O,或aW0,/?>0的情况.
③:原命题“直角三角形有两个锐角”是真命题;逆命题“如果一个三角形有两个锐角,那
么这个三角形是直角三角形”是假命题,如钝角三角形.
故只有①的原命题与其逆命题都是真命题.
故选A.
11.答案:C
解析:AB=AC,ZBAC=120°,
由作图的步骤可知,直线MN是线段AC的垂直平分线,
.-.AF=CF,
:.ZFAC=ZC=3O°,
ZFAB=ABAC-ZFAC=120°-30°=90°.
故选:C.
12.答案:A
解析:由储+/=1,可得〃VI,"VI,
...-l<a<l,-l<b<l,
cib+a+3b—a(b+1)+3(b+1)—3—(a+3)(Z?+1)—3,
Va+3>0,Z?+l>0,
A(«+3)(Z?+l)>0,
当Z?=—1时,+a+3人有最小值-3,
故选:A.
13.答案:A
解析:y/m-2+(H-4)2=0,
/•m=2,n=4,
当三角形的三边为2,2,4时,此时2+2=4,三角形不存在;
当三角形的三边为2,4,4时,此时三角形存在,且周长为2+4+4=10;
故选:A.
14.答案:A
解析:过点8作交AD于点如图:
・'•^2Z.=SZ^A/AIBDC+S4^DDt5BtLE=2sZ*A/1DC=2X-?ACBH=3BH,
AD=10,AC=3,
:.CD=AD-AC=10-3=1,
:
.S.1=SZ”AD\^LJ=-CDBH=3.5BH,
S1>S2,
故选:A.
15.答案:C
解析:如图,由题意和“两点之间线段最短”及“平行四边形的对边相等“可知,由A到3的
最短距离的走法有下面三种:
(1)由AfC-O-5;(2)由A―尸-E-3;(3)由A―尸-0-5.
故选C.
解析:延长交AC于点”.设交助于点。.
.AD±BH,
:.ZADB=ZADH=90°,
:.ZABD+ZBAD^9G°,ZH+ZHAD^90°,
-,•ZBAD=ZHAD,
:.ZABD=ZH,
:.AB=AH,
.AD±BH,
:.BD=DH,
,DC=CA,
:.ZCDA=ZCAD,
•.ZCAD+ZH=90°,ZCDA+ZCDH^90°,
ZCDH=ZH,
:.CD=CH=AC,
-,-AE=EC,
■■■S^ABE=^ABH,S^CDH=^S,ABH,
・•V—v—v=s—v=s
•"AOBDOE一QAABE~^Z\ADH°ACDH—,
•/AC=CD=3.
当。C,AC时,AACD的面积最大,最大面积为工X3X3=4.5.
2
故选:C.
17.答案:A
解析:设AB=a,AC=b>BC=c,则a?+b?=",
连接尸C、AE交于点M,连接Ab、CE,如图所示:
V四边形ABFG和6cDE为正方形,
:.AB=BF,BC=BE,ZABF=ZCBE=90°,
:.ZCBF=ZABE,
:△CBFm△EBA,
:.ZEAB=ZCFB,
■:ZFPB=ZAPM,
ZAMP=ZFBP=90°,
:.AE±CF,
卞艮据勾股定理得:FM2+EM2=EF\AM2+MC2^AC2,FM2+AM2=AF2,
MC2+EM2^CE1,
:.EF2+AC2^AF2+CE2,
即34+b2^2c2+2a2,
a2+b2=c2,
:.34+b2=2a2+2b2+2a2,
即4a2+b2=34©,
连接AD,BH交于■点、N,
同理可得:ZDNH=90°,
:.AD±BH,
:.AB2^AN2+BN2,DH2=DN2+HN~,
AH~=AN2+NH2,BD2=BN2+DN~,
AB2+DH2=AH2+BD2,
即a1+16=2b2+2c2,
:.a2+16^2b2+2a2+2b2,
即a7+4b~=16②,
①+②得:5(6+尸)=50,
解得:片+从=10,
好②得:3(6—〃)=18,
即"2一尸=6,
a2+b2=10
解方程组:
cr-b2=6
a2=8
解得:<
〃=2
c~—a2+b~—10,
a、b、c为正数,
a—y/s—2^2,b=A/2,
延长您作EPL叱于点P,作AQLBC于点Q,如图所示:
则ZFPB=ZAQB=90°,
四边形ABFG为正方形,
:.BF=AB,ZABF=90°,
•:四边形CDEfi为正方形,
:.NCBE=9Q。,
・•・NPBC=90。,
ZPBF+ZPBA=ZPBA+ZABQ=90°,
/.ZPBF=ZABQ,
:.FP=AQ,
S.EBF=~EBFP,S.ABC=-BCXAQ,
-v=q
…Q^EBF~^Z\ABC9
同理:SACDH~S^XABC9S^AGI=SAABC,
SABEF=S4CDH=S丛AIG=S△.=5(lb=x2^2XV2=2,
二.S六边形EDR/GF=8+2+10+2x4=28,故人正确.
故选:A.
18.答案:B
解析:•.•§£、CO分别是/ABC与NACfi的角平分线,4c=60。,
ZPBC+ZPCB=|x(180°-ABAC)=1x(180°-60°)=60°,
ZBPC=180。—(NP3C+ZPCB)=180°—60°=120°,
故①正确;
ZBPC=120°,
ZDPE=120°,
过点尸作P尸,AB,PGA.AC,PHLBC,PF=PG=PH,
•・•BE、CO分别是/ABC与NACB的角平分线,
.•.AP是/BAC的平分线,
故②正确;
若AP=PC,则NK4C=NPC4,则B4c=5C4=60。,则△ABC为等边三角形,
这与题干任意画一个ZBAC=60°的△ABC不符,
故③错误.
