四川省某中学2024-2025学年八年级上学期12月期末考试数学试卷（含答案）

四川省射洪中学校2024-2025学年八年级上学期12月期末考试数学

试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列说法不正确的是（）

A.25的算术平方根是5B.-9是81的一个平方根

C.±2是8的立方根D.-27的立方根是-3

2.下列计算正确的是（）

A.a4-a3-a1^B.asa4—a2C.a3+a3—2a6D.„=tz8

3.实数衿,0,-兀,而,0.101001000上..（相邻两个1之间依次多一个0）,其中无理数有（）

A.l个B.2个C.3个D.4个

4.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A.6a2b2-3ab-2abB.（x+l）（x—1）=犬—1

C.x2-4x+4=(x-2)-D.x2-%-4=x(x-l)-2

5.在△ABC中=则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的

是()

A.ZA-AB—Z.CB.(«+/?)(«-/?)=c2

C.a:b:c=l:2:3D.ZA:ZB:ZC=3:4:7

6.下列各多项式中,能运用公式法分解因式的有()

(I)-%2+4y2

(2)9*-331

(3)-x2-2xy-y2

(4)-%2-y2.

A.l个B.2个C.3个D.4个

7.如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完

全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）

A.带①去B.带②去C带③去D.带①和②去

8.已知凡。是两个连续整数,a（次-1<仇则分别是（）

A.1,2B.2,3C.3,4D.4,5

9.若关于x的二次三项式4/+（根-l）x+l是一个完全平方式，则机的值为（）.

A.m=-5B.m=-3C.m=5或机=-3D./"=-5或加=3

10.下列命题：①如果a>6,那么a+c>b+c；②如果aN0,Z?<0,那么"WO；③直角

三角形有两个锐角.

其中原命题与其逆命题都是真命题的有（）

A.1个B.2个C.3个D.0个

1L如图,在已知AABC中，按以下步骤作图：①分别以AC为圆心，以大于品。的长为

半径作弧，两弧相交于两点M,N；②作直线MN交AC于点E,交BC于点E连接A尸.若

■=4。,44。=120。,则445的大小为（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

12.若实数。、方满足6+/=1,则H+a+38的最小值为（）

A.-3B.-2C.lD.3

13.已知实数加、〃满足Jm—2+（“-4）2=0,且加、〃恰好是等腰△ABC的两条边的边

长，则△ABC的周长是（）

A.10B.8C.10或8D.6

14.如图，在四边形ABED中，点C在边AZ）上，连接已知△ABCZADfiM若

DE=3,AD=10.记H=S^BCD，邑=S*+SNBE，则\和52的大小关系是（）

AC

D

BE

A.5,>S2B.S]=S2C.<S2D.无法确定

15.如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到3点

只能沿图中的线段走，那么从A点到3点的最短距离的走法共有（）

A

A.1种B.2种C.3种D.4种

16.如图,A4BC中,的角平分线于。,E为AC的中点，则

图中两个阴影部分面积之差的最大值（）

A.1.5B.3C.4.5D.9

17.勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的

重要数学定理之一，如图，在RtZVLBC中，ZBAC=9Q°,以各边为边向外

作正方形ABNG、正方形ACT，、正方形BCDE.连接G/、EF、DH,若EE=用,

DH=4,则这个六边形EDHZGF的面积为（）

ED

A.28B.26C.32D.30

18.如图，任意画一个NA=60。的△ABC,再分别作△回（?的两条角平分线5E和

CD,3石和CD相交于点P,连接AP,有以下结论：

①NBPC=120。；

②AP平分4AC；

③AP=PC；

④BD+CE=BC；

：

⑤SAPCA=A3：AC，

正确的有（）

20.如果y=Jx-2024+J2024-x-1,那么父=.

21.如图：△ABC的面积为8cm2,4。垂直N3的平分线旅于P,则△PfiC的面积为

22.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若

AFJ=P\P?—P2p3—•••—二,则NA的度数是______.

尸】2~一

APlP13尸3尸9R

23.数形结合是数学的重要思想和解题方法，如："当0<x<12时，求代数式

VZM+7（12-X）2+9的最小值”，其中疗N可看作两直角边分别为x和2的

RtAACP的斜边长，J（12-4+9可看作两直角边分别是12-%和3的R3BDP的斜

边长.于是将问题转化为求AP+3P的最小值，如图所示，当AP与5P共线时，

AP+BP为最小.请你解决问题：当0<%<4时，则代数式+1+J（4-x）2+4的最小

24.如图，在四边形ABCD中,47=班>,4。_15£）,44£>=105。,旬=4点,。>=13,则

AB=.

