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文档简介
第07讲三角形的中位线
T素养目标A
模块导航
1.探索并掌握三角形中位线的概念、性质;
模块一思维导图串知识
2.会利用三角形的中位线的性质解决有关问
模块二基础知识全梳理(吃透教材)
题;
模块三核心考点举一反三
3.经历探索三角形中位线性质的过程,体会
模块四小试牛刀过关测
转化的思想方法.
妗模块一思维导图串知识
题
型
考点1、与三角形中位线有关的求解问题
/考点2、三角形中位线与三角形面积问题
;考点3、与三角形中位线有关的证明
考点4、三角形中位线的实际应用
模块二基础知识全梳理
知识点、三角形的中位线
(1)三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
(2)几何语言:
如图,•••点。、£分别是/8、NC的中点.•.OEIIBC,DE=^BC.
3模块三核心考点举一反三——
题型、三角形的中位线
考点1、与三角形中位线有关的求解问题
(22-23八年级下•江苏淮安•期中)
试卷第1页,共14页
1.如图,在菱形/BCD中,点£、产分别是C。、皿的中点,EF=6,则4D的长是()
C.12D.24
(22-23八年级下•江苏无锡•期中)
2.如图,在四边形/8CD中,与不平行,48=6㈤尸,G,H分别是NDBC,BD,AC
的中点.当CD=时,四边形EGFH是菱形
(23-24八年级下•江苏盐城•阶段练习)
3.教材定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
定理证明:(1)如图1,ZUBC中,点D、E分别是边48、/C的中点,连接DE.请你猜
想中位线。E与第三边2C的数量关系和位置关系,并证明你的结论.
类比迁移:(2)如图2,梯形/BCD中,BC〃AD,点、E、尸分别是腰/8、CD的中点.类
比三角形中位线,请你猜想梯形的中位线跖与两底边8c的数量关系和位置关系,
并证明你的结论.
综合应用:(3)如图3,在梯形/BCD中,AD//BC,E、尸分别是对角线AD、NC的中
点.若NO=4cm,SC=12cm,求£尸的长.
考点2、三角形中位线与三角形面积问题
(21-22八年级下•江苏徐州•阶段练习)
4.如图所示,已知矩形/BCD,点£在边AD上从点/向点。移动,点/在边上从点8
试卷第2页,共14页
向点/移动,点G、”分别是斯、EC的中点,当那么下列结论成立的是()
ApB
A.线段G8的长逐渐增大B.线段GH的长逐渐减少
C.△4EF与ACDE的面积和逐渐变大D.△/斯与ACDE的面积和不变
(19-20八年级下•江苏连云港•期末)
5.如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到
第二个矩形,按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1,则第2020个矩形的面积
为.
(20-21八年级下•江苏泰州•期末)
6.如图1,在四边形/8CZ)中,E、F、G、b分别是40、BC、BD、NC的中点.
试卷第3页,共14页
(1)求证:四边形EGW是平行四边形;
(2)如图2,延长胡、。相交于点P,连接PG、PH、GH,若S^GH=1,求四边形ABCD
的面积.
考点3、与三角形中位线有关的证明
(23-24八年级下•江苏徐州•期末)
7.如图,在四边形/BCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、NC的中点,要使
四边形斯GH是菱形,则四边形只需要满足的一个条件是()
A.对角线B.四边形/BCD是菱形
C.对角线=D.AD=BC
(22-23八年级下•江苏苏州•阶段练习)
8.如图,在四边形中,E、F、G、X分别是N8、BC、CD、40的中点,要使四边形
EFG”是正方形,对角线/C、8。应满足的条件是.
试卷第4页,共14页
(23-24八年级下•江苏徐州•期中)
9.如图,BD、/C是四边形ABCD的对角线,点£、F、G、H分别是线段AD、DB、
BC、NC上的中点.
(1)求证:线段EG、9互相平分;
(2)四边形满足什么条件时,EG1FH?证明你得到的结论.
考点4、三角形中位线的实际应用
(23-24八年级下•江苏无锡•期中)
10.如图,要测量8,C两地的距离,小明想出一个方法:在池塘外取点工,得到线段/3、
AC,并取48,NC的中点。,E,连接DE,则他只需测量()
F
A
A.N3的长B.的长
C./£的长D.NC的长
(23-24八年级下•江苏淮安•期中)
11.如图,A,8两地被池塘隔开,小明先在外选一点C,然后测出/C,8c的中点
N,并测量出长为12m,由此可知4,2间距离=m.
