山东省济南市2024-2025学年上学期九年级期末检测数学试题

山东省济南市2024-2025学年上学期九年级期末检测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列四个几何体中，从正面和上面看到的形状图相同的是（）

2.反比例函数＞的图象一定经过的点是（）

X

A.（—2,3）B.（—3,—2）C.（2,-3）D.（—2,-4）

3.在HAABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,贝hosA的值为（）

5-5_12、13

AA.—B.—C.—D.—

1312135

4.如图，AASC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（）

5.近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小刚将

二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现

点落在黑色阴影部分面积的频率稳定在0.7左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为

A.9.6B.11.2C.4.8D.0.3

6.如图，同一平面直角坐标系中，抛物线,二双之一双伍wo）与双曲线y=的图象

大致为（）

7.如图，四边形ABCD是圆。的内接四边形，ZC=110°,则/A的度数为（）

C

A.55°B.60°C.70°D.80°

k

8.如图，在直角坐标系中，直线％=-》-1与坐标轴交于A,2两点，与双曲线％=—交于

尤

点C,连接OC,过点C作CMLx轴，垂足为点M,且。4=AM.则下列结论正确的个数

试卷第2页，共8页

k

①％CM0=1;②当x<0时，x随X的增大而减小，必随X的增大而增大；③方程T-l=*

X

只有一个解为X=—2；④当x<—2,

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，在VA3C中，分别以点A和点8为圆心，大于1A3的长为半径作弧，两弧相交于

D,E两点，作直线ZJE；分别以点8和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相

交于F,G两点，作直线FG.直线DE与FG相交于点0,若以点。为圆心，Q4为半径

作圆，则下列说法错误的是（）

A.点3在。。上B.0。是VABC上的外接圆

C.8C是。。的弦D.。是VA3C的内心

10.如图，抛物线y=-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段C。在抛物线的

对称轴上移动（点C在点。下方），且CD=3.当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（）

A.（8,6）B.（8,3）C.（4,-2）D.（4,1）

二、填空题

11.写出一个三视图形状都一样的几何体：.

12.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向如图所示的游戏板投掷

飞镖一次(假设飞镖落在游戏板上)，则停留在阴影区域上的概率是

13.“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在

展览馆的仿真模型.图2是模型驱动部分的示意图，其中。加，eN的半径分别是1cm和10cm,

当顺时针转动2周时，eN上的点尸随之旋转"。，则"=.

图1图2

14.如图，点A是反比例函数y=A(x<0)图象上的一点，直线AD分别与x轴，y轴交于点

X

3

。和c,轴于点3,若VA5C与△£>(?(?的位似比为1:3,VABC的面积为:，则%值

15.如图，已知等边三角形A3C,点。为VABC外一点，连接AO,BD；且NC4£>=90。,

将线段3D绕点8逆时针旋转60。得到线段BE,连接AE,CE,且N54E=90。，若AD=1,

则CE的长为.

试卷第4页，共8页

E

D

三、解答题

16.计算：2tan260°-(tan45°-73)°+^cos300-Qsin45°

17.如图，一次函数，=依+人的图象与无轴交于点4(4,0),与y轴交于点8,与反比例函数

y=人化＞0)的图象交于点C,D.若震=；，BC=3AC.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式;

⑵求AOCZ)的面积.

18.图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”.某直升飞机于空中A处探测到西安电视

塔，此时飞行高度AB=980m,如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角㈤C=37。，看塔

底。的俯角ZEAD=45。，求西安电视塔的高度CD.(参考数据：sin37°=0.60,cos370=0.80,

tan37°=0.75)

图①图②

19.如图，OA=OB,A3交。。于点C、D,OE是半径，且OELAB于点F.

⑴求证：AC=BD；

（2）若CO=6g,EF=3,求。。的半径.

20.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字-3、-1、0、2的四个小球，除数字不同外，

小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀.

（1）从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；

（2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为尤（不放回）；再任取一球，将球上的

数字作为点的纵坐标，记为y,试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能出现的

结果，并求点a，y）落在第四象限内的概率.

21.某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1,四边形ABCD为矩形，A3长

3米，AO长1米，AH与水平地面垂直.道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB,CD分

别绕点A,D转动,且边始终与边AD平行.