三、解答题

25.计算：2―2卜行+（—2/—死.

26.先化简，再求值：［（2a—3）y+（4a+3））（4a—3万）一5a（7o—4））］+a,其中八6满足

\a-2\+y/b+l=0.

27.如图所示，在△回（7中,回=4。,44。=90。,/1=/2,5,5£交84的延长线于

点F,CE=1,

(2)求30的长度.

28.某中学为了充分提高学生积极参与体育活动的积极性举办了“大课间”的活动，让学

生自主选择各类活动，校体育组采取抽样调查的方法，从跳绳、呼啦圈、篮球、排球等四

个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计

图(如图1,图2要求每位同学只能选择一种自己喜欢的活动；图中用跳绳、呼啦圈、篮

球、排球代表喜欢这四种活动中的某一种活动的学生人数)，请你根据图中提供的信息解

平啦圈跳绳

篮球'排球

40°o

图2

⑴在这次研究中，一共调查了多少名学生？

(2)喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度?

(3)补全频数分布折线统计图.

29.(1)【阅读与思考】

整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式㈤：2+Zzx+c(awO)分解因式

呢？我们已经知道:

(平+。1)(%%+。2)=4%*+年2%+。2。/+。1。2=勾的/+(空2+)%+.反过来，就得

2

到：01a2X+(%;2+a^cl^x+clc2=(%x+cJ(a,x+C2).我们发现，二次三项式

axr+/?%+c(a^0)的二次项的系数。分解成卬劣，常数项c分解成。凸拼且把aiM‘Ci,Q,

如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到01c2+gq,如果a,+a2cl的值正好等

于ax2+bx+c的一次项系数。，那么ax2+fcr+c就可以分解为(qx+qXojX+Cz)淇中

%,q位于图的上一行位于下一行•像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我

们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.

例如,将式子f—x—6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数

的积，即1=1x1,把常数项—6也分解为两个因数的积，即-6=2x(-3)；然后把1,1,2,-3按

图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1x(-3)+lx2=-l,恰好等于一次

项的系数-1,于是V—x—6就可以分解为(x+2)(x-3).

请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分

解因式：x2+x-6=.

(2)【理解与应用】

请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：

①2/+5X-7=；

②6x2-7xy+2y2.

(3)【探究与拓展】

对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x,y的二元二次多项式也可以用“十字相乘

法”来分解，如图4.将a分解成机〃乘积作为一列，。分解成pq乘积作为第二列,f分解成

jk乘积作为第三列，如果+,pk+pj—e,〃求+可=d,即第1,2歹！J、第2,3列和第

1,3列都满足十字相乘规则,则原式=(m+py+/)W+G+Z),请你认真阅读上述材料并

尝试挑战下列问题：

①分解因式3x?+5xy-2y~+x+9y-4=；

②若关于的二元二次式f+7q-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，

求m的值.

30.⑴问题：如图1,在Rt^ABC中,44。=90。,回=4。,。为5。边上一点(不与点

3,C重合)，连接AD,过点A作AE1.,并满足AE=,连接CE.则线段30和线段CE

的数量关系是，位置关系是.

E

A

BDC

图1

(2)探索：如图2,当。点为BC边上一点(不与点3,C重合),与RtA4£>£均为等

腰直角三角形,ABAC=ZDAE=90。,AB=AC,AD=AE.试探索BD~,CD2,AD~之间满

足的等量关系，并证明你的结论；

图2

(3)拓展：如图3,在四边形ABCD中,/45。=24。=/4。。=45。,若皮)=3,。£)=1,请

求出线段AO的长.

图3

参考答案

1.答案：C

解析：根据题意得：

A、25的算术平方根是5,说法正确，故本选项不符合题意；

B、-9是81的一个平方根，说法正确，故本选项不符合题意；

C、2是8的立方根，选项说法不正确,故本选项符合题意；

D、-27的立方根是-3,说法正确，故本选项不符合题意，

故选：C.

2.答案：D

解析：A、力"2,故此选项不符合题意；

B、“8+44=a4故此选项不符合题意；

C、+万=2"3/2*故此选项不符合题意；

,、4

D、(/)=/,故此选项符合题意；

故选：D.

3.答案：C

解析：卷为无理数,0为有理数，

-Ji为无理数,716=4为有理数，

0.1010010001…为无理数，

二无理数有3个，

故选：C.