(23-24八年级下•江苏宿迁•期中)
12.如图,/、8两地被建筑物阻隔,为测量/、5两地的距离,连接C4、CB,分别取
CA,C8的中点。、E.若。E的长为36m,求/、8两地的距离.
试卷第5页,共14页
D
6模块四小试牛刀过关测-------------------------------
一、单选题
13.如图,四边形48cz•中,ZJDC=90°,AE=BE,BF=CF,连接斯,AD=3,
CD=1,则E尸的长为()
A.aB.巫C.V10D.2V10
42
14.如图,ZUBC中,AC=BC,为△42C的中位线,连接C。,若=69°,则NEOC
的度数为()•
A.19°B.20°C.21°D.22°
15.如图,一次函数了=息+6的图象与无轴、y轴分别交于点/(2,0),5(0,4),点C,D
分别是04,的中点,尸是08上一动点,则尸。+PC的最小值是()
试卷第6页,共14页
A.V5B.4C.2亚D.2V2+2
16.顺次连结某四边形的中点所得的图形是菱形,则这个某四边形一定是()
A.正方形B.矩形
C.对角线相等的四边形D.平行四边形
17.将2023个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列,使得右侧菱形的顶
点与左侧菱形的对角线交点重合,若这些菱形的边长均为4°,且有一个内角是45度,则阴
影部分的面积总和等于()
A.2023缶2B.4046缶2C.40420/D.404472a2
18.如图1,点P从菱形/BCD的边/。上一点开始运动,沿直线运动到菱形的中心,再沿
直线运动到点C停止,设点尸的运动路程为x,点尸到的距离为加到的距离为",且
Y1
y=~(当点尸与点c重合时,y=o),点尸运动时y随x的变化关系如图2所示,则菱形
m
A.677B.5eC.10D.8
19.如图,四边形是菱形,/。48=60。,点E是。4中点,尸是对角线/C上一点,
且/DE尸=45。,则的值是()
试卷第7页,共14页
D
E
A.3c.2V2+1D.2+6
20.如图,在四边形/BCD中,E、F、G、”分别是/2、BD、CD、NC的中点,要
D.AD=BC
21.如图,Rt^ABC中,ZC=9O°,AC=8,AB=10,D、E分别为AC、AB中点,连接DE,
则DE长为()
A.4B.3C.8D.5
22.如图,在△/BC中,的C=120。,点。为8c的中点,点E是NC上的一点,且
AB+AE=EC.若DE=2,则N8的长为()
A.243B.4C.3A/3D.6
二、填空题
23.已知梯形的上底长是5c机,中位线长是7cwi,那么下底长是cm.
24.如图,在448C中,D、E分别为3C、/C的中点,且A/BC的面积为16,则
试卷第8页,共14页
的面积是
25.如图,△/BC与ADEC关于点C成中心对称,点〃、N分别是NC、BC的中点,若
MN=4,则。E=
26.如图,ZiABO中,AO=AB,点B(10,0),点A在第一象限,C,D分别为OB、OA
的中点,且CD=6.5,则A点坐标为.
27.在△4BC中,AB=10,BD平分NABC,AD_LBD于点、D,E是/C的中点,DE=\,
则BC的长度是.
28.如图,菱形4BCD的对角线/C,8。相交于点。,点£为中点,若04=8,
OE=5,则菱形/BCD的面积为.
29.如图,依次连接第一个矩形各边中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边中点得到第二
个矩形,按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1,则第2022个矩形的面积
为.
试卷第9页,共14页
30.如图,等边ZUBC边长为2,点。为边3C延长线上一动点,CD=DE,NBDE=120°,
点尸是线段瓦?的中点,连接DRCF.
(1)用等式表示线段。尸和/。的数量关系为:;
(2)线段CF长度的最小值为:.
三、解答题
31.如图1,4、2两地被建筑物阻隔,为测量/、2两地的距离,在地面上选一点C,连接
CA,CB分别取CA,C8的中点
(2)如图2,在四边形48C。中,4D〃8C,点E、尸分别是5D和NC的中点,AD=3,BC=5,
求斯的长
32.用一把刻度尺(可测长度、可画直线)画边长为2cm的菱形.
①画等腰三角形/BC,使/3=/C=2cm;
②量取2C的中点O,画射线N。;
试卷第10页,共14页
③在射线AD上量取点E,使DE=D4;
④连接班,CE,得到四边形4BEC.
小明所画的四边形/3EC是否符合题意?请说明理由.
