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文档简介
专题强化二十五应用气体实验定律解决两类模型问题学习目标1.复习巩固气体三个实验定律和理想气体状态方程。2.会分析“玻璃管液封”模型和“汽缸活塞”模型。考点一“玻璃管液封”模型角度单独气体例1如图1所示,两侧粗细均匀,横截面积相等的U形管,左管上端封闭,右管上端开口。左管中密封气体的长度为L1=10cm,右管中水银柱上表面比左管中水银柱上表面低H1=4cm。大气压强p0=76cmHg,环境温度为T=27℃,重力加速度为g。图1(1)先将左管中密封气体缓慢加热,使左右管水银柱上表面相平,此时左管密封气体的温度为多少;(2)使左管中气体保持(1)问的温度不变,现从右侧端口缓慢注入水银(与原水银柱之间无气隙),求注入多少长度的水银(右端足够长,无水银从管口溢出)能使最终稳定后左管密封的气体恢复原来的长度。答案(1)380K(2)19.2cm解析(1)由题意得,加热前左管中气体压强p左1=76cmHg-4cmHg=72cmHg加热后左管中气体压强p左2=p0=76cmHg加热后左管中气体长度为L2=L1+eq\f(H1,2)=12cm由理想气体状态方程得eq\f(p左1L1S,T1)=eq\f(p左2L2S,T2)其中L1=10cm,T1=(273+27)K=300K解得T2=380K。(2)设注入水银的长度为x,左侧内部温度不变,由玻意耳定律有p左2L2S=p左3L1S此时左侧管中气体压强p左3=p0+ρg(x-H1)解得x=19.2cm。1.如图2所示,一根上细下粗、上下分别均匀且上端开口、足够长的薄壁玻璃管,管内用水银柱封住了一段理想气体柱。上下管中水银柱长度h1=h2=2cm,上方玻璃管横截面积为S1,下方玻璃管横截面积为S2,且S2=2S1,气体柱长度l=6cm,大气压强为76cmHg,气体初始温度为300K,重力加速度为g。缓慢升高理想气体温度,求:图2(1)当水银刚被全部挤出粗管时,理想气体的温度;(2)当理想气体温度为451K时,水银柱下端距粗管上端的距离。答案(1)410K(2)1.6cm解析(1)设水银刚被全部挤出粗管时水银柱的长度为x,根据体积关系可得h1S1+h2S2=xS1根据平衡条件可知,开始时理想气体的压强为p1=p0+ρg(h1+h2)水银刚被全部挤出粗管时理想气体的压强为p2=p0+ρgx由理想气体状态方程有eq\f(p1lS2,T1)=eq\f(p2(l+h2)S2,T2)解得T2=410K。(2)设理想气体温度为451K时的体积为V3,根据盖-吕萨克定律有eq\f((l+h2)S2,T2)=eq\f(V3,T3)设此时水银柱下端距粗管上端的距离为y,则V3=(l+h2)S2+yS1解得y=1.6cm。角度关联气体例2如图3,两侧粗细均匀、横截面积相等的U形管竖直放置,左管上端开口且足够长,右管上端封闭。左管和右管中水银柱高h1=h2=5cm,两管中水银柱下表面距管底高均为H=21cm,右管水银柱上表面离管顶的距离h3=20cm。管底水平段的体积可忽略,气体温度保持不变,大气压强p0=75cmHg,重力加速度为g。图3(1)现往左管中再缓慢注入h=25cm的水银柱,求稳定时右管水银柱上方气柱的长度;(2)求稳定时两管中水银柱下表面的高度差。答案(1)15cm(2)20cm解析(1)设两侧管的横截面积为S,对右管上方气体,有p3=p0=75cmHg,V3=h3Sp3′=p0+ρgh=100cmHg,V3′=h3′S由玻意耳定律有p3h3S=p3′h3′S解得h3′=15cm。(2)对两水银柱下方气柱,注入水银柱前,有p2=p0+ρgh1=80cmHg,V2=2HS注入水银柱后有p2′=p0+ρg(h1+h)=105cmHg设注入水银柱后气柱的长度为L1,则V2′=L1S,由玻意耳定律有p2·2HS=p2′·L1S解得L1=32cm此时两侧水银柱下表面的高度差为Δh=2H-L1+2(h3-h3′)=20cm。考点二“汽缸活塞”模型1.“汽缸活塞”模型的解题思路(1)确定研究对象研究对象分两类:①热学研究对象(一定质量的理想气体);②力学研究对象(汽缸、活塞或某系统)。(2)分析物理过程①对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程,依据气体实验定律列出方程。②对力学研究对象要正确地进行受力分析,依据力学规律列出方程。