HN

图1

⑴如图2,当道闸打开至/ADC=45。时，边CD上一点P到。的距离尸。为血米，P到地

面的距离尸E为1.2米，求点。到地面的距离D”的长.

（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米.当道闸打开至NADC=36。时，轿车能

否驶入小区？请说明理由.（参考数据：sin36°«0.59,cos36°«0.81,tan36°«0.73）

22.公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头

盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份

到6月份销售量的月增长率相同.

试卷第6页，共8页

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售

量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个.设该品牌头盔售价为

x元，月销售量为以

①直接写出y关于x的函数关系式；

②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应

定为多少元？

23.如图VABC中，ZACB=90°,BE平分/ABC交AC于点E,以点E为圆心，EC为半

径作OE交AC于点?

⑴求证：A3与相切；

(2)若A5=15,BC=9,试求AF的长.

24.已知：如图，抛物线过点A(-8,0),C(0,6),且其对称轴为直线x=-2,点M为抛物线

图1图2

(1)求二次函数的解析式；

⑵如图1,求△ACM■面积的最大值；

⑶如图2,若抛物线上点。的横坐标为T,且△ODM的面积为胃，求点M的坐标.

O

Q

25.某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数y=3的图象，他们在平

X

面直角坐标系内选定点尸(-3,过点尸作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，

探究过程如下：

【动手操作】

操作1：如图1,过点P作x轴的平行线/,将直线/上方的反比例函数图象沿直线/翻折得到

新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X图象”.

操作2：如图2,过点尸作y轴的平行线加，将直线机左侧的反比例函数图象沿直线m翻折

得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y图象”.

操作3：如图3,过点尸作直线y=~x+5,将第一象限内反比例函数的图象在直线〃下

方的部分沿直线〃翻折得到新图象，与直线〃下方的图象组成的封闭图象是“Z图象”.

【解决问题】

⑴如图1,求“X图象”与x轴的交点C的坐标；

⑵过x轴上一点。亿0)作>轴的平行线，与“Y图象”交于点N.若MN=3QN,求才的

值；

Q

(3)如图3,反比例函数y=—(x>0)的图象与直线〃交于点E,F,已知点G和点H是“Z图

x

象''上的两个动点，当以点E,G,F,H为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G和点

H的坐标.

试卷第8页，共8页

《山东省济南市2024-2025学年上学期九年级期末检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABACCACBDD

1.A

【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从正面和上面看是分别从物体从正面和上面看所

得到的图形.根据所得图形相同，可得答案.

【详解】解：A.球从正面和上面看都是半径相等的圆，符合题意；

B.三棱柱从正面看是三角形，从上面看是长方形中有一条竖直线段，不符合题意；

C.圆锥从正面看是等腰三角形，从上面看是有圆心的圆，不符合题意；

D.圆柱从正面看是长方形，从上面看是圆，不符合题意；

故选：A.

2.B

【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中左二孙为定值是

解答此题的关键.根据左二孙对各选项进行逐一判断即可.

【详解】解：反比例函数y=9中上=6,

X

A、•・•(-2)x3=-6w6,.•.此点不在函数图象上，故本选项不合题意；

B,v-3x(-2)=6,此点在函数图象上，故本选项符合题意；

C、・•・2x(-3)=-6/6,.•.此点不在函数图象上，故本选项不合题意；

D、•.」2x(T)=8w6,.•・此点不在函数图象上，故本选项不符合题意.

故选：B.

3.A

【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角A的邻边与斜边的比叫

做/A的余弦是解题的关键.

根据勾股定理求出A3,根据余弦的定义计算即可.

【详解】如图所示，

答案第1页，共24页

B

:在及AABC中，ZC=90°,AC=5,BC=n,

...由勾股定理得,AB=4AC-+BC1=V52+122=13»

贝

AB13

故选：A.

4.C

【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的

关键.利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意

义求出答案.

【详解】解：如图，设小正方形边长为1,AE1CE,

A

AC=ylAE2+CE2=A/42+32=5-

.._CE_3

••sinAA=-----=—

AC5

故选：C.

5.C

【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概

率值；根据落在黑色阴影的概率等于黑色阴影的面积除以正方形纸片的面积，进而求得黑色

部分的面积，则总面积与黑色部分面积的差即为白色部分面积.