(2)如图2,在等腰三角形N3C中,AB=AC=4cm,请你在等腰三角形4BC中,设计一种
画法(与小明的画法不同),画出一个边长为2cm的菱形,写出简要步骤,并说明理由.
33.如图,在△NBC中,AB=AC=6cm,8c=8cm,点。为8c的中点,BE=DE,将NBDE
绕点。顺时针旋转a度(0飞aW83。),角的两边分别交直线48于M,N两点,设8,M两
点间的距离为xcm,M、N两点间的距离为Vcm.小明尝试结合学习函数的经验,对函
数夕随x的变化的规律进行了探究,请将下面的探究过程补充完整:
(1)列出表格:如表的已知数据是根据8,M两点间的距离x进行取点、画图、测量,分
别得到了x与y的几组对应值:请通过计算,补全表格:
x/cm00.30.51.01.52.02.52.73.03.53.73.83.94.04.1
y!cm—2.92.82.72.62.83.23.33.95.26.06.77.37.58.9
(2)描点连线:在平面直角坐标系xQy中,描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画出函
数了关于x的图象;
(3)观察图形:点402乂),5(0.9,%)C(不,4.24),Dg,7.07)在函数的图象上,则必—
%,X】X”(填或“=
(4)得出性质:随着自变量x的不断增大,函数了的变化趋势:—;
(5)拓展应用:当=朋■时,3M■的长度是cm(精确到0.1cm).
试卷第11页,共14页
问题情境:
如图1,某小区内有一池塘,同学们想利用所学知识测量池塘两端,,8两点间的距离.
可用工具:测量长度的卷尺、测量角度的测角仪.
方法分析:
“圆周率”小组的操作过程如下:如图2,取能直接到达4和B的点C,量出/C的长和
的度数;作=在射线■上找一点,使AD=/C;测出CD的长度,就可
得到42两点间的距离.
“智慧”小组的操作过程如下:如图3,取能直接到达N和8的点C,连接/C,BC-分别
取/C,5c的中点D,E,测出的长度,乘以2就可得到4,2两点间的距离.
说明:以上各点都在同一水平面内.
力一丈三才-B
图1图2
(1)上面操作中,“圆周率”小组通过测量CD的长度得到4,3两点间的距离,依据是_.“智
慧”小组通过测量DE的长度乘以2,就可得到/,8两点间的距离,依据是
迁移应用:
(2)请你设计一种与上面方法不同的测量方案,要求:
①在图1中画出可操作的方案图;
试卷第12页,共14页
②简要说明你的操作步骤;
③测量方案中,得到/,3两点间的距离的主要依据是
35.如图①所示,口是某公园的平面示意图,A、B、C、。分别是该公园的四个入
口,两条主干道NC、8。交于点。,请你帮助公园的管理人员解决以下问题:
图①图②图③
(1)若4B=lkm,AC=2.4km,BD=2km,公园的面积为krrf;
(2)在(1)的条件下,如图②,公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后,为提升游客游览的
体验感,准备修建三条绿道/N、MV、CM,其中点M在03上,点N在。。上,且8M=ON
(点M与点。、8不重合),并计划在A4ON与ACOM两块绿地所在区域种植郁金香,求种
植郁金香区域的面积;
(3)若将公园扩大,此时/B=2km,AC=4km,8。=4km,修建(2)中的绿道每千米费用
为10万元,请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值.
36.【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目:如图①,在A/BC中,
AB=8,/C=6,E为8C中点,求的取值范围.
(1)小强经过多次的尝试与探索,终于得到解题思路:在图①中,作边上的中点尸,连接
EF,构造出A/BC的中位线斯,请你完成余下的求解过程.
(2)如图②,在四边形/BCD中,48=8,CD=6,E、/分别为8C、4D中点,求取的
取值范围.
(3)变式:把图②中的A、D、C变成在一直线上时,如图③,其它条件不变,则E尸的取
值范围为.
(4)如图④,在ANBC中,44=60。,AB=8,£为6C边的中点,尸是/C边上一点且E尸
正好平分的周长,贝!]皮7=.
试卷第13页,共14页
37.如图1,RuABF^Rt^CBE,448c=90。,点、E,尸分别在边48,8c上,点、M为AF
中点.
图1图2备用图
⑴请直接写出线段CE与的关系;
⑵连接所,将△口尸绕点8逆时针旋转至如图2位置,(1)中结论是否成立?请说明理由;
(3)在△E3F绕点3旋转的过程中,当B,C,E三点共线时,若8C=3,£尸=万,请直
接写出CM的长.