4.答案：C

解析：A、6储从=3..2仍不是对多项式进行变形，故选：项错误，不符合题意；

B、(x+l)(x-=是整式的乘法，不是因式分解，故选：项错误，不符合题意;

C、％2_4x+4=(x-2)2是因式分解，故选：项正确，符合题意；

D、》一4=%(%-1)-2等式右边不是整式的积的形式，故选：项错误，不符合题

思；

故选：C.

5.答案：C

解析：A、=NC,NA+NB+NC=180o,，NB=NA+NC=90。,能判定

△ABC是直角三角形，故不符合题意；

B、•••(。+5)(。—加=c2,/一/=°2,即4=02+根据勾股定理逆定理可判定△.c

是直角三角形，故不符合题意；

C、由a:Z?:c=l:2:3可设。=x,Z?=2x,c=3x则有a+/?=3x=c,所以不能构成三角形，更

不能判定△ABC是直角三角形，故符合题意；

D、由ZA:NB:NC=3:4:7可设NA=3左,/5=4七NC=7Z,所以弘+4左+7左=180。,解

得7k=90。,能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；

故选：C.

6.答案：B

解析：-%2+4y2=4y2-x2=(2y+x)(2y-x),故(1)符合题意；

9a2b2-3ab+l不能运用公式法分解因式，故⑵不符合题意；

-%2-2xy—V=—(/+2xy+/)=—(%+y)(x+y)，故(3)符合题意；

T2—/+,2人不能运用公式法分解因式，故(4)不符合题意；

所以能运用公式法分解因式的有(1)和(3),

故选：B.

7.答案：C

解析：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；

第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；

第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定,所以应

该拿这块去.

故选：C.

8.答案：A

解析：VV4<V8<79,

2<V8<3,

A1<A/8-1<2,

'：a,b是两个连续整数,a〈胡-l〈b,

••a=l,b=2,

故选A.

9.答案：C

解析：•.•4必+（根_i）x+i是一个完全平方式，

m-1=±4,

解得：/〃=5或m=一3.

故选：C.

10.答案：A

解析：①：原命题“如果那么a+c>/?+c”是真命题；逆命题“如果a+c>b+c,那

么a>Z?”是真命题.

②：原命题“如果a»0,Z?<0,那么必WO”是真命题；逆命题“如果"WO,那么

a>Q,b<0”是假命题，可能还存在a>O,/?WO,或a<O,Z?»O,或aW0,/?>0的情况.

③：原命题“直角三角形有两个锐角”是真命题；逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那

么这个三角形是直角三角形”是假命题，如钝角三角形.

故只有①的原命题与其逆命题都是真命题.

故选A.

11.答案：C

解析：AB=AC,ZBAC=120°,

由作图的步骤可知，直线MN是线段AC的垂直平分线,

.-.AF=CF,

:.ZFAC=ZC=3O°,

ZFAB=ABAC-ZFAC=120°-30°=90°.

故选：C.

12.答案：A

解析：由储+/=1,可得〃VI,"VI,

...-l<a<l,-l<b<l,

cib+a+3b—a(b+1)+3(b+1)—3—(a+3)(Z?+1)—3,

Va+3>0,Z?+l>0,

A(«+3)(Z?+l)>0,

当Z?=—1时,+a+3人有最小值-3,

故选：A.

13.答案：A

解析：y/m-2+(H-4)2=0,

/•m=2,n=4,

当三角形的三边为2,2,4时，此时2+2=4,三角形不存在；

当三角形的三边为2,4,4时，此时三角形存在，且周长为2+4+4=10；

故选：A.

14.答案：A

解析：过点8作交AD于点如图：

・'•^2Z.=SZ^A/AIBDC+S4^DDt5BtLE=2sZ*A/1DC=2X-?ACBH=3BH,

AD=10,AC=3,

：.CD=AD-AC=10-3=1,

：

.S.1=SZ”AD\^LJ=-CDBH=3.5BH,

S1>S2,

故选：A.

15.答案：C

解析：如图，由题意和“两点之间线段最短”及“平行四边形的对边相等“可知，由A到3的

最短距离的走法有下面三种：

(1)由AfC-O-5；(2)由A―尸-E-3；(3)由A―尸-0-5.

故选C.

解析：延长交AC于点”.设交助于点。.