【详解】解：二.经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.7左右，

他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为Q7,

答案第2页，共24页

.••黑色阴影区域的面积是正方形纸片的0.7,

黑色阴影区域的面积是0.7x16=11.2,

二维码中白色部分的面积为16-11.2=4.8；

故选：C.

6.A

【分析】本题考查了二次函数的图象和双曲线的图象，先根据抛物线图象确定a与0的大小,

再判断双曲线图象是否满足条件即可.

对称轴为尤==，

2

A、由抛物线丁=依2-改（。彳0）图象可知0>0,对称轴x>0,所以双曲线y=g（aw0）的

图象应该在第一、三象限，故选项A符合题意；

B、由抛物线y=/一皿"0）图象可知a<0,所以双曲线y=?（"0）的图象应该在第二、

四象限，故选项B不符合题意；

C、由抛物线>=依2-依（。彳0）图象可知。<0,对称轴x<0,故选项C不符合题意；

D、由抛物线>=依2-依（。彳0）图象可知a>0,所以双曲线>=2（a*0）的图象应该在第一、

三象限，故选项D不符合题意；

故选：A.

7.C

【分析】本题考查了圆内接四边形的性质.根据圆内接四边形的对角互补，列式计算即可.

【详解】解：・.•四边形ABCD为圆内接四边形，

・•・ZA+ZC=180°,

,/ZC=110°,

：.ZA=180°一NC=180。—110。=70。.

故选：C.

8.B

【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题.根据题意当y=o,可求出工的

值，即可得出A点的坐标，即可得出49的长度，根据题意可知的长度，即可得出点M

答案第3页，共24页

的坐标，由一次函数解析式即可算出点C的坐标，即可得出CM的长度，即可计算出△O0O

的面积，即可判定①的结论是否正确；根据图象的增减性即可得出②的结论是否正确；由一

次函数与反比例函数的交点坐标即可得出③结论是否正确；由图象可知比较函数的大小即可

得出④结论是否正确.

【详解】解：当y=o时，X=—1,

.,.点4(-1,0),

4(9=1,

AO=MA,

：.MO=2AO=2,

...点M(-2,0),

把点x=—2代入y=-x-l中，

得y=l,

...点CM=1,

•'•\CMO=|CM-MO=|X2X1=1,

①结论正确；

由图象可知，当x<。时，％随x的增大而减小，X随工的增大而增大，

②结论正确；

由图象可知，一次函数y=-x-i与反比例函数丫=-£交点在第二、四象限各有一个交点，

尤

k

方程X-1=—有两个解，

X

③结论错误；

由图象可知，当x<—2,%>%，

•••④结论错误.

故正确的结论有①②，共计2个.

故选：B.

9.D

【分析】本题考查了基本作图，掌握外接圆的性质是解题的关键.先根据作图得出A、3、

C在以。为圆心，Q4为半径的圆上，内心是三角形的角平分线的交点，从而判断求解.

答案第4页，共24页

【详解】解：连接A。，BO,CO,如图,

A

由题意得：DE垂直平分AB,FG垂直平分BC,

：.OA=OB=OC,

:.A、B、C在以。为圆心，Q4为半径的圆上，

.,.点B在0。上，AB,BC,AC为。。的弦，是VABC的外接圆；

故选：D.

10.D

【分析】将点A沿y轴向下平移3个单位，得到点/，设点E是抛物线与X轴的另一个交点，

连接CE,CF,EF,易证得四边形C/MF是平行四边形，于是可得AD=CF,由轴对称的

性质可得BC=CE,于是得到AD+8C=CF+CE2£F,即点C是直线EF与抛物线对称轴

的交点时，AD+3C的值最小，利用待定系数法可求得直线班的解析式，然后求得抛物线

的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案.