38.如图①所示,58C。是某公园的平面示意图,/、B、C、。分别是该公园的四个入口,
两条主干道/C、AD交于点。,经测量N2=0.5km,AC=1.2km,BD=lkm,请你帮助公园的
管理人员解决以下问题:
(1)公园的面积为km2;
(2)如图②,公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后,为提升游客游览的体验感,准备修
建三条绿道NN、MN、CM,其中点〃在03上,点N在。£)上,且3M=CW(点〃与点
。、8不重合),并计划在A4ON与△COM两块绿地所在区域种植郁金香,求种植郁金香区
域的面积;
(3)若修建(2)中的绿道每千米费用为10万元,请你计算该公园修建这三条绿道投入资
金的最小值.
试卷第14页,共14页
1.c
【分析】本题考查了菱形的性质,三角形的中位线定理,掌握三角形的中位线等于第三边的
一半是解题的关键.由三角形中位线定理可求8C=2£F=12,由菱形的性质可得
AD=BC=12,此题得解.
【详解】解:由题意可知,斯是A/BC的中位线,
.-.EF=-BC.
2
BC=2EF=V2,
•.•四边形/BCD是菱形,
AD=BC=12.
故选:C.
2.6
【分析】本题主要考查了菱形的判定,三角形中位线定理,平行四边形的判定,先由三角形
中位线定理证明EG=FH,FG=EH,则可证明四边形EGE修是平行四边形,故当EG=EH
时,四边形EGm是菱形,则当。=/8=6时,四边形EGF”是菱形.
【详解】解::E、G分别是4D,的中点,
・•・EG是的中位线,
.-.EG=-AB,
2
同理可得尸G=;C£>,EH=;CD,HF=;AB,
:.EG=FH,FG=EH,
••・四边形EGFH是平行四边形,
.,.当EG=E〃时,四边形EG尸H是菱形,
.•.当。=/8=6时,四边形EGF”是菱形,
故答案为:6.
3.(1)DE//BC,DE^-BC,证明见解析;(2)AD+BC=2EF,证明见解析;(3)
2
4cm
【分析】本题考查三角形的中位线定理,全等三角形的判定和性质,作辅助线构造全等三角
形是解题的关键.
(1)延长。E至点尸,使EF=DE,连接CF,证明A/E。gACE尸,然后推导四边形D8CV
答案第1页,共38页
为平行四边形,即可得到结论;
(2)连接/尸并延长交3C的延长线于点G,证明厂04CG尸,然后根据三角形的中位
线定理得到结论;
(3)如图,取CD的中点连接FN,EM,而E、尸分别是对角线8。、/C的中点.证
明及厂,"三点共线,再结合三角形的中位线的性质可得答案;
【详解】证明:(1)DE//BC,DE=^BC,理由如下:
延长。E至点尸,使EF=DE,连接CF,
,•:ZAED=ZCEF,AE=CE,EF=DE,
AAED^ACEF(SAS),
:.AD=CF,ZA=ZECF,
AB//CF,
■:AD=BD,AD=CF,
BD=CF,
又,:BD〃CF,
四边形D8C尸为平行四边形,
;.DF//BC,DF=BC,
DE//BC,DE=-BC.
2
(2)解:AD+BC=2EF,理由如下:
连接/尸并延长交2C的延长线于点G,如图:
AD//BC,
NDAF=ZCGF,ZADF=ZGCF,
答案第2页,共38页
•于是co的中点,
.,FD=FC,
:./\DAFmACGF,
AD=CG,AF=FG,
・・・£是的中点,尸是/G的中点,
:.EF=^BG=^BC+CG}=^BC+AD),
AD+BC=1EF.
(3)如图,取CD的中点连接EM,EM,而£、尸分别是对角线2D、NC的中点.
EM//BC,FM//AD,而4D〃BC,
EM//AD//BC//FM,
•••旦尸,初三点共线,
由三角形的中位线的性质可得:
EM=-BC=6,FM=-AD=2,
22
EFEM-FM=6-24(cm);
4.A
【分析】连接CF,利用中位线的性质可证GH=*F,因为CF逐渐增大,所以G8逐渐增
大,可判断A正确、B错误;连接8E将四边形EE8C分为△£必和AEBC,因为AEBC和
矩形ABCE面积不变,AAE尸与ACDE的面积和等于矩形ABCE面积-四边形EFBC面积,
所以通过判断面积变化情况可判断C、D.