(3)挖掘题目的隐含条件,如几何关系等,列出辅助方程。(4)多个方程联立求解。注意检验求解结果的合理性。2.两个或多个汽缸封闭着几部分气体,并且汽缸之间相互关联的问题,解答时应分别研究各部分气体,找出它们各自遵循的规律,并写出相应的方程,还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式,最后联立求解。角度单独气体例3(2023·湖北卷,13)如图4所示,竖直放置在水平桌面上的左右两汽缸粗细均匀,内壁光滑,横截面积分别为S、2S,由体积可忽略的细管在底部连通。两汽缸中各有一轻质活塞将一定质量的理想气体封闭,左侧汽缸底部与活塞用轻质细弹簧相连。初始时,两汽缸内封闭气柱的高度均为H,弹簧长度恰好为原长。现往右侧活塞上表面缓慢添加一定质量的沙子,直至右侧活塞下降eq\f(1,3)H,左侧活塞上升eq\f(1,2)H。已知大气压强为p0,重力加速度大小为g,汽缸足够长,汽缸内气体温度始终不变,弹簧始终在弹性限度内。求:图4(1)最终汽缸内气体的压强;(2)弹簧的劲度系数和添加的沙子质量。答案(1)eq\f(18,17)p0(2)eq\f(2p0S,17H)eq\f(2p0S,17g)解析(1)对左、右汽缸内封闭的气体,初态压强p1=p0,体积V1=SH+2SH=3SH末态压强p2,体积V2=S·eq\f(3,2)H+eq\f(2,3)H·2S=eq\f(17,6)SH根据玻意耳定律可得p1V1=p2V2解得p2=eq\f(18,17)p0。(2)对右边活塞受力分析可知mg+p0·2S=p2·2S解得m=eq\f(2p0S,17g)对左侧活塞受力分析可知p0S+k·eq\f(1,2)H=p2S解得k=eq\f(2p0S,17H)。2.(2024·广东东莞联考)某同学制作了一个简易的环境温度监控器,如图5所示,汽缸导热,缸内温度与环境温度可以认为相等,达到监控的效果。汽缸内有一质量不计、横截面积S=10cm2的活塞封闭着一定质量理想气体,活塞上方用轻绳悬挂着重物。当缸内温度为T1=300K时,活塞与缸底相距H=3cm,与重物相距h=2cm。环境空气压强p0=1.0×105Pa,重力加速度大小g=10m/s2,不计活塞厚度及活塞与缸壁间的摩擦。图5(1)当活塞刚好接触重物时,求缸内气体的温度T2;(2)若重物质量为m=2kg,当轻绳拉力刚好为零,警报器开始报警,求此时缸内气体温度T3。答案(1)500K(2)600K解析(1)从开始到活塞刚接触重物,气体为等压变化过程,则eq\f(HS,T1)=eq\f((H+h)S,T2)解得T2=500K。(2)从刚接触重物到绳子拉力刚好为零,有p1S=p0S+mg对缸内气体,有eq\f(p0,T2)=eq\f(p1,T3)解得T3=600K。角度关联气体例4(2022·河北卷,15)水平放置的气体阻尼器模型截面如图6所示,汽缸中间有一固定隔板,将汽缸内一定质量的某种理想气体分为两部分,“H”型连杆活塞的刚性连杆从隔板中央圆孔穿过,连杆与隔板之间密封良好。设汽缸内、外压强均为大气压强p0。活塞面积为S,隔板两侧气体体积均为SL0,各接触面光滑。连杆的截面积忽略不计。现将整个装置缓慢旋转至竖直方向,稳定后,上部气体的体积为原来的eq\f(1,2),设整个过程温度保持不变,求:图6(1)此时上、下部分气体的压强;(2)“H”型连杆活塞的质量(重力加速度大小为g)。答案(1)2p0eq\f(2,3)p0(2)eq\f(4p0S,3g)解析(1)整个装置旋转过程,上部分气体发生等温变化,根据玻意耳定律可知p0·SL0=p1·eq\f(1,2)SL0解得旋转后上部分气体压强为p1=2p0。整个装置旋转过程,下部分气体发生等温变化,下部分气体体积增大为eq\f(1,2)SL0+SL0=eq\f(3,2)SL0,则p0·SL0=p2·eq\f(3,2)SL0解得旋转后下部分气体压强为p2=eq\f(2,3)p0(2)对“H”型连杆活塞整体受力分析,设活塞质量为m,活塞的重力mg方向竖直向下,上部分气体对活塞的作用力方向竖直向上,下部分气体对活塞的作用力方向竖直向下,大气压力上下部分抵消,根据平衡条件可知p1S=mg+p2S解得活塞的质量为m=eq\f(4p0S,3g)。1.如图1所示,粗细均匀的U形细管左侧封闭,右侧装有阀门,水平部分和竖直部分长均为L=10cm,管中盛有一定质量的水银。