【详解】解：如图，将点A沿y轴向下平移3个单位，得到点F，设点E是抛物线与X轴的

另一个交点，连接CE,CF,EF,

:.AF=3,

•/CD=3,

AF=CD,

答案第5页，共24页

抛物线的对称轴〃》轴，

且线段C。在抛物线的对称轴上，线段AF在y轴上，

：.CD//AF,

，四边形CD4尸是平行四边形，

：.AD=CF,

•••抛物线是轴对称图形，

/.BC-CE,

:.AD+BC=CF+CE>EF,

・•・当/、C、E三点共线，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+3C的值最小,

在抛物线>=；尤2-4x+6中，

令x=0,贝ijy=6,

；.A（0,6）,

令y=0,则:尤2_4X+6=0,

解得：*=2或》=6,

.•.8（2,0）,E（6,0）,

由平移的性质可得：

点F的纵坐标=4=4-3=6-3=3,

，厂（0,3）,

设直线EF的解析式为y=kx+b,

将E（6,0）,尸（0,3）代入，得：

6k+b=0

b=3

k—_

解得：《一2,

6=3

直线EF的解析式为y=+3，

b-4，

在抛物线y=gd-4x+6中，y-.............4

其对称轴为直线2a-T=

2x—

2

答案第6页，共24页

y=__%+3

要使AD+BC的值最小，则点。的坐标应满足：2,

x=4

fx=4

解得：I，

[y=i

.-.C（4,l）,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质,

轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与y轴的交点坐标，求抛物线与x轴的交

点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组,

两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题

的关键.

H.球（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键.

【详解】解：球的三视图都是圆，则符合题意的几何体可以是球，

故答案为：球（答案不唯一）.

12.-

3

【分析】此题考查几何概率.根据几何概率的求法：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影区

域的面积与总面积的比值.

【详解】解：：总面积为3x3=9,

其中阴影部分面积为44+1=3,

・・・飞镖停留在阴影部分的概率是13二11,

故答案为：—.

13.72

【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角.先求出点尸移动的距离，再根据弧长公式

计算，即可求解.

【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为2x27rxl=47rcm,

解得：«=72.

答案第7页，共24页

故答案为：72

14.-6

【分析】本题考查的是位似图形的概念、反比例函数的系数上的几何意义，根据位似比求出

是解题的关键.连接根据位似比得到六=g,求出S-AB。，根据反比例函数的系

数上的几何意义解答即可.

♦.•△ABC与△DOC的位似比为1:3,

OC~3

^AABC=Z'

•'•S^ABO=3,

k——6,

故答案为：-6.

15.V13

【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形；连接C。，过

点C作CFLAF交E4延长线于R先证明ACB。丝AABE,根据已知得出AC,进而解

RtAAFGRtA£FC,即可求解.

【详解】解：如图所示，连接C。，过点C作CF，AF交JE4延长线于尸,

:将线段BD绕点、B逆时针旋转60°得到线段BE,

答案第8页，共24页

ABD=BE,ZDBE=60。；

・・•三角形ABC是等边三角形，

/.AB=AC,ZCBA=60°f

・•・ZDBE=ZCBA=60°,

:.ZCBD=ZABE,

••/^CBD^=^ABE,

ZBCD=ZBAE=90°,AE=CD,

：.ZACD=ZBCD-ZACB=30°；

AD=l,

:.CD=2,AC=CDcosZACD=,

又：ZCAF=180°-Z.EAB-ABAC=30°,

/.CF=-AC=—,AF=CF-tanZACF=—XA/3=-；

2222

•/AE=CD=2,

37

EF=2+-=~,

22

在RtZ\£FC中，EC=y/EF2+CF2=+当=岳;

故答案为：回.

16.5+--2y/2

4

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，负整数指数累和零指数累

的意义，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键.

先代入特殊角的三角函数值，再根据乘方、绝对值、负整数指数累的意义化简，然后合并同

类二次根式即可.

【详解】原式=2x(鬲-1+变x立一3变］

\，22(22J

=6-1+--272

4

=5+如一2忘；

4

17.⑴y=-2犬+8,y=9

答案第9页，共24页

(2)8

【分析】本题考查了反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题、平行线分

线段成比例定理、反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面

积计算的方法是解题的关键.

(1)根据A、B点的坐标，求出48的解析式，再通过比例关系解出C点的坐标，可得反

比例函数表达式；

(2)过点。作。轴于点凡列方程求出点。的坐标，再根据

S4OCD=S^AOB~S&BOD_*^ACOA即可求出的面积.