【详解】连接CR如图:
答案第3页,共38页
•.•点尸在边4B上从点8向点/移动,
二2厂在逐渐增大,
,•,8C不变,CF=yjBC2+BF2>
・••CF逐渐增大,
•・•点G、X分别是跖、EC的中点,
.•.6〃是4£尸(7的中位线,
.-.GH^-CF,
2
••・线段G8的长逐渐增大,
所以A正确,B错误;
连接E2,如图:
•.•点E在边40上从点N向点。移动,点/在边48上从点8向点N移动,
二2厂在逐渐增大,NE逐渐增大,
S.EF"=尸'AE,
・•・04逐渐增大,
•.・在△E8C中,底3C和高都不变,
■■.SAEBC不变,
・EFBC=逐渐增大,
••smS&^+SAEBC
答案第4页,共38页
,**SQAEF+S^DEC=S矩形ABCE-S四边形EFBC,S矩形ABCE不变,
S^AEF+S.DEC逐渐减小,
;.c、D错误,
故选A.
【点睛】本题考查三角形,熟练掌握三角形中位线性质和面积公式,灵活作辅助线对所求证
目标进行巧妙转换是解题关键.
5'不二(也可写成亍\或2T38)
【分析】由题意可得,第二个矩形的面积为:,第三个矩形的面积为,依次类推,第n
个矩形的面积为W,将2020代入n,即可解决本题.
【详解】解:已知第一个矩形的面积为1;
第二个矩形的面积为“
第三个矩形的面积为
故第n个矩形的面积为:
所以第2020个矩形的面积为:=产.
故答案为:42019.
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理以及矩形、菱形的性质,是一道找规律的题型,
这类题型在中考中经常出现,对于找规律的题目,找出哪些部分发生了变化,是按照什么规
律变化的是解题的关键.
6.(1)证明见解析;(2)4.
【分析】(1)先根据三角形中位线定理可得EG=g/8,£G///B,同理可得
FH=^AB,FHHAB,从而可得EG=FH,EG〃尸H,再根据平行四边形的判定即可得证;
(2)连接PE,AG,BH,DH,先根据三角形中位线定理可得EG//48,根据同底等高可得
答案第5页,共38页
SAAEG=SAPEG,同理可得SGEH=SREH,从而可得S四边形=SAGH=1,再根据等底同高可
得S4ABG=SAADG,SAHBG~SAHDG,从而可得S四退形ABHD=2s四边吃=2,然后利用同样的方法即
可求出四边形的面积.
【详解】证明:(1)・••E,G分别是她的中点,
EG=;AB,EG//AB,
同理可得:FH=-AB,FH//AB,
2
EG=FH,EGHFH,
四边形EG尸H是平行四边形;
(2)如图,连接PE,AG,BH,DH,
•・•26分别是2。,8。的中点,
EGIIAB,
;.S“AEG=S.PEG(同底等高),
同理可得:SGEH=SAPEH,
S四边形=SAAEG+SAEGH+SADEH=SREG+SAEGH+SAPEH=S4PGH=1,
又「G是她的中点,
/.BG=DG,
S4ABG=S/DG,SAHBG=S&HDG(等底同IWJ),
•**S四边形48他—S/BG+S“DG+S&HBG+AHDG=2(S皿+S.HDG)=2S四边形/GH。=2,
同理可得:S四边形wo=2S四边形的ffl=2x2=4,
即四边形48。的面积为4.
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、三角形的中线等知识点,较难
答案第6页,共38页
的是题(2),通过作辅助线,利用到三角形中位线定理和三角形的中线是解题关键.
7.D
【分析】本题考查了菱形的判定与性质.菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依
据,常用三种方法:①定义;②四边相等;③对角线互相垂直平分.利用三角形中位线定
理可以证得四边形EFG"是平行四边形;然后由菱形的判定定理进行解答.
【详解】解:■在四边形/BCD中,E、F、G、〃分别是N8、BD、CD、/C的中点,
EF//AD,HG//AD,GH=-AD,
2
:.EF//HG-
同理,GF=LBC,HE//GF,
2
••・四边形EFG8是平行四边形;
A、若AC,BD,得不到AD=BC,则wG尸,不能证明四边形斯G”是菱形,故本选
项错误;
B、若四边形是菱形时,点及&G,“四点共线;故本选项错误;
C、若对角线=时,得不到则G〃wG尸,不能证明四边形EFGH是菱形;
故本选项错误;
D、当AD=8C时,则G8=G尸;所以平行四边形斯GH是菱形;故本选项正确;
故选:D.