­.AD±BH,

:.ZADB=ZADH=90°,

:.ZABD+ZBAD^9G°,ZH+ZHAD^90°,

-,•ZBAD=ZHAD,

:.ZABD=ZH,

:.AB=AH,

.AD±BH,

:.BD=DH,

,DC=CA,

:.ZCDA=ZCAD,

•.­ZCAD+ZH=90°,ZCDA+ZCDH^90°,

ZCDH=ZH,

：.CD=CH=AC,

-,-AE=EC,

■■■S^ABE=^ABH,S^CDH=^S,ABH,

・•V—v—v=s—v=s

•"AOBDOE一QAABE~^Z\ADH°ACDH—，

•/AC=CD=3.

当。C，AC时,AACD的面积最大,最大面积为工X3X3=4.5.

2

故选：C.

17.答案：A

解析：设AB=a,AC=b>BC=c,则a?+b?=",

连接尸C、AE交于点M,连接Ab、CE,如图所示：

V四边形ABFG和6cDE为正方形,

:.AB=BF,BC=BE,ZABF=ZCBE=90°,

:.ZCBF=ZABE,

:△CBFm△EBA,

：.ZEAB=ZCFB,

■：ZFPB=ZAPM,

ZAMP=ZFBP=90°,

:.AE±CF,

卞艮据勾股定理得：FM2+EM2=EF\AM2+MC2^AC2,FM2+AM2=AF2,

MC2+EM2^CE1,

:.EF2+AC2^AF2+CE2,

即34+b2^2c2+2a2,

a2+b2=c2,

：.34+b2=2a2+2b2+2a2,

即4a2+b2=34©,

连接AD,BH交于■点、N,

同理可得：ZDNH=90°,

:.AD±BH,

:.AB2^AN2+BN2,DH2=DN2+HN~,

AH~=AN2+NH2,BD2=BN2+DN~,

AB2+DH2=AH2+BD2,

即a1+16=2b2+2c2,

:.a2+16^2b2+2a2+2b2,

即a7+4b~=16②，

①+②得：5（6+尸）=50,

解得：片+从=10,

好②得：3(6—〃)=18,

即"2一尸=6,

a2+b2=10

解方程组:

cr-b2=6

a2=8

解得：＜

〃=2

c~—a2+b~—10,

a、b、c为正数，

a—y/s—2^2,b=A/2,

延长您作EPL叱于点P,作AQLBC于点Q,如图所示:

则ZFPB=ZAQB=90°,

四边形ABFG为正方形,

:.BF=AB,ZABF=90°,

•：四边形CDEfi为正方形，

:.NCBE=9Q。，

・•・NPBC=90。,

ZPBF+ZPBA=ZPBA+ZABQ=90°,

/.ZPBF=ZABQ,

:.FP=AQ,

S.EBF=~EBFP,S.ABC=-BCXAQ,

-v=q

…Q^EBF~^Z\ABC9

同理：SACDH~S^XABC9S^AGI=SAABC，

SABEF=S4CDH=S丛AIG=S△.=5(lb=­x2^2XV2=2，

二.S六边形EDR/GF=8+2+10+2x4=28,故人正确.

故选：A.

18.答案：B

解析：•.•§£、CO分别是/ABC与NACfi的角平分线，4c=60。,

ZPBC+ZPCB=|x(180°-ABAC)=1x(180°-60°)=60°,

ZBPC=180。—(NP3C+ZPCB)=180°—60°=120°,

故①正确；

ZBPC=120°,

ZDPE=120°,

过点尸作P尸，AB,PGA.AC,PHLBC,PF=PG=PH,

•・•BE、CO分别是/ABC与NACB的角平分线,

.•.AP是/BAC的平分线，

故②正确；

若AP=PC,则NK4C=NPC4,则B4c=5C4=60。，则△ABC为等边三角形,

这与题干任意画一个ZBAC=60°的△ABC不符，

故③错误.

­.•ZBAC=60°ZAFP=ZAGP=90°,

:.ZFPG=120°,

:.ZDPF=/EPG,

在△PFD与aPGE中,

NDFP=NEGP=90。

<PF=PG,

ZDPF=ZEPG

..△PED四△PGE(ASA),

:.PD=PE,

在RtABTff与RtABEP中，

BP=BP

PF=PH'

RtABHP^RtABFPCHL),

同理，RtZ\CHP^RtZ\CGP,

:.BH=BD+DF,CH=CE-GE,

两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE,

•：DF=EG,

/.BC=BD+CE,

故④正确；

•••AP是角平分线，

.•.P到A3、AC的距离相等，

…S^ABP-SAACP=,AC，

故⑤正确.

故选：B.