【详解】(1)解：•••4(4,0),

.•.04=4,

又••空二

'OA1'

:.OB=8,

3(0,8),

•.■A,B两点在直线'=依+6上,

+b=0

■,|b=8'

解得二[a=—82，

,一次函数的表达式为y=-2x+8.

如图，过点C作CELCH于点E,

易知CE〃O3,

.NACE^NABO,

答案第10页，共24页

.CE_AEAC_1

**OB-OA-?

；.CE=2,AE=1,

OE=3,

.-.C(3,2),

k

•・,点C在反比例函数y=；(%>0)的图象上，

/.k=3x2=6,

・•.反比例函数的表达式为y=9.

X

y=-2尤+8

6,

y=一

x

X=1%2=3

解得1=6或

V-=2

.-.£>(1,6),

如图，过点D作。尸，y轴于点R则/卬=1,

222

=Ix4x8--x8xl--x4x2

222

=8.

18.西安电视塔的高度8约为245m.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用.先解RtAG4D得到AG=口：£»G=980m,

tanZEAD

再解Rt^GAC,CG=AG-tanZEAC-980x0.75=735m,即可求解CD.

【详解】解：延长OC交AE于点G,由题意得AB=OG=980m,ZDGA=90°,

答案第11页，共24页

在RSGW中，ZEAD=45°,

：.AG=------=DG=980m,

tanZEAD

在RtZXGAC中，/E4c=37。，

CG^AG-tanZEAC=980x0.75=735m,

CD=DG-CG=980-735=245m,

答：西安电视塔的高度CO约为245m.

19.(1)证明见解析

(2)。。的半径为6.

【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解

题关键.

(1)先根据等腰三角形的三线合一可得”=3尸，再根据垂径定理可得CF=D尸，然后根

据线段和差即可得证；

(2)连接OC,设。。的半径为厂，则OC=OE=r,OF=r-3,再根据垂径定理可得

CF：CD=3由,然后在RtaCO尸中，利用勾股定理求解即可得.

2

【详解】(1)证明：于点尸，

AF=BF,

又是。。的半径，OE1AB,

：.CF=DF,

：.AF—CF=BF—DF,

即AC=BD.

(2)解：如图，连接OC,

答案第12页，共24页

设。。的半径为r，则OC=OE=r,

EF=3,

：.OF=OE—EF=r—3,

是。。的半径，OELAB,CD=6

：.CF=-C£>=3A/3,

2

在RtACO尸中，O尸2+。尸2=002,即（r-3）2+（3-y='，

解得r=6,

的半径为6.

20.⑴!

吗

【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列表法进行求解概率是解题的关键.

（1）直接根据概率公式进行求解即可；

（2）根据列表法可知共有12种等可能的情况，进而问题可求解.

【详解】（1）解：从中任取一球，抽取的数字为正数的概率=:；

（2）解:画列表为：

-3-102

-3(-3,-1)(-3,0)(-3,2)

-1(-1-3)(-1,0)(-1,2)

0(0,-3)(0,-1)(0,2)

2(2,-3)(2,-1)(2,0)

共有12种等可能的结果，其中落在第四象限内的点有2种

答案第13页，共24页

2I

所以点(x,y)落在第四象限内的概率=3=；

126

21.(1)点。到地面的距离£归的长为0.2米

(2)轿车能驶入小区，见解析

【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解题意，构建直角三角形解题是关键;

(1)过点。作DQYPE,垂足为Q,证明ZDPQ=ZADP=45°,在Rt△。尸。中，PD=拒米,

Pe=PDcos450=l,再进一步可得答案；

(2)当NADC=36°,PE=1.6米时，可得NADP=NDPQ=36°,求解尸Q=PE-QE=1.4米，

在RtADPQ中，求解。Q=PQ-tan36o*1.4x0.73=L022米，再进一步可得答案.