8.AC=BD且AC上BD
【分析】此题考查三角形的中位线定理,平行四边形的判定与性质,菱形的判定与性质,正
方形的判定.根据三角形的中位线定理和菱形的判定,可得顺次连接对角线相等的四边形各
边中点所得四边形是菱形,再根据正方形的判定即可求解.
【详解】解:添加的条件应为:AC=BD且4C上BD.
理由:•••£、F、G、〃分别是48、BC、CD、40的中点,
.,.在A4DC中,H3为△/DC的中位线,
"G〃/C且〃G=』/C;同理斯〃/C且=,同理可得即=
222
则〃G〃斯且〃G二£F,
••・四边形EFG/Z为平行四边形,
又AC=BD,
•••EF=EH,
答案第7页,共38页
・•・四边形£FG〃为菱形,
-AC1BD,EF//AC,
:,EF1BD,
,:EH〃BD,
・•・EF1EH,
・•.ZFEH=90°,
:.菱形EFGH是正方形.
故答案为:AC=BD且AC」BD.
9.(1)见解析
(2)当/B=C。时,EGLFH,理由见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理,
掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键.
(1)连接EF、GF、GH、HE,根据三角形中位线定理得到EF//AB,EF=^AB,GH//AB,
GH=;AB,证明四边形EFG"为平行四边形,根据平行四边形的性质证明结论;
(2)根据菱形的判定定理得到平行四边形EFG”是菱形,根据菱形的性质定理证明即可.
【详解】(1)证明:连接E尸、GF、GH、HE,
・•・点、E、尸分别是线段的中点,
■■.EF//AB,EF=-AB,
2
•点G、〃分别是线段8C、/C的中点,
.-.GH//AB,GH=-AB,
2
EF//GH,EF=GH,
••・四边形EFGX为平行四边形,
••・线段EG、尸X互相平分;
(2)解:当/3=CD时,EG1FH,
答案第8页,共38页
理由如下:•・•点G、尸分别是线段8C、AD的中点,
.-.GF=~CD,
2
AB=CD,
EF=GF,
,平行四边形EFG/f是菱形,
EG1FH.
10.B
【分析】本题主要考查三角形中位线,熟练掌握三角形的中位线是解题的关键.根据三角形
中位线可进行求解.
•••取NC的中点。,E,
.-.DE^-BC,
2
要测量8、C两地的距离,只需测量DE的长,
故选:B.
11.24
【分析】此题考查了三角形中位线定理,证明是△/BC的中位线,则
MN=9B=\2m,即可得到答案.
【详解】解:,・,/C,8c的中点分别为M,N,
.•.MN是△4BC的中位线,
.-.MN=-AB=nm
2
•••AB=24m,
即4,5间距离为24m,
故答案为:24
12.72m
答案第9页,共38页
【分析】本题考查的是三角形中位线定理,根据三角形的中位线平行于第三边,且等于第三
边的一半解题即可.
【详解】•••点。,E分别为C4,C3的中点,
:.DE=-AB,
2
AB=IDE=72m
答:A、5两地的距离为72m.
13.B
【分析】连接AC,根据勾股定理得到AC=F7=JTU,由三角形的中位线的性质定理
即可得到结论.
【详解】解:连接AC,
vzADC=90o,AD=3,CD=1,
•••AC=732+I2=Vio,
•.•AE=BE,BF=CF,
••.EF=;AC=®,
22
故选:B.
【点睛】本题考查了勾股定理,三角形中位线定理,正确的作出辅助线是解题的关键.
14.C
【分析】根据。E为△4BC的中位线,可得DE〃BC,AD=BD,即=结
合AC=BC,可得即/3DC=90。,问题随之得解.
【详解】DE为4ABC的中位线,
:.DE//BC,AD=BD,
ZEDC=ZDCB,
•:AC=BC,AD=BD,
:.CDVAB,
答案第10页,共38页
.■,ZBDC=90°,
■.■ZB=69°,
NDCB=90。-N8=21。,
;.NEDC=NDCB=21。,
故选:C.
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质,平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识,掌
握中位线的性质是解答本题的关键.
15.C
【分析】如图,作点C关于y轴的对称点C',连接尸c',连接交〉轴于点修,由对
称知,PC=PC:由两点之间线段最短,可知当C',尸,。三点共线时,PD+PC=PD+PC'=C'D
取最小值;由中位线定理,CD//OB,CZ)=2,RtACW中,CC'=2,。力=^CD2+CC'2=2亚.