19.答案:

3

2

故答案为：

2

20.答案：1

解析：:y=&-2024+J2024-x-1,

x-2024NO

-1<2024-x>05

解得x=2024,

y=-1,

2024

/=（-i）=i

故答案为：1.

21.答案：4cm2

解析：如图，延长A尸交6C于E,

AP垂直于4B的平分线5P于P,

ZABP=ZEBP,NAPB=ZEPB=90°,

在△A3P与△EBP中，

ZABP=ZEBP

BP=BP

NAPB=ZEPB

.-.△ABP^AEBP(ASA),

*，*S4ABp=S^EBP，—EP,

：./\APC和△CPE等底同高,

…-v—="QACPE，

•*,S^PBC=S^EBP+S^CPE=^AABC=4(CmI,

故答案为：4cm2..

22.答案：12。

解析：设NA=x,

.=P『3='''—耳3《4=当4,

・•・NA=AAP2PX==x.

・・/P2Plp3=N%片/2=2X,，P3P2P4=/匕/％='

NA"4=/RBR=7x•

/.AAP^P^=7x,/ARPj=lx.

在△A^R中,NA+NA?4+/A及舄=180。，即x+7x+7x=180°.

解得x=12。,即NA=12。.

故答案为：12。.

23.答案：5

解析：依题意如图，4rl可以可看作两直角边分别是x和1的RtzXACP的斜边长,

J(4—苗+4,可以可看作两直角边分别是4-x和2的RtABDP的斜边长，

故问题转化为求AP+5P的最小值，连接AB,则AP+BP的最小值为的长，

AC=1,DB=2,CD=4,CP=x,PD=4—x,

「・AE=1+2=3,BE=4

：.AB=A/A£2+BE2=V32+42=5,

代数式FI+J(4—4+4的最小值是5.

24.答案：15

解析：如下图腾△ADfi绕点D顺时针旋转90°得至U八DEF，连接AE,AF，作AH±EF

于点H,

AD=DE=4yf2,ZADE=90°,

AE=《AD。+DE?=J(4@2+(4⑹?=8,ZAED=ZDAE=45°,

：ZDEF=ZBAD=105°,

:.ZAEF=60°,

.AH1.EF,

:.ZEAH=30°

:.EH=-AE=4,AH=^3EH=473,

2

;AC±BD,DF±BD,

：.AC//DF,

■：AC=BD,BD=DF,

..AC=DF,

四边形ACDb是平行四边形，

.-.AF=CD=13,

FH=dAF?-AH?=犷-（4阿=11,

：.EF=FH+EH=11+4=15,

.-.AB=EF=15,

故答案为：15.

25.答案:1-6

解析：原式=2-君-3+4-2

=2-3+4-2-73,

26.答案：-15。+助；-38

解析：'：\a-2\+4b+i=0,

...a-2=0且b+l=O,

解得：a-2,b--l；

［（2a-3万）~+（4a+3》）（4a-36）-5a（7a-46）卜a

=（4片-I2ab+9b2+16«2-9b2-35o2+20aZ?）+a

=（—15a?+8aZ?）+a

=-15a+8b

=-15x2+8x（-l）

=—30—8

=-38.

27.答案：（1）见解析

（2）2

解析：⑴证明：CF±BE,ABAC^90°,

ZBEC=ABAC=ZCAF=90°,

ZACE+ZEDC=90°,ZACF+ZF=90°,

：.ZF=ZEDC,

又ZEDC=ZADB,

:.ZF=ZADB,

在△ADfi和中，

NF=ZADB

ZCAF=ZBAD

AC=AB

..△AD3冬△AFC(AAS)；

(2)-.-AADB^AAFC,

：.CF=BD,

Z1=Z2,BE±CF,

3石是△6CF的中线，

EF=CE=1,

：.BD=CF=2.

28.答案:(1)100名

(2)36°

(3)见解析

解析：(1)士=100(人)，一共调查了100名学生;

20%

(2)篮球人数为：100x40%=40人，

排球的人数为：100—40—20—30=10人，

360。义坦=36。,排球所占的圆心角的度数是36°；

100

(3)如图：

29.答案：(l)(x+3)(x—2)

(2)(2%+7)(x-1)；(2x-y)(3x-2y)

⑶(3x—y+4)(x+2y—1)；43或—78

解析：(1)首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1X1,把常数项-6也分解为

两个因数的积，即-6=3x(-2),所以f+x-6=(x+3)(x-2).

故答案为：(x+3)(x-2).

(2)①把二次项系数2写成2=1x2,-7=-1x7,满足