【详解】(1)解：过点。作DQJ-PE,垂足为Q,

结合题意得：DH=QE,AD//PQ,

:.ZDPQ=ZADP=45°,

在Rt△。尸。中，PD=0米,

Pe=PDcos450=V2x^=l（米），

・"E=L2米，

:.DH=QE=PE-PQ=\.2-\=02（:米），

点O到地面的距离DH的长为0.2米；

（2）轿车能驶入小区

理由：当NADC=36。，尸E=1.6米时

AD//PQ,

.-.ZADP=ZDPQ=36°

•.@=0.2米

:.PQ=PE-QE=1.6-O.2=1A（米），

在Rt△。尸Q中，D2=PQ-tan360®1.4x0.73=1.022（米）,

答案第14页，共24页

.-.PF=3-1.022=1.978（:米）,

•.•1.928>1.8

，轿车能驶入小区.

22.(1)20%

⑵①>=600-10(10)；(2)50

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为。，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，

即可得出关于。的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)①根据“上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解；②根据月销售

利润=每个头盔的利润x月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，即可求出结论.

【详解】(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为。，

依题意，得：150(l+a>=216,

解得：q=0.2=20%,%=-2.2(不合题意，舍去).

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%.

(2)解：©y=600-10(^-40)

②依题意，得：(x-30)[600-10(x—40)]=10000,

整理，得：X2-130X+4000=0,

解得：%=80,X2=50,

•••尽可能让顾客得到实惠，

,该品牌头盔的实际售价应定为50元，

答：该品牌头盔的实际售价应定为50元.

23.⑴见解析

(2)3

【分析】本题主要考查了圆与三角形综合，熟练掌握角平分线性质，圆切线判定和性质，切

线长定理，勾股定理，是解题的关键.

(1)作于点H,根据角平分线性质得£W=EC,得点X在。E上，即得A3与OE

相切；

⑵根据勾股定理得AC=12,得AE=12—EC,根据是G)E的切线，得BH=BC=9,

答案第15页，共24页

g

得A7/=6,根据得62+EC?=(12-EC91,解得EC=^,CF=9,即得

AF=3.

【详解】(1)证明：作EHLAB于点H,

平分/ABC,ZACB=90°,

EC±BC,

EH=EC,

点H在G)E上，

AB与。E相切.

(2)解：VZACB=90°,AB=15,BC=9,

AC=y/AB--BC-=12>

AE=AC-EC=12-EC,

：EC是OE的半径，BCLEC,

/.BC是OE的切线，

BH=BC=9,

:.AH=AB—BH=6,

'：ZAHE=90°,

AH2+EH2=AE2,

：.62+£,C2=(12-£'C)2,

9

/.EC=-,

2

CF=2.EC=9,

：.AF=AC-CF=3,

AF的长为3.

答案第16页，共24页

33

24.(l)y=---x2——x+6

164

(2)12

⑶点M的坐标为15,

【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求

得函数表达式是解答的关键.

(1)先求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用待定系数法求解即可；

(2)先求得直线AC的解析式为y二;1+6,过点M做无轴的垂线分别交抛物线于点E,

交X轴于点八设点■根+6)(-8＜根＜0),则点石卜,|■根+6),由

S&ACM=^^AME+S“CME=-*(〃?+4)2+12,结二次函数的性质求解即可；

(3)先求得点。坐标，连接C。，则CD，y轴.过点M做肱V〃8交y轴于点N.根据

等底等高的三角形面积相等得到S.ODN=S.ODM=g，进而求得点N坐标和直线的解析

O

339

式为y=.联立方程组求解即可.

【详解】(1)解：，.,抛物线过点A(-8,0),且其对称轴为直线*=一2

抛物线过点B(4,0)

设二次函数的解析式为y=，(x+8)(x-4),

3

把C(0,6)代入，得：a=--.

16

・•・二次函数的解析式为＞=—弓(％+8)(%—4)=—弓――]%+6；

16、八/164

(2)解：设AC的解析式为＞="+6,把点A(—8,0)代入，得左=；.

3

二•AC的解析式为y=：x+6.

4

如图，过点M做x轴的垂线分别交抛物线于点£,交工轴于点尸.

答案第17页，共24页

则点七1九Wm+6j

人心1323.33

/.ME=-----m——m+6-—m+o=------m2——m

I164八4)162

S,=S+S=-ME-AF+-ME-OF=-ME(AF+OF\=-ME-AO

△ACr/MVZ△A/MWcF△rCMiwcF222、,2

.,.AACM面积的最大值为12.