【详解】解:如图,作点C关于丁轴的对称点C,连接“',连接C”交y轴于点片.由
对称知,PC=PC,
PD+PC=PD+PC'>C'D,当C',P,Z)三点共线时,PD+PC=PD+PC'=C'D,取最小值,
•■-C,。分别是04,的中点
CD//OB,CD=-OB=-x4=2
22
:.ADCO=AC'OP=9f)°
RtZ\C'CZ)中,CC'=2OC=2
■■■C'D=^CD2+CC'2=A/22+22=2V2,
故选:c.
【点睛】本题考查轴对称,勾股定理,两点之间线段最短,运用轴对称知识作出辅助线,将
求线段和最小值转化为求线段长是解题的关键.
答案第11页,共38页
16.C
【分析】连接NC、2。,根据三角形中位线定理得到即〃/C〃/G,EH=FG=;AC,
同理可证,EF=GH=gBD,可知当80=NC时,四边形为菱形.
【详解】解:如图
连接/C、BD,
•;E、F、G、H分别是四边形各边中点,
EH||AC,GF//AC,
即,EH^-AC,GF=-AC,
22
同理可证,EF=GH=-BD,
2
...当8O=/C时,EF=GH=GF=EH,
即,四边形EFGH是菱形,
即顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形时,该四边形一定是对角线相等的四边形,
故选:C.
【点睛】本题主要考查的是中点四边形,掌握菱形的判定定理,三角形的中位线定理是解此
题的关键.
17.D
【分析】先通过菱形的性质和三角形的中位线定理求得一个阴影菱形的边长,由勾股定理计
算菱形的高,再计算2022个阴影菱形的面积总和便可.
【详解】解:根据题意知,将2023个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一
列,得到2022个阴影菱形,且这些阴影菱形的大小完全一致,
如图,过点E作EH1OF交O尸于点H,
由题意知,OA=OC,AB=BC=CD=AD=4a,ABAD=AEOF=45°,
答案第12页,共38页
D
由菱形的对角线平分一组对角可知NEOC=ZDAO,
0E//AD,
・•.OE是的中位线,
r.0E=—AD=2a,
2
ZEOF=45°,
•••OH=EH=g,
;一个阴影菱形的面积为:OFxEH=242a2,
.•.2022个阴影菱形的周长和为:28/乂2022=4044亚力,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质,三角形的中位线定理,菱形的面积计算,关键是求出
阴影菱形的边长和个数.
18.A
【分析】本题主要考查了菱形的性质,勾股定理,三角形中位线定理,动点问题的函数图象,
解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质以及勾股定理.
连接交于点。,连接OP,由当0WxW2时,V的值恒等于1,推出点尸的运动路径
是△4DC的中位线,则可得到CO=2x2=4,再由当x=5时,y=0,求出。C=3,由菱形
的性质求出AC,BD的长即可得到答案.
【详解】解:连接交于点O,连接。尸,如图,
H
由题意知,当0WXW2时,丁的值恒等于1,
:.m-n.
.••点P的运动路径是△4DC的中位线,且CD=2x2=4.
答案第13页,共38页
•.•当x=5时,y=0,
0C=3.
由菱形的性质可得/C=2OC,BD=2OD,ACLBD,
AC=20C=6,
:.0D=yJCD2-OC2=41,
BD=2OD=277,
:.5取边形筋。口=;BD.AC=近x6=6板,
故选:A.
19.D
【分析】取4。的中点/,连接EN设8=2x,由中位线性质可得
EM//CD,EM=gCD,EM=x,再根据ZDAB=60°,ZDEF=45°可得出月W=EM=x,从而
得到FC的长,即可得到AF:FC的结果.
【详解】解:如图所示:取/C的中点M,连接EM,DM,设CO=2x,
•••点£是。/中点,
・•.EN是A/CD的中位线,
:.EM//CD,EM=^CD,
EM=x,
•・,/DAB=60。,四边形ABCD是菱形,
/.ADAC=ZDCA=ZEMA=30°,^AMD=90°,
・・•/DEF=45。
/EFM=45°-30°=15°,ZFEM=30。—15。=15°,
NEFM=NFEM=15。,
FM=EM=x,
答案第14页,共38页
•••CD=DA=2x,ACAD=NACD=30°,
■■AM=sjAD2-AM2=V3x
AC=2A/3X,
AM=#>x,
FC=2A/3X-V3x-x=Cx-x,
.AF_>/3x+x_百+1_2+6
FCgx-x#)-1
故选:D.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质,熟练掌握这些性质是解此题的关键.