.•ZBAC=60°ZAFP=ZAGP=90°,
:.ZFPG=120°,
:.ZDPF=/EPG,
在△PFD与aPGE中,
NDFP=NEGP=90。
<PF=PG,
ZDPF=ZEPG
..△PED四△PGE(ASA),
:.PD=PE,
在RtABTff与RtABEP中,
BP=BP
PF=PH'
RtABHP^RtABFPCHL),
同理,RtZ\CHP^RtZ\CGP,
:.BH=BD+DF,CH=CE-GE,
两式相加得,BH+CH=BD+DF+CE-GE,
•:DF=EG,
/.BC=BD+CE,
故④正确;
•••AP是角平分线,
.•.P到A3、AC的距离相等,
…S^ABP-SAACP=,AC,
故⑤正确.
故选:B.
19.答案:
3
2
故答案为:
2
20.答案:1
解析::y=&-2024+J2024-x-1,
x-2024NO
-1<2024-x>05
解得x=2024,
y=-1,
2024
/=(-i)=i
故答案为:1.
21.答案:4cm2
解析:如图,延长A尸交6C于E,
AP垂直于4B的平分线5P于P,
ZABP=ZEBP,NAPB=ZEPB=90°,
在△A3P与△EBP中,
ZABP=ZEBP
BP=BP
NAPB=ZEPB
.-.△ABP^AEBP(ASA),
*,*S4ABp=S^EBP,—EP,
:./\APC和△CPE等底同高,
…-v—="QACPE,
•*,S^PBC=S^EBP+S^CPE=^AABC=4(CmI,
故答案为:4cm2..
22.答案:12。
解析:设NA=x,
.=P『3='''—耳3《4=当4,
・•・NA=AAP2PX==x.
・・/P2Plp3=N%片/2=2X,,P3P2P4=/匕/%='
NA"4=/RBR=7x•
/.AAP^P^=7x,/ARPj=lx.
在△A^R中,NA+NA?4+/A及舄=180。,即x+7x+7x=180°.
解得x=12。,即NA=12。.
故答案为:12。.
23.答案:5
解析:依题意如图,4rl可以可看作两直角边分别是x和1的RtzXACP的斜边长,
J(4—苗+4,可以可看作两直角边分别是4-x和2的RtABDP的斜边长,
故问题转化为求AP+5P的最小值,连接AB,则AP+BP的最小值为的长,
AC=1,DB=2,CD=4,CP=x,PD=4—x,
「・AE=1+2=3,BE=4
:.AB=A/A£2+BE2=V32+42=5,
代数式FI+J(4—4+4的最小值是5.
24.答案:15
解析:如下图腾△ADfi绕点D顺时针旋转90°得至U八DEF,连接AE,AF,作AH±EF
于点H,
AD=DE=4yf2,ZADE=90°,
AE=《AD。+DE?=J(4@2+(4⑹?=8,ZAED=ZDAE=45°,
:ZDEF=ZBAD=105°,
:.ZAEF=60°,
.AH1.EF,
:.ZEAH=30°
:.EH=-AE=4,AH=^3EH=473,
2
;AC±BD,DF±BD,
:.AC//DF,
■:AC=BD,BD=DF,
..AC=DF,
四边形ACDb是平行四边形,
.-.AF=CD=13,
FH=dAF?-AH?=犷-(4阿=11,
:.EF=FH+EH=11+4=15,
.-.AB=EF=15,
故答案为:15.
25.答案:1-6
解析:原式=2-君-3+4-2
=2-3+4-2-73,
26.答案:-15。+助;-38
解析:':\a-2\+4b+i=0,
...a-2=0且b+l=O,
解得:a-2,b--l;
[(2a-3万)~+(4a+3》)(4a-36)-5a(7a-46)卜a
=(4片-I2ab+9b2+16«2-9b2-35o2+20aZ?)+a
=(—15a?+8aZ?)+a
=-15a+8b
=-15x2+8x(-l)
=—30—8
=-38.
27.答案:(1)见解析
(2)2
解析:⑴证明:CF±BE,ABAC^90°,
ZBEC=ABAC=ZCAF=90°,
ZACE+ZEDC=90°,ZACF+ZF=90°,
:.ZF=ZEDC,
又ZEDC=ZADB,
:.ZF=ZADB,
在△ADfi和中,
NF=ZADB
ZCAF=ZBAD
AC=AB
..△AD3冬△AFC(AAS);
(2)-.-AADB^AAFC,
:.CF=BD,
Z1=Z2,BE±CF,
3石是△6CF的中线,
EF=CE=1,
:.BD=CF=2.
28.答案:(1)100名
(2)36°
(3)见解析
解析:(1)士=100(人),一共调查了100名学生;
20%
(2)篮球人数为:100x40%=40人,
排球的人数为:100—40—20—30=10人,
360。义坦=36。,排球所占的圆心角的度数是36°;
100
(3)如图:
29.答案:(l)(x+3)(x—2)
(2)(2%+7)(x-1);(2x-y)(3x-2y)
⑶(3x—y+4)(x+2y—1);43或—78
解析:(1)首先把二次项的系数1分解为两个因数的积,即1=1X1,把常数项-6也分解为
两个因数的积,即-6=3x(-2),所以f+x-6=(x+3)(x-2).
故答案为:(x+3)(x-2).
(2)①把二次项系数2写成2=1x2,-7=-1x7,满足
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