(3)解：•点。的横坐标为T,

答案第18页，共24页

连接C。，则轴.过点M做政V〃OD交y轴于点N.则

1139

/.SWN=-ONCD=-ON^=2ON=—,

△°DN228

39(39、

•.ON=*则点N的坐标为0,-/,

16VlbJ

3

♦:MN〃OD,直线OD的解析式为'=—5兀，

339

「•直线MN的解析式为y=.

216

•・•点M为抛物线与直线MN的在第二象限内的交点,

-』」+6

y—x=-5x=9

164

解方程组V解得｛81或1255（舍去）

339

y=——x---

216

点M的坐标为1-5,而

25.⑴帘）

(2)/=6或，=-1

(3)0(4,2),喑,孰8(4,2),G(翌

Q

【分析】（1）设点C关于/的对称点为C',根据对称的性质可得，点C'在反比例函数y=2

x

的图象上，CC'_L/,再根据对称的性质即可求解.

（2）分别谈论，当/>0时和"0时的情况，设点N关于机的对称点为N',根据对称的性

Q

质可得，点N'在反比例函数y=2的图象上，NN'±m,根据对称和反比例函数性质求得点

X

m和点N坐标，再根据MN=3QN,即可分别求出1的值.

（3）联立直线”与反比例函数，即可求得点E和点尸为的坐标，根据点G和点H是“Z图象”

上的两个动点，结合图象分析可得，当以点E,G,F,"为顶点的四边形面积最大时,

即点G和点H分别位于直线〃的上下两侧时，四边形面积最大，当点G在直线九的下侧时,

连接点E,F,过点G作直线〃的平行线4,当"EGF取最大值时，直线4与反比例函数

Q1

>=—（%>。）的图象仅有一个交点，可设直线9为y=-7％+根，与反比例函数，得

x2

Q

%2—2如+16=0,令A=0,求得m=4,即可得点G横坐标，代入>=一（%>0）中，可得点

x

答案第19页，共24页

G坐标，同理，作点G关于直线n在“Z图象”上方的对称点H，连接EH，HF，形成的AEFH

的面积最大，连接C”，交EF于点、K,根据轴对称的性质可得纺，所，即点K为GH的

中点，由设。8的函数解析式为y=2无+匕，待定系数法求得£组的函数解析式，

与直线〃联立，可得点K坐标，再根据求中点坐标公式，可得点H坐标，故当以点E,G,

C2412A

F,H为顶点的四边形面积最大时,点G和点H的坐标分别为G（4,2）,Hly,yI或"（4,2）,

G侍之

Q

【详解】（1）解：设点C关于/的对称点为C',根据对称的性质可得，点C'在反比例函数y=2

x

的图象上，CC'1Z,如图所示：

13

•••直线/为y=

v点c的纵坐标为0,点c和点C到直线/的距离相等，

13

点C'的纵坐标为丁x2=13,

2

QQ

将y=13代入y=2中，可得13=2,

XX

解得：%=?13

o

•••点c坐标为C，

•/CC'11,/〃X轴

.•.点C和点C'的横坐标相等，

点c坐标为,oJ,

（2）解：当t>0时，。&。）在尤轴正半轴，过点。作y轴的平行线，与“Y图象”交于点

Q

N,设点N关于加的对称点为N',根据对称的性质可得，点V在反比例函数y=2的图象

x

上，NN'Lm,如图所示：

答案第20页，共24页

轴，Q(t,O)

，点M,N的横坐标均为人

QQ

将》=/代入y=9中，可得y=),

Xt

即点”的坐标为，w,

Q

**•QM=—,

,•卡,3

.•.直线机为x=—3,

设点N'的横坐标均为6

又,：点N的横坐标均为"点N和点N'到直线机的距离相等,

.•.3=-3,即6=-6T

，点N'的横坐标为-6—,

QQ

将x=-6-r代入y=&中，可得y=3，

X-O-Z

•••点N'坐标为，6fzi,

VNN'±m,点N和点N'的纵坐标相等，

•••点N坐标为［，仁二)，

•：MN=3QN,MN=QM+QN

:.MQ=2QN,

QQ

代入数值可得3=2x-,

t6+t

解得：％=6.

当t<0时，Q«,o)在X轴负半轴，过点。作y轴的平行线，与“Y图象”交于点M