20.D
【分析】利用三角形中位线定理可以证得四边形EFGH是平行四边形;然后由菱形的判定
定理进行解答.
【详解】解:,•・在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,
•••EFHAD,HGIIAD,
•••EFIIHG;
同理,HEHGF,
••・四边形EFGH是平行四边形;
A、若4B=CD,得不到AD=BC,贝UGH#3F,不能证明四边形EFGH是菱形,故本选项
错误;
B、若四边形ABCD是菱形时,点EFGH四点共线;故本选项错误;
C、若对角线AC=BD时,四边形ABCD可能是等腰梯形,证明同A选项;故本选项错误;
D、当AD=BC时,GH=GF;所以平行四边形EFGH是菱形;故本选项正确;
故选D.
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质.菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依
据,常用三种方法:①定义;②四边相等;③对角线互相垂直平分.
21.B
【分析】根据勾股定理求出BC,根据三角形中位线定理计算即可.
答案第15页,共38页
【详解】•■•zC=90°,AC=8,AB=10,
••BC=y/AB2-AC2=6,
••・D、E分别为AC、AB中点,
•••DE=yBC=3,
故选:B.
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理和勾股定理,掌握三角形的中位线平行于第三边,
并且等于第三边的一半是解题的关键.
22.B
【分析】延长C4到尸点,使4F=4B,连接8R可证得4/8/为等边三角形,£为PC中
点,为aBC尸的中位线,据此即可求得.
【详解】解:如图,延长CA到尸点,使AF=AB,连接BF,
ZBAF=180°-ABAC=180°-120°=60°,
又•:AF=AB,
・•.AZB厂为等边三角形,
:,AB=AF=BF,
,;AB+AE=EC,
;.AF+AE=EC,BPEF=EC,
・•.E为FC中点、,
•・•。为8c中点,
.•.DE为△水;/的中位线,
:.BF=2DE,
■:DE=2,
:.AB=BF=4,
故选:B.
答案第16页,共38页
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质,三角形中位线定理,作出辅助线是解决本题
的关键.
23.9
[分析]根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得其下底.
【详解】解:由已知得,下底=2x7-5=9cm.
故答案为9.
【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系:梯形中位线的长等于上底与下底和的一半.
24.4
【分析】先根据D点是BC的中点,E点是AC的中点,得出SAADE=;XS^ABC,即可得出
答案.
【详解】rD点是BC的中点,
SAABD=SAADC=ySAABC»
••,E点是AC的中点,
8AADE=SADCE=ySAADC=XSAABC
VSAABC=16,
•'•SAADE=4»
故答案为:4.
【点睛】本题考查了三角形中线的性质,得出SAADE=:XSAABC是解题关键.
25.8
【分析】本题考查了中心对称图形的性质及三角形中位线的性质,根据中位线的性质得
48=8,再根据中心对称图形的性质得。E=N8=8,熟练掌握相关性质是解题的关键.
【详解】解::点N分别是NC,5c的中点,且ACV=4,
二.AB=2MN=8,
・・・△4BC与ADEC关于点C成中心对称,
DE=AB=8,
故答案为:8.
26.(5,12)
【分析】连接AC,由题意易得AC10B,OB=10,BC=5,然后根据三角形中位线及勾股定
答案第17页,共38页
理可求解.
AO=AB,点B(10,0),C,D分别为OB、OA的中点,CD=6.5,
•••AC1OB,OB=10,BC=OC=5,AB=2CD=13,
在用中,AC=^AB2-BC2=12>
4(5,12).
故答案为(5,12).
【点睛】本题主要考查求点的坐标、三角形中位线、等腰三角形的性质及勾股定理,关键是
利用等腰三角形的性质及三角形中位线得到线段的等量关系,然后利用勾股定理求解点的坐
标即可.
27.8或12
【分析】本题考查三角形中位线定理,等腰三角形的判定和性质,关键是判定AB/尸是等
腰三角形,推出DE是尸的中位线.
延长/。交8c延长线于尸,由角平分线定义得到=由垂直的定义得到
ZADB=ZFDB=90°,由三角形内角和定理得到NB/。=N8ED,推出3尸=8/=10,由
等腰三角形的性质推出。是/尸中点,而E是/C的中点,因此。E是△/CF的中位线,得
至IJC尸=2。£=2,即可求出2c=8尸-CF=10-2
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