先开启阀门,U形管静止时左侧水银柱比右侧高h=5cm,再关闭阀门,使U形管以某一恒定加速度向左加速,液面稳定后发现两竖直管中液面变为等高。管中气体均视为理想气体,整个过程温度不变,大气压强p0=75cmHg,重力加速度g=10m/s2,求:图1(1)静止时左侧气体的压强p1;(2)关闭阀门向左加速时的加速度大小a。答案(1)70cmHg(2)eq\f(160,3)m/s2解析(1)设U形管横截面积为S,水银密度为ρ,静止时右侧气体的压强为大气压p0对底部液柱由平衡条件有p0S=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p1+ρgh))S大气压强p0可表示为p0=ρgh0其中h0=75cm解得p1=70cmHg。(2)设底部液柱质量为m,向左加速稳定时左边气体压强为p2,右边气体压强为p3两边液面相平,故左边气体长度从L1=L-h=5cm变为L2=L-eq\f(h,2)=7.5cm右边气体长度从L=10cm变为L3=L-eq\f(h,2)=7.5cm对左边气体由玻意耳定律得p1L1S=p2L2S对右边气体由玻意耳定律得p0LS=p3L3S对底部液柱由牛顿第二定律有p3S-p2S=ma其中m=ρLS解得a=eq\f(160,3)m/s2。2.如图2所示,一端开口一端封闭粗细均匀足够长的“U”形玻璃管竖直放置,管内两段水银柱封闭了A、B两部分理想气体,开始管外环境温度为T1=300K,稳定时各段水银柱和空气柱的长度分别为h1=14cm,h2=10cm,h3=15cm。现使A、B两部分理想气体缓慢升高同样的温度,稳定时下方水银柱两侧水银面相平,大气压强为p0=76cmHg,重力加速度为g。求:图2(1)开始A、B两部分气体的压强pA1和pB1;(2)升高后的温度T2和升温后A部分气体气柱的长度LA。答案(1)90cmHg80cmHg(2)450K15cm解析(1)如题图所示,A、B两部分气体的压强为pA1=p0+ph1=76cmHg+14cmHg=90cmHgpB1=pA1-ph2=90cmHg-10cmHg=80cmHg。(2)开始气体温度为T1=300K,B气柱长度为LB1=h3=15cm,升温后气体温度为T2,A、B两部分管内最低水银面相平,可求B气体压强为pB2=pA1=90cmHgB气柱长度变为LB2=h3+eq\f(h2,2)=20cm对B气体,根据理想气体状态方程有eq\f(pB1LB1S,T1)=eq\f(pB2LB2S,T2)代入数据解得T2=450K升温过程A部分气体做等压变化,根据盖-吕萨克定律有eq\f(h2S,T1)=eq\f(LAS,T2)代入数据解得LA=15cm。3.如图3所示,体积分别为V和2V的导热汽缸Ⅰ、Ⅱ通过细管相连,汽缸内通过活塞A、B封闭有一定质量的理想气体,汽缸Ⅰ的横截面积为S,封闭气体的压强为p0;汽缸Ⅱ的横截面积是2S,封闭气体的压强为1.25p0。现给活塞A施加一水平向右逐渐增大的压力,当汽缸Ⅰ中一半质量的气体进入汽缸Ⅱ时(环境温度不变,大气压强为p0),已知汽缸内壁光滑,活塞厚度不计。求:图3(1)活塞A移动的距离;(2)加在活塞A上的水平推力大小。答案(1)eq\f(2V,3S)(2)eq\f(1,2)p0S解析(1)设后来两部分气体的压强为p,活塞A移动的距离为x,则汽缸Ⅰ内的气体体积变为V1=2(V-xS)汽缸Ⅱ内的气体体积变为V2=V+xS由玻意耳定律:对Ⅰ内的气体p0V=pV1对Ⅱ内的气体1.25p0·2V=pV2联立解得x=eq\f(2V,3S),p=eq\f(3,2)p0。(2)根据共点力的平衡条件F+p0S=pS解得F=eq\f(1,2)p0S。4.如图4(a)所示,水平放置的导热性能良好的汽缸Ⅰ、Ⅱ横截面积S相同,长度均为L,内部分别有质量均为m=eq\f(p0S,g)、厚度不计的活塞A、B,活塞密封性良好且可无摩擦左右滑动。汽缸Ⅰ左端开口,外界大气压强为p0,汽缸Ⅱ内通过B封有压强为2p0的气体,汽缸Ⅰ内通过一细管与汽缸Ⅱ连通(细管容积可忽略不计),初始时A、B均位于汽缸最左端,缸内气体温度为T0。将汽缸缓慢转到竖直位置,如图(b)所示,重力加速度为g。求:图4(1)活塞A、B分别下移的距离x1、x2;(2)对汽缸Ⅱ气体加热,使B活塞恰好回到初始位置,此时汽缸Ⅱ内气体温度T。答案(1)eq\f(5,6)L
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